第3章海洋中的声传播理论讲义
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海洋声学特征
第3章 海洋的声学特性
07:06
本章目的
• 本章从声学角度讨论海洋、海洋的不均匀 性和多变性，弄清声信号传播的环境，有 助于海中目标探测、声信号识别、通讯和 环境监测等问题的解决。
07:06
3.1 海水中的声速
1、声速（ Sound Speed ） 海洋中的重要声学参数，也是海洋中声传
播的基本物理参数。
07:06
3.1 海水中的声速
2、声速测量
测量仪器设备：温度深度记录仪和声速仪 。
温度深度记录仪： 通过热敏探头测量 水中温度，同时通 过压力传感器给出 深度信息，可以转 换给出声速。
07:06
3.1 海水中的声速
2、声速测量
声速仪是声学装置： •声循环原理工作：
前一个脉冲到达接收 器，触发后一个脉冲从发 射器发出，记录每秒钟脉 冲的发射次数f，发射器 和接收器的距离L已知。 •声速：c=fL。
c 1449.22 cT cS cP cSTP
上式适用范围：-3℃<T<30℃、33‰<S<37‰
1.013 105 N / m2 1个大气压 P 980 105 N / m2
07:06
3.1 海水中的声速
声速经验公式
• 海水中盐度变化不大，典型值35‰； • 经常用深度替代静压力，每下降10m水深 近似增加1个大气压的压力； • 1℃＝（1oF-32）5/9。
07:06
3.1 海水中的声速
海洋中声速的基本结构 典型深海声速剖面： 温度分布“三层结构”： （1）表面层（表面等温 层或混合层）：
海洋表面受到阳光照 射，水温较高，但又受到 风雨搅拌作用。
07:06
3.1 海水中的声速
海洋中声速的基本结构
07:06
本章目的
• 本章从声学角度讨论海洋、海洋的不均匀 性和多变性，弄清声信号传播的环境，有 助于海中目标探测、声信号识别、通讯和 环境监测等问题的解决。
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3.1 海水中的声速
1、声速（ Sound Speed ） 海洋中的重要声学参数，也是海洋中声传
播的基本物理参数。
07:06
3.1 海水中的声速
2、声速测量
测量仪器设备：温度深度记录仪和声速仪 。
温度深度记录仪： 通过热敏探头测量 水中温度，同时通 过压力传感器给出 深度信息，可以转 换给出声速。
07:06
3.1 海水中的声速
2、声速测量
声速仪是声学装置： •声循环原理工作：
前一个脉冲到达接收 器，触发后一个脉冲从发 射器发出，记录每秒钟脉 冲的发射次数f，发射器 和接收器的距离L已知。 •声速：c=fL。
c 1449.22 cT cS cP cSTP
上式适用范围：-3℃<T<30℃、33‰<S<37‰
1.013 105 N / m2 1个大气压 P 980 105 N / m2
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3.1 海水中的声速
声速经验公式
• 海水中盐度变化不大，典型值35‰； • 经常用深度替代静压力，每下降10m水深 近似增加1个大气压的压力； • 1℃＝（1oF-32）5/9。
07:06
3.1 海水中的声速
海洋中声速的基本结构 典型深海声速剖面： 温度分布“三层结构”： （1）表面层（表面等温 层或混合层）：
海洋表面受到阳光照 射，水温较高，但又受到 风雨搅拌作用。
07:06
3.1 海水中的声速
海洋中声速的基本结构
第三章海洋的声学特性ppt课件
n=0：适用管道中的声传播，平面波传播， TL=0；
n=1：适用外表声道和深海声道，柱面波传播， TL=10logr，相当于全反射海底和全反射海面 组成的理想波导中的传播条件；
n=1.5：适用计及海底声吸收时的浅海声传播 ， TL=15logr，相当于计入界面声吸收所引起的 对柱面波的传播损失的修正；
n=2：适用于开阔水域〔自在场〕，球面波传 播，TL=20logr；
吸收系数 均匀介质的声吸收 介质切变粘滞的声吸收〔经典声吸收〕 介质热传导声吸收〔经典声吸收〕 驰豫吸收〔超吸收〕
假设平面波传播间隔 dx 后，由于声吸收而引 起声强降低为 dI ，那么
dI2Idx
IxI0e2x取自然对数得：Fra bibliotek1 x
ln
p0
px
lnp0/px为声压振幅的自然对数衰减，
无量纲，称为：奈贝(Neper) 物理意义：单位间隔的奈贝数，Neper/m 通常将声强写成下式：
IxI01 0x10
取常用对数得：
1x0 lgII0 x2x0 lgpp0 x
物理意义：单位间隔的分贝数，dB/m
2 xl0g eln p p 0 x 20lg e8.68
反向散射强度(朝声源方 向的声散射。) ：单位 界面上单位立体角中所 散射出去的功率与入射 波强度之比。
深海平原海底反向散射强度与入射角的关系
