物理与数学
物理学与数学的关系
物理学与数学的关系勤于思考的学生经常问：牛顿力学基本定律做出科学有力的系统论述的代表作是《自然哲学的数学原理》，怎么不是物理学原理呢这个问题的实质就是物理学与数学的关系问题。
真正弄清两者的关系，不仅对物理研究、物理教学有重要意义，而且对数学教学、数学研究同样有重要意义。
物理学发展的历史和现状表明：数学是物理学理论的表述形式，正如物理学伽利略所说，自然界这本大书是用数学语言写成的。
同样，物理学又促进数学的发展，正如数学家彭加莱所说，“数学离开了物理就会步入歧途，物理学家不仅迫使人们面临大量的数学问题，而且能影响我们朝着梦想不到的方向前进。
”他还说：“物理科学不仅给我们（数学家）求解问题的机会，而且还帮助我们发现解决它们的方法。
”杨振宁曾说，数学和物理学像一对“对生”的树叶，它们只有在基部有很小的共有部分，多数部分则是相互分离的。
1物理学的发展依赖于数学这里，先从物理学发展的历史和现状，来谈谈数学对物理学发展的巨大作用。
1.1数学是物理学的表述形式。
数学高度的抽象性，使它能够概括物理运动的所有空间形式和一切量的关系。
数学中多维和无限的空间是与物理系统中的自由度相联系的，具有n个自由度的物理系统的状态，可以看作是n维空间中的点，用几何学的语言来说，物理系统的状态随时间的变化，就可以看成是这n维空间中点的位置的变化，只要定义出这n维空间中表达系统的运动轨迹，就能知道系统在各个时间的状态，从而对这个系统有足够的了解。
例如，在量子力学中，物质在某一时刻的状态，可以用Hilbert（希尔伯特）空间（更普遍地说是定义了内积的复线性空间）的元中来表示，力学量（物理量）可以用这个空间定义的Hermite（哈密顿）算符来表示。
此处所讲的希尔伯特大空间，它就是N维度坐标构成的抽象空间。
关于量的关系，无论是简单还是复杂的物理现象，都有各种各样的特征和因素，它们具有一定的量，都可以用数学的形式——参数表示出来，往往用若干个参数就可以表示一个物理现象在一定条件下的状态。
数学与物理学的相互影响
数学与物理学的相互影响数学和物理学是两门紧密联系的科学学科，它们之间存在着深刻的相互影响。
数学作为一门基础学科，为物理学提供了必要的工具和语言，而物理学则为数学提供了实际应用的场景和丰富的问题。
本文将探讨数学与物理学的相互关系，以及它们在科学研究和技术发展中的重要性。
一、数学对物理学的影响数学是物理学的基础，它为物理学提供了精确的描述和推理的工具。
数学的符号语言和严密的逻辑思维为物理学的表达和证明提供了基础。
首先，数学中的代数、几何和分析等分支学科为物理学的数学模型提供了建立和求解的方法。
例如，在力学中，我们可以利用微积分的方法来描述和解决物体的运动问题。
在电磁学中，我们可以运用向量和微分方程等数学工具来研究电磁场的分布和变化。
数学的方法和工具使得物理学能够更加准确和全面地描述自然现象。
其次，数学的推理和证明方法为物理学建立理论模型和解决问题提供了指导。
数学中的严密证明和逻辑推理的思维方式使得物理学家能够建立起具有内在一致性和逻辑性的理论体系。
例如，牛顿力学的公理化体系就是基于数学的推理和证明建立起来的。
数学不仅帮助物理学家构建了体系，还为他们提供了解决实际问题的方法和策略。
最后，数学在物理学研究中的应用也是不可忽视的。
数学家们在解决数学难题的过程中，常常需要借助物理学中的实例和问题来进行研究。
很多数学问题的解决方法和结论都得益于物理学家们的启发。
物理学中的实际问题也常常需要依靠数学的分析和计算来求解。
例如，微分方程在物理学中的应用非常广泛，它们不仅用于描述物体的运动，还能用于研究电磁场、热传导等现象。
因此，数学与物理学的交叉研究不断推动着两门学科的发展。
二、物理学对数学的影响物理学作为应用学科，为数学提供了实际问题和应用场景。
数学家们常常受到物理学实际问题的启发，开展相关的研究和推理。
物理学中的问题往往需要借助数学来求解，这推动了数学理论的发展和创新。
物理学中丰富的问题和实例为数学家们提供了许多有趣和重要的研究课题。
掌握数学数学与物理学习的密切联系
掌握数学数学与物理学习的密切联系数学和物理学是两门紧密联系的学科，它们互相支持和补充，为学习者提供了丰富的知识和解决问题的能力。
掌握数学对于物理学的学习是至关重要的，而物理学中也离不开数学的运用。
本文将探讨数学与物理学习之间的密切联系，并说明它们如何相互促进和补充。
首先，数学为物理学的学习提供了必要的工具。
