初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d=-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．9、设f(x)=10nn a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,nn i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________； 24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。
三．简答题：（5分／题×4题＝20分）31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。
32．“若)(,1a m =，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。
33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。
34．设1212k k a p p p ααα=为a 的标准分解式，记()S a 为a 的正因数的和，()a τ为a 的正因数的个数，则()S a ＝？ ()a τ＝？ 为什么？ 四．计算题。
（7分／题×4题＝28分）35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。
36． 解同余方程组()()()1mod 53mod 62mod 7x y z ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩37．解同余式2x ≡11(mod125) 38．求模13的所有原根。
五、证明题：（7分/题×2题=14分）39、试证： 2222x y z +=，（x ，y ）=1 y 是偶数的整数解可写成：22(2)x a b =±- 2y ab = 222z a b =+这里0a b >>，(),1a b =，并且一为奇数，一为偶数。
40、设a 为正整数，试证：||()()d ad aa d a dφφ==∑∑其中|d a∑表示展布在a 的一切正因数上的和式。
六、应用题：（8分）41、求30！中末尾0的个数。
参考答案：一．单项选择：ABCDD ；DACCB ；DCAAD ；BCBAB 。
二．填空题：21．21；22．()12,,,|n a a a N ；23．(),101b =；24．()0,0,1,2,,mx tt a m +=±±；25．()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数；26．1； 27．()121mod p ap -≡；28．()()m φφ；29．g 与g p α+中的单数；30．16三．简答题：31．答：命题正确。
()()2211211m m +-=++⎡⎤⎣⎦()211m +-⎡⎤⎣⎦()()22241m m m m =⋅+=+ 而()1m m +必为2的倍数。
86页32．正确．证明见教材47P 。
33．在摸p 的简化剩余系中与22211,2,,2p -⎛⎫⎪⎝⎭同余的数是数p 的平方剩余，()117,182p p =-=，222211,24,39,416≡≡≡≡，222258,62,715,813≡≡≡≡ 故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。
34．()()1211111i ikkiiii i i p s a p pp p αα+==-=++++=-∏∏()()()()12111k a τααα=+++证明：若()f a 为可乘函数，则()()()()|11ikii ai f f p f p ααα==++∑∏．分别令()().1f a a f a ==，它们为可乘函数，即得出。
四．计算题35．解：因为()6,933|75=，故原不定方程有解。
又原方程即 23125x y +=，而易见方程2311x y +=有解''0016,1x y ==-。
所以原方程的一个解是00400,25x y ==-所以，原方程的一切整数解是：（ ）40031252x tr t=+=-- t 是整数36．解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：()421mod5x ≡，()351mod6x ≡，()301mod7x ≡，得 ()3mod5x ≡， ()1mod6x ≡-，()4mod7x ≡因此所给同余方程组的解是：()()423135133042mod210x ≡⋅⋅+⋅-⋅+⋅⋅即：()26151mod210x ≡≡37．解：从同余方程()()211mod51mod5x x ≡≡得，()()()222111511mod5,1010mod5t t +≡≡再从得，()()2111mod5,16mod5t t ≡+≡因此于是， 是()()()22223211mod5,6511mod5t χ≡+≡的解又从得()()32230025mod5,121mod5t t ≡-≡-因此即()222mod5,65256t x ≡=+⋅=所以 是所给方程的一个解，于是所解为：()56mod125x ≡± 解毕。
02013初等数论试卷及答案
初等数论考试试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±±Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±±Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd=-=-=±±4．下列各组数中不构成勾股数的是( D )Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D )Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. 7．()mod a b m ≡的充分必要条件是( A ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +8．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( C ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( ? )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．不超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( D )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( C ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( A )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为：( A )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的原根存在，下列数中，m 不可能等于：( D ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是 ( B ) A ．