在小入射角时，散射 强度随入射角增大而减小， 与频率普通无关 入射角>5度时，散射
强度10lgms近似与cos2
成正比 大入射角时，散射强度能够与频率的四次方成
即：1Neper=8.68dB
声吸收引起的传播损失：
T L 1l0 g I I1 x x 1 xx1
n=1：适用外表声道和深海声道，柱面波传播， TL=10logr，相当于全反射海底和全反射海面 组成的理想波导中的传播条件；
n=1.5：适用计及海底声吸收时的浅海声传播 ， TL=15logr，相当于计入界面声吸收所引起的 对柱面波的传播损失的修正；
n=2：适用于开阔水域〔自在场〕，球面波传 播，TL=20logr；
吸收系数 均匀介质的声吸收 介质切变粘滞的声吸收〔经典声吸收〕 介质热传导声吸收〔经典声吸收〕 驰豫吸收〔超吸收〕
假设平面波传播间隔 dx 后，由于声吸收而引 起声强降低为 dI ，那么
dI2Idx
IxI0e2x取自然对数得：Fra bibliotek1 x
ln
p0
px
lnp0/px为声压振幅的自然对数衰减，
无量纲，称为：奈贝(Neper) 物理意义：单位间隔的奈贝数，Neper/m 通常将声强写成下式：
IxI01 0x10
取常用对数得：
1x0 lgII0 x2x0 lgpp0 x
物理意义：单位间隔的分贝数，dB/m
2 xl0g eln p p 0 x 20lg e8.68
反向散射强度(朝声源方 向的声散射。) ：单位 界面上单位立体角中所 散射出去的功率与入射 波强度之比。
深海平原海底反向散射强度与入射角的关系
在小入射角时，散射 强度随入射角增大而减小， 与频率普通无关 入射角>5度时，散射
强度10lgms近似与cos2
成正比 大入射角时，散射强度能够与频率的四次方成
即：1Neper=8.68dB
声吸收引起的传播损失：
T L 1l0 g I I1 x x 1 xx1
第3章 海洋中的声传播理论
第3章 海洋中的声传播理论 29
2
2
3.2 波动声学基础
（3）函数Rn(r) 由零阶贝塞尔方程，可得 Rn r 的解：
Rn r jZ n z0 H 0 n r
2
2 2 j sin k zn z0 H 0 n r H
水声学
第3章 海洋中的声传播理论
①平面波情况
x =f t c
水声学
1 0 x c t
第3章 海洋中的声传播理论
jk 0 x
15
3.1 波动方程和定解条件
②柱面波情况
lim r jk 0 r r
③球面波情况
注意负号的物理含义。
水声学 第3章 海洋中的声传播理论 13
3.1 波动方程和定解条件
④边界上密度或声速有限间断
边界上压力和法向质点振速连续：
p s0 p s0
1 p 1 p n n s 0 s 0
若压力不连续，压力突变或质量加速度趋于无穷；
水声学
第3章 海洋中的声传播理论
24
3.2 波动声学基础
（1）波动方程
d 2 Rn 1 dRn d 2 Zn 2 2 Zn 2 Rn 2 k0 Z n r z z0 r dr r n dz dr
——第二类非齐次边界条件
水声学 第3章 海洋中的声传播理论 12
3.1 波动方程和定解条件
③混合边界条件：声压和振速线性组合
p a bp f s n s
——若a和b为常数，则为第三类边界条件 若 f s 0 ，则为阻抗边界条件： p Z un
2
2
3.2 波动声学基础
（3）函数Rn(r) 由零阶贝塞尔方程，可得 Rn r 的解：
Rn r jZ n z0 H 0 n r
2
2 2 j sin k zn z0 H 0 n r H
水声学
第3章 海洋中的声传播理论
①平面波情况
x =f t c
水声学
1 0 x c t
第3章 海洋中的声传播理论
jk 0 x
15
3.1 波动方程和定解条件
②柱面波情况
lim r jk 0 r r
③球面波情况
注意负号的物理含义。
水声学 第3章 海洋中的声传播理论 13
3.1 波动方程和定解条件
④边界上密度或声速有限间断
边界上压力和法向质点振速连续：
p s0 p s0
1 p 1 p n n s 0 s 0
若压力不连续，压力突变或质量加速度趋于无穷；
水声学
第3章 海洋中的声传播理论
24
3.2 波动声学基础
（1）波动方程
d 2 Rn 1 dRn d 2 Zn 2 2 Zn 2 Rn 2 k0 Z n r z z0 r dr r n dz dr
——第二类非齐次边界条件
水声学 第3章 海洋中的声传播理论 12
3.1 波动方程和定解条件
③混合边界条件：声压和振速线性组合
p a bp f s n s
——若a和b为常数，则为第三类边界条件 若 f s 0 ，则为阻抗边界条件： p Z un
海洋中的声传播理论详解课件
THANKS
感谢观看
声波在海洋中的散射和吸收导致信号强度衰减，使得远程通信和探测的可靠性降低 。
高分辨率声传播模型的发展
针对声传播的复杂性和不确定 性，发展高分辨率声传播模型 是重要的研究方向。