物理学是研究物质、能量、运动和力量等自然现象的科学，而数学则是一种用来描述和解释这些现象的语言。
在物理学中，我们需要使用数学的概念和方法来建立模型、推导公式、解决方程等。
例如，牛顿力学中的运动方程就是基于数学的二阶微分方程建立的，而静电学中的库仑定律则是基于数学的向量运算得出的。
因此，掌握数学是理解和应用物理学中的基本原理和公式的前提。
另外，物理学的问题也能够促使数学的发展。
物理学中的问题往往需要运用更高级的数学工具和方法来解决。
例如，微积分在物理学中的应用非常广泛，它能够描述连续系统的变化和运动。
通过解决物理学中的实际问题，数学家们推动了微积分等数学学科的发展。
同样地，物理学中的矩阵论、波动方程等数学工具也在解决实际问题的过程中得到了发展和完善。
此外，数学和物理学的学习相互促进，提高了解决问题的能力。
数学强调逻辑思维和抽象推理，培养了学习者的分析和解决问题的能力。
而物理学则注重实践和实验，培养了学习者的观察和实验设计的能力。
通过学习数学，学习者能够提高逻辑思维和数学推理能力，从而更好地理解和应用物理学中的概念和原理。
反过来，通过学习物理学，学习者能够将数学的知识应用于实际问题的解决中，加深对数学的理解和应用能力。
因此，数学和物理学的学习相辅相成，相互促进，提高了学习者的整体学习能力。
综上所述，数学与物理学习之间存在着密切的联系。
数学为物理学的学习提供了必要的工具和方法，物理学的问题也推动了数学的发展。
同时，数学和物理学的学习相互促进，提高了学习者解决问题的能力。
因此，我们应该充分认识到数学与物理学习之间的联系，合理安排学习时间和方法，使两门学科相互促进，提高自己的学习效果和能力。
物理和数学的关系
物理和数学的关系
物理和数学是两门紧密相关的学科，它们共同探究了自然界的规律和现象。
数学是物理学的基础，物理学则是数学的应用。
物理学通过实验和观察来研究物质的运动、能量、力学等方面，而数学则为物理学提供了一套精确的数学语言和工具，以便研究和解释物理学中的各种现象和规律。
数学和物理学的联系和依存关系非常密切。
物理学在研究过程中需要用到各种数学工具和方法，如微积分、线性代数、概率论等。
同时，物理学也为数学提供了大量的实际问题和应用场景，这些问题和场景激发了数学家们的思维和创造力，推动了数学的发展。
数学和物理学的交叉研究领域也非常广泛，比如数学物理学、统计物理学、物理数学等等。
这些交叉研究领域探索了数学和物理学之间的深层次联系，如拓扑相变、量子场论、广义相对论等。
这些领域的研究成果不仅推动了数学和物理学的发展，也为其他学科的研究提供了新的思路和方法。
总之，物理学和数学的关系是一种相互依存、相互促进的关系。
它们的联系和交叉研究不仅推动了两个学科的发展，也为人类探索自然界提供了更为深刻的认识和理解。
数学在数学物理中的应用
数学在数学物理中的应用数学和物理是两门密切相关的学科，它们相互渗透、相互促进，数学在物理学中有着广泛而重要的应用。
本文将探讨数学在数学物理中的应用，并介绍其中一些典型的例子。
一、微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个分支，也是物理学的基础。
微积分的应用之一是求解物理学中的各种变化率问题。
例如，对于运动物体的速度、加速度等参数的求解，就需要用到微积分中的导数和积分。
以匀速运动为例，假设一个物体在t时刻的位置为x(t)，那么物体的速度可以表示为v(t) = dx(t)/dt。
通过对这个表达式求导可以得到加速度a(t) = dv(t)/dt。
因此，通过微积分的方法，我们可以计算出物体在任意时刻的速度和加速度。
二、线性代数在物理学中的应用线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性变换等概念。
在物理学中，线性代数被广泛应用于描述物理现象和求解问题。
以矩阵运算为例，矩阵是线性代数中的重要概念，在物理学中经常用于描述多维空间的变换和方程组的求解。
例如，我们可以通过线性代数的方法求解多元线性方程组，进而解决物理学中的各种问题。
三、微分方程在物理学中的应用微分方程是数学的一个分支，主要用于描述变化率和变化关系。
在物理学中，微分方程被广泛运用于描述物理现象和建立物理模型。
以牛顿第二定律为例，它描述了物体受力的变化与物体加速度之间的关系：F = ma，其中F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
