《导数的概念与几何意义》导学案
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。
对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。
通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。
对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。
通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。
三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。
通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。
导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。
结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。
通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。
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3.1.3 导数的几何意义学校：陵水中学学科：数学编写人：李顺美审稿人：赵李三学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像宜观地理解导数的儿何意义，并能运用导数的儿何意义解决相关问题学习重难点1.发现和理解导数的几何意义2.应用导数几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题学习过程(%1)、复习引入1.平均变化率、割线的斜率2.导数的概念、求导数的步骤提出问题我们知道，导数表示函数y = /(x)在尤=工。
处的瞬时变化率，反映了函数y = f(x)在X = X。
附近的变化情况，导数广(气)的几何意义是什么呢？(%1)、自学探究如图3. 1-2,观察当4(气，/'(%))(〃 = 1,2,3,4)沿着曲线/(%)趋近于点P(A O,/(X O))时,割线Pg,的变化趋势是什么？图3.1-2（1）如何定义曲线在点F处的切线?（2 ）割线「4的斜率如与切线P7的斜率人有什么关系?（3）切线PT的斜率&为多少?说明：当Ax T 0时,割线PQ的斜率，称为曲线在点户处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的木质一函数在x = x0处的导数.（三）、小组交流导数的几何意义（1）函数），二/（%）在工=A处的导数的几何意义是什么？o（2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程?(%1)、展示成果例1如图3. 1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/?(x) = -4.9x2+6.5x4-10 ,根据图像,请描述、比较曲线/?(《)在"、匕、匕附近的变化情况.解：我们用曲线在上、4、&处的切线，刻画曲线/?(/)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当r = r时，曲线/，。
)在"处的切线"的斜率，所以，在/ = 4附近曲线比较平坦，几乎没有升降.⑵当，=〈时，曲线的)在匕处的切线，的斜率, 所以，在，=匕附近曲线下降，即函数/?(x) = -4.9x2 + 6.5工+10在/ =匕附近单调递减.⑶当，=上时，曲线/?(/)在&处的切线匕的一斜率___________________________________ 所以，在/=&附近曲线下降, 即函数/?(、)= -4.9x2 + 6.5x +10在t=t,附近单调递减.从图3. 1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线么的倾斜程度, 这说明1111线在乌附近比在附近下降的缓慢.变式根据图3. 1-3,请描述、比较曲线龙。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
高中数学 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A版选修22
高中数学 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A 版选修22 学习目标：1、了解导数的概念；理解导数的几何意义；2、会求导函数；3、根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。
一、主要知识：1、导数的几何意义：（1）导数()0f x '表示了函数()f x 在0x x =处的 ，反映了函数()f x 在0x x =附近的变化情况。
（2）函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的 ，相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 。
2、导函数从求()f x 在0x x =处的导数的过程中可看到，当0x x =时，()0f x '是一个 。
当x 变化时，()f x '便是x 的一个 ，称它为()f x 的导函数（简称导数），()y f x =的导函数有时也记作 ，即()f x y ''== 。
二、典例分析：〖例1〗：求曲线21y x =+在点()1,2P 处的切线的斜率k 。
〖变式训练1〗：曲线3123y x =-在点71,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭处的的切线的倾斜角为 。
〖例2〗：在曲线2y x =上求点P ，使过点P 的切线：（1）垂直于直线2650x y -+=；（2）倾斜角为135。
〖变式训练2〗：若曲线21y x =-的一条切线平行于直线43y x =-，求这条切线的方程。
〖例3〗：若抛物线24y x =上的点P 到直线45y x =-的距离最短，求点P 的坐标。
〖变式训练3〗：设函数()()32910f x x ax x a =+--<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线1260x y +-=平行，求a 的值。
三、课后作业：1、已知曲线22y x =上一点()1,2A ，则点A 处的切线的斜率等于（ ）A 、2B 、4C 、()2662x x +∆+∆D 、6 2、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A 、6π B 、4π C 、54π D 、4π- 3、设曲线22y x x =+-在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为（ ）A 、()0,2-B 、()1,0C 、()0,0D 、()1,14、设()f x 为可导函数且满足()()0112lim1x f f x x →-+=，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为（ ） A 、1B 、1-C 、12D 、12-5、已知直线1y kx =+与曲线32y x x =+-相切于点()1,3，则b 的值为（ ）A 、3B 、3-C 、5D 、5-6、曲线1y x=在点()1,1P 处的切线方程是 。
导学案013(导数的含义、几何意义与运算)
