(2011.06.09)工程数学(本)11春期末复习辅导(文本)
工程数学期末复习精品文档11页
工程数学（本）期末复习提要中央电大师范部数学教研室开放教育土木工程本科专业与水利水电工程本科专业的“工程数学（本）”课程的内容包括《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央电大出版社出版）两本教材的全部内容。
在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考。
第1章：n阶行列式⒈理解n阶行列式的递归定义。
⒉掌握利用性质计算行列式的方法。
性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质7⒊知道克莱姆法则。
第2章：矩阵⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。
矩阵的运算满足以下性质⒉掌握方阵乘积行列式定理。
是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有：⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。
若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。
用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质：⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。
第3章：线性方程组⒈了解向量的概念及线性运算，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判断向量组的线性相关性。
对于向量组，若存在一组不全为零的常数，使得 则称向量组线性相关，否则称线性无关。
⒉了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。
向量组的一个部分组如满足 ⑴线性无关；⑵向量组中的任一向量都可由其线性表出。
则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。
⒊理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法。
线性方程组有解的充分必要条件是：。
元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：。
⒋熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。
工程数学本11春考题
工程数学（本）11春考题2011年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是 ( ) ．(A) B A B A +=+ (B) B A A B =(C) B A AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+2. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（ ）．(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 43. 线性方程组⎩⎨⎧=+=+02123221x x x x 解的情况是（ ）．(A) 无解 (B) 有唯一非零解(C) 只有零解 (D) 有无穷多解4. 对任意两个事件B A ,，等式（ ）成立．(A) A B B A =+-)( (B) A B B A =-+)((C) A B B A ⊂+-)( (D) A B B A ⊂-+)(5. 设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是统计量． (A) μσ+2x (B) ∑=ni i x n 11 (C) σμ-1x (D) 1x μ二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设B ,A 均为3阶矩阵，且2,3==B A ，则='-1B A 2 ．2. 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得x x A λ=，则称λ为A 的 ．3. 若4.0)(,8.0)(,9.0)(===+B P A P B A P ，则=)(AB P ．4. 设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时=+-)3(X D ．5. 若参数θ的两个无偏估计量1θ)和2θ)满足)()(21θθ))D D >，则2θ)比1θ)更 ．三、计算题（每小题16分，共64分）1.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=401121B ,531011221A ，且有B A X =求X ．2. 设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其通解．3. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.02.03.04.03210~X ，求⑴)(X E ；⑵)2(≤X P ． 4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm ，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平α=005.，t 00582306.().=）四、证明题（本题6分）设B A ,是可逆的对称矩阵，试证1-A 也是对称矩阵．。
(建筑工程管理)工程数学期末复习指导
（建筑工程管理）工程数学期末复习指导《经济数学基础》课程考核说明I．相关说明和实施要求本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融、工商管理、会计学等专业的学生．本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式．考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩俩部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格．其中形成性考核作业成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%．形成性考核作业的内容及成绩的评定按《广播电视大学高等专科经济数学基础课程教学实施方案》的规定执行．经济数学基础课程考核说明是根据《广播电视大学高等专科“经济数学基础”课程教学大纲》制定的，参考教材是由李林曙、黎诣远主编的、高等教育出版社出版的“新世纪网络课程建设工程——经济数学基础网络课程”的配套文字教材：•经济数学基础网络课程学习指南•经济数学基础——微积分•经济数学基础——线性代数考核说明中的考核知识点和考核要求不得超出或超过课程教学大纲和参考教材的范围和要求．本考核说明是经济数学基础课程期末考试命题的依据．经济数学基础是广播电视大学财经类各专业高等专科学生的壹门重要的必修基础课，其全国统壹的结业考试（期末考试）是壹种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校财经类专业的大专水平．因此，考试应具有较高的信度、效度和壹定的区分度．试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点．考试旨在测试有关微积分和线性代数的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力．期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点．微积分和线性代数各部分在期末试卷中所占分数的百分比和它们在教学内容中所占的百分比大致相当，微积分约占58%，线性代数约占42%．考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．单项选择题的形式为四选壹，即在每题的四个备选答案中选出壹个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15％，解答题70％．期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟．考试时不得携带除书写用具以外的任何工具．II.考核内容和考核要求考核内容分为微分学、积分学和线性代数三个部分，包括函数、导数和微分、导数应用、多元函数微分学、不定积分、定积分、积分应用、行列式、矩阵、线性方程组等方面的知识．（壹）微分学1．函数考核知识点：函数的概念函数的奇偶性复合函数分段函数基本初等函数（不含反三角函数）和初等函数经济分析中的几个常见函数建立函数关系式考核要求：⑴理解函数概念，掌握函数的俩要素 定义域和对应关系，会判断俩函数是否相同；⑵掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；⑶掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；⑷了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；⑸了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；⑹知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形；⑺了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；⑻会列简单应用问题的函数表达式．