力矩 刚体绕定轴转动定律
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力矩的功刚体动能定理
3.一根长l质量为m 的匀质细杆，其一端固定在光滑的 水平轴O，可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水 平位置。求:杆由初始位置下摆 时的角速度?
θβ
解: 方法一用转动定律求解(略)
方法二用转动动能定理求解
杆处在β时,力矩 M mg l cos
杆转过d时, dA Md mg l cosd
2
2
A EK
k = 2.74×10-4 N·m·rad-2·s2. 求（2）吊扇由静止匀加
速的达到第二档转速经历的时间为 5s . 在此时间内阻力
矩做了多少功 ?
解: 吊扇由静止作匀角加速度运动
2
t5
t
阻力矩做功 W Mf 2d k3dt
W t k 3t3dt 1 k 3t 4
0
4
在 t ＝ 5s 时间内 W 84.8 J
EkA EpA EkB EpB
EkA EpA EkB EpB
o
m, l A
EkA EPA 0
m
EkB
1 2
J 2
J J1 J2
J 1 ml2 ml2 4 ml2
mg
B
mg
3
3
EpB
(mg
l 2
sin
mgl sin )
3 mgl sin
2
0 3 ml22 3 mgl sin 3 ( g sin )1 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚 体转动动能的增量。
与质点运动类似，若刚体转动过程中，只有 保守力做功，同样刚体的机械能守恒。
3. 刚体的重力势能
y
N
N
mi yi
E p
mi gyi
i 1
Mg
i 1
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的物理规律的公式。
在刚体绕定轴转动时，其角加速度与作用力矩成正比，与转动惯量成反比。
具体公式为：
M = Iα
其中，M表示作用力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
这个公式的意义在于，当一个刚体绕定轴转动时，其转动惯量越大，需要的作用力矩也就越大，才能使其达到相同的角加速度。
反之，转动惯量越小，需要的作用力矩也就越小。
这个公式在实际应用中非常重要。
例如，在机械工程中，我们需要设计各种机械零件的转动部件，这时就需要考虑转动惯量的大小，以及所需的作用力矩大小。
只有在合理地设计转动部件的转动惯量和作用力矩，才能保证机械零件的正常运转。
刚体的定轴转动定律公式还可以用来解决一些物理问题。
例如，当我们需要计算一个刚体绕定轴转动的角加速度时，可以通过测量作用力矩和转动惯量，然后代入公式中进行计算。
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的重要公式，它在机械工程和物理学等领域都有着广泛的应用。
力矩 刚体绕定轴转动定律-精品文档
力矩 刚体绕定轴转动定律
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
F
F对点O转动的力矩:
MO
O
Mz
y
x
r
P
F
F对定轴z转动的力矩:
M r F O r F r F //
M r F z
二、定轴转动定律
M β z J
M J Fr 2 M Fr 39 . 2 [ rad /s ]
mg T ma
Tr J
J
r
O
T
F
mg
(2)
ar
21 . 8 [ rad /s]
2
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 m l O 求: 它由此下摆 角时的
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量
2 解: dm 转动惯量 d JR d m
2 J R d m R d m mR 2 2 0 0 L L
dl R o
m
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 m 2 mr m d S 解: d 2 2πrdr 2 dr πR R dm 转动惯量 d J r2d m
M r d f df 的力矩 d
R
2 d M mgR 圆盘摩擦力矩 M 0 2 1 2d 3 mgR mR
d M
d 3 转动定律 MJ dt 3R0 t 0 3 R t d t d 0 4g g 04
2
d t
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打 击力F 作用于距轴 l 处。 求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
F
F对点O转动的力矩:
MO
O
Mz
y
x
r
P
F
F对定轴z转动的力矩:
M r F O r F r F //
M r F z
二、定轴转动定律
M β z J
M J Fr 2 M Fr 39 . 2 [ rad /s ]
mg T ma
Tr J
J
r
O
T
F
mg
(2)
ar
21 . 8 [ rad /s]
2
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 m l O 求: 它由此下摆 角时的
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量
2 解: dm 转动惯量 d JR d m
2 J R d m R d m mR 2 2 0 0 L L
dl R o
m
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 m 2 mr m d S 解: d 2 2πrdr 2 dr πR R dm 转动惯量 d J r2d m
M r d f df 的力矩 d
R
2 d M mgR 圆盘摩擦力矩 M 0 2 1 2d 3 mgR mR
d M
d 3 转动定律 MJ dt 3R0 t 0 3 R t d t d 0 4g g 04
2
d t
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打 击力F 作用于距轴 l 处。 求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
力矩刚体绕定轴转动定律
3g cos
2l
d d dt d
d
3g cos d
0
0 2l
2 3g sin / l
例: 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求: 到圆盘静止所需时间。
解: 取宽为dr的细圆环 其质量为
dm
σdS
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
