图的连通性
图论讲义第2章-连通性
第二章 图的连通性在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。
对于连通图，其连通的程度也有高有低。
例如，下列三个图都是连通图。
对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。
通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。
§2.1 割点和割边定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u , v 两点是其割点。
定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。
证明留作习题。
推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。
定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。
证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。
若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。
若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。
从而)(1)(T w v T w ==−。
因此v 不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。
路uvw 是T 中一条),(w u 路。
因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>−。
图连通性算法及应用
图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。
图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。
一、连通性的定义与分类在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。
强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无向图是连通的。
本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。
二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。
通过深度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否连通。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完所有连通的顶点。
通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层次遍历树，从而判断图是否连通。
三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。
通过判断社交网络的连通性，我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社会关系。
2. 网络路由优化在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。
通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现快速且可靠的数据传输。
3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。
通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，从而实现目标检测和图像识别等应用。
图的连通性
图的连通性一、求一个图的连通分支1 设图G=（V，E）是一个无向图，G的一个连通分支是一个最大的连通子图，即一个连通分支是不包含在任何更大的连通子图中。
2 对DFS稍作改变，就可用来求无向图的连通分支。
从任意一点出发，作DFS，则就可找出在同一个分支中的其它顶点和边。
3 算法3.4：DFS（深度优先搜索）G=（V，E）是一个图或有向图，v∈V。
从顶点v开始搜索，其中S是一个栈，初始为空，栈顶用top来表示。
算法：访问，标志并让v进栈while S 非空do〖while有一个邻接于top而未作标记的顶点 w do【访问，标记以及w进栈;】出栈S〗4“有一个邻接于top而未作标记的顶点 w”可用链接表来实现，而且每次寻找邻接于top而未作标记的顶点 w时，无必要从头开始寻找，只要记住上次寻找时的位置便可，故链表中每一个单元只被访问过一次。
故算法在最坏情况下复杂性最多也只是θ(n+e)。
算法3.6 CONNECTED COMPONETNTS（连通分支）输入：G=（V，E）是一个用连接表表示的图。
假设V为{1，2，…，n}。
输出：MARK个连通分支中的边表，而且对每个顶点加上编号来指明顶点是在哪一个分支中。
注：一个MARK数组用于对顶点编号，PTR是一个数组（有个项），使PTR指向的邻接表中下一个顶点，而搜索将从开始，下一次力图从分叉出去。
算法：for v←1 to n do【MARK(v)←0; PTR(v) ←ADJLIST(v);】j←1 [j用于对一个分支中顶点编号]for v←1 to n do〖if MARK(v)=0 then do【output 第j个分支的标题;DFS(v,j);j←j+1;】〗DFS(v,j)算法：MARK(v)←j;v进栈;while S 非空do〖while PTR(top)≠∧ do【w←VTX(PTR(top));OUTPUT(top,w); []PTR(top) ←LINK(PTR(top));If MARK(w)=0 then do〖MARK(w) ←jw进栈；〗】出栈S〗最坏情况下复杂性可能是θ(n+m)二、深度优先生成森林1概念树边：对一个有向图进行深度优先搜索，在这个过程中，如果某条边所到达的顶点是未被访问过的，则称这条边为树边。
图的连通性精品PPT课件
给定一个有向图，求有多少个顶点是由任何顶 点出发都可达的。
顶点数<= 10,000,边数 <= 50,000
有用的定理:
有向无环图中唯一出度为0的点，一定可 以由任何点出发均可达(由于无环，所 以从任何点出发往前走，必然终止于 一个出度为0的点)
ACM2186: 解题思路
有向图的强连通分支
定义
在有向图G中，如果任意两个不同的顶点 相互可达，则称该有向图是强连通的。 有向图G的极大强连通子图称为G的强连 通分支。
转置图的定义：将有向图G中的每一条 边反向形成的图称为G的转置GT。（注 意到原图和GT的强连通分支是一样的）
Korasaju算法
procedure Strongly_Connected_Components(G);
学习并没有结束，希望继续努力
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ACM1236: 解题思路
1. 求出所有强连通分量
2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有 向无环图DAG。
3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的 答案就是多少
ACM1236: 解题思路
在DAG上要加几条边，才能使得DAG变成强连通 的，问题2的答案就是多少
加边的方法：
要为每个入度为0的点添加入边，为每个出度 为0的点添加出边
end; 证明参考：
(a)为有向图G， 其中的阴影部分 是G的强连通分 支，对每个顶点 都标出了其发现 时刻与完成时刻 ，黑色边为深度 优先搜索的树 枝；
第15讲 路与回路,图的连通性
1
4
6 G[1,2,3];
G[4]; G[5]; G[6].