2．导数和微分考核知识点：极限的概念无穷小量和无穷大量极限的四则运算法则俩个重要极限函数的连续性和间断点导数的定义导数的几何意义导数基本公式和导数的四则运算法则复合函数求导法则高阶导数微分的概念及运算法则考核要求：⑴知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量和无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；⑶掌握极限的四则运算法则，掌握俩个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；⑷了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；⑸理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导和连续的关系；⑹熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；⑺知道微分的概念，会求函数的微分；⑻知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数．3．导数应用考核知识点：函数的单调性函数的极值和最大（小）值导数在实际问题中的应用考核要求：⑴掌握函数单调性的判别方法；⑵了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点和驻点的区别和联系，会求函数的极值；⑶了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；会计算需求弹性；⑷熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等）．4．多元函数微分学考核知识点：二元函数概念偏导数、全微分的概念及其计算二元函数的极值拉格朗日乘数法二元函数的极值在经济中的应用考核要求：⑴会求二元函数的定义域．⑵掌握求全微分的方法和求壹阶、二阶偏导数的方法．会求简单的复合函数、隐函数的壹阶偏导数．⑶了解二元函数极值的必要充分条件，会用拉格朗日乘数法求条件极值．（二）积分学1．不定积分考核知识点：原函数和不定积分概念不定积分的性质积分基本公式直接积分法第壹换元积分法分部积分法考核要求：⑴理解原函数和不定积分概念，了解不定积分的性质，会求当曲线的切线斜率已知且满足壹定条件时的曲线方程，知道不定积分和导数（微分）之间的关系；⑵熟练掌握积分基本公式和直接积分法；⑶掌握不定积分的第壹换元积分法（凑微分法）；⑷掌握不定积分的分部积分法，会求被积函数是以下类型的不定积分：①幂函数和指数函数相乘，②幂函数和对数函数相乘，③幂函数和正（余）弦函数相乘；2．定积分定积分概念定积分性质牛顿−−莱布尼兹公式，第壹换元积分法分部积分法无穷限积分考核要求：⑴了解定积分概念及性质，掌握牛顿−−莱布尼兹公式；⑵掌握定积分的第壹换元积分法（凑微分法）；⑶掌握定积分的分部积分法，会求被积函数是以下类型的定积分：①幂函数和指数函数相乘，②幂函数和对数函数相乘，③幂函数和正（余）弦函数相乘．⑷知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分．3．积分应用考核知识点：积分的几何应用积分在经济分析中的应用常微分方程考核要求：⑴掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积；⑵熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；⑶了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；⑷掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求壹阶线性微分方程的解．（三）线性代数1．行列式考核知识点：n阶行列式概念行列式的性质计算行列式的化三角形法和降阶法克拉默法则考核要求：⑴了解n阶行列式概念及其性质；⑵掌握行列式的计算；⑶知道克拉默法则．2．矩阵考核知识点：矩阵概念和矩阵的运算特殊矩阵矩阵的初等行变换和矩阵的秩可逆矩阵和逆矩阵考核要求：⑴了解矩阵和矩阵相等的概念；⑵熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；⑶了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．⑷理解矩阵可逆和逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；⑸了解矩阵秩的概念；⑹理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．3．线性方程组考核知识点：线性方程组消元法线性方程组有解判定定理线性方程组解的表示考核要求：⑴了解线性方程组的有关概念：n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、壹般解；⑵理解且熟练掌握线性方程组的有解判定定理；⑶熟练掌握用消元法求线性方程组的壹般解．III.试题类型及规范解答举例壹、单项选择题1．若函数在处极限存在，则下列结论中正确的是（）．（A）在处连续（B）在处可能没有定义（C）在处可导（D）在处不连续（B）正确，将B填入题中括号内．（中等题）2．当（）时，线性方程组有唯壹解，其中是未知量的个数．（A）（B）（C）（D）（C）正确，将C填入题中括号内．（容易题）二、填空题1．函数的定义域是．在横线上填写答案“”．（容易题）2．若是的壹个原函数，且，则．在横线上填写答案“”．（中等题）三、解答题⒈设矩阵A=，B=，计算(AB)-1．解：因为AB==(ABI)=所以(AB)-1=（中等题）⒉（应用题）已知某产品的销售价格（单位：元／件）是销量（单位：件）的函数，而总成本为（单位：元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：由已知条件可得收入函数进而得到利润函数对利润函数求导得令得，显然是唯壹的极大值点，因此是最大值点．同时得即产量为300件时利润最大．最大利润是43500元．（较难题）⒊（证明题）试证：设是n阶矩阵，若=O，则．证明：因为===所以证毕．（中等题）IV.样卷壹、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．下列各函数对中，（）中的俩个函数相等．A．，B．，+1C．，D．，2．若函数在处极限存在，则在处（）．A.可能没有定义B.连续C.可导D.不连续3.下列等式不成立的是（）．A．B．C．D．4．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.5．设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的壹般解中自由未知量的个数为（）．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．函数的定义域是．7．需求量q对价格的函数为，则需求弹性为．8．.9．设是2阶矩阵，且，．10．设为俩个已知矩阵，且可逆，则方程的解．三、微积分计算题（每小题10分，本题共20分）11．设，求．12．计算积分．四、线性代数计算题（每小题15分，本题共30分）13．设矩阵，且有，求矩阵．14．设齐次线性方程组问 取何值时方程组有非零解，且求壹般解.五、应用题（本题20分）15．生产某种产品产量为（单位：百台）时总成本函数为（单位：万元），销售收入函数为（单位：万元），求⑴产量为多少时利润最大？⑵最大利润是多少？。
工程数学(本)期末复习指导
工程数学(本)期末复习指导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1工程数学（本）期末复习指导第一部分课程考试的有关说明（一）考核对象中央广播电视大学理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。
（二）命题依据本课程的命题依据是中央广播电视大学工程数学（本）课程教学大纲要求。
内容包括线性代数和概率论与数理统计两部分。
教材是由李林曙等编《大学数学---线性代数》，《大学数学---概率论与数理统计》（均由中央广播电视大学出版社出版）。
(三) 命题原则本课程的考试命题在教学大纲规定的教学目的、教学要求和教学内容的范围之内。
(四) 试题类型及结构1、期末考试题型：试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15％，解答题70％．2、考核形式:闭卷笔试，考试时不得携带除书写用具以外的任何工具．3、答题时限:期末考试的答题时限为90分钟。
