新北师大版高中数学必修四综合测试题(附答案)
北师大版高中数学必修四：本册综合测试【1】(含解析)
本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为( )A ．3B ．－3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知yx ＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.2．(2014·陕西文，2)函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] T ＝2π2＝π，选B.y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω>0，A >0的最小正周期为2πω. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12C ．(3,2)D ．(1,3) [答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算． BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)， 2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A.4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 [答案] C[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，故选C.6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，π2B ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫4π3，3π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，4π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，4π3 [答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π，4π3；当α∈⎣⎡⎭⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，4π3. 7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6.8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值为( )A ．32B ．3C ．3D ．2 3[答案] C[解析] 如图所示，取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →， 则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1， 可得|AC |＝|BC |·sin60°＝2×32＝3， 则CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos C ＝|CA →|2＝3.9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z .10．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ， y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________． [答案] 12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12. 12．(2014·重庆文，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.13.下图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝3sin(2x ＋π3)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．14．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β) ＝－45×45－35×⎝⎛⎭⎫－35＝－725. 15．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案]5932[解析] f (x )＋f (60°－x ) ＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知π6<α<2π3，sin(α－π3)＝m ，求tan(4π3－α)的值．[解析] ∵π6<α<2π3，∴－π6<α－π3<π3.∴cos(α－π3)＝1－m 2.∴tan(α－π3)＝sin (α－π3)cos (α－π3)＝m1－m 2. ∴tan(4π3－α)＝tan[π－(α－π3)]＝－tan(α－π3)＝－m 1－m 2.17．(本小题满分12分)OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M (2,1)或M (225，115)满足题意．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.19．(本小题满分12分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |；②|4a －2b |. (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? [解析] 由已知可得a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)①|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， 所以|a ＋b |＝4 3.②|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162，所以|4a －2b |＝16 3. (2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则 (a ＋2b )·(k a －b )＝0，所以k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 16k －16(2k －1)－2×64＝0， 故k ＝－7.20．(本小题满分13分)(2014·重庆理，17)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2. 所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12 ＝3＋158. 21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像经过怎样变化得出？ (3)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )．故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，∴f (x )－2<m <f (x )＋2，∴m >[f (x )]max －2且m <[f (x )]min ＋2， 即m >0且m <4－2，∴0<m <4－ 2.。
新教材北师大版高中数学必修四：综合能力检测(1)及答案解析
（新教材）北师大版精品数学资料第一章综合能力检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A ．45B ．35C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 由条件知：x ＝－4，y ＝3，则r ＝5，∴cos α＝x r ＝－45.要熟练掌握三角函数的定义．2．集合M ＝{x |x ＝sin n π3，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝cos n π2，n ∈Z }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{0} D ．∅ [答案] C[解析] ∵M ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }＝{－32，0，32}，N ＝{－1,0,1}， ∴M ∩N ＝{0}，应选C.3．(2014·辽宁理，9)若点A (x ，y )是600°角终边上异于原点的一点，则yx 的值是( )A ．33B ．－33C ．3D ．－ 3[答案] C[解析] 由三角函数定义知，yx＝tan600°，而tan600°＝tan240°＝tan60°＝3，∴yx ＝ 3.4．下列说法中错误的是( )A ．y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )上是减函数B ．y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数C ．y ＝cos x 在第一象限是减函数D ．y ＝sin x 和y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 [答案] C[解析] ∵y ＝cos x 的单调减区间为[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴在⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2上y ＝cos x 是减函数，但在第一象限不是减函数． 5．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A ．5π6B ．2π3C ．5π3D ．11π6[答案] D[解析] ∵sin 2π3>0，cos 2π3<0，∴点(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．又∵tan α＝cos2π3sin 2π3＝－33，∴α的最小正值为2π－16π＝116π.6．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( ) A ．y ＝4sin(4x ＋π6)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋2[答案] D[解析] 由四个选项可以看出A >0，ω>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，解得A ＝m ＝2.又周期T＝2πω＝π2，解得ω＝4，则y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.排除选项A 和B ；又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则当x ＝π3时，函数取得最值，排除选项C.7．