导数的概念、几何意义及运算一、考纲要求：导数的概念 导数的几何意义 导数的运算二、复习目标：1、理解导数的定义，能根据导数的定义求简单函数的导数；2、理解导数的几何意义，能求函数图象在某一点处切线的斜率；3、能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；4、求简单的复合函数的导数。
三、重点难点：理解且能正确对常见函数求导，导数的几何意义。
四、要点梳理：1、函数的平均变化率：一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为__________ 。
2、导数的概念：设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，()0,x a b ∈，若x 无限趋近于0时，比值____________y x= 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处__________，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的__________，记作__________.若()f x 对于区间(),a b 内任一点都可导，就称()f x 在区间(),a b 内可导，其导数称为()f x 的导函数，简称导数，记作__________.3、导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的__________，即0().k f x '=4、导数的物理意义：（1）设()s s t =是位移函数，则0()s t '表示物体在0t t =时刻的__________. （2）设()v v t =是速度函数，则0()v t '表示物体在0t t =时刻的__________. 5、基本函数的导数公式（1）()_______(ax a '=为常数），（2）(sin )________,(cos )___________x x ''==；（3）()________(0x a a '=>且1a ≠），()____xe '=；（4）(log )________(01),a x a a '=>≠且(ln )________x '=。
导数的概念及其几何意义学案
《导数的概念及其几何意义》学案一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度．加速度．光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1．导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一．只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点．写切线．跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决．2．求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)是自变量x 在 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时， 3．导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x 的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时， 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1．导数的定义与瞬时速度的关系 例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2．（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度； （2）求在t=1时的瞬时速度 ；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2．理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ；⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ； ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解．()()()()()()!50124950,0,50215010=⨯⨯⨯⨯→∆∆→∆∆+-∆+-∆+-=∆∆+-∆+-∆+=∆∆L L L xy x x x x x x x x x y ，即()!500f ,=⑵ 由自变量左．右趋近0时，变化率趋近2或0，不趋近某一个确定的常数，由导数的定义，则0处的导数不存在；⑶ 自变量从左．右趋近0时，其变化率趋近唯一的常数0，由导数的定义知，在x=0处有导数其值为0．3．导数的几何意义的理解和灵活应用例3 在曲线32+=x y 的图象上取一点P （1，4）及附近一点()y x ∆+∆+4,1，求 （1）x y ∆∆ （2）xy x ∆∆→∆时，0的值； （3）过点P （1，4）的切线方程 简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？其唯一的常数的几何意义为过该点的切线的斜率．（1）()()x x f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆211；（2）220→∆+=∆∆→∆x xy x 时，；（3）又（2）知过点P （1，4）的切线的斜率为2，故过点P （1，4）的切线方程()022,124=+-∴-=-y x x y 4．高考中对导数几何意义的考查例4（03高考天津）设()c bx ax x f ,a ++=>20，曲线()x f y =在点P ()()00x f ,x 处切线的倾斜角的取值范围为，求P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围．简析：导数的几何意义为曲线上该点的切线的斜率，原函数求导化归导函数函数在区间上的值域解决．()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+∴∈++=a ,a b ax a b x ,,b ax ,b ax x f ,2102221022000 ． 注：认识“函数在一点的导数”和“导函数”，“导数”三个概念的联系和区别，本题利用这种关系简化解决问题，应积累这种学习体验．例5（03高考）已知抛物C 1 x x y 22+=和C 2a x y +-=2，如果直线L 同时是C 1和 C 2的切线，称L 是C 1和 C 2公切线，问a 取何值时，C 1和 C 2仅有一条公切线？写出公切线方程简析：把握公切线的意义，公切线并非过同一点．设l 与相切于点),(211x x P ，与相切于))2(,(222--x x Q ．对x y C 2':1=，则与相切于点P 的切线方程为)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -= ① ， 对)2(2':2--=x y C ，则与相切于点Q 的切线方程为))(2(2)2(2222x x x x y ---=-+，即4)2(2222-+--=x x x y ②，∵两切线重合，∴ ⎩⎨⎧-=---=4)2(22222121x x x x ，解得⎩⎨⎧==;2,021x x 或⎩⎨⎧==0221x x ， ∴直线方程为y=0或y=4x-4． 例6 （04浙江20 ）曲线x e y -=在点()t e t M -, 处的切线L 与x 轴．y 轴所围成的三角形的面积的最大值． 