高分辨率模型能够更准确地模 拟声波在海洋中的传播路径和 能量衰减，提高预测精度。
通过引入更多的环境参数和改 进模型算法，可以更好地模拟 声传播过程，为实际应用提供 更可靠的依据。
当声波从一种介质传播到另一种介质时，由于介质密度的变化，声波的传播方 向会发生改变。在海洋中，声波从海水传播到空气时会产生折射现象。
声波反射
当声波遇到不同介质的界面时，部分或全部声波能量会返回原介质。在海洋中 ，声波遇到海底或海面时会产生反射现象。
声波的散射与吸收
声波散射
在海洋中，由于海水的密度、温度和盐度等分布不均匀，声波在传播过程中会发 生散射现象，导致声能分散。
02
海洋声学基础
海洋的物理特性
温度
海水温度随深度增加而 降低，影响声波传播速
度和衰减。
盐度
海水中盐分浓度影响声 波传播速度和衰减。
压力
深海压力大，影响声波 传播速度和衰减。
混浊度
海水中悬浮颗粒物和浮 游生物影响声波传播。
声波在海水中的传播速度
低频声波传播速度高 于高频声波。
深海声道现象：在一 定深度以下，声波传 播速度随深度增加而 增加。
海洋中的声传播理论详解课件
contents
目录
• 声波的基本理论 • 海洋声学基础 • 海洋中的声传播现象 • 海洋声传播的应用 • 海洋声传播的挑战与展望
01
声波的基本理论
声波的产生与传播
声波的产生
第3章海洋中的声传播理论详解
方程②：
d 2 Rn 1 dRn 2 (r ) Z n ( z0 ) 2 n Rn 2 dr r dr r
方程①的通解——本征函数 ：
Z n z An sink zn z Bn cosk zn z
对应的 k zn ——本征值
College of Underwater Acoustic Engineering Harbin Engineering University
n
c pn n
群速度：波形包络的传播速度
d cgn d n
说明：浅海水层属于频散介质。
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硬底均匀浅海声场
相速和群速与声波频率的关系
2 2
阶数最大取值:
H 1 N c 2 0
结论：当简正波阶数 n N 时， n 为虚数，此 时简正波随距离增大指数衰减
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本征函数(Eigen Function)
Z n z An sin k zn z , 0 z H
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根据正交归一化条件 ：
H
0
Z m z Z n z dz 1
混合边界条件——压力和振速线性组合 边界上密度或声速的有限间断——压力和法向质 点振速连续 关于连续的解释： 若压力不连续，质量加速度趋于无穷的不合理 现象； 若法向振速不连续，边界上出现介质“真空” 或“聚集”的不合理现象。
华北理工水声学课件03海洋中的声传播理论-4分层介质中的射线声学
R1 1
x 1
z
z
声线轨迹
声线水平传播距离
③当梯度为恒定值时，声线轨迹为圆弧，则水平距离：
x
R1
sin 1
sinz
cz1
cos1
g
sin 1
sinz
通常情况下已知的是声线
O
x
z
经过的垂直距离，因此，
z
④水平距离的另一种形式为：
z1
1 x
1
1
(
2
(1
2
))
R1 1
x
(
z1
z)
/
tg
声线传播时间
传播时间的另一种表达式③：
1 d
t
g 1 cos
① 式为求传播时间的基本公式 ② 式是对深度进行积分的求解公式 ③ 式是对掠射角进行积分的求解公式
线性分层介质中的声线图
线性声速分层近似下的声线图
c0
c
x
0
ci (z) gi z
i zi
xi
i1
x
线性分层介质中的声线图
x2
z
1 a
2
1 a2
O(x0 , z0 ) z
声线轨迹
声线轨迹方程 ②声线在海面处以任意掠射角1 出射，声线的轨迹方程：
x O
1
x
tg1
a
2
z
1 a
2
a
1
cos 1
2
R
1
O(x1, z1) z
声线轨迹
声线水平传播距离 ①任意声速分布下声线经过的水平距离：
c(z) O
计算复杂；
不能处理影区和焦散区附 近的声场；
第三章 海洋的声学特性
第三章 海洋的声学特性本章从声学角度讨论海洋、海洋的不均匀性和多变性，弄清声信号传播的环境，有助于海中目标探测、声信号识别、通讯和环境监测等问题的解决。
3.1 海水中的声速声速：海洋中重要的声学参数，也是海洋中声传播的最基本物理参数。
海洋中声波为弹性纵波，声速为：s c ρβ1=式中，密度ρ和绝热压缩系数s β都是温度T 、盐度S 和静压力P 的函数，因此，声速也是T 、S 、P 的函数。
1、声速经验公式海洋中的声速c （m/s ）随温度T （℃）、盐度S （‰）、压力P （kg/cm 2）的增加而增加。
