导数的定义及几何意义精

导数的定义及几何意义

编辑整理：烟花四月

注：①函数应在点X o 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中， x 趋近

于0可正、可负、但不为

0,而 y 可能为0。③一y 是函数y f (x)对自变量x 在x 范

x

围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线

y f (x)上点(X 0 , f(x °))及点(x °+ x ,

点X 0的处瞬时变化率，它反映的函数y f (x)在X 0点处变化的快慢程度， 它的几何意义是 曲线y f (x)上点(X 0, f(x °))处的切线的斜率。 ⑤若极限lim 丄^°__X)―不

X 0

X

存在，则称函数y f (x)在点X 0处不可导。⑥如果函数y

f (x)在开区间(a,b)内每一点

都有导数，则称函数 y f (x)在开区间(a,b)内可导；此时对于每 一个x € (a,b)，都对应 着一个确定的导数

f lx)，从而构成了一个新的函数 f lx)，称这个函数 f /

(x)为函数

y f (x)在开区间(a,b)内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，

这要加以区分：

求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数

在给定点的导数，就是 求导函数值。

[举例 1]若 f /(x °) 2，则 lim

f(X0

k)

一等于：

k 0

2k

(A) -1 (B) -2

(C) 1

(D) 1/2

1

- f /(x o )

lirf

x 0

X )f(X o )叫函数y x

f (x)在 x

x o 处的导数，记作y /

|x x 0

f(X 0

X 0))的割线斜率。④导数f /(X 。)

lim f(X0

x)

f(X0)

是函数

x 0

x

f (x)在

解析：••• f /(x 0) 2，即 lim

f[X o

( k)] f(X o

)

=2

k 0

x0

/V -T

叫

Hk ［举例2］已知a 0,n 为正整数•设y (x a)n

，证明 y' n(x a)n

解析：本题可以对 y (x a)n 展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明:

lim a

x 0

n

x a)

n

(x a)=

x0

(x a)n

C ：(x a)n1

x C ；(x a)n2

( x)

2

C n n

( x)n

(x a)n

[巩固2]设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为

C

——q) C(qo)刻划.如果q 无限趋

q

q

C

近于0时，—C 无限趋近于常数 A ,经济学上称A 为边际成本•它表明当产量为q 0时，增

q

加单位产量需付出成本 A (这是实际付出成本的一个近似值)

。设生产x 个单位产品的总成

2

x 本函数是C(x) — 8 + ，贝性产 8个单位产品时, 边际成本是：

() A . 2

B . 8

C . 10

D . 16

2.常用导数公式：C'

0,(x n

)'

n 1

/ x 、/

nx ,(e )

e x

, (ln x)

/

1

;

导数的运算法则：若函数

f(x)与g(x)的导数存在，则[f(X ) g(x)]'

f'(x) g'(x),

[cf(x)]' c f'(x) , [f(x)g(x)]/ f /

(x)g(x) f (x)g /

(x)；

(丄0)/ f

(x )g(x )2 f (x)g (X)(这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比)

g(x)

g (x)

复合函数的导数：由 y f(u)与u = (x)得到复合函数y f (x)，贝U y x = y u .U x 。

解析：f /(1)是常数，••• f /(x) 3x 2 2xf /(1) 1 f /(1) =3+2 f /(1)-1 f /(1) = -2 二 f /(x) 3x 2

4x 1，故

fl2)=3。

12

3

n

[举例 2] n N , C n 2C n 3C n n 6= ___________ 。

解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法( kC ： = n C ： 1 )；这里，我 们观察(1 x)n C 0 C ；x

C ：x 2

C ；x 3

C ；x n

①，不难发现其通项

C ：x k

求

导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得:

C ： 2Cn 3Cn nC n = n 2n

n(x lim

x 0

n 1 2 n 2

2

a) X C n (x a) ( x)

x

C ；( x)n

lim[n(x a)n 1

C ：(x a)n 2

x C ；(x a)n 3

( x)2

x 0

C n (x)n1

]= n(x a)

n1

[巩固1] 一质点作曲线运动, 定义求t =3时的速度。

它的位移S 与时间t 的关系为:

t 2

2

2t ，试用导数的

C = C (q ),当产量为q o 时,

产量变化 q 对成本的影响可用增量比

3

[举例

1]已知f (X ) x

x 2f /

(1) x ，则 f /(2)= _____________