线性计算方法
8.2线性变换的运算一、加法及其算律
8.2 线性变换的运算V 是数域F 上的向量空间，用()L V 表示数域F 上向量空间V 的一切线性变换所成的集合.我们将在()L V 中引进加法、数乘和乘法.如何研究线性变换：注10第一个手段是对某空间V 的全体线性变换的集合()L V 引进运算：加法、数乘和乘法。
这样()L V 构成F 上的向量空间。
我们可以利用这些运算来研究线性变换。
20第二个手段。
在空间给定一个基，在该基下引入线性变换的矩阵，从而把空间的几何对象“线性变换”与数量对象“矩阵”进行了对应。
在解析几何中，点与坐标的对应称为“形”“数”转换，现在的线性变换与矩阵的对应是更广义的“形”“数”转换。
这种转换有两方面的好处：一方面可把向量空间与线性变换的一些问题转换为数字计算的问题；另一方面可把一些数量关系的问题联系上空间的性质（如线性变换的性质）而得到解决。
一、加法及其算律定义8.2.1 设()L V στ∈，，对于V 的每一向量ξ，令()()+στξξ与之对应，这样得到V 的一个变换，叫做σ与τ的和，记作+στ，即+στ：()()+στξξξ或()()()()+=+στστξξξ.求σ与τ的和的运算叫做σ与τ的加法.注10先定义和，再定义加法，()()+στξξ是V 中的向量。
+στ应看做一个整体，代表V 的一个新变换。
例8.2.1 设向量空间3F 的两个线性变换，对任意的()3123=x x x F ∈，，ξ，规定： ()()1231212=+x x x x x x x σ，，，，，()()123123312=+0x x x x x x x x x τ---，，，，，则()()()12312323=2x x x x x x x x στ+-，，+，，.命题1 V 的线性变换σ，τ的和+στ也是V 的一个线性变换.即()L V στ∀∈，，()+L V στ∈。
事实上，对任意的a b F ∈，，V ∈，ξη，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()+=.a b a b a b a b a b a b a b a b στστσσττστστστστστστ+=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+++++++++++ξηξηξηξηξηξξηηξξηηξη所以+στ是V 的一个线性变换.容易证明，线性变换的加法满足交换律和结合律.对任意的()L V ρστ∈，，，（1）+=+σττσ；（2）()()++=++ρστρστ；（3）令θ表示V 的零变换，对任意的()L V σ∈，有+=θσσ；（4）设()L V σ∈，σ的负变换σ-是指V 到自身的映射()σσ--：ξξ.σ-也是V 的线性变换，并且()+σσθ-=.命题2 σ-也是V 的线性变换。
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
计算方法2线性方程组直接法
04
矩阵的三角分解法
LU分解法
定义：将系数矩阵A分解为一个下三角 矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即 A=LU。
适用范围：适用于所有可逆矩阵，特别 适用于中小型稠密矩阵。
迭代法收敛性判断
在迭代法求解方程组时，可以通过观察迭代过程中解向量的范数的变化情况来判断迭代法 是否收敛。如果解向量的范数逐渐减小并趋于零，则表明迭代法收敛。
方程组性态分析
方程组的性态是指方程组解的存在性、唯一性和稳定性等方面的性质。通过分析方程组的 系数矩阵的范数，可以对方程组的性态进行初步的判断。例如，如果系数矩阵的谱半径（ 即最大特征值的模）较小，则方程组往往具有较好的性态。
03
线性方程组在科学研究、工程技术和经济管理等领域具有广 泛的应用。
直接法的定义与分类
1
直接法是一种通过有限步四则运算求解线性方程 组的方法，具有计算精度高、稳定性好的特点。
2
直接法可分为高斯消元法、列主元消元法、全主 元消元法等多种方法，其中高斯消元法是最基本 的方法。
3
各种直接法的主要区别在于选主元和消元的过程 中采用不同的策略，以达到提高计算精度和稳定 性的目的。
对系数矩阵A进行Crout分解，得到下三角矩阵L和单位 上三角矩阵U。
利用后向代入法求解Ux=y，得到向量x。
求解步骤
利用前向代入法求解Ly=b，得到向量y。
适用范围：适用于所有可逆矩阵，特别适用于中小型稠 密矩阵。与LU分解法和Doolittle分解法相比，Crout 分解法在某些情况下具有更高的计算效率。
性质
数学计算方法线性方程组解法
x(k1) 6.667 y(k) 8.667
y(k1) 2.5x(k) 4.0
5x 2y 8 3x 20y 26
k
0
x(k)
0
1 8.667
2 35.335
3
…
-109.126 …
y(k)
0
4.0
-17.668 -84.358 …
§3.1 问题的提出
...
a2n
,
b
b2
,
x
x2
... ... ... ...