经验公式是许多海上测量实验的总结得到的，常用的经验公式为：较为准确的经验公式：STP P S T c c c c c ∆∆∆∆++++=22.1449式中，4734221007.510822.2104585.56233.4T T T T c T ---⨯-⨯+⨯-=∆()()2235108.735391.1-⨯--=-S S c S ∆4123925110503.310451.3100279.11060518.1P P P P c P ----⨯-⨯+⨯+⨯=∆()[][][]TP T T P T T T P PTP P T S c STP 31021012382546214310745.110286.910391.210644.6103302.110796.21009.21096.11061.210197.135----------⨯-⨯+⨯-+⨯-⨯+⨯-+⨯-⨯-⨯+⨯--=∆上式适用范围：-3℃<T<30℃、33‰<S<37‰、()2525/109801/10013.1m N P m N ⨯<<⨯个大气压。
35‰；经常用深度替代静压力，每下降10m 水深近似增加1个大气压的压力。
声速c 的数值变化虽然微小，但它对长距离传播声线的分布、射程、传播时间等量的影响很大，因此需要有准确的声速数值。
第3章海洋中的声传播理论2
代表声线的方向，处处与等相位面垂直。
将形式解代入波动方程：
2 A A
k02
k
2
j
k0
2A A
2
0
8
射线声学的基本方程
2 A
A
k02
k2
0
2
2 A
A
0
当 2 A A k 2 时，
2
k k0
2
n2 x
,
y
,
z
强度方程 程函方程
9
射线声学的基本方程
两个基本方程
2 n2
2
2 A
x
x
x
x s
y
y s
z
z s
n cos2 n cos2 n cos2 n
x
x
15
射线声学的基本方程
d ncos n
ds
x
第（3）种表示式： d n cos n
ds
y
d ncos n
ds
z
矢量方程形式：
d n
ds
16
射线声学的基本方程
应用举例
c 声速 为常数
1x nzcos
x
2 z nzcos
z
因此，
1x nzcosdx
2z nzcosdz
22
射线声学的基本方程
求解程函的显式
O
根据Snell定律
x
1x cos0 x C1
nzcos n sin
n2 cos2 0
2 z
z z0
n2 cos2 0 dz C2
程函：x , z cos0 x
定条件限制下波动方程的近似解。
2
射线声学的基本方程
将形式解代入波动方程：
2 A A
k02
k
2
j
k0
2A A
2
0
8
射线声学的基本方程
2 A
A
k02
k2
0
2
2 A
A
0
当 2 A A k 2 时，
2
k k0
2
n2 x
,
y
,
z
强度方程 程函方程
9
射线声学的基本方程
两个基本方程
2 n2
2
2 A
x
x
x
x s
y
y s
z
z s
n cos2 n cos2 n cos2 n
x
x
15
射线声学的基本方程
d ncos n
ds
x
第（3）种表示式： d n cos n
ds
y
d ncos n
ds
z
矢量方程形式：
d n
ds
16
射线声学的基本方程
应用举例
c 声速 为常数
1x nzcos
x
2 z nzcos
z
因此，
1x nzcosdx
2z nzcosdz
22
射线声学的基本方程
求解程函的显式
O
根据Snell定律
x
1x cos0 x C1
nzcos n sin
n2 cos2 0
2 z
z z0
n2 cos2 0 dz C2
程函：x , z cos0 x
定条件限制下波动方程的近似解。
2
射线声学的基本方程
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描述：无穷远处没有声源存在时，其声场应具有 扩散波的性质——辐射条件
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9
奇性条件
均匀发散球面波在声源处存在奇异点，不满足波动 方程；
处理方法：引入狄拉克函数。 结论：非齐次波动方程包含奇性定解条件。
8
混合边界条件——压力和振速线性组合 边界上密度或声速的有限间断——压力和法向质
点振速连续
关于连续的解释：
若压力不连续，质量加速度趋于无穷的不合理 现象；
若法向振速不连续，边界上出现介质“真空” 或“聚集”的不合理现象。
注意：上述边界条件只限制波动方程一般解（通解） 在边界上的取值
辐射条件
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6
2、定解条件
边界条件
绝对软边界(声压释放边界)——声压为零
不平整海面： z x , y , t
1）第一类齐次边界条件：
p x , y , , t zx , y , t 0
声速：c0
密度：0
边界
自由海面