322ind = B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是： ( C ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则a χ对模m 的指数是( B ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( A ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( B )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ _____21____； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2≥n ，有整数解的充分必要条件是_（1a ，2a ，…，n a ，）︱N_；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_（10，b ）=1__； 24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为2,__；25． 威尔生（wilson ）定理：____()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数______； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=___1___； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 欧拉判别条件)；28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是___()()m φφ__；29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_g 与g+a p 中的奇数_； 30． ()48ϕ=___16___。
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d=-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．9、设f(x)=10nn a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,nn i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________； 24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。
初等数论模拟试题四套(附答案)
初等数论模拟试题二一、单项选择题1、=),0(b（C ）.Ab B b- D 02、如果a b，b a，则(D ).A ba±a≤ D b=a-= C ba= B b3、如果1(bab+=（C ）.,aba，则),)(=A aB bC 1D ba+4、小于30的素数的个数（A ）.A 10B 9C 8D 75、大于10且小于30的素数有（C ）.A 4个B 5个C 6个D 7个6、如果n3，n5，则15（A ）n.A 整除B 不整除C 等于D不一定7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493595=493⨯1+102493=102⨯4+85102=85⨯1+1785=17⨯5,所以,(24871,3468)=17.2、 求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯ =所以24871与3468的最小公倍数是。
3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391] = 173911768⨯=⨯=40664. 三、证明题1、 如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,b r '≤0.所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.因此q q '=,r r '=. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()b q a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.2、 证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.证明： 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n , 即62332n n n ++是整数.3、 任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.证明： 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立.4、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.初等数论模拟试题三一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(2、不定方程210231525=+y x （A ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解二、求解不定方程1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得48+yx；73=考虑1-=y,2=x，x，有13=7+y所以原方程的特解为48-x，=y,96=因此，所求的解是Z348=,96。
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设为实数，为的整数部分，则( )x []x x Ａ．； Ｂ．；[][]1x x x ≤<+[][]1x x x <≤+Ｃ．； Ｄ．．[][]1x x x ≤≤+[][]1x x x <<+２．下列命题中不正确的是( )Ａ．整数的公因数中最大的称为最大公因数；12,,,n a a a L Ｂ．整数的公倍数中最小的称为最小公倍数12,,,n a a a L Ｃ．整数与它的绝对值有相同的倍数a Ｄ．整数与它的绝对值有相同的约数a ３．设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解ax by c +=,,a b c ,a b ，则此方程的一切解可表为( )()00,,,x y d a b =Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±±L Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±±LＣ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±±LＤ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±L４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒≡Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡６．模１０的一个简化剩余系是( )Ａ． Ｂ．0,1,2,,9;L 1,2,3,,10;LＣ． Ｄ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;-----1,3,7,9.７．的充分必要条件是( ) ()mod a b m ≡Ａ． Ｂ．;m a b -;a b m -Ｃ． Ｄ．;m a b +.a b m +８．设，同余式的所有解为( )()43289f x x x x =+++()()0mod 5f x ≡Ａ．或 Ｂ．