...
...
an1
an2
...
ann
bn
xn
§3.1 问题的提出
➢如果A是非奇异阵时，方程组有唯一解， 且可以用克莱姆(Grammer)法则表示:
xi
Di D
,
(i 1, 2,..., n)
其中xi是解向量x*的第i个分量，D=detA, Di是用b代替A的第i列后得到矩阵的行列 式。
§3.1 问题的提出
➢克莱姆方法求解计算量太大，需要计 算(n+1)个n阶行列式，共需要(n+1)!次乘 法运算。
§3.1 问题的提出
• 求解线性方程组的数值方法有两大类：
1)直接法(direct methods)。 经过有限次 算术运算可求方程组精确解的方法(实 际上，由于舍入误差不可避免，一般 得不到精确解)。适合于求解低阶稠密 阵方程组。
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
§3.1 问题的提出
数学权重计算公式
数学权重计算公式数学权重计算公式是指在一个数据集中，对每个数据进行加权处理，以反映其重要性或优先级的一种计算方法。
一般来说，权重计算公式可以分为线性和非线性两种。
下面分别介绍这两种计算方法。
1.线性计算方法线性计算方法是指将每个数据按照其重要性或优先级进行排序，并分配一个权重系数，最终得出每个数据的权重值。
其数学公式如下：权重值= 数据值×权重系数其中，数据值是指某个数据在数据集中的具体数值，权重系数是指在数据集中，与该数据的重要性或优先级成正比的一个系数。
例如，一个学生的综合评价，可以采用成绩、参加活动等多种指标来进行评估。
以成绩为例，若A同学数学成绩为80分，而B同学数学成绩为90分，那么可以给A同学的数学成绩分配一个权重系数K1，给B同学的数学成绩分配一个权重系数K2，以此来反映两位同学数学成绩的重要性不同。
最后，通过计算每位学生的综合评价权重值，可以得出一个相对准确的评价结果。
2.非线性计算方法非线性计算方法是指在权重计算中，引入一些非线性的因素，以更好地反映实际情况。
其数学公式可以有多种，具体取决于所选用的非线性因素。
下面以指数函数为例，介绍一种常用的非线性权重计算方法：权重值= 指数函数(数据值×指数参数)其中，指数函数是指y = e^x，即以自然常数e为底数的指数函数，数据值和指数参数的含义同上。
例如，在进行股票投资决策时，我们可以考虑股票的价格、市盈率、市净率等多种指标。
以股票价格为例，若目前某股票的价格为100元，而其市盈率为10倍，市净率为2倍，那么可以给价格、市盈率、市净率分别分配一个指数参数k1、k2、k3，以此来反映这三个指标的重要性不同。
最后，通过计算每支股票综合评价的非线性权重值，可以得出一个更加准确的投资决策。
线性代数行列式计算方法总结
a =2
a2
总结：当行列式元素排列很有规律且维数与n有关是可以考虑递推法
例7 求下列行列式的值 分块三角形法
1 3 3 5
2 0 0 4 0 0
0 0 5
D= 1 2 2 1
4 1 0 2 6 8 4 14
2 4 6
所以，原行列式可化
1 2 1 5 1 2 D 1 ，D2 1 0 5 C 3 解：不妨令 3 4 8 4 14 5
用加边法即构造n1阶行列式使其按第一列行展开后等于原行列式行列式展开定理定义25在n阶行列式中划掉元素所在的第列剩下的元素按原来的相对位置排列形成的n1阶行列式称为元素的余子式记作为元素的代数余子定理24设n阶矩阵a则a的行列式等于它的任一行列的个元素与其代数余子式的乘积之和即11122122ijijnjnj计算n阶行列式解
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
பைடு நூலகம்
bn 0 0 an
上三角行列式
a1a2 =
an (a0
bi ci ) i 1 ai
x 例3 计算n阶行列式 a a
a x a
a a x
加法
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第 一行，提出公因子，再化为上三角行列式。
x a a
8 1 1 1 2 3 r3 r4 0 3 5 0 5 3
1 0 8 0 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 =16 2 2 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 r4 5r3 16 1 1 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 2 3 =128 1 1 0 8