如果我们将物体所受的外力和其他参数都确定下来，那么根据这个微分方程，我们就可以求解出物体的加速度，从而进一步得到物体的运动轨迹和速度等信息。
四、概率论与统计学在物理学中的应用概率论与统计学是数学的一个分支，主要研究随机事件和统计规律。
在物理学中，概率论与统计学被广泛应用于描述随机现象和分析实验数据。
以量子力学为例，量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，其中的波函数描述了微观粒子的状态。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示粒子在某个状态下的概率分布。
一物理学与数学的关系
一、物理学与数学的关系现代科学技术体系中最基础的知识有两门：一门是物理，它研究的对象是客观世界的物质及物质有运动规律一门是数学，它培养人们的思维、推理和运算能力。
至于其他学科：如地球学、天文学、化学、生物学都离不开这两门基础的知识。
物理和数学，既紧密联系，又互相促进，所以有时干脆简称“数理”学科。
这两门学科之所以紧密联系的主要原因，有如下两点：一、数学领域内的许多发现和突破经常是由于物理学的需要而引起的。
反之，物理学得到的结果，又往往是数学概括和抽象的现实材料。
例如，在研究天体运动规律时，由于行星的运动既不是匀速的，也不是匀变速的，所以实行数学就无法来描述这种运动中的时间、位置和速度的复杂关系。
为了解决这种矛盾，就要求数学相应地提出新的概念和方法。
正是这样的历史条件下，开普勒、伽利略、笛卡儿等人对新的数学方法进行了研究。
1637年，笛卡儿发表了《几何学》一书，他把变量引进了数学，从而奠定了解析几何的基础。
该书把描述运动函数关系和几何中的曲线问题的研究相结合起来，这样点的运动就表现为两个变量x和y的依存关系。
由于变量的引进，数学便突破了常量数学的界限，因而也是数学这一学科发生了根本的变革。
接着十七世纪的后半叶，牛顿和莱不尼兹又各自独立地建立了作为变量数学中的主要部分的微分学和积分学。
从而，使过去用特殊的方法和技巧才能解决的一些物理问题获得一般性的解决方法。
又如，从单变数到多变数的研究，也是因为物理世界中所遇到的许多数学问题都是三维空间引起的。
力学中的基本概念（力矩、功、应力，形变等）的概括，构成了矢量分析和张量分析的现实基础。
二、数学在探索和表达物理规律中起着十分重要作用，推动了物理学的发展。
数学是物理规律和理论的基本表达形式，每种成熟的物理学理论的主要概念应当经过数学的加工，具有自己精确的数学公式，它们之间的联系用数学方程来表示。
这种方程式在古典力学中是牛顿方程式，在电动力学中是麦克斯韦方程式；在量子力学中是薛定谔方程式和德布罗意方程式。
物理学与数学的关系
数学是数学，
物理是物理，
但物理可以通过数学的抽象而受益， 而数学则可通过物理的见识而受益
——莫尔斯
高数
数与算
三角函
数
数
几何
代数
数学物 理方法
数学被认为是一切科学的基础。但是“数学是自然科学吗？”
显然答案是否定的 。然而，科学中的很多东西往往被人们主观 意识决定或认为是当然事，殊不知很多事情恰恰不是我们想象 的那样。数学也被人们想当然地认为是自然科学，并认为数学 描述的就是真实的客观世界。数学是能描述世界，但是数学也 有不能描述客观世界的地方。数学不是万能的，数学只是一个 工具，度量，计算和逻辑推理的工具。很多数学的东西，在现
参考文献：
[1] 杨振宁．杨振宁文集[M]．上海：华东师范大学出版社，1998． [2] 王晓聆，王研．数学与物理学中的美学问题[J]．山东医科大学(社会科学版)，1998. [3] 厚字德，马国芳．物理学与数学[J]．现代物理知识(增刊)，1996． [4] 张莫宙．20世纪数学经纬FM]．华东师范大学出版社．2002. [5] 胡显同．物理学与数学[J]．零陵师专学报(自然科学版) [6] B格林．宇宙的琴弦[M]．李泳译．湖南科学技术出版杜，2002. [7] C23E A艾伯特．近代物理科学的形而上学基础CM]．成都：四川教育出版社，1994-71．
实世界是找不着对应物的。下面，我们从数学的各个领域论
证一下。
数与算术
算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数 的四则运算。自然界根本不存在数。数是因为计算 的需要而产生的，在数学中的数，要求没有个体 差异，在计数的个体中，个体是全同的，这是 对个体必要的理想化和抽象。宏观世界 根本不存在全同的个体系统，即， 自然数是对个体理想化的抽象。 除自然数的其他数是 自然数间的增加， 减少和比例关系。
