数论班100题手册
数论期末试题及答案
数论期末试题及答案1. 选择题（每题5分，共20题）1）1+2+3+…+99+100的和是多少？A. 4950B. 5000C. 5050D. 5100答案：C. 50502）4的7次方是多少？A. 128B. 256C. 512D. 1024答案：B. 2563）100的倍数能被1和几整除？A. 9B. 10C. 11答案：B. 104）如果a和b都是偶数，那么a-b一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是5）若n是整数，则(3n+1)(3n+2)一定是3的倍数吗？A. 是B. 否答案：B. 否6）小明和小红共有7枚硬币，小明有4枚硬币，小红有几枚？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B. 37）2乘以一个整数，结果是130。
这个整数是多少？A. 60C. 70D. 75答案：B. 658）如果x是奇数，那么x(x+1)一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是9）a和b都是正整数，且满足a/b = 4/9，那么a与b的最大公约数是多少？A. 9B. 4C. 1D. 13答案：C. 110）如果m是正整数，那么m和2m/3的最小公倍数是多少？A. mB. 2mD. 4m答案：B. 2m11）已知1+2+3+...+n=55，那么n是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C. 912）巧克力块状的，宽度是2 cm，厚度是6 mm，长度是10 mm。
这块巧克力的体积是多少立方厘米？A. 1.2B. 1.2×10⁻³C. 1.2×10⁻⁵D. 1.2×10⁻⁹答案：A. 1.213）a和b都是正整数，且满足1/a + 1/b = 1/12，那么a和b的值分别是多少？A. a=4, b=9B. a=3, b=8C. a=5, b=10D. a=6, b=7答案：A. a=4, b=914）若m是偶数，且n是奇数，那么m²+n²是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是15）如果将一个偶数的两倍再加上6，结果一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是16）abcde ×4 = edcba，其中每个字母代表一个0-9的数字，找出a、b、c、d、e各代表的数字。
数论复习专题(教师版含答案)
数论复习专题(教师版含答案)
导言
本文档是数论复专题的教师版，包含答案。
数论是数学的一个分支，研究整数及其性质。
该文档旨在帮助教师进行数论复，并提供了题目的答案，以便教师进行评估和指导。
目录
1. 数的性质
2. 计数和排列组合
3. 素数与因子分解
4. 同余关系
5. 质数定理
1. 数的性质
1.1 奇数与偶数
题目：判断以下数是奇数还是偶数：17, 24, 31, 42
答案：17是奇数，24和42是偶数，31是奇数。
1.2 整除性质
题目：判断以下数是否能被3整除：18, 25, 36, 42
答案：18和36能被3整除，25和42不能被3整除。
...
5. 质数定理
题目：根据质数定理计算以下数的近似质数个数：
5, 10, 20, 50
答案：根据质数定理，小于等于n的质数个数约为n/ln(n)。
因此，近似质数个数分别为：
5: 2
10: 4
20: 8
50: 15
结论
本文档提供了数论复习专题的教师版，包含题目和答案，可用于教师进行复习和评估学生的掌握程度。
教师可以根据需要逐个章节进行讲解和练习，以提高学生对数论的理解和应用能力。
100个数论经典例题
100个数论经典例题数论经典例题是学习数论的重要方式，它们体现了数论的基本概念和重要定理。
下面列举了100个数论经典例题及其相关参考内容，帮助读者更好地理解和掌握数论的基础知识。
1. 证明：对任意正整数n，有$n^2\equiv 0\pmod{2}$。
解答：正整数的平方一定是偶数，因为偶数乘以偶数还是偶数。
2. 证明：对任意正整数n，有$n^3\equiv n\pmod{3}$。
解答：利用模运算的性质，$n\equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$，分别代入得到$n^3\equiv 0, 1, 8 \equiv 0, 1 \pmod{3}$。
3. 证明：对任意正整数n，有$n^2\equiv 0$ 或 $1 \pmod{4}$。
解答：正整数的平方一定是偶数，因此$\pmod{4}$下只有两个可能性，即0或1。
4. 证明：对任意正整数n，有$n^m\equiv n \pmod{m}$。
解答：利用数论基本定理得到$n^m\equiv n\pmod{m}$。
5. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是完全平方数，则n也是完全平方数。
解答：设$n^2 = k^2$，则$(n+k)(n-k) = 0$，即$n+k = 0$或$n-k = 0$，因此n是完全平方数。
6. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是立方数，则n也是立方数。
解答：设$n^2 = k^3$，则$(n^{\frac{2}{3}})^3 = k^3$，因此n是立方数。
7. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是素数，则n是素数。
解答：反证法，假设n不是素数，则n可以表示为两个正整数的乘积，因此$n^2$也可以表示为两个正整数的乘积，与$n^2$是素数矛盾。
8. 证明：存在无穷多个素数。
解答：利用反证法和欧几里得定理可以证明存在无穷多个素数。
9. 证明：存在无穷多个不能表示为两个素数之和的正整数。
解答：利用哥德巴赫猜想的推广版本可以证明。
数论练习题及解答
数论练习题及解答数论是数学的一个重要分支，研究整数之间的性质和关系。
以下是几道数论练习题及其解答，旨在帮助读者加深对数论知识的理解。
题目一：证明：如果一个整数的平方是奇数，那么该整数必定是奇数。
解答：假设存在一个整数n，满足n²是奇数，但是n本身是偶数。
那么n可以表示成n=2k（k为整数）。
根据已知条件，n²是奇数，代入n=2k得到(2k)²=4k²是奇数。
