二次函数配方法
二次函数配方法
——配方法
河南省济源市实验中学 田爱平
学习目标
1 使学生掌握通过配方确定抛物线的开口方 向，对称轴，顶点坐标及最值
2 理解二次函数 y ax2 bx c 的性质
3 在实际应用中体会二次函数作为一种数学 模型的作用，会利用二次函数的性质求实 际问题中的最大值或最小值
1 说出二次函数 y 4(x 2)2 1 图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标，增减 性
2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
1的开不口画方图向象，，对直称接轴说，出顶点y 坐 12标x2，增2x减 3性
2 不画图象，直接说出 y 2x2 4x 1
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
2a
4a
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
1 求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴， 增减性，最值
（1） y x2 2x 2 （2） y 2x2 8x （3） y 2x2 4x 8
2 抛物线如何 y 2x2 4x 5 平移得到 y 2x2
某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出 售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价、增 加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现 这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件。
1 请表示出商品降价x元与利润y元之间的关系？
2 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最 大？最大利润是多少？
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
b 2a
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
二次函数配方法公式过程
二次函数配方法公式过程一.二次函数及二次方程的基本概念：二次函数是定义域为所有实数的形如f(x) = ax²+bx+c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且a≠0。
二次方程是形如ax²+bx+c = 0 的方程，其中 a、b、c 都是已知的常数，且a≠0。
求解二次方程的根，即求解方程的解集。
二.二次函数配方法的步骤：1.将二次函数化为标准形式：f(x)=a(x-h)²+k其中a为二次项系数，h、k分别为顶点的横坐标和纵坐标。
这一步的目的是为了方便之后的平移操作和求顶点的坐标。
2.求得顶点的坐标：(h,k)顶点的横坐标h=-b/2a，纵坐标k=f(h)=f(-b/2a)。
这一步可以通过将二次函数转化为标准形式，再利用顶点公式求得顶点坐标。
3.将二次函数平移到顶点所在位置：g(x)=a(x-h)²+k平移的目的是为了让二次函数的顶点与原点重合，即h=0，k=0。
这一步可以通过将横坐标x进行平移变换得到。
4. 进行配方法：g(x) = a(x-h)²+k = a(x²-2hx+h²)+k展开后可得g(x) = ax² - 2ahx + ah² + k。
这一步是为了配方，将二次项系数 2ah 拆分成两个相同的项，然后进行配方变换。
5. 将 g(x) 进一步变换为完全平方：g(x) = a(x²-2hx+h²)+k = ax² - 2ahx + ah² + kg(x)=a[x²-2(h/a)x+(h/a)²]+kg(x)=a[(x-(h/a))²+(h/a)²]+k这一步是将g(x)的形式转化为完全平方的形式。
6.化简得到二次方程：0=a[(x-(h/a))²+(h/a)²]+k化简可得(x-(h/a))²=-k/a-(h/a)²这是一个完全平方的二次方程，通过合并系数可以得到最终的二次方程。
配方法二次函数
配方法二次函数嘿，朋友们！今天咱来聊聊配方法二次函数这个神奇的玩意儿！你说这二次函数啊，就像是一个有点调皮的小精灵，得用对方法才能把它给驯服咯。
咱先来说说啥是二次函数。
就好比你去果园摘果子，果子的高度和你走的距离之间就可能存在着二次函数的关系呢。
它的一般式是y=ax²+bx+c，这里面的 a、b、c 就像是小精灵的各种小脾气。
那配方法又是咋回事呢？这就像是给小精灵穿上一件合适的衣服，让它变得乖乖的。
咱通过一些巧妙的运算，把一般式变成顶点式y=a(x-h)²+k。
你看，这不就把小精灵的脾气摸得透透的啦！比如说，给你一个二次函数 y=x²+2x+3，咱怎么用配方法呢？嘿，别着急，跟着我一步步来。
先把 x²+2x 这部分看成一个整体，就像是给它们俩绑在了一起。
然后呢，在里面加上一个 1，为了保持平衡，还得再减去一个 1 呀。
