重庆市育才中学2021届高三上学期入学考试数学试题
重庆市育才中学高三数学上学期入学考试试题 理
育才中学高2017级高三上入学考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}2log 1,1P x x Q x x =<-=<，则P Q =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,1 D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭2．“(,)2πθπ∈”是“sin cos 0θθ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知△ABC 中，125tan -=A ，则cos A =( ) A.1213 B. 1213- C.513- D. 5134. 设2log 3=a ，21log 5=b ，3log 2=c ，则( )A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>5．已知tan a =4,cot β=13,则tan(a +β)=( ) A. 711 B. 711- C. 713 D. 713-6. 函数13,0,()31,0.xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则该函数为（ ）A. 单调递减函数，奇函数B. 单调递增函数，偶函数C. 单调递增函数，奇函数D. 单调递减函数，偶函数 7. 下列说法中正确的是（ ）A. “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<RC. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D. 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠”8．由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成的封闭图形的面积为( ) A .116B.92C. 1ln 32+D. 4ln3-9. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，且(1)3f =，则(2015)f =( )A. 6B. 3C. 0D. 3-10.已知函数()1--=x x x f ，()x x x g 2+=，()x x x h ln +=的零点分别为321,,x x x ，则（ ） A. 312x x x <<B. 213x x x <<C. 132x x x <<D. 321x x x <<11．已知点P 为曲线3:C y x x =-上一点，曲线C 在点P 处的切线1l 交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线1l 的斜率为1k ，曲线C 在点Q 处的切线2l 的斜率为2k ，则124k k -的值为（ ） A ． 5-B ．4-C ．3-D ． 212.已知函数错误!未找到引用源。
2020届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x =（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．0【答案】C【解析】根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选：C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.2．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ð A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的一个必要不充分条件是( ) A ．11a -≤≤B ．01a <<C ．11a -<<D ．1a <-或1a >【解析】先求得命题的充要条件,再根据其必要不充分条件关于a 的范围应为充要条件关于a 的范围的子集,进而选择即可 【详解】由题,若关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R ,则()2240a ∆=--<,即11a -<<,则关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的充要条件为11a -<<, 所以它的必要不充分条件关于a 的范围应为集合{}|11a a -<<的子集, 故选:B 【点睛】本题考查判断必要不充分条件,考查一元二次不等式恒成立问题4．函数()2cos x xf x x+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数为奇函数，再求出()1f 即可判断()()()()22cos cos x x x xf x f x xx-+-+-==-=--，则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，， 当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.5．函数y x =的最大值是( ) A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】D【解析】利用换元法,()0t t =≥,则22x t =-,代回可得2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,由二次函数的性质解得最值即可【详解】()0t t =≥,则22x t =-,所以2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, 则当0t =时,max 2y =, 故选:D 【点睛】本题考查换元法求函数最值,使用换元法时要注意新元的取值范围 6．某程序框图如图所示,若输出的结果是62,则判断框中可以是( )A ．4?i >B ．5?i >C ．3?i >D ．6?i >【答案】B【解析】根据程序框图,逐步执行,直到62S =,结束循环,即可得出判断条件 【详解】由图,0,1S i ==；1022,112S i =+==+=； 2226S =+=,213i =+=； 36214S =+=,314i =+=； 414230S =+=,415i =+=；530262S =+=,516i =+=,此时输出,所以对于判断条件,5i =不满足,6i =满足, 故选:B 【点睛】本题考查利用输出结果补全程序框图,属于基础题 7．函数()2ln 43y x x =-+的单调递减区间为（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】设t= x 2-4x+3，则y=lnt ，先确定函数的定义域，根据对数函数的性质判断y=lnt 的单调性，再判断二次函数的单调性，进而解决问题. 【详解】设t=x 2-4x+3，则y=ln （x 2﹣4x+3）=lnt ，则t=x 2-4x+3＞0，求得x ＜1，或x ＞3，故函数的定义域为{x|x ＜1或x ＞3}， 易知y=lnt ，在t>0单调递增；易知 t=x 2-4x+3在x<1时，单调递减，在x>3时，单调递增，根据复合函数的单调性规律，可知y=ln （x 2﹣4x+3）在（-∞，1 ）上为减函数，故选D 【点睛】复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解． 8．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或2【答案】B【解析】由题意可知'(1)0f =，这样可求出a ，然后针对a 的每一个值，进行讨论，看1x =是不是函数的极值点. 【详解】()()()()3'2222()2(131)133f x f x x a x a a x a x a a x =++-=++-+-⇒+-，由题意可知'(1)0f =，()'2(1)1(1)303a a a f a =++-⇒+-=⇒=或2a =-当3a =时，()2'22389(9)(()2(1))1f x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-， 当1,9x x ><-时，'()0f x >，函数单调递增；当91x -<<时，'()0f x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()'2222()2(1)321(1)0a a x x x f x a x x =++-+-=-+=-≥，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B. 【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.9．已知函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,则a 的取值范围是( ) A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【解析】先求导可得()221ax x f x x--+'=,则可转化问题为2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,进而求解即可 【详解】由题,()212121ax x f x ax x x--+'=--=, 因为0x >,则若函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,即2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,即存在x ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,使得2112a x x ->+成立, 设[]()12,3t t x =∈,则()221124u t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,当2t =时,()()min 22u t u ==, 所以22a >,即1a >, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想10．设函数()(()2ln 22f x x x =-<<,则使得()()210f x f x +->成立的x 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15,44⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】先由解析式可判定()f x 是奇函数,且单调递增,再利用奇函数的性质将问题转化为()()21f x f x >-,进而利用函数的单调性求解即可 【详解】由题,()()((()222ln 2ln 2ln 10f x f x x x x x-+=-+=+-=,所以()f x 是奇函数, 当02x ≤<时,y =,所以()f x 单调递增,所以根据奇函数的性质可得()f x 在()2,2-上单调递增, 因为()()210f x f x +->,所以()()()211f x f x f x >--=-,所以21222212x x x x >-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩,解得113x <<,故选:C 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性,考查利用奇偶性和单调性解抽象函数不等式 11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则221211e e +=( ) A ．2 B．C ．4D ．