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．23C ．－12D ．12[答案] B[解析] 考查正弦型函数的振幅、周期、初相的求法． 由图知T 2＝π3⇒T ＝23π，由2πω＝T ⇒ω＝3.∴设y ＝A cos(3x ＋φ)，当x ＝712π时，y ＝0⇒3×712π＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－9π4，当k ＝1时，φ＝－π4.∴y ＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 当x ＝π2时，y ＝－23得－23＝A ·cos ⎝⎛⎭⎫32π－π4， －22A ＝－23⇒A ＝223. ∴y ＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 当x ＝0时，f (0)＝223·cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝23，∴选B. 8．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增[答案] B[解析] 本题考查三角函数的图像平移、三角函数的单调区间． y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x ＋π3－π)＝－3sin(2x ＋π3)．2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，∴[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )是减区间，[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )是增区间．9．对于函数y ＝f (x )＝sin x ＋1sin x (0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值[答案] B[解析] 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值． 另外还可通过y ＝1＋1sin x，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )[答案] C[解析] 由∀x ∈R ，有f (x )≤|f (π6)|知，当x ＝π6时，f (x )取最值．∴f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )．又∵f (π2)>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)．∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0， ∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin(2x －5π6)．令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )． ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________；2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝________.[答案] －1 57[解析]2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1；2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×4－34×4－9＝57.12．已知函数f (x )＝a sin3x ＋b tan x ＋1满足f (5)＝7，则f (－5)＝________. [答案] －5[解析] 易知f (5)＋f (－5)＝2，∴f (－5)＝－5.13．函数y ＝－52sin(4x ＋2π3)的图像与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．[答案] (π12，0)[解析] 由4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π4－π6，k ∈Z .k ＝0时，x ＝－π6；k ＝1时，x ＝π12.所以离原点最近的点是(π12，0)．14．函数f (x )＝lg(2cos x －3)的单调增区间为____________． [答案] (2k π－π6，2k π]，(k ∈Z )[解析] 2cos x －3>0即cos x >32.由图像观察 2k π－π6<x ≤2k π，k ∈Z 时，为增函数．15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，有下列命题： (1)y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π为偶函数；(2)要得到函数g (x )＝－4sin2x 的图像，只需将f (x )的图像向右平移π3个单位长度；(3)y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π12对称；(4)y ＝f (x )在[0,2π]内的增区间为⎣⎡⎦⎤0，512π和⎣⎡⎦⎤1112π，2π.其中正确命题的序号为________． [答案] (2)(3)[解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋83π－π3＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋73π，所以y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π不是偶函数，所以(1)不正确；(2)把函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π3个单位长度，得到函数f 1(x )＝4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π3＝4sin(2x －π)＝－4sin2x ＝g (x )的图像，所以(2)正确；(3)当x ＝－π12时，f (x )取得最小值，所以(3)正确；(4)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ，代入k ＝0,1，可知(4)错误．故选(2)(3)．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设f (θ)＝2cos 3θ－cos 2(2π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－22＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，求f ⎝⎛⎭⎫π3的值．[解析] f (θ)＝2cos 3θ－cos 2θ＋cos θ－22＋2cos 2θ＋cos θ＝2(cos 3θ－1)－(cos 2θ－cos θ)2＋2cos 2θ＋cos θ＝(cos θ－1)(2cos 2θ＋cos θ＋2)2＋2cos 2θ＋cos θ＝cos θ－1.所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3－1＝12－1＝－12. 17．(本小题满分12分)设f (x )＝23cos(2x ＋π6)＋3.(1)求f (x )的最大值及单调递减区间．(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值．[解析] (1)f (x )的最大值为23＋3.令2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，∴函数f (x )的单调递减区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．(2)由f (α)＝3－23，得23cos(2α＋π6)＋3＝3－23，故cos(2α＋π6)＝－1.又由0<α<π2，得π6<2α＋π6<π＋π6，故2α＋π6＝π.解得α＝512π.从而tan 45α＝tan π3＝ 3.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的图像如图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图像的所有交点的坐标．[解析] 由图可知，函数f (x )的A ＝2，T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2， 得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，∴φ＝2n π＋π4，n ∈Z ， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2n π＋π4， 即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4当f (x )＝3，即2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝3， 即sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝32∴12x ＋π4＝2k π＋π3或12x ＋π4＝2k π＋2π3，k ∈Z ∴x ＝4k π＋π6或x ＝4k π＋5π6，k ∈Z∴所求交点的坐标为⎝⎛⎭⎫4k π＋π6，3或⎝⎛⎭⎫4k π＋5π6，3，其中k ∈Z . 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lgsin(π3－2x )．(1)求f (x )的定义域及值域； (2)求f (x )的单调增区间．[解析] (1)由sin(π3－2x )>0得sin(2x －π3)<0，∴2k π－π<2x －π3<2k π(k ∈Z )，∴2k π－2π3<2x <2k π＋π3(k ∈Z )，∴k π－π3<x <k π＋π6(k ∈Z )，即f (x )的定义域为(k π－π3，k π＋π6)(k ∈Z )．∵0<sin(π3－2x )≤1，∴f (x )≤0，即f (x )的值域为(－∞，0]． (2)∵10>1，∴求f (x )的单调增区间即求sin(π3－2x )的单调增区间，即求sin(2x －π3)的单调减区间．由⎩⎨⎧k π－π3<x <k π＋π6(k ∈Z )，2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋2π3<x <k π＋11π12(k ∈Z )．∴函数的单调增区间为(k π＋2π3，k π＋11π12)(k ∈Z )． 20．(本小题满分13分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．