第01讲 导数的计算与几何意义(解析版)
第01讲 导数的计算与几何意义(解析版)
第1讲 导数的计算与几何意义1．若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则(b = ) A ．1B ．12C ．12ln -D ．122ln -【解析】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+， 再由切点也在各自的曲线上，可得， 联立上述式子解得2k =，112x =，212x =-．代入112kx b lnx +=+，解得12b ln =-． 故选：C ．2．已知函数31()34f x x ax =-+，若x 轴为曲线的切线，则a 的值为( ) A ．12B ．12-C ．34-D ．14【解析】解：设切点为(,0)m ，则31304m am -+=，① 31()34f x x ax =-+的导数为2()33f x x a '=-， 由题意可得2330m a -=，② 由①②解得12m =，14a =．故选：D ．3．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A ．B ．3[0,)[,)24πππ C ． D ．【解析】解：由函数321()3f x x x =-，得2()2f x x x '=-，设函数321()3f x x x =-图象上任一点0(P x ，0)y ，且过该点的切线的倾斜角为(0)ααπ<，则，tan 1α∴-， 02πα∴<或．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，，)π．故选：B ．4．若函数2()1f x x =-与函数()1g x alnx =-的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)eB ．(0，]eC ．D ．(0，2]e【解析】解：()2f x x '=，()a g x x'=， 设与曲线2()1f x x =-相切的切点为(,)m n ， 与()1g x alnx =-相切的切点为(s ，)(0)t s >， 则有公共切线斜率为2a n tm s m s-==-， 又1t alns =-，21n m =-，可得2222n t m alns m ms -=-=-，2a m s=， 即有22m ms alns =-，即224a a alns s=-，可得2244a s s lns =-，0s >， 设22()44h s s s lns =-，0s >， ，可得0s <()0h s '>，()h s 递增，当s >时，()0h s '<，()h s 递减，可得s =处()h s 取得极大值，且为最大值2e ， 则02a e <， 故选：D ．5．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线相切，则22a b -的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞【解析】解：函数的导数为11y x b'==+，1x b =-，切点为，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，， 则，令g （a ）21a a=+，则g '（a ），则函数g （a ）为增函数，．故选：C ． 6．若曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数(a = ) A ．B ．12C ．1D ．2【解析】解：曲线212y x e =的导数为：x y e '=，在(,)P s t 处的斜率为：s k e=． 曲线y alnx =的导数为：ay x'=，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线， 可得s a e s =，并且212t s e=，t alns =，即，解得12lns =，解得2s e =． 可得1a =． 故选：C ．7．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，，若曲线在1x =处的切线的斜率为34-，则f （1）(= )A ．0B ．1C ．38D ．15【解析】解：当0x >且1x ≠时，， 可得：1x >时，；10x >>时，． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞．2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'．可得：1x >时，()0g x '>；10x >>时，()0g x '<． 可得：函数()g x 在1x =处取得极值，g ∴'（1）2f =（1）f +'（1）0=，f '（1）34=-，f ∴（1）133()248=-⨯-=，故选：C ．8．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则20181201822018320182017log log log log x x x x +++⋯+的值为 1- ．【解析】解：求导函数，可得()(1)n f x n x '=+ 设过(1,1)的切线斜率k ，则k f ='（1）1n =+， 切线方程为1(1)(1)y n x -=+-． 令0y =，可得1n nx n =+． 12201812201712320182018x x x ∴⋯=⋯=． 20181201822018320182017201812201820181log log log log log ()log 12018x x x x x x x ∴+++⋯+=⋯==-． 故答案为：1-．9．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2nn x a n =，则122015a a a ++⋯+的值为 ．