高中数学第四章导数应用2.2最大值最小值问题二学案北师大版选修
高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题(二)学案北师大选修1-1
2.2 最大值、最小值问题(二)学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．类型一几何中的最值问题命题角度1 平面几何中的最值问题例1 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．命题角度2 立体几何中的最值问题例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2 把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？类型二实际生活中的最值问题命题角度1 利润最大问题例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？命题角度2 费用(用材)最省问题例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练4 据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件D ．7万件2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用函数表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1件产品，成本增加100元，已知总收益R (元)与年产量x (件)的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 20≤x ≤400，80 000x >400，则总利润P (x )最大时，每年生产的产品是( ) A ．100件 B ．150件 C ．200件D ．300件4．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大．5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意： (1)合理选择变量，正确给出函数表达式； (2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．答案精析问题导学 知识点 1．优化问题 3．数学建模 题型探究例1 解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25. 两栏面积之和为 2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ，∴S ′＝18 000[x －20－x ]x －202＋25＝－360 000x －202＋25.令S ′>0得x >140， 令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上是增加的，在(20,140)上是减少的， ∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小． 跟踪训练1 解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图像的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)，∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2. ∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2) ＝16x －12x 2＋2x 3，∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)．令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数是增加的；当2－233<x <2时，y ′<0，函数是减少的，∴当x ＝2－233时，矩形的面积有最大值329 3.例2 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x ) cm ， 所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x )＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x2)2＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)， 所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2. 跟踪训练2 解 设箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x 2(0<x <a )，箱子的容积为V (x )＝12x 2×sin 60°×h＝18ax 2－18x 3(0<x <a )， 则V ′(x )＝14ax －38x 2.令V ′(x )＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a 时，V ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 时，V ′(x )<0， 所以函数V (x )在x ＝23a 处取得极大值，这个极大值就是函数V (x )的最大值，V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3 ＝154a 3. 所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大容积为154a 3.例3 解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 跟踪训练3 解 (1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2) ＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)由(1)知，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432，x ∈[0,21]， 令f ′(x )＝0，则x 1＝2，x 2＝12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f ′(x )－0 ＋0 －f (x )9 072极小值极大值∴x ＝12时，f (x )取得极大值． ∵f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大． 例4 解 (1)由题设知每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40， 因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52. 令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5(x ＝－253舍去)，当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，11 故x ＝5为f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．跟踪训练 4 解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得 h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的；当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的．所以当x ＝80时，h (x )取到极小值为 h (80)＝11.25.因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.1 5.160。
高中数学 第4章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题课后演练提升 北师大版选修1-1(2021年
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课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题（每小题5分，共20分）1．函数f（x)＝x2－4x＋1在[1，5］上的最大值和最小值分别是( ）A．f(1）f（2) B．f(2）f(5)C．f(1）f（5）D．f（5）f（2）解析:f′（x)＝2x－4，令f′(x)＝2x－4＝0，∴x＝2。
f(1）＝－2，f（2)＝－3，f（5）＝6，∴最大值f(5)，最小值f（2)．答案:D2．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时,它的高为（) A．1 B．3C．2 D．3解析:设底面中心为O,令高为h，则AO＝错误!.AB＝2AO＝错误!·错误!.体积V＝错误!×2×h（12－h2）＝－错误!h3＋8h.V′＝－2h2＋8，令V′＞0得0＜h＜2，V′＜0得h＞2，当0＜h＜2时，函数递增，h＞2时，函数递减．当h＝2时，V取极大值，也是最大值．答案：C3．函数y＝错误!的最大值为( )A．e－1B．eC．e2D．10 3解析：令y′＝ln x′x－ln x·x′x2＝错误!＝0，得x＝e。