第二部分题型讲解(一)单项选择题应试单项选择题是电大考试的常见题型，尤其是注册视听生的考试，单项选择题占40％，所以，认识，学会解单项选择题是挺重要的．单项选择题的特点是题量大，知识的覆盖面宽，信息量多，答案也告诉了大家，应试时间短．目的是考核同学的基本概念、基本的知识和极简单的计算的掌握程度和熟练程度．常用方法有1. 直接推导法就是按照题目的已知条件或结论，采用常规的解题程序，运用概念、定理、法则等，经过分析或计算，得出正确结果，推出正确选项．如矩阵A＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----24226421321的秩是( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3求矩阵的秩，就是将矩阵化为阶梯形矩阵，数一数有几个非0行．容易看出，矩阵的第1行的(－2)倍加到第2行上，第2行变为0行，可见矩阵的阶梯形有2个非0行．故选项（C）正确．2. 排除法（筛选法或淘汰法）由已知条件和选项，通过观测、分析或简单计算，把不可能成立的选项排除，剩下的选项为应选的选项．排除法有完全排除法和部分排除法．而常用的是部分排除法，缩小选择范围，再配合其它方法．如某商品的需求弹性为 Ep＝－bp(b>0) 那么当价格p提高1％时，需求量将会( )减少bp (B) 增加bp (C) 增加bp% (D) 减少bp%需求弹性是需求量的相对变化和价格的相对变化比的极限，带负号．而实际意义也是价格提高，需求量会减少．故增加的两个选项应该排除，在选项(A)和(D)中选一．又需求弹性是两个相对量的比，因此，当价格p提高1％时，需求量的减少量也应是百分比．选项(A)被排除，选项（D）正确．3. 验证法把所给选项的结果，一一代入题设条件进行验证，或验算已知条件是否满足选项，从而得到正确选项．如积分⎰x x d22＝( )(A) 22x＋C (B)Cx+-1222ln1(C) Cx+⋅-1222ln (D)Cx+222ln1因为只有xe的导数或积分才是x e(+C)，现在的指数底是“2”，故选项(A)排除．将选项(B)求导，得xx2122)2ln2(22ln1=⋅-，可见应该选 (B)．线性方程组部分的单项选择题，判断选项是不是解，用验证法也较好．单项选择题在考试中占有较大比例，也的确是，单项选择题看来很简单，只有2分，但是解题的方法很多．要求大家对单项选择题引起足够的重视．(二)填空题应试填空题也是考核同学们的基本概念、基本理论和基本计算的掌握程度．填空题的解题方式比较单纯，一般采用直接思考的方法．填空题相当一个命题，要么填条件，要么填结论，当然，也可能填写中间某个过程．要求大家记好定义、定理、公式、法则以及重要结论等．如曲线y=x3－2x+1在点(0，1)处的切线的斜率切线斜率即导数的几何意义．故先求导数，再将值代入．导数y＝3x2－2，当x=0时，y=－2．曲线y=x3－2x+1在点(0，1)处的切线的斜率是－2这是个简单计算题，当然填空题与概念密切相关．(三)计算题应试计算题是电大考试的重要题型，计算题的分数所占比重也比较大．它主要考核同学的基本的运算能力和速度．这就需要大家多做习题，提高自己的计算能力．当然，在做计算题的过程中，概念清楚、定理和公式记熟是很重要的．计算题主要集中在(1) 求逆矩阵的初等行变换法;(2) 求正态总体期望的置信区间的方法(3) 掌握用配方法化二次型为标准形的方法；(4) 概率计算 (事件的概率，随机变量取值的概率和正态分布的概率和期望、方差的计算)；(5) 矩阵的计算（加法、数乘、乘法、转置、求逆矩阵、求秩等）；(6) 求解线性方程组（线性方程组解的情况判别、求线性方程组的一般解）．我们学习了四编的内容，各编的计算题都有自己的特点和解题方法．辅教材中“跟我学解题”的[分析]、[归纳]基本上是对习题特点的分析和解题方法小结．另外，附录的“解题方法和应答分析”对解题方法做了一些归纳，大家应该认真阅读．(四)应用题应试应用题主要考核同学运用所学的概念、理论、公式和法则，分析和解决实际问题的能力．应用题主要指数理统计基础部分的应用题：如求正态总体期望的置信区间的方法，求单正态总体均值的检验方法，作单正态总体方差的检验等；应用题带有综合性，前边讲过的知识和解题方法，都应该是做应用题的前提，把它们掌握好．(五)证明题应试证明题考核同学运用概念、性质、定理及重要结论等进行论证和逻辑推理的能力．我们这课所涉及的主要证明题方面有：1. 事件独立性，随机变量期望、方差的有关证明；2. 矩阵可逆、可交换，特殊矩阵的证明；3. 线性方程组解的证明.证题方法．一般有二：其一：是验证．由计算结果，代入看是否满足等式．其实是计算题．如给定函数，验证函数的导数满足某等式其二，由已知条件出发，分析、推断，最后得到结论；或由结论入手，经过分析，运用已知条件，推出所求结论．写出证明过程．证明题常常遇见证明“充分必要条件”的问题，必要条件是某结论成立必须具备的条件，但不是充分的；充分条件是某结论的完备条件，即此条件成立，则结论必成立．如期末考试，“参加考试”是“考试通过”的必要条件，要想“考试通过”就必须参加考试，但参加考试，不一定就能通过．“得100分”是“考试通过”的充分条件．但“考试通过”不一定必须得100分．“考试通过”的充分必要条件是“得60分”．任何一门学科，解决问题的方法一般没有一成不变的固定方法．题目类型五花八门，解题方法也是各式各样．学习方法不能靠记下来，一劳永逸．而是理解实质，要掌握好各种解题方法，唯一方法是多做练习，不断总结，增强记忆．第三部分 复习重点及例题重点：掌握利用性质计算行列式的方法；熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；掌握用配方法化二次型为标准形的方法；熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式；熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差；会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法；熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法；熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验；例题:一、单项选择题1．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )． A ．()BAAB 11=- B ．()111---+=+B A B A C ．()111---=B A AB D ．1111----+=+B A B A正确答案：A2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a 正确答案：B 3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ． A ．0，2 B ．0，6 C ．0，0 D ．2，6 正确答案：B4. 设A ，B 是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的． A. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 B. )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P C. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 D. )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P正确答案：C5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）． A ．)(3)(2Y D X D - B ．)(3)(2Y D X D + C ．)(9)(4Y D X D - D ．)(9)(4Y D X D + 正确答案：D6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( )矩阵． A ．s n ⨯ B ．n s ⨯ C ．t m ⨯ D ．m t ⨯ 正确答案：B7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解．A ．213231X X + B ．213231ηη+ C ．21X X - D ．21X X + 正确答案：A8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 正确答案：C9. 下列事件运算关系正确的是（ ）．A ．AB BA B += B ．A B BA B +=C ．A B BA B +=D ．B B -=1 正确答案：A10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ ）． A ．)3,2(-N B ．)3,4(-N C ．)3,4(2-N D ．)3,2(2-N 正确答案：D11．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ ）是μ的无偏估计．A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++ C ．321535151x x x ++ D ．321515151x x x ++正确答案：C12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．A ．χ2分布 B ．t 分布 C ．指数分布 D ．正态分布 正确答案：B二、填空题1．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 ．应该填写：2,2,1,1--2．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21 ．应该填写：线性无关3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= ．