【解析】解：函数的导数()(1)n f x n x '=+， 则函数在(1,1)处的切线斜率k f ='（1）1n =+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-， 不妨设0y =，1n nx n =+， 则221111(1)1n n n x n a n n n n n n +====-++， 则1220151111112015112232015201620162016a a a ++⋯+=-+-+⋯+-=-=， 故答案为：．10．设函数23()()xx axf x a R e +=∈．若()f x 在0x =处取得极值，求曲线在点(1，f （1）)处的切线方程为3y x e = ．【解析】解：函数23()()xx ax f x a R e +=∈的导数为23(6)()xx a x af x e -+-+'=， 由条件知(0)0f '=得0a =， 则，则曲线在点(1，f （1）)处的切线方程为33(1)y x e e -=-，即3y x e=．故答案为：3y x e=．11．函数2()cos f x x =在点处的切线方程为 1024x y π+--= ． 【解析】解：函数2()cos f x x =的导数为， 可得在点处的切线斜率为2sin cos144ππ-=-，即有在点处的切线方程为1()24y x π-=--， 即为1024x y π+--=． 故答案为：1024x y π+--=． 12．若一直线与曲线y lnx =和曲线2(0)x ay a =>相切于同一点P ，则a 的值为 2e ． 【解析】解：曲线y lnx =的导数为：1y x'=， 曲线2(0)x ay a =>即21(0)y x a a =>的导数为：2y x a '=，由12x x a=，0x >得：x =即切点坐标应为：，1)2，代入y lnx =得：12= 解得：2a e =， 故答案为：2e。
导数的几何意义及导数的计算
导数的几何意义及导数的计算导数的几何意义（1）函数y=f （x ）在x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点（x0 ，f （x0））处的切线的斜率。
(2)求曲线上某点处的切线的方程的一般步骤和方法：1.求函数值的增量00()()y f x x f x =+-；2.求y x ；3.令x 趋于0，求出y=f （x ）在0x 处的导数，即为切线的斜率；4.写出切线的点斜式方程。
注意：过点在曲线上与点在曲线外切线的求法。
（3）若曲线y=f （x ）在某点处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直，函数在某点可导是曲线上过该点存在切线的充分而不必要条件。
导数的计算(4).求函数的导数的流程图。
1.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆2.求平均变化率xx y ∆=∆∆ 3.取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim (5).导函数定义：(6).常见函数的导数例1：若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f例2：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。
例3：求曲线y =3，2）的切线方程.例4：已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
例5.若直线y x b=-+为函数1yx=图象的切线,求b的值和切点坐标.总结切线问题：找切点求导数得斜率变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程变式4:已知直线1y x=-,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.小结：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x 0处的变化率'0()f x ，得到曲线在点(x 0,f(x 0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即追踪练习题1.下列等式成立的是（ ）A.'(3)3=B.3'22()5X X =C.3'22()6x x -=- D.5'52()10x x = 2.由曲线在点（1，43）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D.23 3.cos y x =在6x π=处的切线的斜率为（ ）A.2B. 2-C.12-D. 124.若函数f （x ）的导数为'()sin f x x =-，则函数图像在点(4,(4))f 处的切线的倾斜角为（ ）A.90B.0C.锐角D.钝角5.求曲线1y x =4，-74）处的切线方程。
第一节 导数的概念及其几何意义PPT课件
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2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
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5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
导数的概念及几何意义 教学PPT课件
t1
t2
t
l2
三.典型例题
例2 归纳小结
h l0
(1)以直代曲：
大多数函数就一小段范围看，大致
l1
可以看作直线，某点附近的曲线可
以用过该点的切线近似代替；
o t3 t4 t0 t1 t2
t
l2
(2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ；
(3)曲线的变化快慢及切线的斜率的内在联系 .