a x a
a r 1 ri a x
线性角度计算公式
线性角度计算公式在数学中，线性角度是指两条直线之间的夹角。
线性角度的计算是一项基本的几何运算，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍线性角度的计算公式及其应用。
线性角度的计算公式如下：cos(θ) = (A·B) / (|A|·|B|)。
其中，θ表示两条直线的夹角，A和B分别表示两条直线的向量。
在这个公式中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，A·B表示向量A和B的点积。
线性角度的计算步骤如下：1. 计算向量A和B的点积A·B。
2. 计算向量A和B的模长|A|和|B|。
3. 将点积A·B除以模长|A|和|B|的乘积，得到cos(θ)。
4. 最后，通过反余弦函数，即可得到线性角度θ的数值。
线性角度的计算公式可以帮助我们准确地计算两条直线之间的夹角，从而在实际生活中得到广泛的应用。
下面我们将介绍一些线性角度计算公式的应用。
1. 工程测量。
在线性角度计算中，工程测量是一个重要的应用领域。
在建筑、道路、桥梁等工程项目中，需要准确地测量各个构件之间的夹角，以确保工程的准确性和稳定性。
线性角度计算公式可以帮助工程师们准确地计算各个构件之间的夹角，从而保证工程的质量。
2. 机械设计。
在机械设计中，线性角度计算公式也有着重要的应用。
例如，在机械零件的设计中，需要准确地计算各个零件之间的夹角，以确保机械设备的正常运转。
线性角度计算公式可以帮助机械工程师们准确地计算各个零件之间的夹角，从而保证机械设备的正常运转。
3. 地图制图。
在地图制图中，线性角度计算公式也有着广泛的应用。
地图制图需要准确地测量各个地理要素之间的夹角，以确保地图的准确性和可读性。
线性角度计算公式可以帮助地图制图师们准确地计算各个地理要素之间的夹角，从而保证地图的准确性和可读性。
4. 物理学。
在物理学中，线性角度计算公式也有着重要的应用。
例如，在力学中，需要准确地计算各个力之间的夹角，以确保物体的平衡和稳定。
60到100线性得分计算公式
60到100线性得分计算公式正在传授，考评，测验知识等方面，以60到100线性得分计算公式作为指标，最近广受欢迎。
针对对60到100线性得分的散乱情况，本文将从统计学的角度深入研究。
首先，要讨论60到100线性得分计算公式，需要先明确相关术语。
这个公式是一种用于计算总分的规则，每种类型的考试、测验和考核都有相应的总分，这个总分也就是60到100线性得分。
这个公式采用线性结构，其中总分是按比例计算出来的，这里的比例被称为“线性系数”（linear coefficient）。
其次，60到100线性得分计算公式有三种方法，分别是求和法、比例法和函数法。
（1）求和法：求和法是最常用的60到100线性得分计算方法，是指将考试、测验和考核的每一项分数相加，再乘以线性系数来计算总分。
（2）比例法：比例法是指每一项考试、测验和考核的得分按照一定的比例来分配总分，再乘以线性系数来计算最终总分。
（3）函数法：函数法是指将考试、测验和考核的每一项分数用函数表示，各项分数的函数值相乘，然后再乘以线性系数来计算总分。
此外，60到100线性得分计算还受到经济学原理的影响，此时考试、测验和考核的分数，可以看作是由一组有限多变量组成的经济系统，分数的变化可以看作经济系统的变化。
经济学原理可以用来研究60到100线性得分模型中的问题，以找出更好的解决方案。
最后，60到100线性得分计算的最终结果不仅受到统计学规则的影响，也受到经济学原理的影响，因此，使用60到100线性得分计算公式时，要尽量考虑到统计学规则和经济学原理的影响，同时努力使结果能够更准确地反映实际情况。
总之，60到100线性得分计算公式是以统计学规则和经济学原理为基础，以求和法、比例法和函数法为基本方法，用于计算考试、测验和考核总分的一种计算方法，目的是使结果更加精确地反映实际情况，以更好地反映考试、测验和考核的分数情况。
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第八章线性相关前面着重于描述某一变量的统计特征或比较该变量的组间差别两个随机变量之间的关系：如体重与肺活量、年龄与血压是否存在线性联系？正向还是负向？联系的程度？线性相关（linear correlation）：线性联系？方向？程度？8.1 线性相关概念1．独立随机的双变量正态分布样本讨论两个变量X和Y的相关性。