应该填写：)()(B P A P -4．．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k= ． 应该填写：π45．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．应该填写：)1,0(nN6．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= ． 应该填写-567．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = ． 应该填写：28．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k ．应该填写：2≠9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量． 应该填写：310．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= ． 应该填写：011．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D ．应该填写：31 12．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 估计．应该填写：无偏三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ．解：（1）因为210110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以 2==B A AB ．（2）因为 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10011012/32/11A ． 2．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--326001130012331203313596212331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100001130012331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100000130001031 一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是自由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原方程组的一个基础解系为 { X 1，X 2 }．原方程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数． 3．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ） = 2（1－)2(Φ）＝0.045． （2）)44()(->-=>k X P k X P ＝1－)44(-≤-k X P＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk)5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk 即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．4．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm ，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）10.4，10.6，10.1，10.4 问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数n x U σμ-=～)1,0(N经计算得375.10=x ，075.0415.0==n σ， 67.1075.05.10375.10=-=-nx σμ由已知条件96.121=-αu，且2196.167.1αμσμ-=<=-nx故接受零假设，即该机工作正常.5．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ． 解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→110100121010120001110100011110010101 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．6．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→1100770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000200011002341 所以，r (4321,,,αααα) = 3．它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）．7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解．解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．8．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 （1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+=273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．9．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 （2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 10．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u ) 解：已知3=σ，n = 64，且nx u σμ-= ~ )1,0(N因为 x = 21，96.121=-αu ，且735.064396.121=⨯=-nuσα所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2121=+---nux nu x σσαα．四、证明题1．设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 证明：因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--2．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2所以，A 为可逆矩阵．3．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。
《工程数学》(概率统计)期末复习提要共12页word资料
《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：概率的主要性质是指：①对任一事件，有③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有特别地，当时有⑵条件概率：对于任意事件，若，有称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：随机变量的分布函数定义为对于离散型随机变量有对于连续型随机变量有⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为⑶正态分布的密度函数为其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为服从标准正态分布的随机变量的概率为那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有则称与相互独立 .对随机变量，有若相互独立，则有第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。
电大工程数学2009-2011期末考试试题答案
