高中数学北师大版选修2-2课件：第二章 导数的几何意义
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北师大版高中数学选修2-2课件2.2.2导数的几何意义课件
(1,1)
y 3x 4
小结
＊导数的几何意义： 函数在处的导数，即是曲线 y f ( x ) x0 在点处的切线斜率。 ( x0 , f ( x0 ) ) ＊导数法求曲线的切线方程：
y f ( x)
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
f ( x0 )
（2）利用点斜式求得切线方程为：
由题知，
( 2,4) x 2 时割线过点和；
(0,0)
( 2,4) ( 1,1) x 1 时割线过点和； ( 2,4) ( 1.5,2.25) 图略。 x 0.5 时割线过点和，
（2） f ( 2 ) ∴ k f ( 2) 4 又切线过点 ( 2,4) ∴切线方程为：
2
yx
2
x0 , x0 x
yx
2
的平均变化率，并画出过点的相应割线； ( x0 , f ( x0 ) ) 在点处的切线。 ( 2,4)
解析
y f ( x) 2 x x 1 例2求函数在处的切线方程。
3
解析
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
y 4 x 4
图略。 例2
分析： 要求切线斜率，即导数。
解：
f (1)
∴ k切线 f (1) 6 ∴切线方程为：
( y 2) 6( x 1)
即 y 6x 4 概括
f ( 0) f ( 2) 0 2： x 1 , 0.5
f ( 1) f ( 2) ( 1)2 ( 2)2 3 1 1
f (1.5) f ( 2) ( 1.5)2 ( 2)2 3.5 0.5 0.5
2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)
ℎ →0
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2.2导数的几何意义 课件 (15张)
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四、课堂练习，巩固新知
1 、 求f ( x) x 2在x 2处的切线斜率， 并求出 过该点的切线方程 。 1 2、 求f ( x) 在x 2处的切线方程。 x 3、 根据导数的几何意义 ， 求函数y 4 x 2 在x 1处的导数。
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五、反思与评价
1、导数的几何意义是什么？ 2、学习导数的几何意义可以处理哪 些问题？ 3、如何求曲线的切线方程？
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二、合作探究，形成概念
如图，点A(x0,f(x0))是曲线y=f(x)上一点，点B(x0+Δx,f(x0+Δx)) 是曲线上与点A邻近的任一点，函数y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均变
y 化率为 x
,它是过A、B两点的直线的斜率，直线AB称为曲线
y=f(x)在点A处的一条割线。
y
令Δx趋于零，可知y=2x3在x=1处的导数为 f'(1)=6.这样，函数y=2x3在点(1,f(1))=(1,2)处 的切线斜率为6.即该切线经过点(1,2)，斜率6. 因此切线方程为(y-2)=6(x-1).即 y=6x-4. 切线如图所示.
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三、例题学习，应用新知
思考与交流：
y=2x3在点（1，2）处的 切线y=6x-4与y=2x3有几 个公共点？
一、课题引入，类比探讨 导数的本质是什么？写出它的表达式。
导数的本质是函数f(x)在x=x0处的瞬时变化 率，即：
f x0 x f ( x0 ) f x0 lim x 0 x
/
如何求函数 f(x)在x=x0处的导数？
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一、课题引入，类比探讨 导数的本质仅是从代数（数）的角度 来诠释导数，那么我们能不能类比求导 数的方法和过程，从图形（形）的角度 来探究导数的几何意义呢？
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
������ ������
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
高中数学北师大版选修2-2第2章《疑难解读：导数的概念及其几何意义》ppt课件
1．导数的定义 f(x)在 x＝x0 处的导数：当 Δx→0 时，函数平均变化率的极限 等于函数在 x0 的瞬时变化率 l，记作Δlti→m0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.函 数在 x0 的瞬时变化率，通常就定义为 f(x)在 x＝x0 处的导数，并 记作 f′(x0)或 y′|x＝x0. 即 f′(x0)＝Δlti→m0 ΔΔyx＝Δlti→m0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
• 得f(2)＝22－1＝3.
• 故f′(2)＝(3)′＝0. • 【错因】 f(x)＝x2－1，得f′(2)是导函数的一个函 数值，而不是函数f(2)的导数．
【正解】
f′(x)＝Δlti→m 0
fx＋Δx－fx Δx
＝Δlti→m0 x＋ΔΔxx2－x2＝2x.
故 f′(2)＝2×2＝4.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29Fra bibliotek最新中小学教学课件
10
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
11
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
• 得f(2)＝22－1＝3.
• 故f′(2)＝(3)′＝0. • 【错因】 f(x)＝x2－1，得f′(2)是导函数的一个函 数值，而不是函数f(2)的导数．
【正解】
f′(x)＝Δlti→m 0
fx＋Δx－fx Δx
＝Δlti→m0 x＋ΔΔxx2－x2＝2x.
故 f′(2)＝2×2＝4.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2 导数的几何意义 课件(19张)
������x→0
������������������ (4x0 +2Δx)=4x0 , 即 f'(x0 )=4x0 .
������y Δ ������ →0 ������x
=
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1, 即
1 9 1 9 2 f'(x0 )=4x0 =1, 得 x0 = , 将其代入 y=2x +1, 得 y0 = , 故切点坐标为 , 4 8 4 8
所以切线的斜率为 -4.又因为切线过点(-2,4), 所以切线方程为 y-4=-4(x+2), 即 4x+y+4=0.
题型一
题型二
题型三
反思解此类问题的步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求切线的斜率f'(x0); (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (4)由y0=f(x0),求得切点坐标.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=2x2-a在点P处的切线方程为 12x-y-35=0,求切点P的坐标及a的值.
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转 动,最后趋于直线l.直线l和曲线在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x) 在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
1
2
������������������ (4x0 +2Δx)=4x0 , 即 f'(x0 )=4x0 .
������y Δ ������ →0 ������x
=
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1, 即
1 9 1 9 2 f'(x0 )=4x0 =1, 得 x0 = , 将其代入 y=2x +1, 得 y0 = , 故切点坐标为 , 4 8 4 8
所以切线的斜率为 -4.又因为切线过点(-2,4), 所以切线方程为 y-4=-4(x+2), 即 4x+y+4=0.
题型一
题型二
题型三
反思解此类问题的步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求切线的斜率f'(x0); (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (4)由y0=f(x0),求得切点坐标.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=2x2-a在点P处的切线方程为 12x-y-35=0,求切点P的坐标及a的值.
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转 动,最后趋于直线l.直线l和曲线在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x) 在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
1
2
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3
P
y |x2 22 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
12
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
13
2.
1 作业: 1.求函数y 在x 1处的导数。 x
小结：函数 y f (x) 在x0处的导数，是曲线
x0
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
5
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y y=f(x) Q
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
4
例2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
0
3
例1：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2)
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
y f (x)在点（x0， ( x0 ) ）处的切线的斜率。 f
函数 y f (x) 在x0处切线的斜率反映了导数的 几何意义。
五、教后反思：
14
1
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
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1 3 8 y x 上 一 点 ( 2, ) P 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解 ： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 3 4 1 3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3 lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
北师大版高中数学选修2-2第 二章《变化率与导数》
法门高中姚连省制作
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一、教学目标： 1、通过函数的图像直观地理解导数的几何 意义； 2、理解曲线在一点的切线的概念； 3、会求简单函数在某点处的切线方程。 二、教学重点：了解导数的几何意义 教学难点：求简单函数在某点出的切线方 程 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
O P
β
Δy M x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱΔx
斜 率!
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请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况. y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
x
o
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我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。
割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 8 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
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例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
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先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记 f ( x0 )或y 即: , |x x 作 f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x