当x〉e时，y′〈0;当0＜x＜e时,y′>0,y极大值＝f（e）＝错误!，在定义域内只有一个极值，所以y max＝错误!。
高中数学 第四章 导数应用 4.2.2 最大值、最小值问题课件1 北师大版选修1-1
x 3 (3,2) 2 (2,2) 3 (2,3) 3
y
0 0
y 25
32
0
7
故，函数最大值为K123课件2，最小值为 0 。 7
解题指导
用边长为 60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，
先在四角分别截去一个小正方形，然后 把四边翻转
当 x在 (0,60)内变化时 V的正负如下表：
X cm
x (0,40) 40(40,60)
V 0
在 x 40 处 V 取得极大值， 并且此极大值 就是 V 的最大值,
最大值为 16000
K12课件
9
答：水箱底边长取 40cm时，容积最大为 16000cm3
课堂练习
把长度为 lcm 的线段分成四段， 围成一个矩形，问怎样分法， 所围成的矩形面积最大。
K12课件
10
练习解答：
把长度为Lcm 的线段分成四段，围成一个
矩形，问怎样分发，所围成的矩形面积 最大。
解：设所围矩形长xcm，则宽为( L x)cm
矩形面积
s
x( L
x)(0
x
2 L
/
2)
求导数得
s
2
2x
L
令
s 0
得
2
x
L
xy 列表
(0, L 4 )(L 4 , L 2)
0 0 0
y 13
4
5
4
13
因此，x 2 时，函数有K12最课件大值13，x 1
时
4
4
知识小结
北师大版高中数学选修2-2《最大值、最小值问题》学案-新版
最大值、最小值问题一、学习目标：1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤.二、学习重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．三、学习难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．四、知识链接：函数极值与导数五、学法指导：在学习函数极值与导数关系基础上，正确理解函数最值的意义，掌握函数最值与函数极值之间的联系和区别，并进一步学会利用导数求函数的最值。
六、学习内容：1、复习回忆：（1）在含0x 的一个区间),(b a 内，若)(x f y =在任意一点的函数值都不大于0x 点的函数值，即 ，则称 为 极大值点，)(0x f 为函数的 .（2）在含0x 的一个区间),(b a 内，若)(x f y =在任意一点的函数值都不小于0x 点的函数值，即 ，则称 为 极小值点，)(0x f 为函数的 .（3）求可导函数)(x f y =极值点步骤： ① ；② ； ③ 1）)('0x f 在0x 的两侧 ，则0x 为极大值点；2）)('0x f 在0x 的两侧 ， 则0x 为极小值点.2.新课学习：学习课本P66例4前内容，然后填空.(1)对于)(x f y =在],[b a 上任意一个自变量x ，总存在],[0b a x ∈ 若)()(0x f x f ≤总成立，则0x 是],[b a 上 , 若)()(0x f x f ≥总成立，则0x 是],[b a 上(2)函数最值与极值的区别与联系： ⑴函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对 而言，是在 范围内讨论问题，是一个整体性的概念；⑵函数在其定义区间上的最大值、最小值 各有一个，而函数的极值则 不止一个，也可能没有极值；⑶在求可导函数最大值时，应先求出函数的 ，然后将函数的 与 的函数值进行比较，其中 即为函数的最大值，在实际问题中，一般可以通过 和 确定最大值。
高中数学第四章导数应用4.2.2最大值、最小值问题(二)课件北师大版选修11
(2)f′(x)＝6－（32x4＋050）2＝54x（＋323x5＋（5）x－2 5），令 f′(x)＝0
得 x＝5，x＝－235(舍去)，当 x∈[0，5)时，f′(x)<0；当 x ∈(5，10]时，f′(x)>0，故 x＝5 时，f(x)取得最小值，且最 小值 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70.因此当隔热层修建 5 cm 厚时， 总费用达到最小，且最小值为 70 万元．
当 r∈(5，5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数．
由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8.
即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
1.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一
段弯成圆，怎样截可使正方形与圆的面积之和最小？
解：设弯成圆的一段长为 x cm，则另一段长为(100－x)cm，
想的应用.
1.利用导数解决优化问题的基本思路
2.导数在不等式问题中的应用 利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基 本 思 路 是转化为函数的____最__值_____问题加以解决．
3．求函数最值的方法 一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的 步 骤 如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较, 其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最 小值在 端 点处取得． (2)当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时, 若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x) 在该 点 处取得最大值(或最小值),这里(a，b)也可以是无穷区间.
高中数学4.2.2最大值、最小值值问题二 教案 (北师大选修1-1)
4。
2。
2 最大值、最小值值问题教学过程：一、创设情境，铺垫导入1．问题情境:在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm，宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）(60－2x）x=4(40－x）（30－x)x.2．引出课题：分析函数关系可以看以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活,培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围,在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后，引导学生发现，所列函数的最大值是以前学习过三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时,V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑,疑源于思",思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神,提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．教学环节教学内容设计意图本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续,开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点:求最值问题的优化方法及相关问题,层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手法上，制作CAI课件辅助教学,使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习,本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想,引导学生主动参与到课堂教学全过程中．。
高中数学 第四章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用 2.2 最大值、最小值问题实用课件 北师大版选修11
[一点通] 解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过 分离参数，要使 m>f(x)恒成立，只需 m>f(x)的最大值即可，同理， 要使 m<f(x)恒成立，只需 m<f(x)的最小值即可．
3．设 f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求 g(x)的单调区间和最小值； (2)求 a 的取值范围，使得 g(a)－g(x) ＜1a对任意 x＞0 都成 立．
π3＋
Hale Waihona Puke 3 223π－3 2
π
∴当 x＝0 时，f(x)取最小值 0；
当 x＝2π 时，f(x)取最大值 π.