3【答案】A【解析】由椭圆与双曲线的定义可得1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a ,则112=+PF a a ,212=-PF a a ,且122F F c =,再由122F PF π∠=,根据勾股定理2221212PF PF F F +=,代入整理即可【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,则根据椭圆及双曲线的定义:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 则112=+PF a a ,212=-PF a a , 设122F F c =,因为122F PF π∠=,所以2221212PF PF F F +=,即()()()22212122a a a a c ++-=,化简可得222122a a c +=,因为1a e c=,所以2212112e e +=, 故选:A 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义的应用,考查椭圆与双曲线的离心率12．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[0,1]C ．133133,22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D ．(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡∈---⎢⎣，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(3)()f x f x +=，即函数()f x 的周期23T =∵[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵3322x ⎡∈---⎢⎣，，函数的周期是∴当3322x ⎡∈---⎢⎣，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[x ∈时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立．二、填空题13．曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________. 【答案】x-y-1=0【解析】由题意可得：()1'ln ln 1f x x x x x=+⨯=+， 则()'1ln111f =+=，且()10f =， 据此可得切线方程为：()011y x -=⨯-， 即：x-y-1=0.14．)121x dx -=⎰______.【答案】223π+【解析】由题,)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,利用几何法求得1-⎰利用微积分定理求得121x dx -⎰,进而求解即可【详解】)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,设y 则()2210x y y +=≥,所以1-⎰,以1为半径的圆的面积的一半,即()121122ππ-=⨯⨯=⎰；又()113233111112113333x dx x --==⨯-⨯-=⎰,所以)121223x dx π-=+⎰,故答案为:223π+【点睛】本题考查微积分定理的应用,考查几何法求定积分15．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由()()22f x f x -=-+可得()f x 关于()2,0中心对称,由奇函数可得()()22f x f x -=+,即周期为4,分别画出()y f x =与3log y x =的图像,由图像得到交点个数即为零点个数 【详解】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+, 所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+, 所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4, 画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个, 故答案为:5 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的应用,考查零点的个数问题,考查数形结合思想16．已知()()ln 0f x a x x a =+>对于区间11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的任意两个相异实数1x ,2x ,恒有()()121211f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】利用导函数易得()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <,由此可得()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+,所以设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,即()0g x '≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,进而求解即可 【详解】因为0a >,所以()10a a xf x x x+'=+=>在()0,∞+上恒成立,即()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <, 因为()()121211f x f x x x -<-, 所以()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+, 设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 所以()()222110x ax g x f x x x+-''=-=≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,则max 1a x x ⎡⎤≥-+⎢⎥⎣⎦, 因为y x =-在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,1y x =在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以1y x x =-+在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以当14x =时,1x x -+取得最大值为154,故a 的范围是15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为: 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查定义法判断函数单调性,考查转化思想三、解答题17．在ABC ∆中,a ､b ､c 分别是角A ､B ､C 的对边,已知sin sin 3c A a C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求角C 的大小;(2)若2c =,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫=+⎪⎝⎭,即sin sin 3C C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,进而求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅,整理后可得224ab a b =+-,利用均值定理求得ab 的最大值,进而求得面积的最大值 【详解】（1）Q sin sin 3c A a C π⎛⎫=+⎪⎝⎭, sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,Q 在ABC V 中sin 0A >,sin sin 3C C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,3C C ππ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭,3C π∴=（2）由（1）,则2222cos c a b ab C =+-⋅,即224a b ab =+-,22424ab a b ab ∴=+-≥-,4ab ∴≤,当且仅当2a b ==时,等号成立,则ab 的最大值为4,此时ABC V 面积的最大值为:11sin 4222S ab C =⋅=⨯⨯= 【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查三角形面积的最值,考查余弦定理的应用,考查均值定理求最值18．2019年5月,重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动,工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估,其中评分不低于9分的教室评为优秀,以下表格记录了它们的评分情况:(1)现从16间教室随机抽取3个,求至多有1个优秀的概率;(2)以这16间教室评分数据估计全校教室的布置情况,若从全校所有教室中任选3个,记X 表示抽到优秀的教室个数,求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）121140；（2）见解析 【解析】（1）由表格可知有4个教室优秀,从16间教室随机抽取3个,至多有1个优秀的情况分别是没有优秀的和只有一个优秀的,由此求解即可； （2）由样本估计总体可知优秀的概率为14,则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,进而根据二项分布求解即可 【详解】（1）设i A 表示所抽取的3间教室中有i 个教室优秀,设抽取3间教室中至多有1个优秀为事件A ,则()()()3211212401331616121140C C C P A P A P A C C =+=+= （2）由表格数据可知,从16间教室中任选1个优秀的概率为41164=, 由题可知X 的可能取值为0,1,2,3,则()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭,()2131********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()22313924464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3113464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以X 的分布列为X0 1 2 3P2764 2764 964 164所以()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查用样本估计总体,考查二项分布的分布列与期望,考查数据处理能力 19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）77. 【解析】（1）若AB ⊥CD ，得AB ⊥面ACD ，由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,解得a 2=1，成立;（2）四面体A ﹣BCD 体积最大时面ABD ⊥面BCD ，以A 为原点，在平面ACD 中过O 作BD 的垂线为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣CD ﹣B 的余弦值． 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ， 以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 ,设面ACD 的法向量为n r＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n r＝(1，2，2)，故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n u u r r OA ，.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知圆C :()22116x y -+=和定点()1,0F -,M 是圆C 上任意一点,线段MF 的垂直平分线交MC 于点N ,设动点N 的轨迹为E . (1)求E 的方程;(2)过点()1,0作直线l 与曲线E 相交于P ,Q 两点(P ,Q 不在x 轴上),试问:在x 轴上是否存在定点T ,总有OTP OTQ ∠=∠?