高中数学第四章导数应用2.2最大值最小值问题二学案北师大版选修

2.2最大值、最小值问题(二)

学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

知识点生活中的优化问题

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________．

2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．

3．解决优化问题的基本思路：

上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．

类型一几何中的最值问题

命题角度1平面几何中的最值问题

例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．

跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．

命题角度2立体几何中的最值问题

例2请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？

(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．

(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．

跟踪训练2把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

类型二实际生活中的最值问题

命题角度1利润最大问题

例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格

x(单位：元/千克)满足关系式y＝

a

x－3

＋10(x－6)2，其中3

为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：

(1)利润＝收入－成本；

(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．

(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

命题角度2费用(用材)最省问题

例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每

年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

k 3x＋5

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练4据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y (升)关于行驶速度

x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝

1128 000x 3－3

80

x ＋8(0

相距100千米．

(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？

1．已知某生产家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－

1

3

x 3＋81x －234，则使该生产家获取最大的年利润的年产量为()

A ．13万件

B ．11万件

C ．9万件

D ．7万件

2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用函数表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －629

4，则在这段时间内，通过该路段用时最多

的时刻是()

A ．6时

B ．7时

C ．8时

D ．9时

3．某生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1件产品，成本增加100元，已知总收益R (元)与年产量x (件)的关系是R (x )＝???

??

400x －12x 20≤x ≤400，

80 000x >400，则总利润P (x )

最大时，每年生产的产品是() A ．100件 B ．150件 C ．200件

D ．300件

4．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大．

5．要制作一个容积为 4 m 3

，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．

正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：

(1)合理选择变量，正确给出函数表达式； (2)与实际问题相联系；

(3)必要时注意分类讨论思想的应用．

答案精析

问题导学 知识点 1．优化问题 3．数学建模 题型探究

例1解设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每栏的高和宽分别为x －20，y －25

2

，

其中x >20，y >25. 两栏面积之和为 2(x －20)·

y －25

2

＝18 000，

由此得y ＝18 000

x －20＋25.

广告的面积S ＝xy ＝x ?

??

??18 000x －20＋25＝18 000x x －20

＋25x ，

∴S ′＝18 000[x －20－x ]

x －202＋25

＝

－360 000

x －202

＋25.

令S ′>0得x >140， 令S ′<0得20

∴函数在(140，＋∞)上是增加的，在(20,140)上是减少的， ∴S (x )的最小值为S (140)．

当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小． 跟踪训练1解设点B 的坐标为(x,0)，且0

图像的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)，

∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2

. ∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2

) ＝16x －12x 2

＋2x 3

，

∴y ′＝16－24x ＋6x 2

＝2(3x 2

－12x ＋8)．

令y ′＝0，解得x ＝2±2

33，

∵0

3

3.

∵当0

33时，y ′>0，函数是增加的；

当2－2

33

∴当x ＝2－233时，矩形的面积有最大值32

9 3.

例2解(1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x ) cm ， 所以包装盒侧面积为

S ＝42x ×2(30－x )

＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x

2

)2

＝8×5，

当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2

·2(30－x ) ＝－22x 3

＋602x 2

(0

＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0

所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2. 跟踪训练2解设箱底边长为x ，则箱高为h ＝

33×a －x 2(0

2

x 2×sin 60°×h

＝18ax 2－18x 3

(0

令V ′(x )＝0，

解得x 1＝0(舍)，x 2＝2

3

a ，

当x ∈? ????0，23a 时，V ′(x )>0； 当x ∈? ??

??23a ，a 时，V ′(x )<0， 所以函数V (x )在x ＝2

3a 处取得极大值，

这个极大值就是函数V (x )的最大值，

V ? ????23a ＝18

a ×? ??

??23a 2－18×? ??

??23a 3 ＝154

a 3. 所以当箱子底边长为2

3a 时，箱子容积最大，

最大容积为154

a 3

.

例3解(1)因为当x ＝5时，y ＝11， 所以a

2＋10＝11，

所以a ＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量

y ＝2

x －3

＋10(x －6)2

， 所以商场每日销售该商品所获得的利润

f (x )＝(x －3)[2

x －3

＋10(x －6)2

]

＝2＋10(x －3)(x －6)2,

3

从而f ′(x )＝10[(x －6)2

＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．

于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．

所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 跟踪训练3解(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2

件． 由已知条件，得k ·＝24，解得k ＝6.

若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2

) ＝－6x 3

＋126x 2

－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．

(2)由(1)知，f ′(x )＝－18x 2

＋252x －432，x ∈[0,21]， 令f ′(x )＝0，则x 1＝2，x 2＝12.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f ′(x )

－

0 ＋

0 －

f (x )

9 072

极小值

极大值

∴x ＝12时，f (x )取得极大值． ∵f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，

∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大． 例4解(1)由题设知每年能源消耗费用为C (x )＝k

3x ＋5

， 再由C (0)＝8，得k ＝40， 因此C (x )＝40

3x ＋5，

而建造费用为C 1(x )＝6x .

因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f (x )＝20C (x )＋C 1(x )

＝20×

40

3x ＋5

＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52

. 令f ′(x )＝0，即

2 4003x ＋5

2

＝6，

解得x ＝5(x ＝－25

3

舍去)，

当00，

故x ＝5为f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋800

15＋5＝70.

即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元． 跟踪训练4解(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了

100

40

＝2.5(小时)，要耗油? ??

??1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．

(2)当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100

x

小时，设耗油量为h (x )升，依题

意得

h (x )＝?

??

??1128 000x 3－380x ＋8·100x

＝

11 280x 2＋800x －15

4

(0

640－800x 2＝x 3－803

640x 2(0

令h ′(x )＝0，得x ＝80.

当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的． 所以当x ＝80时，h (x )取到极小值为

h (80)＝11.25.

因为h (x )在(0,120]上只有一个极值， 所以它是最小值．

故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 当堂训练

1．C2.C3.D4.15.160