但是显然，4k²为4的倍数，而奇数不可能是4的倍数，因此得出矛盾。
所以假设错误，原命题得证。
题目二：证明：任意一个素数至少可以表示成4k+1和4k-1两种形式的乘积。
解答：假设存在一个素数p，既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式。
那么p可以表示成p=4k、4k+2或4k+3（k为整数）。
1. 若p=4k，显然p为4的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；2. 若p=4k+2，可以将p分解为p=2(2k+1)，其中2k+1也为整数，即p为2的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；3. 若p=4k+3，可以将p分解为p=3(4k+1)，其中4k+1也为整数，即p为3的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾。
综上所述，当p既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式时，假设错误，原命题得证。
题目三：找出下列数中的最大公约数：4620和770。
解答：利用辗转相除法求解最大公约数。
首先，用较大的数除以较小的数，计算它们的余数：4620 ÷ 770 = 6 (300)接下来，用余数除以第一步的余数，再计算新的余数：770 ÷ 300 = 2 (170)再次用余数除以第二步的余数，继续计算新的余数：300 ÷ 170 = 1 (130)继续进行相同的除法运算：170 ÷ 130 = 1 (40)130 ÷ 40 = 3 (10)40 ÷ 10 = 4最后，除数为10，余数为0，所以10即为4620和770的最大公约数。
100个数论经典例题
100个数论经典例题1. 证明：无理数的十进展开不可能是一个重复的数字序列。
2. 证明：一个正整数为完全平方数的充分必要条件是它的每个质因子的指数都是偶数。
3. 证明：有理数的不循环小数展开是独一无二的。
4. 如果两个整数m和n的最大公约数是1，那么m/n的分数形式是既简单又唯一的。
5. 证明：对于任意自然数n，n²+n+41都是一个质数。
6. 证明：对于任意自然数n，3n²+3n+7都是一个质数。
7. 求1²+2²+3²+...+n²的值，并给出证明。
8. 求1³+2³+3³+...+n³的值，并给出证明。
9. 证明：无穷多个素数是等差数列的形式。
10. 设p是一个素数，证明：x²≡-1(mod p）的解的个数为0或2。
11. 给定一个正整数n，求所有满足φ(x)=n的正整数x，其中φ(x)表示小于x且与x互质的正整数的个数（欧拉函数）。
12. 证明：若p是任意一个素数，则对于任意自然数n，(n+p)!≡n!pⁿ(mod p²)。
13. 证明：若p是任意一个素数，则对于任意自然数n，n!≡-1(mod p)当且仅当p=2或p≡1(mod 4)。
14. 对于任意一个素数p和整数a，证明：x²≡a(mod p）有解的充分必要条件是a^(p-1)/2≡±1(mod p)。
15. 证明：对于任意自然数n，存在无限多个三元组(x,y,z)使得x⁴+y⁴=z³。
16. 证明：对于任意正整数k，存在无限多个素数p，使得p≡1(mod k)。
17. 求2²+4²+6²+...+50²的值，并给出证明。
18. 求1+2+3+...+99+100的值，并给出证明。
19. 给定正整数a、b、n，求aⁿ+bⁿ的最大公因数，并给出证明。
高联数论100题答案
第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
求证：PCE PCD ∠=∠。
第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。
第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，ABAB 是直径。
求证：ACD DPE ∠=∠2。
第四题：证明线与圆相切已知：ABC ∆中，︒=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ∆外接圆。
ABDB第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。
求证：AC PQ ⊥。
第六题：证明线段相等已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。
第七题：证明线段为比例中项已知ABC ∆中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ∆与ABC ∆有相同的内心。
求证：GM FM AM ⨯=2。
PDA第八题：证明垂直已知：ABC ∆为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。
求证：BC AP ⊥。
数论专题全集
数论专题第一讲数的整除一、基础知识与方法对策1、整除的相关概念如果整数a除以非零整数b得到整数商c而没有余数，那么就说数a能被数b整除。
或者说数b整除数a。
记为：b︱a 由于a÷b=c可以改写成b×c=a，所以b、c叫做a的因数（又称约数），a叫做b、c的倍数。
2、整除的性质1．如果自然数a和b都能被自然数c整除，那么，它们的和（a+b）或差(a-b)也能被c整除。
例如：60能被5整除，40能被5整除，它们的和60+40=100及差60-40=20也能被5整除。
2．几个自然数相乘，如果其中一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
例如：26能被13整除，26×29×38的积也能被13整除。
3．如果一个自然数能被互质的两个数中的每一个数整除，那么，这个数就能被这两个互质数的积整除。
例如：3和4是互质数，24分别能被3和4整除，那么，24就能被3与4的积12整除。
3、整除的特征①、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数一定是2的倍数。
②、5的倍数的特征：个位上是0、或5的数一定是5的倍数。
③、3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和如果是3的倍数，那么这个数一定是3的倍数。