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在,定点()4,0T 【解析】（1）由题可得圆心C 为()1,0,由MN FN =可推出N 的轨迹是以C 、F 为焦点的椭圆,进而求出椭圆方程即可；（2）设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时显然成立,当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立直线方程和椭圆方程,可得()()22224384120k x k x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由OTP OTQ ∠=∠可知0TP TQ k k +=,利用斜率公式整理求解即可 【详解】（1）由题,圆心C 为()1,0,半径4r =, 由垂直平分线的性质可知MN FN =,所以4FN CN MN CN MC r +=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E 是以C 、F 为焦点的椭圆, 所以24a =,即2a =,因为1c =,所以2223b a c =-=,所以轨迹方程为:22143x y +=（2）存在,设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时,由椭圆的对称性,x 轴上的点均符合题意； 当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()22224384120k x k x k +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+, 因为OTP OTQ ∠=∠,则0TP TQ k k +=,所以12120y yx t x t+=--,即()1221120x y x y t y y +-+=, 所以()()12122120kx x t k x x tk -+++=,则()2222412821204343k k k t k tk k k -⋅-+⋅+=++, 所以()24043t k k -=+,即()40t k -=,所以当4t =时,无论k 为何值,都满足题意, 所以存在定点()4,0T ,总有OTP OTQ ∠=∠ 【点睛】本题考查定义法求轨迹方程,考查椭圆的方程,考查椭圆中的定点问题,考查运算能力 21．已知函数()()22ln f x x a x a x =+++.(1)讨论函数()f x 的单调区间;(2)若存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,证明:12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）先求导可得()()()()2122x a x a f x x a x x++'=+++=,令()0f x '=解得11x =-,22a x =-,由()f x 的定义域为()0,∞+,分别讨论02a -≤与02a->时的情况即可；（2）由（1）可判定当存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =时,0a <, 设()()()g x f x f a x =---,利用导函数可判断当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--,设设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭,将1x 代入可得()()11f x f a x >--,由()()12f x f x =可得()()21f x f a x >--,根据()f x 的单调性可得21x a x >--,则120x x a ++>,利用其即可证明1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【详解】（1）由题,函数()f x 的定义域为()0,∞+,()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==, 令()0f x '=,即()()210x a x ++=,解得11x =-,22a x =-, 当02a-≤,即0a ≥时,在()0,∞+上()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当02a ->,即0a <时,在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>,所以()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 （2）证明:由（1）,当0a ≥时,()f x 在()0,∞+上单调递增,则不存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,所以0a <,设()()()()42ln ln g x f x f a x x a a x a x a =---=++---,则()()()()2222444x a a a x ax ax a ax g x x x a x x a x x a ++++-'=+-==+++, 令()0g x '=,解得2ax =-, 所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x '<,所以()g x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,所以()g x 在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min 02a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x >, 即当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--, 由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 不妨设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭, 所以()()11f x f a x >--,又因为()()12f x f x =,所以()()21f x f a x >--, 因为1,2a a x ⎛⎫--∈-+∞ ⎪⎝⎭,所以21x a x >--,即120x x a ++>, 因为()()1212121222x x x x a x x f x x +++++⎛⎫'=⎪+⎝⎭,1>0x ,20x >, 所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导数处理函数中的双变量问题,考查分类讨论思想和推理论证能力22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 12sin 1x y αα=-⎧⎨=+⎩(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,P 为曲线C 上的一动点,求AB . 【答案】（1）22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；（2）【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程,再转化为极坐标方程即可； （2）将4πθ=代入曲线C 的极坐标方程中,利用韦达定理求解即可【详解】（1）由题,曲线C 的普通方程为()()22114x y ++-=,即222220x y x y ++--=,因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,所以曲线C 的极坐标方程为:22cos 2sin 20ρρθρθ+--=（2）由题,将4πθ=代入22cos 2sin 20ρρθρθ+--=中,所以220ρ+--=,即220ρ-=, 所以120ρρ+=,122ρρ=-, 所以12AB ρρ=-===【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查曲线内的弦长问题23．已知函数()1f x x x a =++-. (1)当1a =时,求不等式()3f x <的解集; (2)若()2f x ≥的解集为R ,求a 的取值范围. 【答案】（1）33,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）3a ≤-或1a ≥ 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式,分类讨论求解即可；（2）由()11f x x x a a ++-≥=+,转化问题为12a +≥,进而求解即可 【详解】（1）当1a =时,()11f x x x =++-,则()112,1112,11112,1x x x x f x x x x x x x x --+-=-<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪++-=≥⎩,所以当1x <-时,23x -<,解得32x >-,则312x -<<-； 当11x -≤<时,23<； 当1x ≥时,23x <,解得32x <,则312x ≤<,综上,解集为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ （2）因为()()()111x x x a x x a a f =≥+--+=-++,第 21 页 共 21 页 则由()2f x ≥的解集为R 可得12a +≥,解得3a ≤-或1a ≥【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,考查分类讨论思想。
重庆市育才中学2021届上学期高三年级8月高考适应性考试(二)数学试卷
重庆市育才中学2022届上学期高三年级8月高考适应性考试（二）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合{}1,25,5A x =，{}21,B x =，若A B A ⋃=，则实数x 的值为（ ）B 5-或5-或5±2已知复数1i1iz -=+，则z z +在复平面内对应的点在（ ） A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3函数()1ln 5f x x x=--的零点为0x ，则不等式02x x ->的最小整数解为（ ）B.44函数()3cossin 42x xf x x =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A BC D5为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念星等的数值越小，星星就越亮，星等的数值越大它的光就越暗到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为k E （1,2k =）已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A.1.27B1.26已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ）B 42D 227已知e 是自然对数的底数，关于x 的方程2x e x -=有两个不同的解1x ，2x （12x x <），则（ ）A 11x <，23x >B 11x >，23x <C 212x x e ⋅>D 121142x x <+<8已知偶函数()f x ，当0x ≥时，())2ln1f x x x =+，若()2log 3a f =-，()32log 2b f =，54c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A a b c >>B a c b >>C c a b >>D c b a >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市育才中学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
圆 圆心 ， ，且
定点 在圆 的内部，故直线 与圆 相交．
（2） ，圆 的 等腰 中，圆心 到直线 的距离为 .