2
3
5
Theorem 7-10 设G = (V, E)是有向图,则 G的任意节点都位于且仅位于的一个强连通 分支中.
Hint 任意节点v本身强连通.
(2)单向连通图 Def 设G = (V, E)是有向图,对于任意u, v V,
图7-29有2个单向连通分支: G[1, 2, 3, 4, 5]; G[5, 6].
无向连通图的节点可以位于不同的单向连 通分支中.
(3)弱连通图
Def 7-27 设G = (V, E)是有向图,若不考虑边 的方向是一个无向连通图,则称G有向图为 弱连通图(weakly connected digraph),简称有 向图连通.
第15讲 路与回路, 图的连通性
主要内容: 1.路与回路.
2.图的连通性.
7.4 路与回路
在图G = (V, E)中, 经常考虑从一个节点出发, 沿着一些边连续移动到另一个节点的问题, 这就是路的概念.
1.路 Def 对于任意图G = (V, E),
L : v0e1v1e2v2...vi1eivi...elvl .
1.无向图的连通性 Def 设G = (V, E)是无向图, 对于G中任意两
个节点u和v均可达, 则称G是连通图 (connected graph).
(a)
(b)
Def 设G = (V, E)是无向图, G中极大的连通 子图称为G的连通分支(connected component), 图G的连通分支数记为w(G).
u
v
3.有向图的连通性 无向图只有连通与不连通两种情况,而有向
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题
离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题图论是离散数学中的一个重要分支，研究对象是图。
图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
在图论中，连通性和欧拉路径问题是两个基本概念，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。
一、连通性在图论中，连通性是指图中任意两个顶点之间存在一条路径。
如果一个图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图；如果一个图不是连通图，那么它可以被分解为多个连通的子图，这些子图称为连通分量。
连通性在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在社交网络中，连通性可以用来判断两个人之间是否存在关系链；在计算机网络中，连通性可以用来判断网络中的主机之间是否可以进行通信。
二、欧拉路径问题欧拉路径问题是图论中的一个经典问题，它要求找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。
如果存在这样的路径，则称图具有欧拉路径。
欧拉路径问题有两种情况：1. 欧拉回路：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后回到起点，则称该图具有欧拉回路。
2. 半欧拉路径：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后到达终点，但不回到起点，则称该图具有半欧拉路径。
欧拉路径问题的解决方法有欧拉定理和深度优先搜索算法。
欧拉定理指出，一个连通图具有欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数；一个连通图具有半欧拉路径的充分必要条件是除了起点和终点外，其它顶点的度数都是偶数。
深度优先搜索算法（DFS）是一种用来遍历图或树的算法，它可以用来解决欧拉路径问题。
DFS从起点开始遍历图，当遍历到某个顶点时，选择一个未访问过的邻接顶点进行继续遍历，直到无法继续遍历为止。
通过DFS算法，可以找到图中的欧拉路径。
三、总结离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题是图论中的两个基本概念。
连通性用来描述图中顶点之间的连接情况，欧拉路径问题则是要找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。
这两个概念在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
THANKS
感谢观看
Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然 后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且 起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
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图的连通性
图的连通性2010-07-23 21 ：02 图的连通性
第十三章图的基本概念
第三节图的连通性
一.连通性概念
图中两点的连通：如果在图G中u、v 两点有路相通，则称顶点u、v 在图G中连通。
连通图(connected graph) ：图G中任二顶点都连通。
图的连通分支(connected brch,component) ：若图G 的顶点集
V(G)可划分为若干非空子集V 1,V 2, ⋯,V w, 使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G 中连通，则称每个子图G为图G的一个连通分支(i=1,2, ⋯,w) 。
注：(1) 图G的连通分支是G的一个极大连通子图。
(2)图G连通当且仅当w=1。
例13.5 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。
证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。
问题化为：已知图G有2n 个顶点，且
δ(G) ≥n，求证G连通。
事实上，假如G不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过n。
在此连通分支中，顶点的度至多是n–1。
这与δ(G)≥n 矛盾。
证毕
例13.6 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。
假如u与v 不连通，则它们必分属于不同的连通分支。
将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。
这与推论13.1 矛盾。
证毕
在连通图中，连通的程度也有高有低。
例如
后面将定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
二.割点
定义13.2 设v∈V(G)，如果w(G–v)w(G) ，则称v 为G的一个割点。
( 该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别) 。
例如
定理13.3 如果点v 是图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集E 1和E 2，使得G[E 1]和G[E 2]恰好有一个公共顶点
v。
推论13.2 对连通图G，顶点v 是G的割点当且仅当G–v 不连通。
以上两个结论的证明留作习题。
三.顶点割集
定义13.3 对图G，若V(G)的子集V' 使得
w(G–V')w(G),
则称V'为图G的一个顶点割集。
含有k 个顶点的顶点割集称为k-顶点割集
注：(1) 割点是1- 顶点割集。
(2)完全图没有顶点割集。
四.连通度
k(G)=min{|V'||V' 是G的顶点割集} 称为图G的连通度。
完全图的连通度定义为k(Kv)=v – 1 。
空图的连通度定义为0。
注：(1) 使得|V'|=k(G) 的顶点割集V' 称为G的最小顶点割集。
(2) 若k(G) ≥k，则称G为k 连通的。
(3)若G不连通，则k(G)=0 。
(4)若G是平凡图，则k(G)=0 。
(5)所有非平凡连通图都是 1 连通的。
例如
五.割边
定义13.4 设e∈E(G)，如果w(G–e)w(G) ，则称 e 为G的一条割边。
定理13.4 边e是G的割边当且仅当e不在G的任何圈中。
证明：证其逆否命题：e不是割边当且仅当e含在G的某个圈中.