[解析] (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图像向左平移π12， 得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .21．(本小题满分14分)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(38π，0)．(1)求出此函数的解析式并求出此函数的单调递增区间； (2)设g (x )＝f (x ＋π8)是偶函数，证明：g (x )是偶函数．[解析] (1)由已知：T 4＝3π8－π8＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又由最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2知：A ＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，代入点⎝⎛⎭⎫π8，2，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1， ∴π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，∴|φ|<π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z 得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ， ∴函数y 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z . (2)g (x )＝f (x ＋π8)＝2sin[2(x ＋π8)＋π4]＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .∵g (－x )＝2cos(－2x )＝2cos2x ＝g (x )， 定义域为R ，∴g (x )是R 上的偶函数．。
北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案
北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】(1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ??2sin x －1>0，1－2c os x ≥0，即sin x >12，cos x ≤12，解得π6＋2k π<5<="" p="">6π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】函数f (x )有意义，则－sin x ≥0，tan x －1≥0，即sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <="" p="" π＋π2(k="" ∈z="">∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ? ????－α＋π2cos ? ??3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】直接应用诱导公式求解．【规范解答】(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ? ????－25π3＝－cos ? ????－25π3＝－cos ? ?8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ? ????3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】因为sin ? ????3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】(1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】(1)由图像知，A ＝－12－? ???－322＝12，k ＝－12＋? ???－322＝－1，T ＝2×? ????2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ? ??2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ? ????x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ? ?2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ? ????2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ? ????2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ? ?2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ? ?2x －π6的图像．【解】因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ? ??π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ? ?2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin2?x －π6＋π6＝3sin ? ????2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解．(2)先求x ∈0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ? ??2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )．∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是x ?x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间π8，34π上的最大值和最小值．【解】(1)∵f (x )＝2sin ? ?2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ? ????2x －π4在区间π8，3π8上是增函数，在区间3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又f ? ????π8＝0，f ? ??3π8＝ 2.F ? ????34π＝2sin ? ??3π2－π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝?θsin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝?θcos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．如图：由单位圆三角函数线知：M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域．【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<－1<="" p="" x="">2.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为x2π3＋2k π<="" ＝sin="">由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1，∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ? 4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】由y ＝sin ? ????4x －π3＝sin 4? ?x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．? ?k π－14，k π＋34，k ∈ZB.? ?2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．? ????k －14，k ＋34，k ∈ZD.? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】由图像知，周期T ＝2? ????54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ? ?πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<="">4，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ? ????π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6D ．10【解析】根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在? ??π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在? ????π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ? ????11x －π4，f (x )在? ????π18，3π44上单调递增，在? ??3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ? ????9x ＋π4，满足f (x )在? ????π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为? ??5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ? ???2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ? ?2x －π6，则g (x )＝5sin ? ?2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点? ????5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式。