硬质平整海底
波导模型
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12
简正波
由于声场的圆柱对称性，水层中声场满足柱坐标系下 的波动方程：
1 r
r
r
p r
2 p z 2
2
本章主要内容
Snell折射定律和声线弯曲 声线轨迹 声线传播时间 线性分层介质中的声线图 聚焦因子 波动理论与射线理论的比较
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3
1、波动方程
研究水下声传播的常用方法 波动理论 研究声信号的振幅和相位在声场中的变化 简正波(NM)模型、绝热简正波(Adiabatic)模型、耦 合简正波(Couple)模型 Kraken、Couple 射线理论 研究声场中声强随射线束的变化 BELLHOP、HARPO&EIGEN、RTPO（自研） PE、FFP、Multipath Extension WKB
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4
1、波动方程
波动方程
由连续性方程、运动方程、状态方程得到波动方程
2 p
1 c2
2 p t 2
1
p
0
密度均匀介质中的Helmholtz方程：
2 p k 2x , y , zp 0
初始条件
当求远离初始时刻的稳态解时，可不考虑初始条件
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10
第四章 海洋中的声传播理论
波动声学基础
3、, z0 ) 水深：H
2）边界面上有压力分布：
p x , y , , t zx , y , t ps
——第一类非齐次边界条件
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7
绝对硬边界——法向质点振速为零
1）平整硬质海底： p 0
说明：上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程 ——泛定方程
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5
2、定解条件
定解条件 波动方程：给出声波传播所遵循的普遍规律 定解条件：声波传播所满足的具体条件 类型： 边界条件 辐射条件 奇性条件 初始条件
k02
p
4A
r
r0
即：
2 r
p
2
1 r
p r
2 z
p
2
k
2 0
p
2 r
r
z
z0
应用分离变量法，令：
pr , z Rn rZn z
n
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13
经分离变量得到
n
Z
n
d 2Rn dr 2
1 r
dRn dr
Rn
d 2Zn dz 2
k02 Z n
2 r
(r)
(z
z0
)
方程①：
d 2Zn dz2
(k02
2 n
)Z
n
0
方程②：
d 2Rn dr 2
1 r
dRn dr
n2Rn
2 (r)Zn (z0 )
r
方程①的通解——本征函数 ：
Zn z An sinkzn z Bn coskzn z
z z0
2）不平整硬质海底：z x , y , t
n u
x
ux
y
uy
uz
0
——第二类齐次边界条件
3）界面上有质点振速分布
x
ux
y
u
y
uz
us
——第二类非齐次边界条件
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对应的 kzn ——本征值
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0 z H
14
问题：系数An、Bn、kZN如何确定？
根据边界条件：
自由海面： Zn 0 0
Bn 0
硬质海底：Zn H 0
第3章 海洋中的声传播理论
波动方程和定解条件 波动声学基础
本章主要内容
波动方程和定解条件 波动声学基础 硬底均匀浅海声场 液态海底均匀浅海声场 射线声学的基本方程 射线理论的应用条件
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An 0 X
或 kznH (n 1/ 2) , n 1,2, √
本征值(Eigen Value)
kzn
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9
奇性条件
均匀发散球面波在声源处存在奇异点，不满足波动 方程；
处理方法：引入狄拉克函数。 结论：非齐次波动方程包含奇性定解条件。
8
混合边界条件——压力和振速线性组合 边界上密度或声速的有限间断——压力和法向质
点振速连续
关于连续的解释：
若压力不连续，质量加速度趋于无穷的不合理 现象；
若法向振速不连续，边界上出现介质“真空” 或“聚集”的不合理现象。