三.典型例题
变式：根据跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t) = -4.9t 2+6.5t+10图象，估计t=0.4，0.7，1.0 时，运动员的瞬时速度（精确到0.1）将数据填到表格中。
求导数的一般步骤：
(1)求△y=f(x0+ △x)-f(x0) (2)求 y
x y
(3) lim x0 x
y=f(x) y
B
△y
A △x o
M x
二.新知探究
(一)切线定义
y
当点 B 沿着曲线趋近于
点A，即 x 0时，割线AB
趋近于一个确定的位置，
这个确定位置的直线AT 称为点A处的切线。
A o
导数的几何意义
一.复习引入
导数知多少？
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或
,即
f
( x0
)
lim
x0
f (x0 Δx) f (x0 ) x
lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二.新知探究
y=f(x)
B1 B2 B3 B4
导数的概念及几何意义 PPT课件
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
(完整版)导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。
导数的几何意义与导数的计算1
文科提重———导数的几何意义与导数的计算1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式f (x )＝log a x(a ＞0且a ≠1)f (2)导数的四则运算 ①[u (x )±v (x )]′＝ ②[u (x )v (x )]′＝)③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝例1.导数的计算（1）求下列函数的导数1.y=log 3x.2.y=5x； 3. y=(3x 3－4x)(2x ＋1) 4.y=x 7； 5.x x y =；； 7.y=x 2sinx 8. y=xcosx －sinx ；9.2cos 2sin xx x y -=10.14+=x e y11. 12. )62sin(π+=x y13. 已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0f （x 0－Δx ）－f （x 0）Δx ＝( )A ．11B ．－11 C.111D ．－111（2）设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2018(x)＝（ ）A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx（3）、已知函数f （x ）的导函数为f /（x ），且满足f （x ）=2xf'（1）+lnx ，则)1(/ef =（ ）A. B.e ﹣2 C.﹣1 D.e（4）、已知，则. （5）设，若，则________________.（6）若函数32)1(21)(2+--'=x x f x f ，则=-')1(f （ ） A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2（7）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 016)＝( )A ．1B ．2 C.12 016D.2 0172 016（8）已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，所以f(π4)的值为________．例2. 导数的几何意义及其切线的问题1.曲线在点处的切线方程是（ ） A. 或 B. C. 或 D.()ln 21y x =-()31f x x x =-+()11，210x y --=450x y +-=210x y --=20x y +-=450x y +-=20x y +-=2.曲线在点处的切线方程为 ( ) A ． B ． C ． D.3.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4. 函数的图像在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．5.曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．16.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．7.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8..若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则． 9．设曲线在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为,则的值为( )A ．B ．C ．D ．110.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设动点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πB ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ11.已知点P 在曲线y=上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是21xy x =-()1,120x y --=20x y +-=450x y +-=450x y --=()cos xf x e x =+0x =()()2g f x x x =+()y g x =()()1,1g 21y x =+()y f x =()()1,1f 214-412-y kx b =+ln 2y x =+ln(1)y x =+b =1*()n y xn N +=∈n x 12n x x x ⋅⋅⋅ 1n 11n +1nn +41x e +( )A ．[0,) B ． C ． D ．12. 曲线上的点到直线的最短距离是__________．13．已知函数在R 上满足，则曲线在点处的切线方程是( )A ．B ．C ．D ．14.已知是定义在上的单调函数，满足，则在处的切线方程为（）A. B. C. D. 15.过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条 16.过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.17.对任意的，总有，则的取值范围是（ ） A.B.C. D.4π[,)42ππ3(,]24ππ3[,)4ππ()ln 21y x =-280x y -+=()f x 2()2(2)88f x f x x x =--+-()y f x =(1,(1))f 21y x =-y x =32y x =-23y x =-+()f x R ()1xf f x e ⎡⎤-=⎣⎦()f x ()()0,0f 1y x =+1y x =-1y x =-+1y x =--()33f x x x =-0x >()lg 0f x a x x =--≤a ()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，(]1-∞，()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，。