试卷代号：1080中央广播电视大学 2009 — 2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学（本）试题2010年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设A , B 都是，I 阶方阵，则下列命题正确的是 （ ）.A . /AB/ = /A//B/B . （A — B ）2= A2 一 2AB+B2 C. AB = BA D .若 AB = O ,贝U A = O 或 B = OC T£向量组-1・ 2 1 —3的秩是（X0. _ 0_3_{ 7A. 1 B . 3 C. 2 D . 43.n 元线性方程组，AX = &有解的充分必要条件是（）.A . r （A ） = r （A ; b ）B . A 不是行满秩矩阵 C. r （A ）＜n D . r （A ） = n4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都 是红球 的概率是（ ）.A. 6/25B. 310 c. 320D. 9/25设5皿宀丑是来自iE 态总体N%啲样本观（ 、是津无備估计.、填空题（每小题3分，共15分）1.设 A , B 均为 3 阶方阵，/A/ = 2, /B/ = 3，则 /一 3A'B — 1/ =2.设A 为n 阶方阵，若存在数和非零n 维向量x ,使得 ------------ 一，则称入为A的特征值.”0 1 2'3.设牖机变量X -刚口 = _________ .0. 26 5 a4. 设X 为随机变量，已知 D （X ）= 3,此时D （3X — 2）= .5. 设［是未知参数口的一个无偏估计量，则有 三、计算题（每小题16分，共64分）rl-1 2| \2-1印1.设矩阵A —275■01 1_，且有虚X — 求X 、3 -2 4X\ — 3远£ + .巧'—X r1 =1一2王］斗7丄'艺一 2上：；丄工1 = —22*求线性方程^的全罚解.工 1 一 4x24'3兀3 + 2J .\ = 12xi —4卫 十8.丁m —2T 4 =23-设 X-NXMj •试求］l>Fl5<X<<O ；(2)P(X>7k <巨知 触“ =「Mbg 〔即= 0- 977趴①(3)^6 99S7)4•据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X 〜N(32 . 5, 1. 21),今从这批砖中随机地抽取了 9块，测得抗断强度(单位：kg /cm2)的平均值为31. 12,问这批砖的抗断强 度是否合格Ka —0. 05,他帖5 —1- 96)四、证明题(本题6分)设A , B 是n 阶对称矩阵，试证： A+B 也是对称矩阵.1 -2 -I -57 一？10分由矩阵乘法和转置运算得-2・2©■ 11 -2-iT I11一:;.......................................... IMn -1 2 1 0 T1 -1 21 Q0"2 -3 5 0 1 「 —fr0 -1 1 -2 1 0 _3 -2 4 0 (1 Ii —2 -3 0 1_ D 0 I1 I三、计算题(每小题16分，本题共64分)1.解：利用初等行变换得一］CT—\-1.L 5_ 6-sj■ 1-31一］1_31一］I]—27_2 1 -2»Ifc010一］.01—4321：■ ■0 (1230)_ 2-4822j LPZ64O'~td \1-3 1—1r i r l一厂1—1r1Q 1 0一1Q00■'10f―00 220002200o 66_1p c000_方程组的一般解为卜?=如（其中◎为自由未知量）］坨=—斗令4x=o,得到方程的一个特解x°= （1 o o o）, 方程组相应的齐次方程的一般解为-r l =5卫（其中街为自由未知量）= 一H令1X4=1，得到方程的一个基础解系x1 = （5 1 — 1 1）,于是，方程组的全部解为x=x。
工程数学期末复习辅导-(5819)
X ，则下列等式中不正确的是（ 2E ( X )
2 2
） ．
1)
B ． D (2 X
1)
4D( X ) D( X )
D(X )
E ( X ) ( E( X ))
D． D ( X )
正确答案： A 二、 填空题 1．设三阶矩阵 应该填写： 2 2 ．线性方程组
A 的行列式 A
1 2
，则 A
1
=
．
AX
x1 x2 x3 x3
3 ，所以方程组有非零解．
方程组的一般解为：
，其中
x3 为自由元．
令
x3 =1 得 X 1= (1, 1, 1) ，则方程组的基础解系为
{ X 1} ．
通解为 k1X 1，其中 k1 为任意常数． 3 ．设随机变量
X ~ N ( 4 , 1) ． （ 1 ）求 P( X (1) 0. 8413, (1 .5 )
） ．
9 D (Y ) 3 D (Y )
B． 4D( X ) D ． 2D ( X )
X ~ N( ,
2
)，
2
未知，检验总体期望 B ． U 检验法 D ． F 检验法
采用（
） ．
x1
6．方程组
x2 x2 x3 x3
a1 a 2 相容的充分必要条件是 a3
B． D． ( ) ，其中
ai
0， i
1, 2, 3 ．
带的资料的不同，开卷考试允许考生携带任何资料，而半开卷考试只允许考生携带指定的资料，比如允许考生携 带一张统一印制 A4 纸，考生可以将自己对课程学习内容的总结包括重点、难点、不好记忆的公式、定理等写在
这张 A4 纸上带入考场，作为答卷的参考。 下面先给出各章的复习要求，然后针对重点内容给出一些综合练习，与大家一起做好期末复习工作。 行列式复习要求 1 ．知道 n 阶行列式的递归定义； 2．掌握利用性质计算行列式的方法； 3．知道克莱姆法则。 矩阵复习要求 1 ．理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上 了解初等矩阵的定义； 2．熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算； 3．掌握方阵乘积行列式定理； 4．理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件； 5．熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法； 6．理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法； 7 ．会分块矩阵的运算。 线性方程组复习要求 1 ．掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性 相关性； 2．会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法； 3 ．理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行 变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性； 4．熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法； 5．了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。 矩阵的特征值及二次型复习要求 1．理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法； 2．了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质； 3．知道正交矩阵的定义和性质； 4．理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法； ( 下 ) 三角矩阵、对称矩阵的定义，
工程数学期末复习指导
考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。
概率论与数理统计部分
五、随机事件与概率
考核知识点：
随机事件的概念，随机事件的关系与运算
随机事件的概率，概率的基本性质，古典概型
概率的加法公式，条件概率与乘法公式，事件的独立性，全概公式
贝努里概型
考核要求：
⑴了解随机事件、概率等概念；
⑵掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；
⑶了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；
正定矩阵的概念，正定矩阵的判定
考核要求：
⑴理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法；
⑵了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质；
⑶知道正交矩阵的定义和性质；
⑷理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法；
⑸了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。
⑷熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式；
⑸理解事件独立性概念；
⑹掌握贝努里概型。
六、随机变量的分布和数字特征
考核知识点：
随机变量的概念及分类，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量的分布函数，随机变量函数的分布
⑸熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；
⑹理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法；
⑺会分块矩阵的运算。
三、线性方程组
考核知识点：
电大《工程数学》期末复习题