数学在物理学中的重要性
数学在物理学中的重要性数学和物理学是两门紧密相关的学科，它们之间有着深刻的互补关系。
数学作为一门抽象的学科，提供了一种精确的语言和工具，使得物理学家能够描述和研究自然界的规律。
在物理学的各个领域中，数学都发挥着重要的作用。
一、数学在物理学模型的建立中的应用在物理学中，建立模型是研究自然规律的关键一步。
而数学提供了丰富的工具和方法来描述和分析这些模型。
例如，微积分和微分方程等数学工具在物理学中的运用极为广泛。
它们能够准确描述物质的运动、力的作用以及能量的转化等过程。
通过建立相应的微分方程模型，物理学家可以预测物理系统的行为，并进一步研究其性质和特征。
二、数学在物理学定律的推导中的应用物理学中的定律是描述自然界中物质和能量变化规律的数学表达式。
在推导这些定律时，数学的逻辑性和严密性发挥了关键作用。
例如，牛顿的运动定律中的力学公式，利用了向量的概念来描述物体的位移、速度和加速度。
而这些向量运算的推导正是基于数学的数值和运算规则。
通过数学的严密证明，物理学家能够确保这些定律的正确性，并在实际应用中获得准确的结果和预测。
三、数学在物理学实验和观测数据的分析中的应用物理学是一门实验科学，实验数据和观测结果是验证理论和推导公式的重要依据。
数学在实验数据的分析中起着至关重要的作用。
例如，在统计物理学中，数学的概率论和统计学方法被广泛应用于对实验数据的处理和分析。
通过数学统计的方法，研究者可以对数据进行建模和拟合，进而得到物理系统的参数和相关性。
这些统计结果不仅能够验证物理理论的准确性，还能够为进一步研究提供指导和线索。
四、数学在物理学中的创新和发展中的应用数学在物理学的发展中起到了促进和推动的作用。
物理学的发展往往需要数学的新理论和方法的引导。
例如，爱因斯坦的相对论就是基于数学的非欧几何理论发展起来的。
当然，物理学的发展也反过来促进了数学的发展。
物理学中的新问题和挑战往往需要数学家提供新的数学理论和方法，从而推动数学的创新。
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• 2．甲、乙两辆汽车在平直的公路上做直线 运动，
t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述
两车运动的v－t图中 ，直线a、b分别描述了甲、
乙两车在0～20 s的运动情况．关于两车之间的位
置关系， 下列说法正确的是 （ ）A. 在
0~10 s
B. 在10 s~20 s内两车
C. 在t=10 s
D. 在t=20 s
a c
b
C. 3 mg, 1 mg
D. 1 mg, 3 mg
42
24
力 学
高考试题剖析
几何图形法与三角函数法
Fac a c
b Fbc
G
力 学
高考试题剖析
例2.如图所示，ab、bd、cd是竖直平面内三根固定
的细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周
的最高点，d点为最低点．每根杆上都套着一个小
）将物理中正负号、等式、函数等同于数学中的相 应形式 数学上的正负和物理上的正负不尽相同，
在数学上是根据量的相反意义来决定正负的，而 物理中则是物理量本身的意义。物理上常常用正 负号来表示某些矢量在空间的方向或表示某些标 量相对于规定值的大小。如规定了标准值后重力 势能的正负、电能的正负、温度的正负等。物理 中还常用正负号来表示物理量在某种意义上相反 的性质。如电荷的正负、吸热和放热等。数学上 的等式和物理上的等式意义不同
c
d
t1＝t2＝t3＝ 2
R g
三．高考试题中常见的数学 思想与方法
化归转化思想 方程函数思想 分类讨论思想 几何图形法 图像求解法 三角函数法 不等式等方法
△s = aT2
• ）忽略对结果的分析 物理问题反映的都是 事物的客观事实。而有些学生在解决物理 问题时却只顾计算，完全忽略事实。对解 题的结果不从物理意义上作分析、讨论， 因而造成计算结果与物理事实的不相符
二、物理与数学的密切关系
• 1、物理要用数学语言表达 • 2、物理规律要通过数学方法得出 • 3、物理要用数学方法解答
存在的问题
