导数的概念及其几何意义课件
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5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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1.导数的几何意义就是切线的斜率，因此比较导数大小的问题可以用 数形结合思想来解决．
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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4.(1)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运 输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方 案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
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2．f(x)在x＝x0处的导数、曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况、点(x0，f(x0))处切 线的斜率与点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的关系如表所示．
f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0)>0 f′(x0)<0 f′(x0)＝0
曲线f(x)在x ＝x0附近的 升降情况
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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[刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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(2)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象 如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是( A ) A.f1′(x0)＞f2′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0) B.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0)＞f4′(x0) C.f4′(x0)＞f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0) D.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0)＞f2′(x0)
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
5.1.2导数的概念及其几何意义第一课时课件(人教版)
函数值 y：
△
平均变化率：
△
=
( +△)−( )
.
△
注 : x是一个整体符号, 而不是与x相乘.
∆y
∆x
追问 3：函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率如何表示？
∆x→0时，看平均变化率
△
△
=
( +△)−()
的变化情况.
△
y
探究：当 x 无限趋近于 0 时，平均变化率
率上升.
结合图象和导数的意义，函数先降落且降落趋势逐渐平缓，表明温度在逐渐降落，且降落速
率逐渐减小，直至到图象最低点所对应的时刻，它温度在该时刻的瞬时变化率为0；此后每一时
刻温度的瞬时变化率都为正，且每一时刻的瞬时变化率都在增大.
理解导数(瞬时变化率)的意义
例3.一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为
在第6 s附近，汽车速度大约以6 m/s的速率减少.
v'(t0) (t0≥0)反应了汽车
速度在时刻t0附近的变
化情况
课堂小结
1.什么是导数？导数是如何描述事物的运动变化情况的？
2.计算导数的步骤是什么？
3.本节课蕴含了什么思想方法？
通过一种现象（从“平均变化率”到“瞬时变化率”
）
，利用一种运算（极限）
v(t)=﹣t²+6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
2
2
v(t0 t ) v(t0 )
(
t
t
)
6
(
t
t
)
导数的概念及几何意义 PPT课件
思考？
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
精选 《导数的概念及其几何意义》完整版教学课件PPT
的切线的斜率
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
5.1导数的概念及其几何意义课件(人教版)
x
x
第二步，求极限 lim y， x0 x
若 lim 存y 在，则 x0 x
f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
导数的概念
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 y f (x) x2 7x 15 (0 ≤ x ≤8). 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它 们的意义. 追问1 这个实际问题与导数有什么关系？ 答案 导数是瞬时变化率的数学表达.
导数的概念
例1 设 f (x) 1，求 f (1). x
分析：
因为
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) ,
所以 f (1) lim y lim f (1 x) f (1) .
x x0
x0
x
为了便于计算，我们可以先求出 y ，再对它取极限. x
导数的概念
t 0
t
抛物线的切线斜率
f (x) x2
割线斜率 ——平均变化率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率 ——瞬时变化率
lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
答案 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
导数的概念
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近 “瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处 的瞬时变化率吗？
所以 v(2) lim y lim(t 2) 2.
课件3：5.1.2 导数的概念及其几何意义
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0， lim fx0＋Δx－fx0
即 k0＝__Δ_x_→_0______Δ_x________＝f′(x0)．
知识点二 导函数的概念
1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们
[规律方法] 求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[跟踪训练] 直线 l：y＝x＋a(a≠0)和曲线 C：y＝x3－x2＋1 相切，则 a 的值为___________，切点坐标为____________． 解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0x＋Δx3－x＋ΔxΔ2x＋1－x3－x2＋1＝3x2－2x， 则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13， 当 x0＝1 时，y0＝x30－x02＋1＝1， 又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
答案：B
4．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x＋2， 则 f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由导数的几何意义得 f′(1)＝12，由点 M 在切线上得 f(1)＝12×1＋2＝52，所以 f(1)＋f′(1)＝3. 答案：3
5．曲线 y＝x2－3x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为________． 解析：设切点坐标为(x0，y0)， y′＝Δlxi→m0x0＋Δx2－3xΔ0＋x Δx－x20＋3x0 ＝Δlxi→m02x0Δx－3ΔΔxx＋Δx2＝2x0－3＝1，故 x0＝2， y0＝x20－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
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§3.1导数的概念及其几何意义
（选修1-1） (ຫໍສະໝຸດ 一课时)导数导数的概念 及几何意义
导数的运算
基本导数公式 四则运算法则
导数的应用
单调性
极值与最值 最优化问题
二 ）考纲分析：
1、理解导数的定义及其几何意义；（基本要求 ）
2、掌握基本初等函数的求导公式及求导法则； （基本要求）
3、能利用导数研究函数的单调性、极值、最值 ；（基本要求）
y f (x)在点（2， 6）处的切线方程。
（08浙江高考文T21）
已知a是实数，函数 f (x) x3 ax2; (1)若f '(1) 3,求a的值及曲线 y f (x)在（1，f (1)）
处的切线方程。
→深化拓展
（08湖北高考文T17）
② 已知函数f (x) x3 2x2 4x 1,若斜率
y
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
③ 函数在某点的导数的定义：
如果当x 0时，y 有极限, 我们就说函数y f (x)在 x
点x0处可导, 并把这个极限叫做函数 y f (x)在点x0处
的导数（或变化率）, 记为y ' xx0 或f ' x0
y'
x x0
f
'( x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
④曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
)
2,则
lim x
0
f (x0 2x) x
f (x0 )