《工程数学》期末复习题库工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．BA AB = B ．B A B A +=+ C ．111)(---+=+B A B A D ．111)(---=B A AB2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a3．下列命题中不正确的是（ ）． A ．A 与A '有相同的特征多项式B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量 C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）． A ． B ． C ． D ．5．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ ）．A ．55-xB ．5/15-xC ．nx /15- D ．15-x二、填空题（每小题3分，共15分）1．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 ． 2．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 3．设互不相容，且，则 ． 4．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= ．5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．三、计算题（每小题16分，共64分）1．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'． 2．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 3．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．4．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x = 2.5，求μ的置信度为99%的置信区间.(已知 576.2995.0=u )四、证明题（本题6分）4．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．工程数学（本）11春模拟试卷参考解答一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 二、填空题（每小题3分，共15分）1．1，-1，2，-2 2．3 3．0 4．np 5．)1,0(nN三、（每小题16分，共64分） 1．解：由矩阵乘法和转置运算得10011111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ………6分 利用初等行变换得10020001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1002001110101112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦即 1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦………16分 7-2．解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→120100055500555--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→120100011100000--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． ……8分令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，．方程组的导出组的一般解为： 124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，． ……13分所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数． ……16分3．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186 ……8分（2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以 28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 ……16分 4．解：已知2=σ，n = 625，且nx u σμ-= ~ )1,0(N ……5分因为 x = 2.5，01.0=α，995.021=-α，576.221=-αu206.06252576.221=⨯=-nuσα……10分所以置信度为99%的μ的置信区间为：]706.2,294.2[],[2121=+---nux nux σσαα. ……16分四、（本题6分）证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2．所以，A 为可逆矩阵． ……6分《工程数学》综合练习一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( )． A ．AB A B = B ．222()2A B A AB B -=-+ C ．AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O = 正确答案：A2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ ）． A . 1 B . 3 C . 2 D . 4正确答案： B3．n 元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．A . )()(b A r A r =B . 不是行满秩矩阵C .D . 正确答案：A4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．A . 256B . 103 C . 203 D . 259正确答案：D 5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是μ无偏估计．A . 321515151x x x ++ B . 321x x x ++C . 321535151x x x ++D . 321525252x x x ++正确答案： C6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立． A . I AA =-1 B . A A =' C . 1-='A A D . A A =-1正确答案：B7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ ）． A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B . 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 正确答案：D8．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．A .B . A O ≠C .D . A 的行向量线性相关 正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．A . ∅=AB 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=C . ∅=AB 且A B U +=D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A . XB .∑=31i iXC . ∑=-312)(31i i X μ D . ∑=-312)(31i i X X正确答案： C二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= ．应该填写：-182．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称λ为A 的特征值．应该填写：AX X λ=3．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = ．应该填写：0.34．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时．应该填写：275．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ．应该填写：ˆ()E θθ=6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ． 应该填写：87．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 应该填写：AX X λ=8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ． 应该填写：0.39．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为： （其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）3．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解： 零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。
1080【工程数学(本)】工程数学复习资料