必要性：设e=xy不是割边。
假定e含在G的某个连通分支G 1中，则G 1
– e 仍连通。
故在G 1– e 中有(x,y) 路P，P+e便构成G 1中一个含有e的圈。
充分性：设e含在G的某个圈C中，而C含于某连通分支G 1
中，则G 1
– e 仍连通。
故
w(G–e)=w(G) ，
这说明 e 不是割边。
证毕。
六.边割集
定义13.5 对图G，若E(G)的子集E' 使得
w(G–E')w(G) ，
则称E'为图G的一个边割集。
含有k 条边的边割集称为k-边割集。
注：(1) 对非平凡图G，若E'是一个边割集，则G–E' 不连通。
(2) 一条割边构成一个1- 边割集。
(3)设S V(G),S'V(G),S,S' ≠Φ，记号[S,S'] 表示一端在S中另一端S￠在中的所有边的集合。
对图G的每个边割集E' ，必存在非空的S V(G), 使得是G 的一个边割集，其中。
七.边连通度
称为图G的边连通度。
完全图的边连通度定义为′ k(K v)=v-1 。
空图的边连通度定义为0。
注：(1) 对平凡图或不连通图G，′ k(G)=0。
(2) 若图G是含有割边的连通图，则′ k(G)=1 。
(3) 若′k(G)≥k，则称G为k-边连通的。
(4)所有非平凡连通图都是1- 边连通的。
(5)使得|E ′|= ′ k(G)的边割集称为G的最小边割集。
定理13.5 k(G) ≤k′(G) ≤δ(G)。
证明：先证k(G) ≤k′(G) 。
若G不连通，则k(G)=k ′(G)=0。
若G是完全图，则k(G)=k ′(G)=n– 1 。
下设G连通但不是完全图。
则G有边割集含有k′(1 ≤k′≤v-1) 条边。
设这个边割集为E′。
对E′中每条边，选取一个端点，去掉这些端点( 至多个k′)后，G便成为不连通图，故这些端点构成一个点割集V′，|V ′| ≤k′。
因此k(G) ≤|V′| ≤k′(G) 。
再证k′ (G) ≤ δ(G) 。
设d(v)= δ。
删去与v 关联的δ条边后，G变成不连通图，故这δ条边构成G的一个边割集。
因此k′(G) ≤δ(G)。
证毕。
例13.8 见教材280 页例13.7.
八.有向图的连通性
定义13.6 设D=V,E为一个有向图。
对, ∈V(D)，若从到存在有向通路，则称到是可达的。
定义13.7 设D=V,E为一个有向图。
若D的基础图( 即D的各弧去掉方向后所得无向图) 是连通图，则称D是弱连通图；若对D中任意两点u 和v，要么u 到v 可达，要么v 到u 可达，则称D是单向连通的；若对D中任意两点u 和v，u 与v 之间都是相互可达的，则称D是双向连通的(强连通的)。
例如：
在下列图中，(a) 是强连通的，(b) 是单向连通的，(c) 是弱连通的。
注：按照定义，强连通图一定是单连通的，单连通图一定是弱连通的。
定理13.6 设有向图D=V,E，V={,, ⋯,} 。
D 是强连通图当且仅当
D 中存在经过每个顶点至少一次的回路。
证：充分性显然。
下证必要性。
由于D是强连通的，故对i=1,2, ⋯,n-1 ，到+1 可达，且到也可达。
设为到+1 的有向通路，而为到的有向通路。
则P 1,P 2, ⋯,P n 所连成的有向回路经过 D 中每个点至少一次。
证毕
定理13.7 n 阶有向图D=V,E是单向连通图
D中存在经过每个顶点当且仅当至少一次的通路。
证明从略。