这样就变成了 y=(x²+2x+1)+2 啦，再一化简，可不就成了 y=(x+1)²+2 嘛！你瞧，这小精灵是不是一下子就被我们给搞定啦！配方法有啥用呢？那用处可大啦！就好比你知道了小精灵的脾气，就能预测它下一步会干啥。
你能通过配方法找到二次函数的顶点坐标，知道它的对称轴，还能清楚它的最值呢！这多厉害呀，就像你有了一双能看透小精灵心思的眼睛。
咱再举个例子呗，y=2x²-4x+1。
哎呀，这次好像有点复杂呢，但咱不怕呀！还是按照老办法，先把2x²-4x 这部分处理一下，给它加上2，再减去 2。
最后变成 y=2(x²-2x+1)-1，再化简就是 y=2(x-1)²-1 啦！是不是很神奇呀？朋友们，配方法二次函数就像是一把打开数学宝藏的钥匙呀！只要你掌握了它，就能在数学的世界里畅游无阻啦！别觉得它难，多试试，多练练，你肯定能行的！就像你刚开始学走路的时候，不也跌跌撞撞的嘛，但现在不也走得稳稳当当的啦！相信自己，你一定能把这个调皮的小精灵给驯服得服服帖帖的！加油哦！。
初三二次函数配方法例题
初三二次函数配方法例题问题描述小明和小红是初三的学生，最近在学习二次函数的配方法。
他们在课后遇到了一些例题，希望通过解答这些例题来巩固自己的知识。
下面是他们遇到的例题：例题一：已知函数 f(x) = x^2 - 6x + 5，求函数 f(x) 的最小值。
例题二：已知函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求函数 f(x) 的零点。
例题三：已知函数 f(x) = x^2 + 10x + 21，求函数 f(x) = 0 的解。
解答过程例题一：对于二次函数 f(x) = x^2 - 6x + 5，我们可以使用配方法求得最小值。
首先，将函数写成标准形式：f(x) = (x - 3)^2 - 4可以看出，函数的对称轴为 x = 3。
因此，最小值对应的 x 值为 3。
代入函数 f(x) 中，可以求得最小值为 f(3) = -4。
所以，函数 f(x) 的最小值为 -4。
例题二：对于二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，我们需要求函数 f(x) 的零点。
可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中 a、b、c 分别为二次项、一次项和常数项的系数。
根据配方法，可以将函数写成标准形式：f(x) = 2(x - 1)^2 - 1可以看出，函数的对称轴为 x = 1。
因此，函数的零点对应的 x 值为 1。
代入函数 f(x) 中，可以求得零点为 f(1) = 0。
所以，函数 f(x) 的零点为 x = 1。
例题三：对于二次函数 f(x) = x^2 + 10x + 21，我们需要求函数 f(x) = 0 的解。
可以使用配方法，先将函数写成标准形式：f(x) = (x + 5)^2 - 4可以看出，函数的对称轴为 x = -5。
因此，函数 f(x) = 0 的解对应的 x 值为 -5。
代入函数 f(x) 中，可以求得解为 f(-5) = 0。
所以，函数 f(x) = 0 的解为 x = -5。
二次函数配方法
二次函数配方法二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
在解二次函数的问题时，我们经常会用到配方法。
配方法是一种将二次函数转化为完全平方的方法，通过这种方法可以更加简洁地解决二次函数相关的问题。
本文将介绍二次函数配方法的基本原理和具体应用，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
首先，我们来看一下二次函数的一般形式，$y=ax^2+bx+c$。
其中，$a$、$b$、$c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
在配方法中，我们的目标是将二次函数转化为完全平方的形式，即$(x+p)^2+q$。
这样做的好处是可以更加方便地求解函数的顶点、焦点、对称轴等重要性质。
接下来，我们以一个具体的例子来说明配方法的应用。
假设我们要求解二次函数$y=x^2+6x+5$的顶点坐标。
首先，我们可以通过配方法将这个二次函数转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 首先，我们将一次项系数的一半平方，即$(6/2)^2=9$。
2. 然后，我们在函数中加上并减去这个平方数，即$y=x^2+6x+9-9+5$。
3. 接着，我们将前三项合并成一个完全平方，即$y=(x+3)^2-4$。
通过以上步骤，我们成功地将原来的二次函数转化为完全平方的形式。
这样一来，我们就可以轻松地求得函数的顶点坐标为$(-3,-4)$。
可以看到，通过配方法，我们可以更加简洁地解决二次函数相关的问题。
除了求解顶点坐标，配方法还可以应用于求解二次函数的焦点、对称轴等问题。
通过将二次函数转化为完全平方的形式，我们可以更加清晰地看到函数的性质，从而更好地理解和应用二次函数。