〔06春-12春〕复习资料总结一、单项选择题〔每一小题3分，此题共15分〕1. 假如0351021011=---x ，如此=x 〔A 〕． A.3 B. 2 C.3- D.2-2. 2维向量组4321,,,αααα，如此),,,(4321ααααr 至多是〔B 〕． A 1 B 2C 3 D 43.设B A ,为n 阶矩阵，如此如下等式成立的是〔C 〕A.BA AB = B.B A AB ''=')( C.B A B A '+'='+)( D.AB AB =')(4. 假如满足〔B 〕，如此与是相互独立．A.)()()(A B P A P B P = B.)()()(B P A P AB P = C.)()()(B P A P B A P -=- D.)()()(B A P B P A P =5. 假如随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，如此等式〔D 〕成立．A.)]([)(X E X E X D -=B.22)]([)()(X E X E X D +=C.)()(2X E X D =D.22)]([)()(X E X E X D -= 6．假如是对称矩阵，如此等式〔 B 〕成立． A.IAA =-1 B.A A =' C. 1-='A A D.A A =-17．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473〔D 〕． A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B.7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C.7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D.7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8．假如〔A 〕成立，如此元线性方程组AX O =有唯一解．A. B.A O ≠ C.D.A 的行向量线性相关4. 假如条件〔 C 〕成立，如此随机事件，互为对立事件．A.∅=AB 或A B U += B.0)(=AB P 或()1P A B +=C.∅=AB 且A B U += D.0)(=AB P 且1)(=+B A P9．对来自正态总体〔未知〕的一个样本，记∑==3131i i X X ，如此如下各式中〔C 〕不是统计量． A.XB.∑=31i iX C.∑=-312)(31i i X μ D.∑=-312)(31i i X X 10．设B A ,都是n 阶方阵，如此如下命题正确的答案是( A )．A ．AB A B =B ．222()2A B A AB B -=-+C ．AB BA =D ．假如AB O =，如此A O =或B O =11．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是〔 B 〕． A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 12．n 元线性方程组有解的充分必要条件是〔 A 〕． A.)()(b A r A r = B.不是行满秩矩阵 C.D.13. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，如此两球都是红球的概率是〔D 〕． A.256B.103 C.203 D.25914．设是来自正态总体N (,)μσ2的样本，如此〔C 〕是μ无偏估计．A.321515151x x x ++ B.321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D.321525252x x x ++15．设B A ,为n 阶矩阵，如此如下等式成立的是〔 A〕．A ．BA AB = B ．B A B A +=+C ．111)(---+=+B A B AD ．111)(---=B A AB16．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是(B)，其中0≠ia ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a a C ．0321=+-a a a D ．0321=++-a a a17．如下命题中不正确的答案是〔 D 〕． A ．A 与A '有一样的特征多项式B ．假如λ是A 的特征值，如此O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量C ．假如λ=0是A 的一个特征值，如此O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量18．假如事件与互斥，如此如下等式中正确的答案是〔 A 〕．A ．B ．C ．D ．19．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，如此检验假设5:0=μH 采用统计量U =〔C 〕．A ．55-x B ．5/15-x C ．nx /15- D ．15-x二、填空题〔每一小题3分，共15分〕1.设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，如此='--11)(A B B A )(1'-．2.向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，如此_____=k -1.3. 2.0)(,8.0)(==AB P A P ，如此=-)(B A P4.随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E ．5.设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，如此~101101∑=i ix )104,(μN ．word 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，如此13()A B -'-=8．7．设A 为n 阶方阵，假如存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，如此称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．8．假如5.0)(,8.0)(==B A P A P ，如此=)(AB P ．9．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D20．10．不含未知参数的样本函数称为统计量 11．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，如此13A B -'-=-18．12．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如此a =．13．设为随机变量，3)(=X D ，此时 27．14．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，如此有ˆ()E θθ=． 15．设22112112214A x x =-+，如此0A =的根是1，-1，2，-2．16．设4元线性方程组AX =B 有解且r 〔A 〕=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的根底解系含有 3 个解向量． 17．设互不相容，且，如此0．18．设随机变量X ~ B 〔n ，p 〕，如此E 〔X 〕= np ． 19．假如样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==n i i x n x 11，如此~x )1,0(n N ．三、计算题〔每一小题16分，共64分〕 1设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求〔1〕A ，〔2〕1-A ．解：〔1〕1111021121110211423532211=---=---=---=A 〔2〕利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511即 A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215112.当取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形110121214323152110120113101132---+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥λλ→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110120113100003101210113100003λλ 由此可知当时，方程组无解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