④、9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和如果是9的倍数，那么这个数一定是9的倍数。
⑤、4的倍数的特征：一个数的末两位上的数是4的倍数，那么这个数一定是4的倍数。
⑥8的倍数的特征：一个数的末三位上的数是8的倍数，那么这个数一定是8的倍数。
⑦11的倍数的特征：一个数从个位统计算起，奇数位上的数字的和与偶数位上数字的和相减（大减小）所得的差，如果是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
⑧7、11、13的倍数特征：一个数从个位算起，数三位，然后把这个数分成前后两个部分，这两个部分对应的两个数相减（大减小），如果得到的差是7、11、13的倍数，那么这个数就是7、11、13的倍数。
北师大版七年级数学下册-基础数论题100题训练
北师大版七年级数学下册-基础数论题100题训练介绍这份文档旨在为七年级学生提供基础数论题的训练资源，内容涵盖100道题目。
通过解答这些题目，学生可以巩固并提高数论方面的基础知识与能力。
题目分类题目按照不同的数论概念进行分类，包括但不限于以下几个方面：1. 素数与合数2. 质因数分解3. 最大公约数与最小公倍数4. 奇偶性5. 互质关系练方法学生可以按照以下方法进行练：1. 阅读题目：仔细阅读每道题目，理解题目所要求的问题。
2. 思考解题思路：根据题目的要求，思考可能的解题思路和方法。
3. 解答题目：根据自己的思考，写下解答过程和最终答案。
4. 检查答案：对比自己的解答和标准答案，检查是否存在错误或遗漏。
5. 深入研究：对于解答错误或不熟悉的题目，可以进一步研究相关知识并掌握解题方法。
提示和建议在进行练时，建议学生注意以下几点：1. 注重理解：在解答问题之前，确保对题目要求的理解准确。
2. 反思思考过程：解答完题目后，对解题过程进行反思，思考是否有更高效或更简洁的解法。
3. 多做类似题目：除了这100道题目外，建议学生做更多类似题目，以提高解题能力。
4. 寻求帮助：如果在解答过程中遇到困难，可以向老师或同学求助，共同解决问题。
其他资源除了这份题目练文档外，学生还可以考虑使用以下资源进行数论知识的研究和提高：1. 数论教材：学生可以参考北师大版七年级数学下册，深入研究数论相关知识。
2. 网上视频教程：可以通过搜索相关数论教学视频，进一步理解知识点和解题方法。
3. 题集：除了这份练文档外，还可以寻找其他数论题目练资源，如题集等。
结束语通过完成这份基础数论题目的训练，相信学生们可以巩固并提高数论方面的知识与能力，为解决更复杂的数论问题打下坚实的基础。
希望学生们能够持续努力，并享受数论学习的过程！。
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数论短期班100题手册知识框架体系一、奇偶性质1．奇数和偶数的表示方法：因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)；因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子21k+来表示奇数(这里k是整数)．特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数．最小的奇数是1，最小的偶数是0．2．奇数与偶数的运算性质：性质一：偶数+偶数=偶数(偶数-偶数=偶数)奇数+奇数=偶数(奇数-奇数=偶数)偶数+奇数=奇数(偶数-奇数=奇数)可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个数的奇偶性；一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化．(也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．)性质二：偶数⨯奇数=偶数(推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数)偶数⨯偶数=偶数(推广开就是：偶数个偶数相加得偶数)奇数⨯奇数=奇数(推广开就是：奇数个奇数相加得奇数)可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数．(也可以这样简记：对于乘法，见偶(数)就得偶(数))．性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数．二、整除1．整除的定义所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商ab是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得a b c=⨯．这是我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b 叫a的约数，a是b的倍数，记作：“|b a”．2．整除性质：⑴传递性若|c b，|b a，则|c a．⑵可加性若|c a，|c b，则|c a b±（）．⑶可乘性若|c a，|d b，则|cd ab．3．整除的特征⑴4,25,8,125,16,625的整除特征能否被4和25整除是看末两位；能否被8和125整除是看末三位；能否被16和625整除是看末四位(100425=⨯,10008125=⨯,1000016625=⨯,100000323125=⨯)⑵3,9的整除特征能否被9整除是看数字之和是否是9的倍数，并且这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是9的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表这个数除以九余几⑶7,11,13的整除特征①能否被7，11，13整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几②能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数，并且算出的差除以11余几就代表这个数除以11余几⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征如7289=⨯，99119=⨯，1234=⨯，100171113=⨯⨯（这样我们就知道1至16所有整数的整除特征）三、约数和倍数1．