， 直线 的方程为
18.已知 ， ， ， ， 轴为 边中线．
（1）求 边所在直线方程；
（2）求 内角角平分线所在直线方程．
（1） ；（2） ．
所以平面 与平面 间的距离为 .故选项C正确；
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以点P到 的距离 .故选项D正确．故选：BCD.
12.已知底面半径为 的圆锥顶点为 ，底面圆心为 ， ．点 为 （不含端点）上的动点，若光线从点 出发，依次经过圆锥的侧面与底面反射后重新回到点 ，则光线经过路径长度的可能取值为（）
7.已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
D
先求出点 到圆心 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案
设点 ，则 ，得 ，
圆 的圆心 ，半径为 ，
则
，
令 ，对称轴为 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ，故选：D
8.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 ， 的最小值为（）
（1） ；（2）证明见解析．
（1）设 ，进而根据 建立方程，然后化简即可得到答案；
（2）设出直线AB的方程，代入圆的方程并化简，由根与系数的关系将 化简即可得到答案.
（1）设 ，则 ，故有 ，
，两边平方： ，两边平方化简得： ．
2021届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学试题(解析版)
2021届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}04,A x x x Z =<<∈，集合{}2,B y y m m A ==∈，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2,3C ．{}1,4,9D ．∅【答案】A【解析】先求得集合A ，由此求得集合B ，进而求得A B .【详解】依题意{}1,2,3A =，所以{}1,4,9B =，所以{}1A B ⋂=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-，利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 3．设121iz i i+=--，则||z =（）A ．0B ．1C D ．3【答案】B【解析】先将z 分母实数化，然后直接求其模． 【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．4．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】第一段匀速慢，第二段停止，第三段加速，得出与学校的距离的变化情况，即可得出结论. 【详解】由于开始匀速行驶，所以离学校的距离匀速减少， 中间一段停留，与学校距离没变，然后加速赶到学校， 与学校的距离在同样的时间段内减少的越来越快， 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象以及函数的实际应用，属于基础题. 5．若(21)65f x x +=+，则()f x 的解析式是 A ．()f x =32x + B ．()f x =31x + C ．()f x =31x - D ．()f x =34+x【答案】A【解析】令21x t +=换元，整理可得()()31532f t t t =-+=+，所以()32f x x =+ 【详解】 令()()()121,,31532,322t x t x f t t t f x x -+=∴=∴=-+=+∴=+，故选A 【点睛】已知复合函数的表达式，求外层函数的表达式用换元法． 6．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的区间是（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,1)e -C ．(1,2)e -D ．(2,)e【答案】C【解析】根据对数函数的性质可得而(1)0f e -<且(2)0f >，利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()()2ln 1f x x x=+-在()0,∞+上单调递增且连续， 而22(1)ln(11)1011f e e e e -=-+-=-<--， 2(2)ln(21)ln 3102f =+-=->， 即()(1)20f e f -<， 所以，函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是()1,2e -，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．设4log 9a =，122-=b ，13827c -⎛⎫= ⎪⎝⎭则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】利用指数、对数函数的单调性，以及适当的中间量，即可得出答案. 【详解】因为44233log 9log 8log 222a =>==,1383272c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12022231b -<==<，所以a c b >>， 故选：C 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于基础题. 8．函数32ln ||()x x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣， 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．9．已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ）A ．2()1y f x =+B ．(21)y f x =+C ．()y f x =-D ．|()|y f x =【答案】B【解析】已知()f x 的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手. 【详解】()f x 的定义域为R ，值域为[1,2]-，即1()2f x -≤≤；∴A．2()1[1,5]=+∈-y f x ，即2()1y f x =+的值域为[1,5]-，∴该选项错误； B ．(21)[1,2]=+∈-y f x ，即(21)y f x =+的值域为[1,2]-，∴该选项正确； C ．()[2,1]=-∈-y f x ，即()y f x =-的值域为[2,1]-，∴该选项错误； D ．()[0,2]y f x =∈，即|()|y f x =的值域为[0,2]，∴该选项错误．故选B ． 【点睛】函数图象常见的四种变换：平移、伸缩、对称、翻折. 平移：()()y f x y f x A =⇒=+；伸缩：()()y f x y Af x =⇒=或者()y f Ax =；对称：()()y f x y f x =⇒=-（关于x 轴对称）或者()y f x =-（关于y 轴对称）；翻折：()|()|y f x y f x =⇒=（将x 轴下方图象翻折到上方）或者(||)y f x =（将y 轴右边图象翻折到左边）.二、多选题10．设非空集合P ，Q 满足P Q Q ⋂=，且P Q ≠，则下列选项中错误的是（ ）． A ．x Q ∀∈，有x P ∈ B ．x P ∃∈，使得x Q ∉ C ．∃∈x Q ，使得x P ∉ D ．x Q ∀∉，有x P ∉【答案】CD【解析】由两集合交集的结果推出Q 是P 的真子集，再根据真子集的概念进行判断. 【详解】因为P Q Q ⋂=，且P Q ≠，所以Q 是P 的真子集， 所以x Q ∀∈，有x P ∈，x P ∃∈，使得x Q ∉，CD 错误.故选：CD 【点睛】本题考查集合交集的概念、真子集的概念，属于基础题.11．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）．A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的周期4T=C ．()20220f =D ．()f x 在()4,2--单调递减【答案】ABC【解析】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--，即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，可判断A 的正误；由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=，得到()f x 的周期，可判断B 的正误；又()f x 在(0,2)递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD 是否正确. 