______.
同类异形
②已知 f
'
(
x0
)
1,则
lim x
0
f (x0
2x) x
f (x0
x)
______
变式探究
③已知
lim x 0
f
(x0
2x) x
f
(x0 )
2，则f
'(x0 )
______.
考点突破二：导数的几何意义 例3（基础知识迁移） ① .已知函数f (x) x3 3x 8.求曲线
②函数在某点处导数的几何意义 ；
③求函数两种基本类型切线的解 题步骤：
九）课时作业
必做题：
«全线突破»P261 T1，2，6，8
选做题：«全线突破»P261 T11， “走进高考”T1，T3
课后自主探究
.已知函数f (x) x3 3x 8.求曲线y f (x)过 点（2，14）处的切线方程。
解题反思：
分析上题流程,你能归纳出函数y=f(x)在点x0处 的导数的基本方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
(2)求平均变化率 y f ( x0x) f ( x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x 0
y x
.
例2
①已知
f
' (x0
。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时
速度.
又如何求 瞬时速度呢 ?
六）温故而知新
① 平均变化率：函数y=f(x)的定义域为
D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
Y=f(x)
②割线的斜率：
k f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
结合等重要数学思想方法。
四）导数产生的背景： 随着 17世纪天体物理学的迅速发展
，迫切需要解决2个问题。第一：求曲 线的切线问题，第二：求非匀速运 动的速度，它最早由开普勒、伽利略、牛
顿等提出来．
五）情景设置：
中国跳水皇后郭晶晶在高台跳水运动
中,平均速度不一定能反映她在某一时刻的
运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态
类型二
求曲线y f (x)过点（x0, y0）的切线：
step1:设切点（x1,y1）;
Step2:
联立方程组
y1 y0
f (x1) y1 f
' ( x0
)(x0
解出x1. x1)
Step3:写出切线方程：
y y0 f '(x1)(x x0 )
八）课时小结：
①函数在某点处的导数定义；
（2）物理意义： 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是
当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度v, 即: v=s(t0).
七）典例分析：
考点突破一： 在某点的导数的定义 例1. 中国跳水皇后郭晶晶在高台跳水运动中,运
动位移与时间的函数关系 是：h(t) 4.9t 2 6.5t 10 ， 问在2秒时的瞬时速度是多少？
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
⑤ 导数的意义
( 1 ) 几何意义:
函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线
y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即:
k=tan=f(x0).
4、利用导数解决简单的实际生活背景的问题。 （发展要求）
三）命题趋势： 纵观我省04~08高考（文）本章所占分
值12~19分，客观题中有一道以考查导函数 图象、导数几何意义为主；而主观题以导 数为研究手段，对函数的单调性、极值、
最值、恒成立问题深入考查，
综合了函数、方程、不等式、
分类讨论、转化化归、数形
为 5的直线是曲线 y f (x)的切线，求 此直线方程.