dr r
df
df 的力矩 dM rdf
圆盘摩擦力矩 M
R
dM
2
mgR
0
3
转动定律 M J d
dM
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
解: 设轴对棒的水平分力为 Nx
rO
T
mg
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动
初始时它在水平位置
求: 它由此下摆 角时的
解: dm 质元 dm m dx l
O
ml
dm 重力矩 dM gdm x cos
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
M
J
J 1 ml2 3
在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力
求 (1) 滑轮的角加速度；
(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮 的角加速度
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
力矩刚体绕定轴转动定律课件
03
力矩刚体绕定轴转动的实际应用
日常生活中的应用实例
自行车轮转动
方向盘控制
当我们在骑自行车时，脚踏板施加的 力量通过链条传递到车轮上，使车轮 发生转动。
在驾驶汽车时，我们通过转动方向盘 来控制车辆的方向，方向盘的转动就 是力矩刚体绕定轴转动的实例。
门把手转动
当我们握住门把手转动时，门被推开 或关闭，这是由于门把手施加的力矩 使门发生转动。
力矩的大小决定了刚体转动的速度，力矩 越大，刚体的角速度越快。
刚体转动惯量的概念
01
02
03
转动惯量定义
转动惯量是描述刚体转动 惯性大小的物理量，与刚 体的质量分布和转动轴的 位置有关。
计算公式
对于质量均匀分布的刚体 ，转动惯量I = (1/2) * m * r^2，其中m是质量，r 是到转动轴的距离。
实验结果分析和结论
实验结果分析
通过实验数据，分析角速度与力矩之间的关系，验证力矩刚体绕定轴转动定律 。同时，比较不同转动惯量下刚体的角速度变化，加深对转动惯量影响的理解 。
实验结论
通过实验验证，可以得出力矩刚体绕定轴转动定律的正确性。同时，实验结果 也表明转动惯量对刚体的角速度有影响，转动惯量越大，相同力矩作用下刚体 的角速度越小。
05
力矩刚体绕定轴转动定律的深入探讨
力矩刚体转动过程中的能量转换
机械能转换
力矩作用在刚体上，使刚体从静 止或匀速转动状态变为加速转动 状态，在此过程中，刚体的动能 增加，而势能保持不变。
能量守恒
力矩刚体转动过程中的能量转换 符合能量守恒定律，即输入的力 矩能量等于刚体动能的变化量。
力矩刚体转动过程中的动量守恒
工业生产中的应用实例
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l C
Nx
acx
质心运动定理 F Nx mac
F
Hale Waihona Puke 转动定律Fl' ( 1 ml2)β
3
ac
l 2
Nx
F (3l ' 2l
1)
Nx 0
l' 2 l 3
打击中心
圆盘摩擦力矩 M
R
dM
2
mgR
0
3
转动定律 M J d
dM
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
解: 设轴对棒的水平分力为 Nx
动惯量。
解：质元质量 dm M dx L
质元转动惯量 dJ z x2dm
z
z
dx
x
o
x L/2-x
Jz
dJ L x2 M dx ML2
0L
3
Jz'
L
(
L
x)2 dm
ML2
02
12
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量 dl
m
解: dm 转动惯量 dJ R2dm
R
J L R2dm R2 L dm mR2
力矩 刚体绕定轴转动定律
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
MO
Mz
x
O r P
F
F对点O转动的力矩:
MO
r
F
y
F对定轴 zr转动F//的力r 矩F:
F
M z r F
二、定轴转动定律
M z Jβ
三、 转动惯量的计算
J miri2
质量连续分布物体 J r2dm
例: 求均质细棒(L, M )，绕端点轴 z 和质心轴 z 的转
0
0
o
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
解:
dm
dS
m πR2
2πrdr
2mr R2
dr
dm 转动惯量 dJ r 2dm
J
m
dJ
0
R 0
2m R2
r 3dr
1 2
mR2
dr m
r o
R
转动惯量取决于转轴、刚体形状及质量，它反映了 质量相对转轴在空间的分布。
平行轴定理
J z Jc md 2
在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力
求 (1) 滑轮的角加速度；
(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮 的角加速度
解: (1) M J
M Fr Fr 39.2[rad / s2 ]
J
(2) mg T ma
Tr J
a r
21.8[rad / s2 ]
rO
T
F
mg
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动
初始时它在水平位置
求: 它由此下摆 角时的
解: dm 质元 dm m dx l
O
ml
dm 重力矩 dM gdm x cos
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
M
J
J 1 ml2 3
z
dC m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量
JZ ? JC
Jc :刚体绕通过质心C轴的转动惯量
d :两轴间垂直距离
z
z
例: 求均匀细棒的转动惯量
J Z
JZ
m
L 2
2
1 mL2 3
Lm
L/ 2
Jz
1 12
ML2
四、 转动定律的应用举例 例：滑轮半径 r =20 cm ，转动惯量 J = 0.5 kg ·m2。
3g cos
2l
d d dt d
d
3g cos d
0
0 2l
2 3g sin / l
例: 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求: 到圆盘静止所需时间。
解: 取宽为dr的细圆环 其质量为
dm
σdS
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
dr r
df
df 的力矩 dM rdf