2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《三角函数》章末综合测评及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝－6，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵－2π<－6<－3π2，∴角α在第一象限，故选A．【答案】 A2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由条件可知，tan α<0且cos α<0，∴α是第二象限角．【答案】 B3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．15B．75C ．－15D ．－75【解析】 r ＝(3a )2＋(－4a )2＝－5a ，∴sin a ＝－4a －5a ＝45，cos a ＝3a －5a ＝－35，∴sin a ＋cos a ＝45－35＝15.【答案】 A4．(2016·阜阳高一检测)已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( )【导学号：66470036】A ．π3B ．1C.2π3D ．3【解析】 因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝lr＝1.【答案】 B5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，则下列不等式中正确的是( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (1)<f (3)【解析】 ∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，∴f (1)＝3sin 5π6＝32，f (2)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝－3sin π3＝－332，f (3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π3＝－3cos π3＝－32.∴f (2)<f (3)<f (1)． 【答案】 B6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图1所示，则函数f (x )的解析式为( )图1A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3π4【解析】 由图像知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π2＝4π，∴ω＝2π4π＝12.∵函数在x ＝－π2时取到最大值，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋φ＝π2， 即φ＝34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋34π.【答案】 B7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2所示，则( )图2A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由题图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫712π－π3＝π.又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23π＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝－π6.【答案】 D8．(2016·宿州高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0，∴π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数y 的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 【答案】 B9．(2016·蜀山高一检测)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9【解析】 由题可知π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6. 【答案】 C10．(2016·合肥高一检测)函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是( )A ．(0,0)B ．(π，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0【解析】 函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(x ＋π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图像，它的一个对称中心是(π，0)．【答案】 B11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图像知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D. 【答案】 D12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列说法正确的是( )A ．该函数值域为[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当π＋2k π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0【解析】 画出函数y ＝f (x )图像如图：由图像可知，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1，A 错；当x ＝2k π或x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，f (x )取最大值1，B 错；周期T ＝5π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π4＝2π，C 错．故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π14．设f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω的值为________.【导学号：66470037】【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2，∴f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上为增函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2sin π3ω＝2，∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】 3415．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 如果两个函数的图像对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，56π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，故f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，316．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位得到函数y＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．【解析】 由题意得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx (ω>0)．∵y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上递增，且ω>0，∴－ω6π≤ωx ≤ωπ4且有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－ω6π，ωπ4⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ω6π≥－π2，ω4π≤π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤3，ω≤2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知角x 的终边过点P (1，3)．求：(1)sin(π－x )－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x 的值；(2)写出角x 的集合S . 【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)，∴r ＝|OP |＝12＋(3)2＝2，∴sin x ＝32，cos x ＝12.(1)原式＝sin x －cos x ＝3－12.(2)由sin x ＝32，cos x ＝12.若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：19．(本小题满分12分)(2016·北海高一检测)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.20．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图3所示．图3(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【解】 (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2·π12＝π6. 将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6.(2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝95，求cos α的值．【解】 (1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6.(2)列表：4x ＋π60 π2 π 3π22πx －π24π125π24 π311π24 f (x )0 3 0－3图像如图所示：(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2＝95⇒cos α＝35.22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15°C 到25°C 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C ，当x ＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C ，所以最大温差为30 °C －10°C ＝20°C.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x＝343. 故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．。
北师大版高中数学必修四本册综合测试1.docx
