安徽省滁州市民办高中2017-2018学年高二下学期第一次联考数学(理)试题+Word版含答案

滁州市民办高中2017-2018学年下学期第一次联合考试高二理科数学注意事项：1. 本卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

2. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。

3. 请将答案正确填写在答题卷上，写在其它地方无效。

4. 本次考题主要范围：必修2、选修2-1等第I 卷（选择题）一、选择题1.一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.2.“”是“直线与平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知直三棱柱111ABC A B C -中， 120ABC ∠=，2AB =， 11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.2 B. 55 D. 3 4.已知O 为坐标原点， 1F ， 2F 是双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足12PF PF ⊥，且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）5.如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形， 12AA =，011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（ ）6.已知直线y kx m =+与抛物线28y x =相交于,A B 两点，点()2,2M 是线段AB 的中点，O 为原点，则AOB ∆的面积为（ ）A. D. 7.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A.B.C.D.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知((,0,,A B P 为函数y =若2PB PA =，则cos APB ∠= （ ）A.1334 D. 359.设P 为双曲线22115y x -=右支上一点， M N 、分别是圆()2244x y ++=和()2241x y -+=上的点，设PM PN -的最大值和最小值分别为m n 、，则m n -=（ ）A. 4B. 5C. 6D. 710. 如图，12,A A 为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,Q ,,QA A OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A ．5B ．3+C ．9D ．1411.如图，点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上运动，且P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B. C.D.12.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆的方程为（ ） A. B.C.D.第II 卷（非选择题）二、填空题13.正方形123APP P 的边长为4，点,B C 分别是边12PP ， 23P P 的中点，沿,,AB BC CA 折成一个三棱锥 P ABC -（使 123,,P P P 重合于P ），则三棱锥P ABC -的外接球表面积为______．14.如图，在正三棱柱111A B C ABC -中， 4AB =， 1A A =D ， F 分别是棱AB ， 1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF 周长的最小值为__________．15.已知椭圆22221x y a a b +=>>（ｂ０）A 为左顶点,点,M N 在椭圆C 上,其中M 在第一象限, M 与右焦点的连线与x 轴垂直,且4?10AM AN k k +=,则直线MN 的方程为_______.16.已知,m n 是两条不重合的直线,,αβγ是三个两两不重合的平面.给出下列四个命题: (1)若,m m αβ⊥⊥,则//αβ (2)若,αγβγ⊥⊥,则//αβ (3)若,,//m n m n αβ⊂⊂,则//αβ(4)若,m n 是异面直线, ,//,,//m m n n αββα⊂⊂,则//αβ 其中是真命题的是_______ .(填上正确命题的序号) 三、解答题17. 如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是60ABC ∠=的菱形, M 为棱PC 上的动点,且[]()01PMPCλλ=∈，. (I)求证： PBC ∆为直角三角形；(II)试确定λ的值，使得二面角P AD M --的平面角余弦值为5.18. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 上的点，将DCF AED ∆∆和折起，使,A C 两点重合于P . （1）求证：PD EF ⊥； （2）当14BE BF BC ==时， 求四棱锥P BEDF -的体积.19.如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程； （2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()0,2-. （1）求C 的方程；（2）若动点P 在直线:l x =-过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线l MN '⊥，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.21.如图，正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，D 是BC 的中点． （I ）求证： AD ⊥平面11B BCC ． （II ）求证： 1A B 平面1ADC ． （III ）求三棱锥11C ADB -的体积．22. 已知O 为坐标原点，直线l 的方程为2y x =+，点P 是抛物线24y x =上到直线l 距离最小的点，点A 是抛物线上异于点P 的点，直线AP 与直线l 交于点Q ，过点Q 与x 轴平行的直线与抛物线24y x =交于点B . （1）求点P 的坐标；（2）求证：直线AB 恒过定点M ；（3）在（2）的条件下过M 向x 轴做垂线，垂足为N ，求OANB S 四边形的最小值.参考答案一、选择题1.B2.A3.C4.D5.D6.D7.A8.C9.C10.A11.B12.D 二、填空题 13.24π14.415.y x =16.（1）（4） 三、解答题 17.(I)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，所以,OC AD OP AD ⊥⊥,又OC OP O OC ⋂=⊂，平面,POC OP ⊂平面POC ， 所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以AD PC ⊥,因为//BC AD ,所以BC PC ⊥，即90PCB ∠= ,从而PBC ∆为直角三角形.