样本：独立的、成对的观察值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)第八章线性相关 2例8.1 为讨论父子身高间的线性相关程度，南方某地在应届中学毕业生花名册中随机抽取20名男生，分别测量他们和他们的父亲的身高(cm)，得样本资料如表8.1所示。
表8.1 20对父子的身高(cm)数据问如何保证这是一份可供讨论线性相关的合格样本?解（1）随机抽取；（2）互相独立？2．散点图(scatter plot)线性相关3/17座标轴：分别表示两个变量；n个点：构成一幅散点图（图8.1）第八章线性相关 4图8.2 典型散点图线性相关 5/17图(a)和(c)，正相关(positive correlation)图(b)和(d)，负相关(negative correlation)图(e) 、(f) 、(g)，Y 和X 无关联图 (h)，可能存在曲线型联系。
通常所说的相关就是线性相关，(e)到(h)均属不相关对于不相关的情形，宜进一步澄清是否为曲线关系8.2 相 关 系 数Pearson 积矩相关系数(product-moment correlation coefficient) 对双变量正态分布变量X 和Y的方差）的方差（的协方差和相关系数)(Y Y X X (8.1)第八章 线性相关 6总体相关系数，记为ρρ＝0，X 和Y 无线性相关或零相关(null correlaton)ρ >0, 正相关ρ <0, 负相关ρ＝1或-1, 完全相关（罕见！）。
样本相关系数,记为r对于n 对随机样本，X 和Y 的样本协方差：11))((1-=---=∑=n l n y y x x Y X xyn i i i 的样本协方差和 (8.2)l xy ：X 与Y 的离均差乘积和若所有离均差乘积平均后接近零，则表明部份个体的X 和Y 同方向，部份个体的X 和Y 反方向，总的说来，诸个体各循其道，杂线性相关 7/17乱无章相反，若离均差乘积平均后为正，且距零较远，则表明多数个体的X 和Y 同方向，即正相关；若离均差乘积平均后为负，且距零较远，则表明多数个体的X和Y 反方向，即负相关。
协方差的大小与X ，Y 的取值单位有关，不同问题中的协方差不可比较。
相关系数：X 和Y 分别标准化之后的协方差。
数值介于-1和+1之间,且没有单位])(1][)(1[))((1)()())((2112211211111221∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========---=----==n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i n i i i n i i i yy xx xy y n y x n x y x n y x y y x x y y x x l l l r(8.3)第八章 线性相关 8l xx : X 的离均差平方和 l yy :Y 的离均差平方和例8.2 试计算例8.1中父高X 和子高Y 的样本相关系数(假定系独立随机双正态样本)。
解∑=n i i x 1＝3376， ∑=n i i y 1＝3407， n =20 ∑=n i i x12＝571728， ∑=n i i y 12＝581081， ∑=ni i i y x 1＝576161 由(8.3)式得到，9296.0)55.698)(2.1859(4.1059)20/3407581081)(20/3376571728(20/)3407)(3376(57616122==---=r 8.3 相关系数的统计推断样本相关系数r 只是总体相关系数ρ的一个估计值。
样本相关系数也存在变异性。
线性相关 9/17得到线性相关的描述统计量r 之后，还有必要对其所来自的总体进行统计推断。
1． 相关系数的假设检验H 0: ρ＝0直接查r 界值表或 t 检验：rr s r t 0-= v =n -2 (8.4) 212--=n r s r (8.5) S r : 样本相关系数r 的标准差(也称标准误)。
例8.3 继例8.2中算得r ＝0.9296后，试检验相关是否具有统计学意义。
第八章 线性相关 10解 （1）直接查r 界值表可得到r 0.001，18 = 0.679， | r | ＞r 0.001，18，P ＜0.001，（2）t 检验H 0：ρ＝0， H 1：ρ≠0，α=0.05。
7.102209296.019296.02=--=r t 查t 分布表，得到t 0.001，18＝3.922。