本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为( )A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知yx＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.2．(2015·山东理，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位[答案] B[解析] 因为y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]所以要得到y ＝sin[4(x －π12)]的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位．故选B ．3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)[答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算． 设点D 的坐标为(x ，y )， BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)， 2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x 3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A ．4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37 D ．13[答案] C[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，故选C ．6．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin x 的图像( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] C[解析] y ＝cos(x ＋π3)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝sin(x ＋5π6)，则只需将函数y ＝sin x 的图像向左平移5π6个长度单位即得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像． 7．已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] A[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由半角公式可得，cos 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A ．8．(2015·四川理，4)下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x [答案] A[解析] 对于选项A ，因为y ＝－sin 2x ，T ＝2π2＝π，且图像关于原点对称，故选A ．9．(2015·陕西理，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b | B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 [答案] B[解析] A 项，|a·b|＝|||a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，因为cos α≤1，所以|a·b|＝|||a||b|cos α≤|a||b|，故A 项不符合题意；B 项，两边平方得a 2＋b 2－2a·b ≤a 2＋b 2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b ＝|a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，当α不为0时，此式不成立，应该为|a||b|≥a·b ，故B 项符合题意；C 项，由向量的运算性质可知，(a ＋b )2＝|a ＋b |2恒成立，故C 项不符合题意；D 项，由向量的数量积运算可知，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2恒成立，故D 项不符合题意．故本题正确答案为B ．10．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z .11．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) A ．|AC →|2＝AC →·AB → B ．|BC →|2＝BA →·BC → C ．|AB →|2＝AC →·CD →D ．|CD →|2＝(AC →·AB →)·(BA →·BC →)|AB →|2[答案] C[解析] ∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →)＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2， ∴|AC |→2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立； 而AC →·AB →|AB →|·BA →·BC →|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C ．12．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ， y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________． [答案] 12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12. 14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝______. [答案] 2[解析] ∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴a ·b ＝12，|b |2＝1，∵b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b ＝12t ＋(1－t )＝1－12t ＝0，∴t ＝2.15.右图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝2sin(x ＋π6)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．16．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案]5932[解析] f (x )＋f (60°－x )＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·北京理，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．[解析] (1)f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2＝2·12sin x －2·1－cos x 2＝22sin x ＋22cos x －22＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22. f (x )的最小正周期为T ＝2π1＝2π；(2)∵－π≤x ≤0，∴－3π4≤x ＋π4≤π4，当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值为：－1－22.18．(本小题满分12分)如图所示，M ，N ，P 分别是△ABC 三边上的点，且BM →＝14BC →，CN →＝14CA →，AP →＝14AB →，设AB →＝a ，AC →＝b ，试将MN →，MP →，PN →用a ，b 表示，并计算MP →＋PN→－MN →.[解析] 由题设得AP →＝14AB →＝14a ，CN →＝14CA →＝－14AC →＝－14b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BM→＝14BC →＝14(b －a )，所以MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(b －a )－14b ＝－34a ＋12B ．同理可得MP →＝－12a －14b ，PN →＝－14a ＋34B ．将它们代入得MP →＋PN →－MN →＝0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.20．(本小题满分12分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．[解析] (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， |BC →|＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC →|＝|BC →|，得sin α＝cos α. 又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1. ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin α(sin α＋cos α)1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2.所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12＝3＋158. 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像经过怎样变化得出？ (3)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x ) ＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )．故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，∴f (x )－2<m <f (x )＋2，∴m >[f (x )]max －2且m <[f (x )]min ＋2， 即m >0且m <4－2，∴0<m <4－ 2.。
精品北师大版高中数学必修四：第一章综合测试题(含答案)