约数和倍数定义⑴约数和倍数的定义：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数．⑵最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：(8,12)4=，(6,9,15)3=．⑶最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]8,1224=，[]6,9,1590=．2．约数和倍数⑴最大公约数的性质：①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．⑵最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．⑶最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①(,)[,]A B ma mb m mab A B A B⨯=⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A、B、A B+、A B-及最小公倍数的约数．3．求一组分数的最大公约数与最小公倍数⑴求一组分数的最大公约数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；ba即为所求．⑵求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；ba即为所求．例如：35[3,5]15 [,]412(4,12)4==四、质数、合数1． 相关定义质数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.部分特殊数的质因数分解：111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.2． 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.3． 约数个数定理设自然数n 的质因子分解式如312123n a a a a n p p p p .那么n 的约数个数为1231111n d n a a a a =++++()()()()()自然数n 的约数和为()()()11221121211111222211a a a a S n p p p p p p p p --=++++++++++()1211n n a a n n n n p p p p -+++++五、余数问题1． 余数的定义一般地，如果a 是整数，b 是整数(0)b ≠,若有a b qr ÷=，或者a b q r =⨯+,0r b ≤<；当0r =时，我们称a 能被b 整除；当0r ≠时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商．2． 余数的性质①被除数=除数⨯商+余数；除数=(被除数-余数)÷商；商=(被除数-余数)÷除数； ②余数小于除数．③如果,a b 除以c 的余数相同，就称,a b 对于除数c 来说是同余的，且有a 与b 的差能被c 整除．(,,a b c 均为自然数)例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-能被3整除．④如果a 与b 的和除以c 的余数，等于,a b 分别除以c 的余数之和(或这个和除以c 的余数)． 例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)+除以5的余数等于314+=．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)+除以5的余数等于(34)+除以5的余数． ⑤如果a 与b 的乘积除以c 的余数，等于,a b 分别除以c 的余数之积(或这个积除以c 的余数)． 例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)⨯除以5的余数等于313⨯=．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c 的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)⨯除以5的余数等于(34)⨯除以5的余数．六、中国剩余定理在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．这样的问题，有人称为“韩信点兵”．它形成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所以被称为“中国剩余定理”．我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N 除以A 余a ,除以B 余b ,除以C 余c 这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”: 绝招一：减同余。
例如a b =,则有A N a -,且B N a -,[,]N a A B n -=,而N 的最小值就是[,]N A B a =+; 绝招二：加同补。
例如：A a B b d -=-=;则有[,]N d A B n +=，而N 的最小值是[,]N A B d =-; 绝招三：中国剩余定理。
绝招四：逐级满足法。
七、最大与最小两个数的和一定，差越小，积越大．(另外一层含义就是：和一定，差越大，积越小) 两个数的积一定，差越小，和越小．(另外一层含义就是：积一定，差越大，和越大)八、平方数 1． 定义我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.211=，224=，239=，…，211121=，212144=，…其中1，4，9，…，121，144，…都叫做完全平方数。
平方数分解质因数后，它的质因数必定会成对出现。
2． 完全平方数的有关性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9。
性质2：完全平方数被3，4，5，8，12，16除的余数一定是完全平方数。
性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反之亦然。
因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数。