显然｜t r ｜＞3.922，P ＜0.001。
故拒绝H 0，接受H 1，可以认为父子身高之间存在正相关关系。
与查表结论相同。
2． 相关系数的区间估计(1) 对样本相关系数r 作变换r z 1tanh -= 或 )11ln(21r r z -+= (8.6)(tanh为双曲正切函数，tanh-1为反双曲正切函数)tanh-的1－α置信区间(2) 按正态近似原理，得到ρ1) (8.7a)znuz-nu33(-+-,αα(8.7b)缩写为3z±nu-α(3) 上下限作反变换r=tanh z即可得到总体相关系数ρ的1-α置信区间。
例8.4 例8.2中样本相关系数r＝0.9296，求总体相关系数ρ的95%置信区间。
解z=tanh-10.9296=1.6554ρ1tanh-的95%置信区间为1.6554=96.1(1.1800，2.1308)/20-±3将其上下限作反变换，得到总体相关系数ρ的95%置信区间为(0.8275，0.9722)8.4 等 级 相 关有时，原始数据并不服从正态分布或其总体分布未知; 数据中有“超限值”存在; 数据本身就是等级资料此时采用等级相关(rank correlation)或秩相关—非参数统计方法。
1． Spearman 等级相关(1)将n 对观察值X i 和Y i 分别由小到大编秩(数值相同时取平均秩次)，以p i 表示X i 的秩次；q i 表示Y i 的秩次(2) d i =p i －q i(3) )1(61212--=∑=n n d r n i i s (8.8)假设检验 H 0：ρs ＝0, H 1：ρs ≠0当样本例数n 较小时，可用查表法(r s 界值表)如n>20，也可将r s直接代替式(8.4)和(8.5)中的r作t检验或查r界值表。
例8.5 肝癌病因研究，调查了10个乡肝癌死亡率(1/10万)与某种食物中黄曲霉毒素相对含量(以最高含量为10), 试作等级相关分析。
解表8.2 等级相关系数计算表编号(1)黄曲霉毒素肺癌死亡率X（相对含量）(2)秩次p(3)Y (1/10万)(4)秩次q(5)d(6)=(3)-(5)d 2(7)=(6)21 2 3 4 5 6 7 8 9 100.71.01.73.74.05.15.55.75.910.01234567891021.518.914.446.527.364.646.334.277.655.132174965108-22-31-313-12449191914合计42第⑶、⑸栏，若有观察值相同，则取平均秩次。
第⑹、⑺栏, 求每对秩次的差值d 、d 2和Σd 2按式(8.8)计算统计量r s7455.01010)42(613=--=s r 本例n ＝10，查r s 界值表，得0.02>P >0.01，按α＝0.05水准拒绝H o ，可以认为黄曲霉毒素与肝癌死亡率间存在正相关。
2. 相同秩次较多时r s 的计算当 ,,21x x 和 ,,21y y 中存在相同秩次时，（8.8）式不再适用,应利用秩次i p 和i q 直接计算积矩相关系数。
当 ,,21x x 中不存在相同秩次以及 ,,21y y 中也不存在相同秩次时，这样算得的s r 和利用（8.8）式计算的结果完全一致。
3. r 与r s 的区别与联系区别： 积矩相关要求数据服从双变量正态分布，属于参数统计量；等级相关并不要求正态分布，属于非参数统计量。
8.5 线性相关分析的注意事项1.散点图的重要性并非任何有联系的两个变量都属线性联系。
如果从散点图可初步看出变量分布非正态，则应考虑作等级相关而不宜作积矩相关。
当散点图中出现异常点(outlier)时要慎重处理。
必要时可通过等级相关来减小异常点的不良影响2.变量取值非随机时莫作相关例如，为研究药物的剂量-反应关系，人们选定n种剂量，观察每种剂量下动物的反应；又如，摸索化学反应的适宜条件，人们选定几种温度，观察各温度下生成物的数量。
此时得到的数据就不是随机样本，即使按样本相关系数的公式计算，所得结果并不接近总体相关系数，而可能因人为选定变量值的范围不同而不同。
3.对相关的解释一定要结合专业背景，切不可把任意两个变量拉在一起盲目下结论。
例如，某人喜得贵子，庭前种一小树，每月测子高与树高，计算发现子高与树高间的相关有统计意义，难道两者真有内在联系？统计学上的关联性，不一定是因果联系。
样本足够大时绝对值较小的样本相关系数也易于得到较小的P值，有统计学意义并不一定反映相关就很密切.4.慎重合并分层资料图8.3 慎用相关的情形(a)异常值(b)、(c)、(d)分层资料。