北师大版数学精品教学资料阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．(2014·山东济南一中高一月考)下列角与－750°角终边不同的是( ) A ．330° B ．－30° C ．680° D ．－1 110°[答案] C[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)， 330°＝360°＋(－30°)， 680°＝2×360°＋(－40°)， －1 110°＝－3×360°＋(－30)°， 故680°角与－750°角终边不同.2．(2014·山东德州高一期末测试)sin(－116π)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32 [答案] B[解析] sin(－11π6)＝－sin 11π6＝－sin(2π－π6)＝sin π6＝12.3．(2014·浙江嘉兴一中高一月考)下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5B ．sin π5>cos(－π7)C ．sin(π－1)<sin1°D ．cos 7π5<cos(－2π5)[答案] D[解析] tan 13π4＝tan(3π＋π4)＝tan π4＝1，tan 13π5＝tan(2π＋3π5)＝tan 3π5<0，∴tan 13π4>tan 13π5，排除A ；cos(－π7)＝cos π7，∵π5＋π7<π2，∴π5<π2－π7， ∴sin π5<sin(π2－π7)＝cos π7，排除B ；sin(π－1)＝sin1>sin1°，排除C ；cos 7π5＝cos(π＋2π5)＝－cos 2π5<0，cos(－2π5)＝cos 2π5>0，故选D.4．若α是钝角，则θ＝k π＋α，k ∈Z 是( ) A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是钝角，∴π2<α<π，∵θ＝k π＋α(k ∈Z )，∴令k ＝0，则θ＝α是第二象限角，令k ＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D. 5．下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以①错．sin π2＝1，但π2不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义cos α＝x x 2＋y2，所以③错，故选D.6．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2[答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限． 当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.7．(2014·河南洛阳市八中高一月考)为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x的图象( )A ．向左平移5π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝sin(x ＋5π6)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝cos(x ＋π3)，故选A.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0，∴8π3＋φ＝k π＋π2.(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．|φ|的最小值为π6.9．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)函数y ＝cos(x －π2)在下面某个区间上是减函数，这个区间为( )A ．[0，π]B ．[－π2，π2]C ．[π2，π]D ．[0，π4][答案] C[解析] y ＝cos(x －π2)＝cos(π2－x )＝sin x ，故选C.10．函数y ＝|sin(13x －π4)|的最小正周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.11．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2，又f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．12．如果函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a 在区间[－π3，5π6]的最小值为3，则a 的值为( )A ．3＋12B ．32C ．2＋32D ．3－12[答案] A[解析] ∵－π3≤x ≤5π6，∴0≤x ＋π3≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴f (x )的最小值为－12＋32＋a ，∴－12＋32＋a ＝3，∴a ＝3＋12.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2014·江西九江外国语高一月考)点P (－1,2)在角α的终边上，则tan αcos 2α＝________. [答案] －10[解析] 由三角函数的定义知，sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，∴tan α＝－2.∴tan αcos 2α＝－215＝－10. 14．cos π3－tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________. [答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 15．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间． 故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数； ③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 18．(本小题满分12分)是否存在实数m ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1成立，且x 是第二象限角？若存在，请求出实数m ；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在m ∈R ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1，∵x 是第二象限角，∴sin x >0，cos x <0，∴0<m <1.由sin 2x ＋cos 2x ＝1(1－m )2＋m 2(m －1)2＝1，解得m ＝0，这时sin x ＝1，cos x ＝0，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，不是第二象限角，故m 不存在．19．(本小题满分12分)已知sin α、cos α是关于x 的方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求1sin α＋1cos α的值． [解析] ∵sin α、cos α是方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根， ∴sin α＋cos α＝－3m4，sin αcos α＝2m ＋18.∴(－3m 4)2－2×2m ＋18＝1，整理得 9m 2－8m －20＝0，即(9m ＋10)(m －2)＝0. ∴m ＝－109或m ＝2.又sin α、cos α为实根，∴Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0.即9m 2－16m －8≥0，∴m ＝2不合题意，舍去． 故m ＝－109.∴1sin α＋1cos α＝sin α＋cos αsin αcos α＝－3m42m ＋18＝－6m 2m ＋1＝－6×(－109)2×(－109)＋1＝－6011.20．(本小题满分12分)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求函数f (x )的解析式．[解析] 由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ， ∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z . 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2cos(2x －π4)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)∵f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为单调递增函数，在区间[π8，π2]上为单调递减函数，且f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时，x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝m 在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)观察图象，得A ＝2，T ＝(11π12－π6)×43＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数图象经过点(π6，2)，∴2sin(2×π6＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin(2x ＋π6)与g (x )＝m 在(0，π)内的交点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin(2x ＋π6)和y ＝m (m ∈R )的图象如图所示．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.。
北师大版高中数学必修四模块综合测试卷.docx
模块综合测试卷时间：90分钟 分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知角α的终边上有一点M (11，－5)，则sin α等于( )A ．－57B ．－56C ．－58D ．－115答案：B解析：∵|OM |＝(11)2＋(－5)2＝6，∴sin α＝－56. 2．若向量MN →＝(－1,3)，NP →＝(3，t )，且MN →∥NP →，则MP →等于( )A ．(1,3)B ．(2，－6)C ．(－3,2)D ．(3,2)答案：B解析：∵MN →∥NP →，∴－t －9＝0，∴t ＝－9，NP →＝(3，－9)，∴MP →＝MN →＋NP →＝(2，－6)．3．下列函数中，周期是π2的偶函数是( ) A ．y ＝sin4x B ．y ＝cos 22x －sin 22xC ．y ＝tan2xD ．y ＝cos2x答案：B解析：A 选项中y ＝sin4x 的周期是π2，但是是奇函数．B 选项中y ＝cos 22x －sin 22x ＝cos4x ，是偶函数，且周期T ＝π2.C 选项中y ＝tan2x 的周期是π2，但是是奇函数．D 选项中y ＝cos2x 是偶函数，但周期是π.4．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则x 的值为( )A ．6B ．－6C ．－83 D.83答案：A解析：2x －12＝0 ∴x ＝6，故选A.5．已知tan α2＝3，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.415 D ．－35答案：B解析：将cos α表示成tan α2的关系式，代入求值． cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－321＋32＝－45. 