[一点通] 求解函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上， 还须注意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和区间端点的函数值； (3)比较极值与区间端点函数值的大小．
1．函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值点 x0 指的是： 函数在这个区间上 所有点 的函数值都不超过(不小于) f(x0) ．
2．最大值和最小值统称为 最值 ．
1．函数的最大值、最小值是一个整体概念，最大(小)值必须 是整个区间内所有函数值中最大(小)的．
2．如果在[a，b]上函数 y＝f(x)图像是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值与最小值．
解：(1)由题设知 f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋1x，x＞0， 所以 g′(x)＝x－x2 1，令 g′(x)＝0 得，x＝1， 当 x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是 g(x)的单调递减区间． 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是 g(x)的单调递 增区间． 因此，x＝1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最 小值点，所以 g(x)的最小值为 g(1)＝1.
高中数学第四章导数应用4.2.2最大值、最小值问题(一)作业北师大版选修1-1(2021年整理)
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4.2.2 最大值、最小值问题(一）[基础达标］1.函数f(x）＝x3－3x(|x|<1）( ）A．有最大值，但无最小值B．有最大值,也有最小值C．无最大值,但有最小值D．既无最大值，也无最小值解析：选D。
∵－1〈x〈1,∴f′(x）＝3x2－3＝3(x2－1）〈0,f（x)在（－1，1)上单调递减,故f(x)在（－1，1）上无最值．2.已知函数f(x）＝－x2－2x＋3在[a，2]上的最大值为错误!，则a等于( ）A．－错误! B.错误!C．－错误!D。
错误!或－错误!解析：选C。
f′（x)＝－2x－2,令f′(x)＝0得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1）＝4，不合题意．当－1<a〈2时，f(x)在[a，2］上单调递减，最大值为f(a）＝－a2－2a＋3＝154，解得a＝－错误!或a＝－错误!（舍去）．3.函数f（x)＝错误!在x∈［2，4]上最小值为（）A．0 B.错误!C。
错误!D。
错误!解析:选C.f′(x）＝错误!＝错误!,当x∈［2,4］时,f′（x)<0，即函数f（x）在x∈［2，4]上是单调递减函数，故当x＝4时,函数f（x)有最小值错误!.4.当函数f（x)＝x＋2cos x在区间错误!上取得最大值时，x＝（)A．0 B。
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2.2最大值、最小值问题(二)学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．类型一几何中的最值问题命题角度1平面几何中的最值问题例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．命题角度2立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？命题角度2费用(用材)最省问题例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练4据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？1．已知某生产家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产家获取最大的年利润的年产量为()A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用函数表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时3．某生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1件产品，成本增加100元，已知总收益R (元)与年产量x (件)的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 20≤x ≤400，80 000x >400，则总利润P (x )最大时，每年生产的产品是() A ．100件 B ．150件 C ．200件D ．300件4．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大．5．要制作一个容积为 4 m 3，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式； (2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．答案精析问题导学 知识点 1．优化问题 3．数学建模 题型探究例1解设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25. 两栏面积之和为 2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ，∴S ′＝18 000[x －20－x ]x －202＋25＝－360 000x －202＋25.令S ′>0得x >140， 令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上是增加的，在(20,140)上是减少的， ∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小． 跟踪训练1解设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图像的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)，∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2. ∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2) ＝16x －12x 2＋2x 3，∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)．令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数是增加的；当2－233<x <2时，y ′<0，函数是减少的，∴当x ＝2－233时，矩形的面积有最大值329 3.例2解(1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x ) cm ， 所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x )＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x2)2＝8×5，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)， 所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2. 跟踪训练2解设箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x 2(0<x <a )，箱子的容积为V (x )＝12x 2×sin 60°×h＝18ax 2－18x 3(0<x <a )， 则V ′(x )＝14ax －38x 2.令V ′(x )＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a 时，V ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 时，V ′(x )<0， 所以函数V (x )在x ＝23a 处取得极大值，这个极大值就是函数V (x )的最大值，V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3 ＝154a 3. 所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大容积为154a 3.例3解(1)因为当x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 跟踪训练3解(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2) ＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)由(1)知，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432，x ∈[0,21]， 令f ′(x )＝0，则x 1＝2，x 2＝12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f ′(x )－0 ＋0 －f (x )9 072极小值极大值∴x ＝12时，f (x )取得极大值． ∵f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大． 例4解(1)由题设知每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5， 再由C (0)＝8，得k ＝40， 因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52. 令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5(x ＝－253舍去)，当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5为f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．跟踪训练4解(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得 h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的；当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的．所以当x ＝80时，h (x )取到极小值为 h (80)＝11.25.因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 当堂训练1．C2.C3.D4.15.160。