• （一）不会用 • 1、数学知识不匹配 • 2、数学不错，但不会用到物理解题中 • （二）错用 • 1、物理数学化，用数学理解物理（正负、
等式、函数、图像、、 • 2、乱套公式 • 3、忽视对结果的分析
错题举例
• 初中物理要求学生主要应用四则运算、比例计算 等。当学生由初中升到高中时，对物理公式进行 计算的要求也相应提高了。部分物理力学题所用 的数学知识远比初中物理对数学知识的要求难得 多、复杂得多。如：力的合成与分解中应用到三 角知识、二次方程及根的判断知识、万有引力和 人造卫星中幂的运算知识、简单的极值运算知识 等。在这个过渡过程中如果学生的数学知识跟物 理知识不相匹配，就会导致学生对学习物理产生 畏惧心理，失去兴趣。
物理与数学
一．关注《考试大纲》对能力 要求的变化
应用数学处理物理问题的能力是指 能够根据具体问题列出物理量之间的关 系式，进行推导和求解，并根据结果得 出物理结论；必要时能运用几何图形、 函数图像进行表达、求解。
本讲的主要问题
• 一、学生在学习物理中存在的数学问题 • 二、物理与数学的密切关系 • 三、物理与数学的区别
A．h/3 B．h/2 C．3h/4 D．h
光 学
几何图形法
高考试题剖析
l
乙的像
力 学
高考试题剖析
例1．用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中, 如图所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为 30°和60° ，则ac绳和bc绳中的拉力分别为 (A)
A. 3 mg, 1 mg
22
B. 1 mg, 3 mg 22
用数学语言表达物理知识
• 1、比值法定义物理量。如密度、压强、速 度、加速度、电场强度、磁感应强 度、、、、
• 2、用数学式子、方程表达物理规律。如 s=vt、m=pv、I=u/R、运动学公式、、、
二．把握应用数学处理物理问 题的能力要求。
常见的数学思想:
方程函数思想 分类讨论思想
数形结合思想 化归转化思想
在物理学中，等式联系的量除了有等价关系外，更多的是表示出它们之间的一种量度关系或相
• 。 物理学中物理量之间的函数关系与数学 中的函数关系不尽相同。比如，根据物理 规律列方程求解时，有时可以得到两个或 两个以上的实数根，从数学上来讲，它们 都是原方程的解，但在物理上却不一定都 有物理意义，此时必须从物理量本身的含 义、未知数的取值范围以及实际物理问题 的要求等方面进行合理取舍。而有些学生 在实际解题时忽视了物理背景，只从数学 角度求解，会得出错误的结论
常见的数学方法:
三角函数法 数学比例法 指数对数法 几何图形法 数学极值法 导数微元法 空间向量的坐标运算法 排列组合二项式定理法
图像求解法 数列极限法
光 学
高考试题剖析
例3．图中M是竖直放置的平面镜，镜离地面的距 离可调节。甲、乙二人站在镜前，乙离镜的距离 为甲离镜的距离的2倍，如图所示。二人略错开， 以便甲能看到乙的像。以l表示镜的长度，h表示 乙的身高，为使甲能看到镜中乙的全身像，l的最 小值为【A】
*思考：如
果删除 “t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标”
这句话，D对吗？
• 不理解公式的内涵，乱套公式 当学生具备 了必要的数学知识，也记住了物理中的公 式，却不能深刻理解物理公式的含义时， 便会犯乱套公式的毛病。其表现为：不能 从给定的条件中排除多余信息，挑选出与 问题有关的条件，而盲目套用公式；还表 现为不考虑物理公式的真正含义，在做题 时见数据就套公式，从而使对问题的分析 出错。
乱用公式
摩擦力： （1） 滑动摩擦力：f = μFN 即滑 动摩擦力跟压力成正比。 （2） 静摩擦力： ①对一般静摩擦力的计算应该利用牛顿第 二定律，切记不要乱用 f =μFN；②对最大 静摩擦力的计算有公式：f = μFN （注意： 这里的μ与滑动摩擦定律中的μ的区别,但一 般情况下,我们认为是一样的）
滑环(图中末画出)．三个滑环分别从a、b、c处释
放(初速为0)，用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d
所用的时间，则 ( D )
a
A．t1＜t2＜t3
B．t1＞t2＞t3
b
C．t3＞t1＞t2
D．t1＝t2＝t3
c
d
力 学
高考试题剖析
几何图形法 通过做辅助线连接ab
a
与ac,应用几何图形法，
b
根据圆的知识解得