总的来说，二次函数配方法是解决二次函数相关问题的重要工具之一。
通过将二次函数转化为完全平方的形式，我们可以更加方便地求解函数的各种性质，从而更好地理解和应用二次函数。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地掌握二次函数配方法，提高数学解题的效率和准确性。
二次函数的配方法
二次函数的配方法二次函数也被称为二次方程，是一个常见的函数类型，在数学中有重要的应用。
二次函数的通用形式可以表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是实数常数，a不等于零。
配方法是一种用于求解二次方程的工具，它可以将一个二次方程转化成一个可以因式分解的形式。
通过配方法，我们可以找到二次方程的根。
下面将详细介绍二次函数的配方法。
步骤一：确定二次项系数a和常数项c在配方法中，我们需要确定二次项系数a和常数项c的值。
在已知二次函数的形式y = ax^2 + bx + c时，a和c的值可以直接读取出来。
例如，对于二次函数y=2x^2+3x+1，其中a=2，c=1步骤二：计算配方项配方法的关键在于计算配方项，配方项用于将二次项系数a转化成一个完全平方的形式。
配方项可以通过以下公式计算得到：配方项=(一次项系数的一半)^2一次项系数是指二次项系数b的一半。
例如，如果b=3，则一次项系数为1.5例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，一次项系数为1.5，那么配方项为1.5^2=2.25步骤三：将配方项加入二次函数将计算得到的配方项加入二次函数中，形成一个新的表达式。
例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，配方项为2.25、将其加入二次函数得到新的表达式y=2x^2+3x+2.25步骤四：将新的二次函数转化成完全平方形式通过将新的二次函数转化成一个完全平方的形式，即(x+p)^2，其中p是一个实数常数。
为了将新的二次函数转化成完全平方形式，我们可以以配方项为线索。
将配方项开平方，得到一个实数。
例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，配方项为2.25、将它开平方得到1.5步骤五：完成配方法将新的二次函数转化成完全平方形式后，配方项的系数前面应该是1、所以我们需要将二次函数除以a的值，这将产生一个常数p。
例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，a的值为2、将二次函数除以2，得到y=(x+1.5)^2于是，我们成功地将二次函数转化成一个完全平方的形式。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
常见的四种方法求二次函数解析式包括配方法、因式分解法、求根公式法和完成平方法。
1.配方法：配方法适用于二次函数的系数不为1时，即a≠1的情况。
步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。
例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+3)^2-4b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=（x+3)^2-42.因式分解法：因式分解法适用于二次函数可以被因式分解的情况，即可以找到两个一次因式的乘积形式。
步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。
例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+1)(x+5)。
b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)。
3.求根公式法：求根公式法适用于二次函数的解存在有理根的情况。
步骤：a) 根据二次函数的系数a、b、c，计算出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac。
b)根据判别式Δ的数值，判断方程的解的情况：-如果Δ>0，则有两个不相等的实根；-如果Δ=0，则有两个相等的实根（重根）；-如果Δ<0，则没有实根，但可能有两个虚根。
c)根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出实根或复根。
4.完成平方法：完成平方法适用于二次函数的系数为1时，即a=1的情况。
步骤：a)将二次函数进行配方，将其转化成完全平方的形式。
例如：y=x^2+6x+___，需要找到一个数来补全。
根据(b/2)^2的性质，可以将6/2=3得到的平方数补全，即y=x^2+6x+9b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+9=(x+3)^2通过以上四种方法，可以根据具体的二次函数形式，选择适合的方式来求得二次函数的解析式。