【详解】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--， 即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，A 正确；由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=， 则()f x 的周期4T=，B 正确；()2022(45052)(2)0f f f =⨯+==，故C 正确；又()f x 在(0,2)递增，则(2,0)-递减，由周期4T =，则()f x 在()4,2--单调递增，故D 错误. 故答案为：ABC 【点睛】本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．三、填空题13．151lg 2lg 222-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=______． 【答案】1-【解析】【详解】试题分析：15155lg 2lg 2()lg lg 42lg(4)2lg1021212222-+-=+-=⨯-=-=-=-． 【考点】对数的运算．14．若()y f x =的定义域为(]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域是______. 【答案】()0,1【解析】根据抽象函数的定义域的求法，求得()g x 的定义域. 【详解】由于()y f x =的定义域为(]0,2， 故对()g x 有0220110x x x <≤⎧⇒<<⎨-≠⎩，所以()g x 的定义域为()0,1.故答案为：()0,1 【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为______.【答案】7【解析】判断出()f x 的奇偶性和周期性，画出()f x 和cos y x π=在[]1,3-上的图象，根据对称性求得所求. 【详解】依题意()f x 是定义在R 上的偶函数，由于()()11f x f x =+-， 所以()f x 是周期为2的周期函数.由于函数cos y x π=的最小正周期为22ππ=，所以cos y x π=的最小正周期为1，且()()cos cos x x ππ-=，所以函数cos y x π=为偶函数.画出()f x 和cos y x π=在[]1,3-上的图象如下图所示（画()f x 两个周期的图象，不影响后续分析），由图可知，在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，两个函数图象的交点共7个，其中6个两两分别关于直线1x =对称，有一个是()1,1，所以关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为3217⨯+=.故答案为：7【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题.16．已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______． 【答案】e 【解析】由题意可得()()00f x g x =，()()00''f x g x =，联立后把b 用含有a 的代数式表示，再由导数求最值得答案．【详解】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <． ∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．四、解答题17．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，已知()3cos cos -=b c A a C ；（1）求cos A 的值：（2）已知2AB =，ABC，求BC 的长. 【答案】（1）13；（2）3. 【解析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差的正弦公式整理即可得结果；（2）由（1）知1cos 3A =，所以sin A =，由面积公式可得AC 的值，再利用余弦定理即可求得BC 的长. 【详解】（1）由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos B C A A C -=, 即3sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+ ， 所以()3sin cos sin sin B A A C B =+=， 因为sin 0B ≠，所以3cos 1A =，得1cos 3A =，（2）由（1）知1cos 3A =，所以sin A ，1sin 2ABCSAB AC A =⨯⨯⋅=，即122AC ⨯⨯=，解得：143AC =， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅2214141176161122233399⨯⎛⎫=+-⨯⨯⨯==⎪⎝⎭，所以3BC = 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，涉及两角和的正弦公式，属于中档题.18．为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间[]2,4的有8人．（I ）求直方图中a 的值及甲班学生平均每天学习时间在区间(]10,12的人数； （II ）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为k ，求k 的分布列和数学期望． 【答案】（I ）3；（II ）127. 【解析】试题分析：（I ）由直方图能求出a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间1012]（，的人数；（II ）由已知得ξ的所有可能取值为0123，，，，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望.试题解析：（I ） 由直方图知，()0.150.1250.10.087521a ++++⨯=，解得0.0375a =，因为甲班学习时间在区间[]2,4的有8人，所以甲班的学生人数为8400.2=，所以甲、乙两班人数均为40人． 所以甲班学习时间在区间(]10,12的人数为400.03753⨯=（人）． （II ）乙班学习时间在区间(]10,12的人数为400.0524⨯⨯=（人）． 由⑴知甲班学习时间在区间(]10,12的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，k 的所有可能取值为0，1，2，3．()0434471035C C P k C ===，()13344712135C C P k C ===， ()22344718235C C P k C ===，()3134474335C C P k C ===． 所以随机变量k 的分布列为：k0 1 2 3112184120123353535357Ek =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：()21=+n n nb a a ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得n T . 【详解】（1）依题意0n a >，212n n n S a a =+， 当1n =时，211112a a a =+，解得112a =；当2n ≥时，212n n n S a a =+，211112n n n S a a ---=+，两式相减并化简得()11102n n n n a a a a --⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，其中10n n a a ->+，所以1102n n a a ---=， 即()1122n n a a n --=≥. 所以数列{}n a 的通项是首项为112a =，公差为12的等差数列，所以12n a n =. （2）由（1）得()12n n n b +=，所以()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111212231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎡⎤=-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查已知n S求n a，考查裂项求和法，属于中档题.20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：()222210x ya ba b+=>>的离心率为22，直线l：2y=上的点和椭圆Ω上点的最小距离为1.