高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题
高中数学专题练习《导数的概念及其几何意义》含详细解析
5.1.2 导数的概念及其几何意义基础过关练题组一 导数的定义及其应用1.函数y=f(x)的自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数值的改变量Δy 为( )A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0)2.函数f(x)在x=x 0处的导数可表示为( )A.f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)ΔxB.f'(x 0)=lim Δx→0[f(x 0+Δx)-f(x 0)]C.f'(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0)D.f'(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .4.如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 . 5.求函数y=x 2+1在x=0处的导数.题组二 导数的几何意义及其应用6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是( )A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率7.某司机看见前方50m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是( )8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=( )B.1C.2D.0A.12题组三 求曲线的切线方程10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1C.a=-2,b=1D.a=2,b=-111.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是 .13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.能力提升练题组一 导数的定义及其应用1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定2.(2020河南新乡高二上期末,)若f'(2)=3,则lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx= . 3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.题组二 导数的几何意义及其应用4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,则下列数值排序正确的是( )A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0>f(x1)+f(x2)2<f(x1)+f(x2)2题组三 求曲线的切线方程7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为( )A.-∞,-B.[-1,0]C.[0,1]D.-1,+∞28.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为 .,过9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1x两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)答案全解全析基础过关练1.D 分别写出x=x 0和x=x 0+Δx 时对应的函数值f(x 0)和f(x 0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).2.A 由导数的定义知A 正确.3.答案 2解析 由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴lim Δx→0ΔyΔx =a,∴f'(1)=a=2.4.答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1―(―1)=2―12=12.(2)由函数f(x)的图象知,,-1≤x ≤1,<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2―0=3―322=34.5.解析 Δy=(0+Δx )2+1-0+1=(Δx )2+1―1(Δx )2+1+1=(Δx )2(Δx )2+1+1,∴ΔyΔx =Δx (Δx )2+1+1,∴y'x=0=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0Δx (Δx )2+1+1=0.6.D f'(x 0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.7.A 在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.8.A 由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a 、x=b 和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.9.C ∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,又f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.10.B 由题意得,f'(1)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(1+Δx )2+a(1+Δx )+b -1-a -bΔx =lim Δx→0(Δx )2+2Δx +aΔxΔx =2+a.∵曲线f(x)=x 2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.又∵点(1,1)在曲线y=x 2+ax+b 上,∴1+a+b=1,解得b=-1,∴a=1,b=-1.故选B.11.C f'(x)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(x +Δx )3+(x +Δx )-2-x 3-x +2Δx=3x 2+1.设P(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 20+1=4,所以x 0=±1,当x 0=1时,f(x 0)=0,当x 0=-1时,f(x 0)=-4,因此P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).12.答案 2x+y-5=0解析 由题意知,切线的斜率k=-2.∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.13.答案 2x-y-1=0解析 设切点坐标为(x 0,y 0),y=f(x)=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.14.解析 Δy Δx =(x +Δx )3+1―x 3-1Δx =3x (Δx )2+3x 2Δx +(Δx )3Δx=3xΔx+3x 2+(Δx)2,则lim Δx→0ΔyΔx =3x 2,因此y'=3x 2.设过点M(1,1)的直线与曲线y=x 3+1相切于点P(x 0,x 30+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率为k=3x 20①,过点M 和点P 的切线的斜率k=x 30+1―1x 0-1②,由①-②得3x 20=x 30x 0-1,解得x 0=0或x 0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.能力提升练1.B 在t 0处,虽然有W 甲(t 0)=W 乙(t 0),但W 甲(t 0-Δt)<W 乙(t 0-Δt),所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.2.答案 6解析 limΔx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx=2lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)2Δx =2f'(2)=6.3.解析 f'(10)=1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.4.B 如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k 1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k 2,f (3)-f (2)3―2=f(3)-f(2)=k AB 是割线AB 的斜率.