或1x =1;-1x =4;Ｃ．或 Ｄ．无解．1x ≡()1mod 5;-9、设f(x)=其中为f(x)的一个解，10n n a x a x a +++K K ()0,mod i a x x p ≡是奇数若()0mod p ≡则:()A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有10．则同余式()10(),,0mod ,,nn in f x a x a x a a a p n p =+++≡>/K K 设其中为奇数：（）()()0mod f x p ≡的解数A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n 11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :()A ．3 B ．11 C ．13 D ．2312．若雅可比符号，则 ( )1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．;()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解C ．;()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解D ．．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解13．( )()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 114． 模12的所有可能的指数为;( ) A ．1，2，4 B ．1，2，4，6，12 C ．1，2，3，4，6，12 D ．无法确定15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( ) A ． B ． 322ind =323ind =C ．D ． 350ind =3331025ind ind ind =+17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B ． 欧拉函数；()a φC ．不超过x 的质数的个数；()x πD ．除数函数；()a τ18． 若对模的指数是，>0，>0，则对模的指数是( )x m ab a ab x αm A ．B ．C ．D ．无法确定a b ab 19．，均为可乘函数，则( )()f a ()g a A ．为可乘函数；B ．为可乘函数()()f a g a ()()f ag a C ．为可乘函数； D ．为可乘函数()()f a g a +()()f a g a -20．设为茂陛乌斯函数，则有( )不成立()a μA ．B ．C ．D ．()11μ=()11μ-=()21μ=-()90μ=二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45中的最高次n ＝ ____________________；!22． 多元一次不定方程：，其中 ， ，…，，N 均为整数，1122n n a x a x a x N +++=L 1a 2a n a ，有整数解的充分必要条件是___________________；2n ≥23．有理数，，，能表成纯循环小数的充分必要条件是ab0a b <<)(,1a b =_______________________；24． 设为一次同余式，的一个解，则它的所有()0mod x x m ≡()mod ax b m ≡a ≡()0mod m 解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________；26． 勒让德符号=________________________________________；5031013⎛⎫⎪⎝⎭27． 若，则是模的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；)(,1a p =a p 28． 在模的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；m 29． 设，为模的一个原根，则模的一个原根为_____________；1α≥g p α2p α30．_________________________________。
《初等数论》模拟试卷
《初等数论》模拟试卷浙江师范⼤学《初等数论》考试卷（G卷）⼀、填空（30分）1、d （1001）= 6 。
σ（2002）= 40322、c x a x a x a n n =++....2211有解的充要条件是c a a a n |),...,(21 。
3、不能表⽰成5X+6Y （X 、Y ⾮负）的最⼤整数为 19 。
4、2003！中末尾连续有 499 个零。
5、（21a+4，14a+3）= 1 。
6、222z y x =+通解为。
7、两个素数的和是39，这两个素数是 2 、 37 。
8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 77 。
9、p,q 是⼩于是100的素数，pq- 1=x 为奇数，则x 的最⼤值是 193 。
⼆、解同余⽅程组（12分）≡+≡≡)7mod 25)5(mod 1)4(mod 1x x x 由孙⼦定理得).140(mod 81≡x三、证明费尔马定理。
（10分）四、明：设ｄ是⾃然数ｎ的正因⼦，则有∏=nd n d nd )(21（10分）答、设d 是n 的因⼦，则dn也是n 的因⼦，⽽n 的因⼦数为d （n ）所以∏∏=n d n d d n d |，所以∏=nd n d n d )(2)(即有∏=n d n d n d )(21五、Ｐ为奇素数，则有（10分）)(m od )(p b a b a p p p +≡+答、由费尔马⼩定理知对⼀切整数有 a p ≡a （p ） b p ≡b (P )，由同余性质知有 a p +b p ≡a+b (p )⼜由费尔马⼩定理有（a+b ）p ≡a+b (p ) （a+b ）p ≡a p +b p (p )六、⽤初等⽅法解不定⽅程01996202=+-xy x 。
（10分）答：由题意知x 为偶数，设12x x =，则有04991012 1=+-y x x 即有499)10(11-=-y x x由499为素数有两因⼦只能取499,1 ±，从⽽得==502y x -=-=502y x ==50998y x ?-=-=50998y x 七、解不定⽅程式15x+25y=-100. (8分) 答： Z t t y t x ∈+-=-=,34,5⼋、请⽤1到9这九个数中的六个（不重复）写出⼀个最⼤的能被6整除的六位数（10分）答：987654浙江师范⼤学《初等数论》考试卷（A 卷）⼀、填空（30分）1、d （1000）= 16 (2的3次*5的3次。
初等数论模拟试题及答案
初等数论模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 一个数的最小素因子是它本身，这个数是什么？A. 0B. 1C. 质数D. 合数3. 欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
若n=12，φ(12)的值是多少？A. 4B. 6C. 8D. 124. 一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数是什么？A. 0B. 1C. 质数D. 合数5. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 12C. 28D. 4966. 一个数的约数个数是奇数，这个数是什么？A. 质数B. 合数C. 完全数D. 素数7. 模n的逆元是指一个整数a，使得a×x ≡ 1 (mod n)，以下哪个数在模5下没有逆元？A. 1B. 2C. 3D. 48. 费马小定理指出，如果p是一个质数，那么对于任意整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