6．在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，则sin B 等于( )A.53B.32C.23D.12答案：D解析：∵在△ABC 中，BA →＝(－3，1)，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－232×2＝－32，∴sin B ＝12. 7．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)等于( )A ．－8 B.92C ．－92D ．8 答案：C解析：(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22，由e 1、e 2为单位向量知|e 2|2＝|e 1|2＝1，e 1·e 2＝12， ∴原式＝－6＋7×12－2＝－92.故选C. 8．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin2x －2B ．y ＝2cos3x －1C ．y ＝sin(2x －π5)－1 D ．y ＝1－sin(2x －π5) 答案：D解析：把x ＝π10，y ＝1；x ＝7π20，y ＝0代入检验知y ＝1－sin(2x －π5)． 9．若函数y ＝f (x )的图像和函数y ＝sin(x ＋π4)的图像关于P (π2，0)对称，则f (x )解析式为( )A ．f (x )＝sin(x －π4) B ．f (x )＝－sin(x －π4) C ．f (x )＝－cos(x ＋π4)D ．f (x )＝cos(x －π4) 答案：B解析：设函数y ＝f (x )的图像上任意点为(x ，y )，由对称性可得：－y ＝f (π－x )，y ＝－f (π－x )＝－sin(π－x ＋π4)＝－sin(x －π4)． 10．已知α、β∈(0，π2)，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( ) A.14 B.34C.3 24D.32答案：B解析：因为1tan β＋4tan β≥4， 所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝3tan β1＋4tan 2β＝31tan β＋4tan β≤34， 所以当且仅当tan β＝12时，等号成立． 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．设向量a ，b 满足|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________. 答案：1解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋3＋b 2＝8，∴|b |＝1.12．函数y ＝2sin x cos x －1(x ∈R )的值域是______．答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．13．给出下列命题：(1)f (x )＝－2cos(72π－2x )是奇函数； (2)若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β；(3)x ＝－38π是函数y ＝3sin(2x －34π)的图像的一条对称轴； (4)已知函数f (x )＝3sin 2π2x ＋1，使f (x ＋c )＝f (x )对任意x ∈R 都成立的正整数c 的最小值是2.其中正确命题的序号是________．答案：(1)(3)(4)解析：必须逐个解决才能得出正确答案．(1)f (x )＝－2cos(72π－2x )＝2sin2x 是奇函数，∴(1)正确． (2)α＝30°，β＝－300°时，α＞β，但tan α＜tan β，∴(2)错误．(3)将x ＝－38π代入y ＝3sin(2x －34π)后，y 取最大值3.∴(3)正确． (4)f (x )＝3×1－cosπx 2＋1＝52－32cosπx .f (x )的最小正周期是2，而f (x ＋c )＝f (x )对任意x ∈R 都成立，则说明正整数c 是f (x )的周期，∴c 的最小值是2.∴(4)正确．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值． 解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α) ＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34. 15．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个实根，且α，β∈(π2，3π2)，求α＋β的值．解：由于tan α，tan β是方程x 2＋3 3x ＋4＝0的两个实根，于是⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－3 3 ①tan α·tan β＝4 ② ∵α，β∈(π2，3π2)，由②知tan α与tan β同号，结合①知tan α<0，tan β<0， ∴π2<α<π，π2<β<π， ∴π<α＋β<2π而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3 31－4＝3，∴α＋β＝4π3. 16．已知OA →＝(－1,1)，OB →＝(0，－1)，OC →＝(1，m )(m ∈R )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值；(2)证明：对任意实数m ，恒有CA →·CB →≥1成立．解：(1)CA →＝(－2,1－m )，AB →＝(1，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴－2＝1－m －2，∴m ＝－3.(2)∵CA →＝(－2,1－m )，CB →＝(－1，－1－m )，∴CA →·CB →＝2－(1－m 2)＝m 2＋1≥1，∴恒有CA →·CB →≥1成立．17．已知cos x ＋cos y ＝13，求cos x －sin 2y 的最大值和最小值． 解：∵cos y ＝13－cos x ， cos x ＝13－cos y ≥13－1， ∴－23≤cos x ≤1， 由cos x －sin 2y ＝cos x －(1－cos 2y )＝cos x ＋(13－cos x )2－1 ＝cos 2x ＋13cos x －89＝(cos x ＋16)2－1112. ∴当cos x ＝－16时，cos x －sin 2y 的最小值为－1112；当cos x ＝1时，cos x －sin 2y 的最大值为49. 18．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π4个单位后，得到函数y ＝g (x )的图像，求方程g (x )＝1在x ∈[0，π]上的解集．解：(1)f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得：k π－3π8≤x ≤k π＋π8， ∴f (x )的单调递增区间是[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )． (2)由已知，g (x )＝2sin(2x －π4)＋1，由g (x )＝1，得2sin(2x －π4)＝0， ∴x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，∵x ∈[0，π]，∴x ＝π8或5π8，∴方程的解集为{π8，5π8}．。
北师大版高中数学必修四本册综合测试2.docx
本册综合测试二本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝cos x 3＋cos x 的定义域是( )A ．RB ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π2，k ∈Z }[答案] A[解析] 要使函数有意义，则需3＋cos x >0， 又因为－1≤cos x ≤1，显然3＋cos x >0，所以x ∈R .2．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( )A ．－6B ．6C ．－145D ．145[答案] D[解析] a ·b ＝1×2×cos60°＝1，∵c ⊥d ，∴c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －b )＝2k a 2－2a ·b ＋3k a ·b －3b 2＝2k －2＋3k －12＝0. ∴k ＝145.3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．3＋1D ．3＋2[答案] B[解析] 因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2[答案] B[解析] 因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝－3，2λ1＋3λ2＝－4，解得λ1＝1，λ2＝－2.5．下列函数中，周期为1的奇函数是( ) A ．y ＝1－2sin 2πx B ．y ＝sin(2πx ＋π3)C ．y ＝tan π2xD ．y ＝sinπx cosπx [答案] D[解析] 选项A 中函数y ＝cos2πx 为偶函数，排除选项A ； 选项B 中函数为非奇非偶函数，排除选项B ； 选项C 中函数的周期为2，排除选项C ； D 中函数y ＝12sin2πx 周期为1，且为奇函数．6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，π2B ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫4π3，3π2 C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，4π3 D ．⎝⎛⎭⎫π3，4π3[答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π，4π3；当α∈⎣⎡⎭⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，4π3.另解：sin α－3cos α，即sin(α－π3)>0，∴0<α－π3<π，即π3<α<π4，故选D ．7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6. 8.3－sin70°2－cos 210°＝( )A ．12B ．22C ．2D ．32 [答案] C[解析] 原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－sin70°)3－cos20°＝2(3－cos20°)3－cos20°＝2.9．(2015·四川理，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[答案] C[解析] AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×36－9×16)＝9，选C ．