由图象知0<k 2<k AB <k 1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.5.D ∵f(x)在a 到b 之间的平均变化率是f (b )-f (a )b -a,g(x)在a 到b 之间的平均变化率是g (b )-g (a )b -a ,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f (b )-f (a )b -a=g (b )-g (a )b -a,∴A 、B 错误;易知函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x 0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理函数g(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象知C 错误,D 正确.故选D.6.AD 由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x 轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号,即f(x)图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为负,故A 正确;B 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,即f(x) 图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为正,故B 不正确表示x 1+x 22对应的函数值,即图中点B 的纵坐标,f (x 1)+f(x 2)2表示当x=x 1和x=x 2时所对应的函数值的平均值,即图中点A 的纵坐标,显然有<f (x 1)+f(x 2)2,故C 不正确,D 正确.故选AD.7.D 设点P 的横坐标为x 0,则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α=f'(x 0)=lim Δx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =2x 0+2.∵α,∴tan α∈[1,+∞),∴2x 0+2≥1,即x 0≥-12,∴点P 的横坐标的取值范围为-12,+∞.8.答案 x-y+2=0或x+3y-2=0解析 令y=f(x)=x 2,设B(t,t 2),则k AB =lim Δx→0f (t +Δx )-f (t )Δx =2t,则直线AB 的方程为y=2tx-t 2.当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),∴直线m 的方程为x-y+2=0.当t ≠0时,0,PA=+1,―1,PB =(t+1,t 2-1),∵PA ⊥PB,∴PA ·PB =0,+1(t+1)-(t 2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0),∴直线m 的方程为x+3y-2=0.综上,直线m 的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.9.解析 由y =x 2,y =1x,得x =1,y =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=lim Δx→0f (Δx +1)―f (1)Δx =lim Δx→0(Δx +1)2-12Δx =lim Δx→0(Δx+2)=2,g'(1)=lim Δx→0g (Δx +1)―g (1)Δx =lim Δx→01Δx +1-11Δx=lim Δx→0-所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x,0,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为12×1×|2―12|=34.。
专题13 导数的概念及其意义、导数的运算(原卷版)
基础知识：
导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
基本题型：
1、（过某点处切线的方程）若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为( )
基本题型：
1．设 ， ， ，…， ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，其导函数记为 ，则 （）
A．2B． C．3D．
3．求下列函数的导数．
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ．
基本方法：
复合函数的求导：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元。
类型四、解析式中含有导数值的函数
3．（多选）设函数 ，则下列说法正确的是（）
A． B．
C． 在 处的切线方程为 D．
基本方法：
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导的几种方法
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
①直线 在点 处“切过”曲线 ：
②直线 在点 处“切过”曲线 ：
③直线 在点 处“切过”曲线 ：
④直线 在点 处“切过”曲线 ：
⑤直线 在点 处“切过”曲线 ： ．
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数 的图像在点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.2.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.3.设，则曲线在处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率为，故选B．【考点】导数的几何意义．4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则的值是A．2B．C．D．【答案】B【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：B．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．5.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．6.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．【答案】【解析】与已知直线垂直的直线的斜率,,解得,代入曲线方程所以切线方程为,整理得：【考点】1.导数的几何意义；2.直线的垂直.7.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义8.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.9.在曲线处的切线方程为。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第五章 一元函数的导数及其应用 导数的概念及其几何意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义A 级必备知识基础练1.函数f(的值为( ) A.3B.2C.1D.42.若函数f(x)=16x 2,则f'(-3)的值等于( ) A.32B.1C.-1D.-123.若曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程为5x-y+1=0,则( ) A.f'(x 0)>0 B.f'(x 0)<0 C.f'(x 0)=0D.f'(x 0)不存在4.已知f(x)=-23x 2,若f'(a)=13,则a 的值等于( ) A.-14B.14C.-49D.345.(多选题)曲线y=9x在点P 处的切线的倾斜角为3π4,则点P 的坐标可能为( ) A.(3,3) B.(-3,-3) C.(9,1)D.(1,9)6.(多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率7.函数y=f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是.在点(1,0)处的切线的倾斜角等于.8.曲线y=1-1xB级关键能力提升练9.(多选题)为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应率(单位时间的供应量)不逐步提高的是( )10.利用导数的定义求函数y=f(x)=√x+2在x=2处的导数.11.已知曲线y=x2.