说明:利用 PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分!(II)[向量法]由(I)可知P O A D ⊥,又平面PAD ⊥平面A B C D ,平面PAD ⋂平面A B C D A D =,PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD .以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(()())00,010,010,0P A D C -，，，，，,PC =由PM PC λλ== 可得点M的坐标)所以)),,AM DM ==-,设平面MAD 的法向量为(),,n x y z =，则0{ 0n AM n DM ⋅=⋅=,即))0 0x y z x y z ++=-+=解得1{x z y λλ-==， 令z λ=，得()1,0,n λλ=-，显然平面PAD的一个法向量为)0OC =，,依题意cos(,)|n OC n OC n OC ⋅===， 解得13λ=或1λ=-（舍去）， 所以，当13λ=时，二面角P AD M -- 18.证明：（1）折起前,AD AE CD CF ⊥⊥， 折起后，,PD PE PD PF ⊥⊥. （2分） ∵PE PF P = ，∴PD ⊥平面PEF ，（4分） ∵EF ⊂平面PEF ，∴PD EF ⊥. （6分）（2）当14BEBF BC ==时，由（1）可得PD ⊥平面PEF . 此时，EF =11,34622BEF ADE CDF S S S ∆∆∆===⨯⨯=.PEF ∆的高为1h ===∴11122PEF S EF h ∆=⋅==∴11433D PEF PEF V S DP -∆=⋅==∵17166622DEF ABCD BEF ADE CDF S S S S S ∆∆∆∆=---=---= 设点P 到平面BEDF 的距离为h ，则1736P DEF DEF V S h h -∆=⋅=∵D PEF P DEF V V --=76h =解得h =∴四棱锥P BEDF -的体积1171()3322P BEDF DEF BEF V S S h -∆∆⎛⎫=+⋅=+=⎪⎝⎭19.(1)设所求椭圆的标准方程为，右焦点为.因是直角三角形，又,故为直角，因此,得.又得，故，所以离心率.在中，，故由题设条件，得，从而.因此所求椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程得，设，则,又，所以由,得,即，解得，所以直线方程分别为和.20 （1）由题意知2b =，又椭圆的离心率为3，所以22222223c a b a a -===⎝⎭， 所以212a =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=. （2）因为直线l的方程为x =-()00,P y y ⎛-∈ ⎝⎭， ①当00y ≠时，设()()1122,,,M x y N x y ，显然12x x ≠，由221122221124{ 1124x y x y +=+=可得222221210124x x y y --+=，即1212121213y y x x x x y y -+=-⋅-+, 又PM PN =，所以P 为线段MN 的中点， 故直线MN的斜率为0013-=， 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+即y x ⎛=+⎭，显然l '恒过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，②当00y =时， l '过点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，综上可得直线l '过定点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.（I ）证明：∵在正ABC 中， D 是BC 边中点，∴AD BC ⊥， ∵在正三棱柱中， 1C C ⊥平面ABC ， AD ⊂平面ABC ， ∴1AD C C ⊥，∵1BC C C C ⋂=点， BC ， 1C C ⊂平面11BB C C ， ∴AD ⊥平面11BB C C ．（II ）连接1AC 、1AC ，设11AC AC O ⋂=点，连接OD ， ∵在1ACB 中， O 、D 分别是1AC 、BC 中点，∴112OD A B ， ∵OD ⊂平面1ADC ， 1A B ⊄平面1ADC ，∴1A B 平面1ADC ，（III ）111111*********C ADB A C DB C DB AD V V S --⨯==⨯=⨯⨯= ．22. （1）设点P 的坐标为()00,x y ，则2004y x =所以，点P 到直线l的距离2d ==≥. 当且仅当02y =时等号成立，此时P 点坐标为()1,2.（2）设点A 的坐标为211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，显然12y ≠. 当12y =-， A 点坐标为()1,2-，直线AP 的方程为1x =；可得9,34B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线:46A B y x =-；当12y ≠-时，直线AP 的方程为， ()12122114y y x y --=-- 化简得()114220x y y y -++=；综上，直线AP 的方程为()114220x y y y -++= 与直线l 的方程2y x =+联立，可得点Q 的纵坐标为11282Q y y y -=- 因为， BQ x 轴，所以B 点的坐标为11282B y y y -=-. 因此， B 点的坐标为()()211211428,22y y y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭当111282y y y -≠--，即218y ≠时，直线AB 的斜率()()11112221111282488442y y y y k y y y y ----==----. 所以直线AB 的方程为2111214884y y y y x y ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭， 整理得()()()21124280y y x y x y ---+-= 当2,2x y ==时，上式对任意1y 恒成立，此时，直线AB 恒过定点()2,2M ，也在46y x =-上，当218y =时，直线AB 的方程为2x =，仍过定点()2,2M ， 故符合题意的直线AB 恒过定点()2,2M .（3）()2,2M 所以()2,0NONA ONB B A OANB S S S y y ∆∆=+=-四边形 设AB 的方程为x ty m =+则22{ 4404x ty m y ty m y x=+⇒--== 4A B y y t ⇒+=， 4A B y y m =-， 22t m =+ONA ONB B A OANB S S S y y ∆∆=+=-四边形 4=。