以下哪个选项是错误的？A. a^4 ≡ 1 (mod 5)B. a^3 ≡ 1 (mod 7)C. a^2 ≡ 1 (mod 4)D. a^2 ≡ 1 (mod 3)9. 哥德巴赫猜想是指每一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
以下哪个数不能被表示为两个质数之和？A. 4B. 6C. 8D. 1010. 以下哪个数是梅森素数？A. 3B. 7C. 2^7 - 1D. 2^3 - 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 素数是指只有________和它本身两个因数的自然数。
12. 如果a和b互质，那么它们的最大公约数是________。
13. 一个数的约数个数是偶数，这个数至少有________个约数。
14. 欧拉函数φ(1)的值是________。
15. 模n的剩余类集合记为Z/nZ，它包含________个元素。
16. 费马小定理中，如果a和p互质，那么a^(p-1) ≡ ________ (mod p)。
初等数论期末考试模拟试卷(含答案)
初等数论期末考试模拟试卷（含答案）一、填空题（每题5分，共25分）1. 若两个正整数a和b的最大公约数为1，则称a和b互质。
若a和b互质，则a+b与a-b也互质。
（）2. 设m和n是正整数，且m、n互质。
若存在正整数k，使得km+1与kn+1互质，则k的最小值为（）。
答案：13. 已知p和q是不同的质数，且p+q=17，则p^2+q^2的最小值为（）。
答案：974. 设F(n)表示斐波那契数列的第n项，且F(n+1)=F(n)+F(n-1)，F(1)=1，F(2)=1。
若F(n)能被3整除，则n的最小值为（）。
答案：85. 已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，则称a、b、c 为勾股数。
勾股数中，a、b、c都是奇数的三元组称为奇素勾股数。
已知最小的奇素勾股数是(3,4,5)，则第二小的奇素勾股数是（）。
答案：(15,8,17)二、选择题（每题5分，共25分）6. 以下关于最大公约数和最小公倍数的说法，错误的是（）。
A. 两个正整数的最大公约数是它们的公共因子中最大的一个B. 两个正整数的最大公约数等于它们的乘积除以最小公倍数C. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积D. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数一定互质答案：D7. 设p是质数，且p>2，则以下说法正确的是（）。
A. p的平方能被3整除B. p的立方能被3整除C. p的平方加1能被3整除D. p的平方减1能被3整除答案：D8. 以下关于斐波那契数列的说法，错误的是（）。
A. 斐波那契数列中的任意两个相邻项互质B. 斐波那契数列中的任意两个非相邻项互质C. 斐波那契数列中的任意三个连续项构成勾股数D. 斐波那契数列中的任意两个相邻项之比越来越接近黄金比例答案：C9. 设a、b、c是勾股数，且a是最小的质数。
以下说法正确的是（）。
A. b和c一定互质B. b和c一定不互质C. b和c中至少有一个是质数D. b和c中至少有一个不是质数答案：D10. 以下关于同余的说法，错误的是（）。
02013自学考试初等数论模拟试题(含答案)
02013自学考试初等数论模拟试题（含答案）一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d=-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解 C．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( )A ．()()f a g a 为可乘函数；B ．()()f ag a 为可乘函数C ．()()f a g a +为可乘函数；D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________； 23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30． ()48ϕ=_________________________________。
自考初等数论试题及答案
自考初等数论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 11D. 15答案：C2. 一个数的最小素因子是3，那么这个数的最小公倍数是：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：C3. 计算 \((2^3) \div 2^2\) 的结果是：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：A4. 一个数的质因数分解是 \(2^2 \times 3^3\)，那么这个数的约数个数是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：D5. 如果 \(p\) 是一个素数，那么 \(p^2 - 1\) 可以分解为：A. \((p-1)(p+1)\)B. \(p(p-1)\)C. \((p+1)(p-1)\)D. \(p^2 - 1\)答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个数 \(n\) 能被3整除，那么 \(n\) 的各位数字之和也能被____整除。
答案：32. 一个数 \(a\) 与 \(b\) 的最大公约数（GCD）是 \(d\)，那么\(a \times b\) 的最大公约数是______。
答案：d3. 一个数 \(n\) 能被9整除，那么 \(n\) 的各位数字之和也能被______整除。
答案：94. 一个数 \(n\) 能被11整除，那么 \(n\) 的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是______的倍数。
答案：115. 一个数 \(n\) 能被7整除，那么 \(2n + 4\) 能被______整除。
答案：7三、解答题（每题10分，共20分）1. 求 \(2^{16} - 1\) 的所有素因子。
答案：\(2^{16} - 1 = (2^8 + 1)(2^8 - 1) = (2^4 + 1)(2^4 -1)(2^8 + 1) = (2^2 + 1)(2^2 - 1)(2^4 + 1)(2^4 - 1)(2^8 + 1) = 3 \times 15 \times 17 \times 15 \times 255\)，所以素因子为3, 5, 17, 255。
(完整版)初等数论练习题答案
初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。
.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。
7、18100被172除的余数是_256。
8、 =-1。
⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。
二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。
解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。