10.如图所示的半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点B 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] ∵1min 旋转4圈，∴1圈需14min ，即T ＝604＝15(s)．又∵T ＝2πω，∴2πω＝604＝15，∴ω＝2π15.又∵P 到水面的最大距离为5 m ， ∴函数最大值为5 m ，故A ＝3.11．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③[答案] C[解析] 本题考查三角函数的奇偶性． ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π，②y ＝|cos x |由图像可知T ＝π， ③y ＝cos(2x ＋π6)，T ＝2π2＝π，④y ＝tan(2x －π4)，T ＝π2.故选C ．12．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增[答案] A[解析] 本题主要考查三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．依题意：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，又T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π4)又f (x )为偶函数，∴φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4.又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .又y ＝cos x 在x ∈[0，π)单调递减，则由0<2x <π得0<x <π2.即f (x )＝2cos2x 在(0，π2)单调递减，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. [答案] 10[解析] ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.14．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________． [答案] 78[解析] 由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，设∠BAD ＝θ，∵AB ＝4BD ，∴sin θ＝14，故cos ∠BAC ＝cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(14)2＝78.15．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β) ＝－45×45－35×⎝⎛⎭⎫－35＝－725. 16．已知函数f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x5(x ∈R )，给出以下命题：①函数f (x )的最大值是2； ②周期是5π2；③函数f (x )的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是5π2；④对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )成立； ⑤点(15π8，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心．其中正确命题的序号是________． [答案] ③⑤[解析] f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x 5＝2sin(2x 5＋π4)，则函数f (x )的最大值是2，所以①不正确；周期T ＝2π25＝5π，所以②不正确；函数f (x )的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是12T ＝5π2，所以③正确；令2x 5＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，不能得函数f (x )的图像中有一条对称轴是直线x ＝5π2，则对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )不成立，所以④不正确；f (15π8)＝2sin(25×15π8＋π4)＝2sinπ＝0，所以⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin x ＝513，x ∈(π2，π)，求cos2x 和tan(x ＋π4)的值．[解析] cos2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×(513)2＝119169.因为sin x ＝513，x ∈(π2，π)，所以cos x ＝－1－(513)2＝－1213.tan x ＝sin x cos x ＝－512.所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝717.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． [解析] (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.19．(本小题满分12分)(2015·湖北文，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图像，求y ＝g (x )的图像离原点O 最近的对称中心．[解析] (1)根据表中已知数据可得：A ＝5，π3ω＋φ＝π2，5π6ω＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．[解析] (1)向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)，当a 与b 共线时，－sin x ＝32cos x ，即tan x ＝－32.2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x tan 2x ＋1＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． 因为－π2≤x ≤0，所以－3π4≤2x ＋π4≤π4，所以－1≤sin(2x ＋π4)≤22.所以f (x )在[－π2，0]上的值域为[－22，12]．21．(本小题满分12分)(2014·山东理，16)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，设函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．[解析] (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得 k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(x －π3)＋2sin(3π2－x )．(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos(2x －π3)的值．[解析] f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x ＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)．(1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为[2k π＋2π3，2k π＋5π3](k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋2π3，k ∈Z }． (3)f (x )＝65即2sin(x －π6)＝65，∴sin(x －π6)＝35.∴cos(2x －π3)＝1－2sin 2(x －π6)＝1－2×(35)2＝725.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 3 页 新北师大版高中数学必修四综合测试题 班级 姓名 学号 得分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若sin θ·tan θ>0,则θ所在的的象限是 ( )
A ．二、四
B ．一、二
C ．一、四
D ．二、三
2．如果cos α=有意义，那么m 的取值范围是 （ ） A ．m <4 B ．m =4 C ．m >4 D ．m ≠4
3．函数y =2-sin 2x 是 （ ）
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数
4．函数y =3sin x +2cos x 的最小值是 （ ）
A ．0
B ．-3
C ．-5
D ．-
5．设k ∈Z ，函数y =sin(+)sin(-)的单调递增区间为 （ ） A ．[(2k +1)π,2(k +1)π] B ．[(k +)π,(k +1)π] C ．[kπ,(k +) π] D ．[2kπ, (2k +1)π]
6．已知tan α,tan β是方程x 2+3x +4=0的两根,且<α<,<β<,则α+β等于 （ ） A ． B ． C ．或 D ．-或 7．要得到函数y =sin （2x -
)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象 ( ) A ．向右平移 B ．向右平移 C ．向左平移 D ．向左平移 8．已知|a |=,|b |=1, a ·b =-9,则a 与b 的夹角是 （ ）
A ．300
B ．600
C ．1200
D ．1500
9． 设a ,b 是两个非零向量，则下列说法中正确的是 （ ）
A ．a ⊥b 与 a ·b =0 是一致的
B ．a ·b =|a |·|b |
C ．|a |>|b |与 a >b =0 是一致的
D ．a ·b = -|a |·|b | 10．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则等于( )
A ．
B ．-
C ．
D ． 11．设i =(1,0),j =(0,1),a =2i +3j ,b =k i -4j ,若a ⊥b ，则实数k 的值为 （ ）
A ．-6
B ．-3
C ．3
D ．6
12.已知△ABC 的顶点A (2,3)和重心G 的坐标为(2,-1),则BC 边上的中点坐标为 （ ）
A ．(2,-9)
B ．(2,-5)
C ．(2,-3)
D ．(2,0)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 44m m
+134π2x 4π2
x 121232π-
2π2π-2π23π-3π3π23π-3
π23π3π3π6π3π6
π63OA BC AB ++CD CO DA CO A B O D
C。