综合练习一、单项选择题1．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．BA AB = B ．B A B A +=+ C ．111)(---+=+B A B A D ．111)(---=B A AB 正确答案：A2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a正确答案：B3．下列命题中不正确的是（ ）． A ．A 与A '有相同的特征多项式B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量 C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量 正确答案：D4．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ）． A ．P A B P A P B ()()()+=+ B ．P B P A ()()=-1 C ．P A P A B ()()= D ．P AB P A P B ()()()=正确答案：A 5．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ ）．A ．55-xB ．5/15-xC ．n x /15- D ．15-x正确答案： C6．若A 是对称矩阵，则等式（ ）成立．A . I AA =-1B . A A ='C . 1-='A AD . A A =-1 正确答案：B7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ ）． A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B . 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦D . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦正确答案：D8．若（ ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．A . r A n ()=B . A O ≠C . r A n ()<D . A 的行向量线性相关 正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件．A . ∅=AB 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=C . ∅=AB 且A B U +=D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P 正确答案：C10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A . XB .∑=31i iXC . ∑=-312)(31i i X μ D . ∑=-312)(31i i X X正确答案： C二、填空题1．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 ． 应该填写：1，-1，2，-22．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 应该填写：33．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= ．应该填写：04．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= ． 应该填写：np5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．应该填写： )1,0(nN6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ． 应该填写：87．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 应该填写：AX X λ=8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ．应该填写：0.39．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ． 应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'． 解：由矩阵乘法和转置运算得10011111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 利用初等行变换得111100132010122001111100021110011101----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ 10020001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦10020011101001112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100201010011001112 即 1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→120100055500555--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→120100011100000--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量．令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，．方程组的导出组的一般解为：124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，； 令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，．所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数．3．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186（2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以 28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 4．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x = 2.5，求μ的置信度为99%的置信区间.(已知 576.2995.0=u )解：已知2=σ，n = 625，且nx u σμ-= ~ )1,0(N因为 x = 2.5，01.0=α，995.021=-α，576.221=-αu206.06252576.221=⨯=-nuσα所以置信度为99%的μ的置信区间为： ]706.2,294.2[],[2121=+---nux nux σσαα.5．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，求B A 1-． 利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A 6．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---19102220105111021211114796371221211λλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1000010511108490110000105111021211λλ 由此可知当1≠λ时，方程组无解。
当1=λ时，方程组有解。
此时齐次方程组化为⎩⎨⎧+=--=43243151149x x x x x x分别令x x 3410==,及x x 3401==,，得齐次方程组的一个基础解系[][]'-='-=1054,0111921X X 令x x 3400==,，得非齐次方程组的一个特解[]'-=001080X由此得原方程组的全部解为X X k X k X =++01122 （其中k k 12,为任意常数） 7．设X N ~(,)34，试求：(1)P X ()<1；(2))75(<<X P ． （已知9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ）解：(1)P X P X ()()<=-<-132132 =-<-=-P X ()()3211Φ =-=-=1110841301587Φ()..(2)P X P X P X ()()()57532327321322<<=-<-<-=<-< =-=-=ΦΦ()() (21097720841301359)8．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm ，若已知这批滚珠直径的方差为206.0，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间(.).u 0975196=． 解：由于已知σ2，故选取样本函数)1,0(~N n x U σμ-=已知1.15=x ，经计算得02.0306.09==σ 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为]9,9[975.0975.0σσu x u x +-，又由已知条件96.1975.0=u ，故此置信区间为]1392.15,0608.15[ Gs2-38四、证明题1．设B A ,是n 阶对称矩阵，试证：B A +也是对称矩阵． 证明：B A ,是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 B A B A '+'='+)(已知B A ,是对称矩阵，故有B B A A ='=',，即 B A B A +='+)(由此可知B A +也是对称矩阵，证毕．2．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2所以，A 为可逆矩阵．3．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。