（1）求椭圆Ω的方程：（2）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F.记直线AC与AB的斜率分别为1k，2k.①求证：12k k⋅为定值；②求AEF的面积的最小值.【答案】（1）2212xy+=；（22.【解析】（1）根据已知条件得到,cba，结合222a b c=+求得,,a b c的值，从而求得椭圆Ω的方程.（2）①设出,B C两点的坐标，计算1212k k⋅=-，由此证得结论成立.②求得直线,AC AB的方程，由此求得,E F两点的坐标，由此求得EF的最小值，进而求得AEF的面积的最小值.【详解】（1）依题意可知2222221caba b c⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c===，所以椭圆Ω的方程为2212xy+=.（2）①设()()0000,,,B x yC x y--，且02x<≤.则222200001,122x xy y+=-=-.00120011,AC AB y y k k k k x x +-====，所以20200012220000111122x y y y k k x x x x -+--⋅=⋅===-为定值. ②直线AC 的方程为0011y y x x +-=⋅，令2y =解得001F xx y =+， 直线AB 的方程为0011y y x x --=⋅，令2y =解得001E x x y =-， 所以()()()()000000020000011211111x y x y x x xEF y y y y y --+=-==+-+-- 020002442x x x x ===-， 由于002x <≤，所以00124,222x x ≥≥， 也即EF 的最小值为22. 所以AEF 的面积的最小值为()1222122⨯⨯-=. 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，过A 、B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F .已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：BDE 为直角三角形； （2）若//DE CF ，3CD =ADC 与平面ABFE 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)5【解析】（1）由AF BE ⊥，AF BD ⊥可得AF ⊥平面BFE ，得出AF DE ⊥，结合DE AE ⊥即可得出DE ⊥平面ABFE ，故而DE BE ⊥；（2）求出CFE ∠的大小，以E 为原点建立空间坐标系，求出平面ACD 和平面ABFE 的法向量，计算两法向量的夹角即可得出二面角的大小． 【详解】（1）证明：连接BE ，由已知可知四边形ABFE 是正方形，AF BE ∴⊥， 又AF BD ⊥，BE DE E ⋂=，AF ∴⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，AF DE ∴⊥，又DE AE ⊥，AE AF F ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE ，又BE ⊂平面ABFE ，DE BE ∴⊥，即BDE ∆为直角三角形．（2）取CF 的中点M ，连结DM ，则四边形DEFM 是平行四边形，2DM EF ∴==，112CM CF ==，又CD =1431cos 2122CMD +-∴∠==⨯⨯，即60CMD CFE ∠=∠=︒，过E 作EG EF ⊥，则EG ⊥平面ABFE ，以E 为原点，以EA ，EF ，EG 为坐标轴建立空间直角坐标系， 则(2A ，0，0)，(0C ，1，(0D ，12-，∴(2AC =-，1，(2AD =-，12-，设平面ACD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0·0n AC n AD ⎧=⎨=⎩，即201202x y x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，令z =(1n =，1-， 又GE ⊥平面ABFE ，∴(0m =，0，1)是平面ABFE 的一个法向量，·3cos ,5m n m n m n ∴===， 由图形可知平面ADC 与平面ABFE 所成角为锐二面角，∴平面ADC 与平面ABFE 所成角的余弦值为155．【点睛】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．22．已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax .（1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ； （2）对任意(]0,1x ∈都有()()()0+->f x eh x g x ，求整数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）构造函数()()()sin ln 101F x x x x =-+≤≤，利用二阶导数的方法证得()()00F x F ≥=，由此证得结论成立.（2）先求得1x =时，a 的取值范围，再结合（1）的结论，求得a 的最大值. 【详解】（1）设()()()sin ln 101F x x x x =-+≤≤，()'1cos 1F x x x =-+，注意到()'00F =. 设()()()()21',sin 1x F x x x x μμ==-+'，()x μ'在[]0,1上递减，()11sin104μ=-<'，()010μ'=>，所以存在唯一零点()00,1x ∈，使得()00x μ'=. 则()'F x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减.()'111cos1cos 0223F π=-+>-+=，()'00F =，所以()'0F x >在()0,1上恒成立，所以()F x 在[]0,1上递增.所以()()00F x F ≥=，即()0F x ≥， 所以当[]0,1x ∈时()()1≥+f x g x .（2）因为对任意(]0,1x ∈，不等式()()()0+->f x eh x g x 恒成立，即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立. 令1x =，则sin1sin10,e a e a ->>，由（1）知sin1ln 2>，所以ln 2sin1123e e e =<<<， 由于a 为整数，所以2a ≤.因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---. 下证明()sin 221ln 0xH x ex x x =+--->在区间(]0,1恒成立即可.由（1）知()sin ln 1x x >+在区间(]0,1恒成立，即sin 1x e x >+， 故()22121ln ln H x x x x x x x x >++---=--，设()(]2ln ,0,1G x x x x x =--∈，则()()()2'211121210x x x x G x x x x x+---=--==≤， 所以()G x 在(]0,1上递减， 所以()()10G x G ≥=， 所以()0H x >在(]0,1上恒成立. 综上所述，整数a 的最大值为2. 【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题.。
重庆育才中学高一2020-2021学年上1月月考数学卷及答案
数学试题
2021.1
木试卷分为第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
注意习J项： L答卷时济考生务必把自己的姓名， 准考证号烦写在答题卡上． 2. 作答时，诮务必将答案写在答昢卡上 ， 写在本试卷及华稿纸上无效． 3. 考试结束后， 将答昢卡交回．
=�1
9
:.
a=�1
3
5] 2 ＝（ X
... f(x) 1 在R上递减， 2 年＋ 2 :. /(2) 汀 (b + 2)
:.（勹 2 (2) ·:x�O, :.x -2x�-1
止2x
3
�3
:. g(x) 的值域为 (0,3]
19解： （I) T= 兀 (fJ＝王 6
＋日 (II) 由（ I) 得，八x)= sin(2x
附加题：
(1) 假设 f(i) 为 f(1),/(2),.. ·,J(n-1) 中第 一个大于 0 的值，则 J(i)- f(i-1)>0, 因为函数 f(x) 具有性
质P, 所以，对于任意 nEN. ，均有 f(n+ l)- f(n)�f(n)- f(n-1), 所以 f(n)- f(n-1)�f(n-1)- f(n-2)�L�f(i)-J(i-1)>0, 所以 f(n)=[J(n)-f(n-1)］+ … +[J(i +l)－几）］＋ f(i)>O, 与 f(n)=O 矛盾，
C. c<a<b
5.已知函数f(X+ 1) =2X-3,若f(m) =4，则 ）
7
{\.