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.5.1.2 导数的概念及其几何意义1.B 由已知得m 2-1-(12-1)m-1=3,∴m+1=3,∴m=2.2.C f'(-3)=limΔx→0f (-3+Δx)-f(-3)Δx=limΔx→016Δx-1=-1.3.A 由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.4.A 由导数的定义得f'(x)=limΔx→0-23(x+Δx)2-(-23x2)x+Δx-x=limΔx→0-43xΔx-23(Δx)2Δx=lim Δx→0(-43x-23Δx)=-43x,因此f'(a)=-43a=13,则a=-14.5.AB 由导数定义得y'=limΔx→09x+Δx-9xΔx=limΔx→0-9x(x+Δx)=-9x2,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-9x02=tan3π4=-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).6.AD ∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是f(b)-f(a)b-a,g(x)在[a,b]上的平均变化率是g(b)-g(a)b-a ,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f(b)-f(a)b-a=g(b)-g(a)b-a,故A正确,B错误;易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)的图象在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)的图象在该点处的切线的斜率,由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)的图象在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)的图象在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.7.2 ∵y=f(x)=x2,∴在ΔyΔx =(1+Δx)2-12Δx=limΔx→0(2+Δx)=2.8.π4经验证,点(1,0)在曲线上.因为y'|(1-11+Δx)-0Δx=limΔx→011+Δx=1,所以曲线在该点处的切线的斜率等于1,故切线的倾斜角等于π4.9.ACD10.解∵Δy=√(2+Δx)+2−√2+2=√4+Δx-2,ΔyΔx =√4+Δx-2Δx=(√4+Δx-2)(√4+Δx+2)Δx(√4+Δx+2)=√4+Δx+2,∴f'(2)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→√4+Δx+2=14.11.解(1)设切点为((x0+Δx)2-x02Δx=lim Δx→0x02+2x0·Δx+(Δx)2-x02Δx=2x0,∴y'|x=1=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'|x=x=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0).由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0), ①再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=x02, ②联立①②得x0=1或x0=5.从而当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测
(0 +ℎ)−(0 −ℎ)
(, )，则 lim
ℎ
ℎ→0
）
A．′ 0
B．2′ 0
C．−2 ′ 0
D．0
【答案】B
0 +ℎ − 0 −ℎ
【解析】由题意知， lim
ℎ
ℎ→0
0 +ℎ − 0 −ℎ
ℎ→0 0 +ℎ − 0 −ℎ
= 2lim
故选：B
= 2′ 0 ．
变化率为（ ）
3
A．
300
cm/s
6π
3
B．
3
300
cm/s
5π
C．
150
cm/s
3π
3
D．
150
cm/s
2π
【答案】C
2
1
1
【解析】设注入溶液的时间为（单位：s）时，溶液的高为ℎcm，则 π ⋅ ℎ
3
5
因为ℎ′ =
1 3 150
，所以当
3 π 2
= π时，ℎ′ =
1 3 150
3
π3
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为
1
【解析】() = ′(1) −1 − (0) + 2 2 ⇒ ′() = ′(1) −1 − (0) +
令 = 1得： (0) = 1
() =
′(1) −1
−+
1 2
2
⇒ (0) = ′(1) −1 = 1 ⇔ ′(1) =
1
得：() = − + 2 2
则 ′ (0) = 1且(0) = 0，即切线的斜率为 = 1，切点坐标为(0,0)，
所以切线方程为 = ．
北师大版数学高二选修1试题 3.2导数的概念及其几何意义
第三章 §2一、选择题1．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2D ．12[答案] C[解析] ∵切线的斜率为－2，∴f ′(3)＝－2，故选C.2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B.3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －(Δx )2＋13(Δx )3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13(Δx )2，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13(Δx )2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 4．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是( )A ．2B ．52C ．1D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1，Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 由已知点(0，b )是切点． Δy ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b ＝(Δx )2＋aΔx ，∴Δy Δx＝Δx ＋a ，y ′|x ＝0＝lim Δx →0 Δy Δx ＝a . ∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1，∴a ＝1. 又切点(0，b )在切线上，∴b ＝1.6．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s[答案] A[解析] Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.2)2Δt＝－4.8－2Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－4.8，故物体在t ＝1.2s 末的瞬时速度为－4.8m/s.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx ＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝________. [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)，又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上， 故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1. 三、解答题9．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1) (2)3227[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．10．求下列函数的导数．(1)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数； (2)求y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． [答案] (1)y ′|x ＝1＝12 (2)y ′＝2x ＋a[解析] (1)解法一：(导数定义法)：Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.lim Δx →0＝11＋Δx ＋1＝12，∴y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)：Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1x ＋Δx ＋x .∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x＝12x . ∴y ′＝12x，∴y ′|x ＝1＝12.(2)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x (Δx )＋(Δx )2＋ax ＋a (Δx )＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋a (Δx )＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋a ＋Δx ) ＝2x ＋a .一、选择题1．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1B ．π4C.54π D ．－π4[答案] B[解析] 由导数的定义可知f ′(x )＝x ， 所以f ′(1)＝1＝tan θ，故θ＝π4.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.3．已知函数y ＝f (x )的图像如图，f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0[答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0. 4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx ＝lim Δx →0 (Δx )3＋3x ·(Δx )2＋3x 2·Δx －2Δx Δx ＝lim Δx →0((Δx )2＋3x ·Δx ＋3x 2－2)＝3x 2－2， ∴f ′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y ＝x －1. 二、填空题5．函数y ＝f (x )的图像在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝2.6．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f [f (0)]＝__________；lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)[答案] 2 －2[解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义．易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2<x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)＝－2.三、解答题7．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2，－1)，求(1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [答案] (1)1 (2)x －y －3＝0 (3)y ＝4x[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x .8．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴围成的三角形的面积 [答案] (1)y ＝－13x －229 (2)12512[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋(Δx )2＋Δx Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1. ∴f ′(1)＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.故直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。
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导数的概念、运算及其几何意义
黑龙江 依兰高中 刘 岩
A 组基础达标
选择题：
1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2
s s t gt ==若t ∆无限趋近于0时， (1)(1)s t s t
+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度
B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度
C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度
D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度.
2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ）
A. 3x +x
B. 3x
C. 3x +c (c 为常数)
D. 3x+c (c 为常数)
3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /
(x)的图象是（ ）
4.下列求导数运算错误．．
的是（ ） A.
20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x
cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12
，则切点的横坐标为（ ） A ． 2
B ． 3
C ． 12
D ．1 填空题：
1．若2012)1(/
=f ，则x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0= ，x
f x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0= ，x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim 0= ， x f x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim 0= 。
2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e
的导数为
A x
D C x B
3. 若函数()f x 满足，321()(1),3
f x x f x x '=-⋅-则(1)f '的值
B 组能力过关
选择题：
（2010全国新课标高考题） 曲线2
x y x =+在点（－1，－1）处的切线方程为 ( ) A. y=2x ＋1 B. y=2x －1 =－2x －3 =－2x －2 填空题：
（哈九中2012届高三11月份月考试题） 已知函数1
1)1ln()(+-+-+=x a ax x x f ， 若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线12:+-=x y l 平行，则 a 的值
参考答案
A 组基础达标
选择题:
填空题: 1. 2012,-2012,-503,2024;
提示: x
f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0=2012)1(/=f ; x f x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0=－x
f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0= －=)1(/f －2012 x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim 0=41-x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0=4
1-=)1(/f －503 x f x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim 0= 2x
f x f x ∆-∆+→∆2)1()21(lim 0=2=)1(/f 2048 （∵x ∆→0，则2x ∆→0）
2. 8x －12 ， -x
e -
3. 0
提示：(1)f '为常数，f ’ (x)=x 2－2(1)f 'x －１， 令ｘ＝１则(1)f '＝１－2(1)f '－１，解得(1)f '＝０
B 组能力过关
选择题： A 填空题： 3
提示：f ’ (x)＝-1
x 1+a ＋2)1(+x a ，∵)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与 直线12:+-=x y l 平行，而直线12:+-=x y l 的斜率为－２，∴f ’ (１)＝－２
f ’ (１)＝-1
11+a ＋2)11(+a ＝－２，解得 a ＝３．。