合作探究，理性升华
③.已知函数f (x) x3 3x 8.求曲线y f (x)过点（2， 6）处的切线方程。
学而不思则罔
解题反思： 类型一
求曲线y f (x)在点（x0, y0）的切线：
y y0 f '(x0 )(x x0 )
（选修1-1） (ຫໍສະໝຸດ 一课时)导数导数的概念 及几何意义
导数的运算
基本导数公式 四则运算法则
导数的应用
单调性
极值与最值 最优化问题
二 ）考纲分析：
1、理解导数的定义及其几何意义；（基本要求 ）
2、掌握基本初等函数的求导公式及求导法则； （基本要求）
3、能利用导数研究函数的单调性、极值、最值 ；（基本要求）
y f (x)在点（2， 6）处的切线方程。
（08浙江高考文T21）
已知a是实数，函数 f (x) x3 ax2; (1)若f '(1) 3,求a的值及曲线 y f (x)在（1，f (1)）
处的切线方程。
→深化拓展
（08湖北高考文T17）
② 已知函数f (x) x3 2x2 4x 1,若斜率
y
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
③ 函数在某点的导数的定义：
如果当x 0时，y 有极限, 我们就说函数y f (x)在 x
点x0处可导, 并把这个极限叫做函数 y f (x)在点x0处
的导数（或变化率）, 记为y ' xx0 或f ' x0
y'
x x0
f
'( x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
④曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
)
2,则
lim x
0
f (x0 2x) x
f (x0 )
______.
同类异形
②已知 f
'
(
x0
)
1,则
lim x
0
f (x0
2x) x
f (x0
x)
______
变式探究
③已知
lim x 0
f
(x0
2x) x
f
(x0 )
2，则f
'(x0 )
______.
考点突破二：导数的几何意义 例3（基础知识迁移） ① .已知函数f (x) x3 3x 8.求曲线
②函数在某点处导数的几何意义 ；
③求函数两种基本类型切线的解 题步骤：
九）课时作业
必做题：
«全线突破»P261 T1，2，6，8
选做题：«全线突破»P261 T11， “走进高考”T1，T3
课后自主探究
.已知函数f (x) x3 3x 8.求曲线y f (x)过 点（2，14）处的切线方程。
解题反思：
分析上题流程,你能归纳出函数y=f(x)在点x0处 的导数的基本方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
(2)求平均变化率 y f ( x0x) f ( x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x 0
y x
.
例2
①已知
f
' (x0
。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时
速度.
又如何求 瞬时速度呢 ?
六）温故而知新
① 平均变化率：函数y=f(x)的定义域为
D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
Y=f(x)
②割线的斜率：
k f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
结合等重要数学思想方法。
四）导数产生的背景： 随着 17世纪天体物理学的迅速发展
，迫切需要解决2个问题。第一：求曲 线的切线问题，第二：求非匀速运 动的速度，它最早由开普勒、伽利略、牛
顿等提出来．
五）情景设置：
中国跳水皇后郭晶晶在高台跳水运动
中,平均速度不一定能反映她在某一时刻的
运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态
类型二
求曲线y f (x)过点（x0, y0）的切线：
step1:设切点（x1,y1）;
Step2:
联立方程组
y1 y0
f (x1) y1 f
' ( x0
)(x0
解出x1. x1)
Step3:写出切线方程：
y y0 f '(x1)(x x0 )
八）课时小结：
①函数在某点处的导数定义；
（2）物理意义： 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是
当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度v, 即: v=s(t0).
七）典例分析：
考点突破一： 在某点的导数的定义 例1. 中国跳水皇后郭晶晶在高台跳水运动中,运
动位移与时间的函数关系 是：h(t) 4.9t 2 6.5t 10 ， 问在2秒时的瞬时速度是多少？
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
⑤ 导数的意义
( 1 ) 几何意义:
函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线
y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即:
k=tan=f(x0).
4、利用导数解决简单的实际生活背景的问题。 （发展要求）
三）命题趋势： 纵观我省04~08高考（文）本章所占分
值12~19分，客观题中有一道以考查导函数 图象、导数几何意义为主；而主观题以导 数为研究手段，对函数的单调性、极值、
最值、恒成立问题深入考查，
综合了函数、方程、不等式、
分类讨论、转化化归、数形
为 5的直线是曲线 y f (x)的切线，求 此直线方程.
合作探究，理性升华
③.已知函数f (x) x3 3x 8.求曲线y f (x)过点（2， 6）处的切线方程。
学而不思则罔
解题反思： 类型一
求曲线y f (x)在点（x0, y0）的切线：
y y0 f '(x0 )(x x0 )