2
9 B. 2
重庆市育才中学2020-2021学年高三下学期数学周考试题2021.05.11 含答案
重庆市育才中学高2021届高三周考试题（20210511）数 学一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.1.已知集合{}{}2=230,02A x Z x x B x x ∈+-≤=≤≤，则A B ⋂的真子集个数为（ ）.1A .2B .3C .4D2.若复数12(iz i i -=为虚数单位），则z =（ ）.5A .2B .3C .1D3.若36,,39x x y x y R y x y >+>⎧⎧∈⎨⎨>⋅>⎩⎩是成立的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也必要不充分条件4.下列函数中，最小值为2的函数是（ ）A.21222+++=x x y B.x x y 12+=C.()()220,22<<-=x x x y D.1222++=x x y5.圆台的两个底面面积之比为9:4，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为3180，则圆台的侧面积为（ ）.A.π31200B.π180C.π31368D.π3606.已知(,)P x y 为圆2(1)(3)1x y -+-=2上的一个动点，点P 到直线0x y +=的距离为PM，则PM OP的最小值为（ ）1.2A 2B 3C 6+2D7.已知函数()sin()0)f x xωω=>（在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()1f x =在区间[]0π，上有且仅有一个解，则ω的取值范围是（ ）3.0)4A （， 3.4B ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3，2 1.2C ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3，2 13.,24D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ）433.A 1.B 23.C 43.D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市育才中学2020-2021学年高三上学期周考数学测试题
重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周考数学测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(2,1),(1,),==-⊥a b x a b , 则x 的值为 A.12-B.-1C. 2D.-2 2．已知函数e ,0,()1,0⎧≤=⎨->⎩x x f x x x ,则f (f (1))=A.0B. 1C. eD. 1-e3．已知集合{|||}==A x x x ,集合2{|430}=++>B x x x , 命题p : x ∈A , 命题q : x ∈B , 则p 是q 的 A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4．复数z 满足| z -1|=1,则| z |的最大值为 A.1B. 2C. 3D. 25．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1, 2,3, 4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种． A. 12B. 14C. 16D. 186．如图1,在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形. PA ⊥底面ABCD , PA =AB =2, AD =4. E 为P C 的中点，则异面直线P D 与BE 所成角的余弦值为 A.35B.3010 C.1010D.310107．科克曲线 ( Koch curve) (如图 2) 是一种典型的分形曲线．它是科克(Koch ，H. von)于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的边比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为A.23243 B.43243C.163243 D.398．已知函数221()cos ,()2=--=-f x x x g x x k , 若f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，则k 的值为A. -1B. 0.C. 1D . 2二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．函数g (x ) = ln(2x +1) -ln( 2x -l ) , 关于g ( x ) 下列说法正确的是 A ．定义域为( 0 ,+∞) B ．值域为(0, +∞) C ．g (x )为减函数 D ．g (x )为奇函数10．已知函数f ( x ) = 2(| sin x | +sin x )• cos x , 关于f ( x )下列说法正确的是A ．f (x )为奇函数B ．2π为f (x )的周期C ．f ( x )的值域为[ -2,2]D ．f (x )的单调增区间为[2k π, 2k π+π4](k ∈Z )11．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上一动点（包括端点），则以下结论正确的有A. 三棱锥P –A 1BD 的体积为定值13B. 过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为32C. 直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正弦值的范围为36[,]D. 当点P 与B 1重合时，三棱锥P - A 1BD 的外接球的体积为32π 12．设a >0, b >0, a +b = 1, 则A ．a 2 +b 2的最小值为12B ．4a +1b的范围为[ 9 , +∞)C ．ab的最小值为2 2 D ．若c > l , 则2311(2)1+-⋅+-a c ab c 的最小值为8三、填空题（本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．二项式5()+x x x展开式中的常数项为＿＿＿＿．14．某产品的广告投入x (万元)与销售额y (万元)具有较强的线性相关性,该产品的广告投入x (万元)与相应的销售额y (万元)的几组对应数据如下表所示:x 1 2 3 4 y356ac15．已知双曲线()222:10y C x b b-=>左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M ，N 两点.若点M 是线段2F N 的中点，且12NF NF ⊥，则b =16．在在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b ,c , ∠B = 60° ,且b 2s in A c os C +bc sin B cos A =4s in B ,则b =, a +2c 的最大值为 ．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．( 本小题满分10分）2020年10月，第27届全国中学生物理学奥林匹克竞赛，在重庆育才中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[ 50, 60) , [ 60,70) , [ 70,80) , [ 80 ,90) , [ 90,100 ]的分组作出频率分布直方图如图 4 所示. （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[ 80, 90) , (90, 100] 的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[ 90 , 100] 的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．( 本小题满分 12 分） 在①sin sin sin +=--A b cB C b a ,②3sin =c a A,③23=⋅S CA CB 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , S 为△ABC 的面积，若. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点,线段BD 的长度为2 , 求△ABC 的面积S 的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）19．( 本小题满分12 分）已知数列{a n }满足a 2 =2, a 5 =5,且122,2,2++n n n a a a 构成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；的（2）S n 为数列{2}n a 的前n 项和，记12++=⋅n n n n S b S S , 求证：b 1+b 2+…＋b n <12 .20．( 本小题满分 12 分） 已知函数f ( x ) = ax 2-2ln x .（1）当 a = 1时，求y =f ( x )在点(1, f (l))处的切线方程； （2）若对∀x ∈[l, 3], 都有f (x )≤14恒成立，求a 的取值范围.21．( 本小题满分 12 分）如图 5, 四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，且∠B =π3，现沿着AC 将△ABC 折到△EAC 的位置，使得平面EAC ⊥平面ACD , M , N 是线段EC , ED 上的两个动点（不含端点），且=EM ENEC ED,平面AMN 与平面ACD 相交于l .（1）求证：l //MN ;（2）P 为l 上的一个动点，求平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角的最小值．22． ( 本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)：+=>>x y C a b a b的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A , B ,且AB ⊥OB ，O 坐标原点． （1）求椭圆的离心率e ;（2）若b =l ，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P , Q 两点，( i ) 求k OP •k OQ 的值；( ii) 点M 满足2=OM OP ，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值．重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周末考试测试题答案一、选择题CBAD BBBC二、多选题ABC BC BCD ABD三、填空题37．由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（不算里面绿色的这条边，每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的13的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个图形多48个小三角形，故面积之差为214827⎛⎫=⎪⎝⎭，故选B．