离散控制系统的分析与综合

第7章离散控制系统的分析与综合
7.3 离散系统的能控性和能观性
1、离散系统的能控性和能观性判据
◆能控性和能观性定义：
对有限个采样周期，若能找到控制信号序列，能使任意一个初始状态转移到零状态，则系统是状态完全能控的；若根据有限个采样周期的输出序列，能唯一地确定任意初始状态，则系统是状态完全能观的。

◆能控性和能观性判据：
A B C状态完全能控的充要条件
n阶线性定常离散系统(,,)
是
1
rank rank[,,,]n c Q B AB A B n -== 状态完全能观的充要条件是
1rank rank o n C CA Q n CA -轾犏犏犏==犏犏犏臌
2、连续系统离散化后的能控性与能观性
设具有零阶保持器的n 阶连续系统以采样周期T 离散为离散系统。

定理：若连续系统不能控（不能观），则其离散系统必不能控（不能观）。

若连续系统能控（能观），其互异特征值（含
重特征值）为μλλλ，，
， 21，若对一切 μλλ,,2,1,,0][ ==-j i R j i e
的互异特征值满足
,2,1,2][±±=≠-k T
k I j i m πλλ 则其离散系统必保持能控（能观）性。

7.4 离散系统的稳定性
1、离散系统稳定的充要条件
1）赛尔维斯特展开定理
设n 阶系数矩阵A 具有互异特征值n λλλ，，，
21，)(A f 是A 函数，则有
i
i n
i A f A f )()(1λ∑==
其中 j i i n i j j i I A A λλλ--=
∏≠=,1
2）离散系统稳定的充要条件
线性定常离散系统齐次状态方程
的解为
()(0)k x k A x =
由系统的特征方程
0zI A -=
可解得系统的特征值。

设A 的特征值n λλλ，，， 21两两互异，则由赛尔维斯特展开定理得
1n
k k
i i
i A λA ==å
其中 1,n i i j j i i j A λI A λλ=?-=
-Õ，其与k 无关。

于是
1()(0)n
k
i
i i x k λA x ==å
因i A 和)0(x 都与离散时间k 无关，故∞→k 时自由响应序列
),1,()(00 +=k k k k x
收敛为零，即系统渐近稳定的充要条件是∞→k 时全部的0→k
i
λ，或曰 ),,2,1(1n i i =<λ。

显然，若有1=i λ，则系统临界稳定。

可以证明，A 有重特征值时，此结论仍成立。

这表明，线性定常离散系统渐近稳定的充要条件是其特征值位于复平面上的单位圆内。

)
2、离散系统稳定分析的直接法
线性定常离散系统
的平衡状态满足()0Ax k =。

当A 非奇异，系统有唯一平衡状态0=e x 。

定理：线性定常离散系统(,,)A B C ，若对于任一给定的实对称矩阵Q ,离散李雅普诺夫方程
t
A PA P Q -=-
有唯一正定对称解P，则系统的平衡状态是渐近稳定的。

为简单，常取Q = I。

7.5 离散系统的综合
线性定常离散系统的综合的原理与方法与线性定常连续系统类似。

有关离散系统综合的定理如下：
离散系统通过状态反馈控制器任意配置极点的充要条件是其完全能控；若离散系统完全能观，则可构造极点可配置的状态观测器；状态反馈控制器和状态观测器满足分离定理，可独立设计。

设离散系统
的控制器输入信号取自观测器输出)(ˆk x ，即
)(ˆ)(k x K k u =
式中n r K ⨯为状态反馈矩阵。

观测器方程为
ˆˆ(1)()()()x k GC x k Gy k Bu k +=-++（A ）
式中n m G ´为观测器输出误差反馈矩阵。

将控制器方程代入到观测器方程，得
ˆˆ(1)()()x k A BK GC x k Gy k （）+=+-+
对单变量系统，系统输入变量和输出变量均为标量。

对上式作z 变换，得
1ˆ()[]()X z zI A BK GC GY z （）-=-+-
将其代入控制器方程
)(ˆ)(z X
K z U = 得
1
()[]()U z K zI A BK GC GY z （）-=-+- 于是，可求得控制器输出变量与系统输出变量z 变换之比：
1()()[]()
U z D z K zI A BK GC G Y z （）-==-+- )(z D 为补偿器的z 传递函数。

补偿器是控制器和观测器的综合，其根据系统的实际输出)(k y 计算出对系统的控制作用)(k u 。

补偿器可以方便地用计算机实现。

例：某系统被控对象的传递函数
21)(s s G =
试设计带观测器的状态反馈控制器，并求其补偿器)(z D 。

已知采样周期为1.0=T 秒。

要求系统闭环极点为8.0,6.021==z z ；观测其极点为1.0j 6.0±=z 。

解：
（1）连续部分的离散化状态方程
设被控对象为串联结构，传函框图和状态变量选择如图：
)
(t y
其状态方程为
即
)(10)()(0010)()(2121t u t x t x t x t x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 将其离散化
2
2
10.10.501AT
A e
I AT A T ⎡⎤=≈++=⎢⎥⎣⎦
10.0500.005(0.5)010.10.1B T I AT B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
≈+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
得连续部分的离散化状态方程
即
)(1.0005.0)()(101.01)1()1(2121k u k x k x k x k x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++
（2）状态反馈控制器设计
令状态反馈矩阵
][21
k k K =
闭环系统的特征多项式为
121
2(10.005)(0.10.005)
()()0.1(10.1)z k k f z zI A BK k z k -+-+=-+=
--+
)1.0005.01()1.0005.02(21212k k z k k z +-+++-=
期望的闭环特征多项式为
48.04.1)8.0)(6.0()(2*+-=--=z z z z z f
令)()(*z f z f =，得
4.11.000
5.0221=++k k
48.01.0005.0121=+-k k
联立解得
]6.58[][21
--==k k K
（3）观测器设计
连续部分的输出方程
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(]01[)()()(2121k x k x k x k x C k y 设状态误差反馈矩阵
12g G g ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
则观测器的特征多项式为
12
1122
(1)0.1
()()(2)(10.1)
1
z g f z zI A GC z g z g g g z ---=--=
=--+-+-
观测器的期望特征多项式为
82.08.1)1.0j 9.0)(1.0j 9.0()(2
*
+-=--+-=z z z z z f
令)()(*
z f z f =，得
120.20.2g G g ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦ (4)系统总体框图
（连续部分）零阶保持器
控制对象
（5）求补偿器)(z D
1
()()[]()
u z D z K zI A BK GC G
y z （）-==-+- ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-2.02.0])]01[2.02.0]6.58[2.02.0101.0100][6.58[1（z z 即
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---=-2.02.044.01
076.076
.0]6.58[)(1
z z z D )()
()()(406.02.1156.272.212
121z X z U z Y z U z
z z z ==+-+-=---- 对应的差分方程
)
2(56.2)1(72.2)2(406.0)1(2.1)(11-+-----=k x k x k u k u k u 基于该差分方程编程便可实现计算机控制。

注意：本题没有涉及稳态设计问题。