注意：上述边界条件只限制波动方程一般解（通解） 在边界上的取值
辐射条件
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6
2、定解条件
边界条件
绝对软边界(声压释放边界)——声压为零
不平整海面： z x , y , t
1）第一类齐次边界条件：
p x , y , , t zx , y , t 0
声速：c0
密度：0
边界
自由海面
硬质平整海底
波导模型
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简正波
由于声场的圆柱对称性，水层中声场满足柱坐标系下 的波动方程：
1 r
r
r
p r
2 p z 2
2
本章主要内容
Snell折射定律和声线弯曲 声线轨迹 声线传播时间 线性分层介质中的声线图 聚焦因子 波动理论与射线理论的比较
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3
1、波动方程
研究水下声传播的常用方法 波动理论 研究声信号的振幅和相位在声场中的变化 简正波(NM)模型、绝热简正波(Adiabatic)模型、耦 合简正波(Couple)模型 Kraken、Couple 射线理论 研究声场中声强随射线束的变化 BELLHOP、HARPO&EIGEN、RTPO（自研） PE、FFP、Multipath Extension WKB
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4
1、波动方程
波动方程
由连续性方程、运动方程、状态方程得到波动方程
2 p
1 c2
2 p t 2
1
p
0
密度均匀介质中的Helmholtz方程：
2 p k 2x , y , zp 0
初始条件
当求远离初始时刻的稳态解时，可不考虑初始条件
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10
第四章 海洋中的声传播理论
波动声学基础
3、, z0 ) 水深：H
2）边界面上有压力分布：
p x , y , , t zx , y , t ps
——第一类非齐次边界条件
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绝对硬边界——法向质点振速为零
1）平整硬质海底： p 0
说明：上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程 ——泛定方程
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5
2、定解条件
定解条件 波动方程：给出声波传播所遵循的普遍规律 定解条件：声波传播所满足的具体条件 类型： 边界条件 辐射条件 奇性条件 初始条件
k02
p
4A
r
r0
即：
2 r
p
2
1 r
p r
2 z
p
2
k
2 0
p
2 r
r
z
z0
应用分离变量法，令：
pr , z Rn rZn z
n
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经分离变量得到
n
Z
n
d 2Rn dr 2
1 r
dRn dr
Rn
d 2Zn dz 2
k02 Z n
2 r
(r)
(z
z0
)
方程①：
d 2Zn dz2
(k02
2 n
)Z
n
0
方程②：
d 2Rn dr 2
1 r
dRn dr
n2Rn
2 (r)Zn (z0 )
r
方程①的通解——本征函数 ：
Zn z An sinkzn z Bn coskzn z
z z0
2）不平整硬质海底：z x , y , t
n u
x
ux
y
uy
uz
0
——第二类齐次边界条件
3）界面上有质点振速分布
x
ux
y
u
y
uz
us
——第二类非齐次边界条件
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对应的 kzn ——本征值
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0 z H
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问题：系数An、Bn、kZN如何确定？
根据边界条件：
自由海面： Zn 0 0
Bn 0
硬质海底：Zn H 0
第3章 海洋中的声传播理论
波动方程和定解条件 波动声学基础
本章主要内容
波动方程和定解条件 波动声学基础 硬底均匀浅海声场 液态海底均匀浅海声场 射线声学的基本方程 射线理论的应用条件
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An 0 X
或 kznH (n 1/ 2) , n 1,2, √
本征值(Eigen Value)
kzn