8．即f（x）＝g（x）有唯一解，即23cos2k x x=+有唯一解，令()23cos2h x x x=+，h′（x）＝3x-sinx，h″（x）＝3-cosx＞0，所以h′（x）在R上单调递增．又h′（0）＝0，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（-∞，0）上减，在（0，＋∞）上单增，h（x）min＝h（0）＝1．当x→-∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故k＝h（x）有唯一解，k ＝1，故选C．11．A选项111111326P A BD A PBDV V--===，A不正确；B选项此平面为平面B1D1C，故三角形B1D1C2B选项正确；由等体积法知：点P到平面A1BD，当点P在线段B1D1上运动时，|PA1|max＝1（P为端点时），1min||2PA=，设直线PA1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈⎣⎦，C正确；∠B1BD＝∠B1A1D＝90°，所以三棱锥P-A1BD的外接球的球心为B1D锥P-A1BD，D正确，故选BCD．12．A选项：由()222122a ba b++=≥，当且仅当12a b==时取等，知A正确；B选项：()41414559b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭≥，当且仅当223a b==，13b=时取得最小值9，B选项正确；C11a b++==121219412222+=+=，C选项不正确；D选项：()2223314224a a ba a bab ab b a+++-=-=+≥．当且仅当b＝2a，13a=，23b=时取等，()231112414811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+-++⎪--⎝⎭≥≥，当且仅当32c =时取等，选项D 正确，故选ABD ． 17．解：（1）（0.012＋0.024＋0.04＋a ＋0.008）×10＝1，∴a ＝0.016，∵[50，60），[60，70）的概率之和为（0.012＋0.024）×10＝0.36．∴中位数为0.14701073.50.4+⨯=（分）．（2）[80，90）共0.016×10×50＝8（人），[90，100]共0.008×10×50＝4（人）． ∴[80，90）抽取了4人，[90，100]抽取了2人． ξ的取值为0，1，2．()3436C 10C 5P ξ===，()214236C C 31C 5P ξ===，()124236C C 12C 5P ξ===，∴()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，∵由正弦定理得a b cb c b a+=--， ∴a （b-a ）＝（b ＋c ）（b-c ），即a 2＋b 2-c 2＝ab ，∴1cos 2C =，∵C ∈（0，π），∴π3C =．选②：由正弦定理得sin sin C A =cos 1C C =+， π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵C ∈（0，π），∴ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ66C -=，∴π3C =．选③：2S CB =⋅，sin cos ab C C ，∴tan C C ∈（0，π），∴π3C =． （2）在△BCD 中，由余弦定理知a 2＋（2b ）2-2×a×2b×cos60°＝22， ∴a 2＋4b 2-2ab ＝4≥2·a·2b -2ab ＝2ab ，∴ab≤2，当且仅当a ＝2b ， 即a ＝2，b ＝1时取等号，此时ab 的最大值为2，面积1sin 2S ab C ==． 19．（1）解：2n a ，12n a +，22n a +构成等比数列，∴()122222n n n a a a ++=⋅，∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是一个等差数列，由a 2＝2，a 5＝5，3d ＝a 5-a 2，∴d ＝1，a 1＝1，a n ＝a 1＋（n-1）d ＝n ．（2）证明：22n a n =，∴{}2na 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，∴()12122212n n n S +-==--，∴()()1121221122222222n n n n n n b +++++==----⋅-， ∴1223341221111111112222222222222222n n n n b b b ++++++=-+-++-=-<-------． 20．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 2-2lnx ，f （1）＝1，()2'2f x x x=-，k ＝f′（1）＝0，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝1．（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()2212'2ax f x ax x x-=-=．①当a≤0时，f′（x ）＜0，f （x ）在[1，3]上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴a≤0；②当a＞0时，f′（x ）＞0，x >，∴f （x ）在⎛⎝上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增， 1，a≥1时，f （x ）在[1，3]上单增，()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去；3，109a <≤时，f （x ）在[1，3]上单减，()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤；（ⅲ）当13<<，119a <<时，f （x ）在⎡⎢⎣上单减，⎤⎥⎦上单增， ()()11,413,4f f ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤14a ≤，∴1194a <≤， 综上，14a ≤．法二：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，212ln 4xa x +≤，令()212ln 4x g x x+=，()334ln 2'x g x x -=，g′（x ）＞0，381e x <<， ∴g （x ）在[1，38e ]上单增，[38e ，3]上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>， ∴()min 14a g x =≤． 21．（1）证明：∵EM ENEC ED=，∴MN ∥CD ， ∵MN ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ，∵平面AMN 与平面ACD 相交于l ，MN ⊂平面AMN ，∴l ∥MN ．（2）解：AB ∥CD ，由（1）可得MN ∥CD ，∴AB ∥CD ，∴A ，B ，M ，N 四点共面， 平面AMN∩平面ACD ＝AB ＝l ，∴P 在AB 上，如图，取AC 的中点为O ，π3B ∠=，则BO ⊥AC ，EO ⊥AC ，平面EMC ⊥平面ACD ， 平面EAC∩平面ACD ＝AC ， ∴EO ⊥平面ACD ．法一：以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，-1，0），B0，0），C （0，1，0），D（0，0），E （0，0设AP AB λ=，),1,0Pλ-，则(0,1,EC =，()3,2,0CP λλ=-，平面EPD 的法向量(),,n ab c =，则()0,320,EC n b CP n a b λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令c ＝λ，则a ＝2-λ，b =， ()2,n λλ=-，平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，∴cos ,n m <>=，∵平面PEC 与平面ACD 所成角为锐二面角，令λ＞0，∴1cos ,2n m <>===， 当且仅当λ＝2时取等，此时平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角有最小值π3． 法二：EO ⊥平面ACD，且EO =O 作OF ⊥PC 于F ，连接EF ， 则EF ⊥PC ，∴∠EFO 为所求锐二面角的平面角，记为θ，∴tan EO OF θ==，当OF 最大时，θ最小， ∵OF ⊥FC ，∴F 在以OC 为直径的圆上，当F 与C 重合时，|OF|max ＝1，∴tan OE OF θ==， ∴θ的最小值为π3．22．解：（1）已知|OA|＝a ，||2a OB =，π6BAF ∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225a b=，a =，∴2c b =，∴c e a =． （2）（i ）由（1）可得b ＝1，a C ：2215x y +=，设直线l：2x =+，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 3，y 3）． ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立直线l 与椭圆C的方程：222,55,x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810y +-=，Δ＞0恒成立，12y y +=，1218y y =-，∴))12121212522348x x y y y y =++=+++=， ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设NM NQ λ=，()01NM NQ λλ=<<，1133,22x y NM x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2323,NQ x x y y =--，()()13231323,2,2x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴()()123123221,221,x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()31231212,2112,21x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴221155x y +=，222255x y +=，223355x y +=，()()()()2212122222554141x x y y λλλλ--+=--，∴()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ+++-+=-，由（ⅰ）可知x 1x 2＋5y 1y 2＝0，∴1＋4λ2＝4（1-λ）2，∴38λ=， ∴38NM NQ =．。