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第1讲 导数的计算与几何意义1．若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则(b = ) A ．1B ．12C ．12ln -D ．122ln -【解析】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，2)kx b +； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+， 再由切点也在各自的曲线上，可得11222(1)kx b lnx kx b ln x +=+⎧⎨+=+⎩，联立上述式子解得2k =，112x =，212x =-．代入112kx b lnx +=+，解得12b ln =-． 故选：C ．2．已知函数31()34f x x ax =-+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则a 的值为( ) A ．12B ．12-C ．34-D ．14【解析】解：设切点为(,0)m ，则31304m am -+=，① 31()34f x x ax =-+的导数为2()33f x x a '=-， 由题意可得2330m a -=，② 由①②解得12m =，14a =．故选：D ．3．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A ．3[0,]4πB ．3[0,)[,)24πππC ．3[,)4ππ D ．3(,]24ππ【解析】解：由函数321()3f x x x =-，得2()2f x x x '=-，设函数321()3f x x x =-图象上任一点0(P x ，0)y ，且过该点的切线的倾斜角为(0)ααπ<，则22()2(1)11f x x x x '=-=---，tan 1α∴-，02πα∴<或34παπ<．∴过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，3)[24ππ，)π． 故选：B ．4．若函数2()1f x x =-与函数()1g x alnx =-的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)eB ．(0，]eC ．(0,2)eD ．(0，2]e【解析】解：()2f x x '=，()a g x x'=， 设与曲线2()1f x x =-相切的切点为(,)m n ， 与()1g x alnx =-相切的切点为(s ，)(0)t s >， 则有公共切线斜率为2a n tm s m s-==-， 又1t alns =-，21n m =-，可得2222n t m alns m ms -=-=-，2a m s=， 即有22m ms alns =-，即224a a alns s=-，可得2244a s s lns =-，0s >， 设22()44h s s s lns =-，0s >，()84(2)484(12)h s s slns s s slns s lns '=-+=-=-，可得0s <<()0h s '>，()h s 递增，当s >时，()0h s '<，()h s 递减，可得s =处()h s 取得极大值，且为最大值2e ， 则02a e <， 故选：D ．5．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()y ln x b =+相切，则22a b-的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞【解析】解：函数()y ln x b =+的导数为11y x b'==+，1x b =-，切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，(0,1)a ∴∈，则2221a a b a=-+，令g （a ）21a a=+，则g '（a ）2(2)0(1)a a a +=>+，则函数g （a ）为增函数，∴21(0,)22a b ∈-． 故选：C ． 6．若曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数(a = ) A ．2-B ．12C ．1D ．2【解析】解：曲线212y x e =的导数为：x y e '=，在(,)P s t 处的斜率为：s k e=． 曲线y alnx =的导数为：ay x'=，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，可得s a e s =，并且212t s e =，t alns =，即212s a e s s alnse⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12lns =，解得2s e =．可得1a =． 故选：C ．7．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x +'>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则f （1）(= )A ．0B ．1C ．38D ．15【解析】解：当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x +'>-，可得：1x >时，2()()0f x xf x +'>；10x >>时，2()()0f x xf x +'<． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞．2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'．可得：1x >时，()0g x '>；10x >>时，()0g x '<． 可得：函数()g x 在1x =处取得极值，g ∴'（1）2f =（1）f +'（1）0=，f '（1）34=-，f ∴（1）133()248=-⨯-=，故选：C ．8．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则20181201822018320182017log log log log x x x x +++⋯+的值为 1- ．【解析】解：求导函数，可得()(1)n f x n x '=+ 设过(1,1)的切线斜率k ，则k f ='（1）1n =+， ∴切线方程为1(1)(1)y n x -=+-．令0y =，可得1n nx n =+． 12201812201712320182018x x x ∴⋯=⋯=． 20181201822018320182017201812201820181log log log log log ()log 12018x x x x x x x ∴+++⋯+=⋯==-． 故答案为：1-．9．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2nn x a n =，则122015a a a ++⋯+的值为20152016． 【解析】解：函数的导数()(1)n f x n x '=+， 则函数在(1,1)处的切线斜率k f ='（1）1n =+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-， 不妨设0y =，1n nx n =+， 则221111(1)1n n n x n a n n n n n n +====-++， 则1220151111112015112232015201620162016a a a ++⋯+=-+-+⋯+-=-=， 故答案为：20152016． 10．设函数23()()xx axf x a R e+=∈．若()f x 在0x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 3y x e= ．【解析】解：函数23()()x x ax f x a R e +=∈的导数为23(6)()xx a x af x e -+-+'=， 由条件知(0)0f '=得0a =，则2233633(),(),(1),(1)x x x x x f x f x f f e e e e-+''====， 则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为33(1)y x e e -=-，即3y x e=．故答案为：3y x e=．11．函数2()cos f x x =在点1(,)42π处的切线方程为 1024x y π+--= ．【解析】解：函数2()cos f x x =的导数为()2sin cos f x x x '=-，可得在点1(,)42π处的切线斜率为2sin cos 144ππ-=-，即有在点1(,)42π处的切线方程为1()24y x π-=--，即为1024x y π+--=． 故答案为：1024x y π+--=． 12．若一直线与曲线y lnx =和曲线2(0)x ay a =>相切于同一点P ，则a 的值为 2e ． 【解析】解：曲线y lnx =的导数为：1y x'=， 曲线2(0)x ay a =>即21(0)y x a a =>的导数为：2y x a '=，由12x x a=，0x >得：x =即切点坐标应为：，1)2，代入y lnx =得：12= 解得：2a e =， 故答案为：2e。