简析：导数几何意义切入，数形结合法调动思维的灵活性，化归函数的最值，再用导数的单调性解决最值．例7（04天津） 已知函数f(x)=ax 3+bx 2-3x 在1±=x 处取得极值．⑴ 讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；⑵ 过点A （0，16）作曲线y= f(x)的切线，求此切线的方程简析：函数是实数集上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，待定系数法确定参数，从而确定表达式，利用导数研究单调性和求切线方程具有“操作性”．⑴ 易求 f ，(x)=3ax 2+2bx-3，由导数与极值的关系，1，-1为f ，(x)=3ax 2+2bx-3=0的两根，则3a+2b-3=0，3a-2b-3=0，解得a=1，b=0，则f(x)=x 3-3x ，由()()1x 10113132>-<∴>-+=-=或x ,)x (x )x (x f ,，易知函数f ，(x)在()1-∞-,上递增，在上递减，在上递增，所以f(-1)=2是函数f(x)的极大值，f(1)=-2是函数f(x)的极小值；⑵ 注意点A （0，16）不在曲线f(x)=x 3-3x 上的特点，设切点M （x 0，y 0），则y 0= x 03-3x 0，过切点的直线斜率为3(x 02-1)，切线方程为 y-y 0=3(x 02-1)(x-x 0)过点A （0，16），则易求x 0==-2．故切点为（-2，-2），切线方程为 9x-y+16=0．注：“过点P”与“点P 处的切线”是不同的．。
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计
5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教学目标：1. 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；（2）体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
2. 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计 （一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =，则0t 到t 的平均速度为，t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =，，，))((000x f x P ，，))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为，x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在，，))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆（二）新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么？ xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ，x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义：)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线，将0P 附近的曲线不.因此，在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象，请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ，，=附近的变化情况.x处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t= 时，曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦；（2）当1t t =时，曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢；（3）当2t t = 时，曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 min 8.06.04.02.0，，，=t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t )在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如()0.910.7，则此刻切线的斜率，4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页，习题5.1复习巩固 1，2，3。
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义 教案
导数的概念及其几何意义教学设计一般地，f′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t)=−t2+ 6t+60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 ),v′(6 ).解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 )和 v′(6 ).根据导数的定义，∆y ∆t =v(2+∆t)−v(2)∆t=−(2+∆t)2+6(2+∆t)+60−(−22+6×2+60)∆t=−∆t+3,所以v′(2 )=lim∆t→0∆y∆t=lim∆t→0(−∆t+2)=2同理可得v′(6 )=−6在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别2 m/s2与−6 m/s2. 说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s .思考观察函数y=f (x)的图象（图5.1-3），平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？瞬时变化率f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？提示：平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示割线P0P的斜率.如图5.1-4，在曲线y=f (x)上任取一点P (x , f (x))，如果当点P (x , f (x))沿曲线y=f (x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f (x)在点P0处的切线.易知，割线P0P的斜率k=f(x)−f(x0)x−x0记∆x=x−x0，当点P沿着曲线y=f (x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0时，k无限趋近于函数y=f (x)在x=x0处的导数.因此，函数y=f (x)在x=x0处的导数f′(x0 )（即瞬时变化率），就是切线P0T的斜率k0，即k0=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=f′(x0)这也导数的几何意义.继续观察图5.1-4，可以发现点P0处的切线P0T 比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线. 进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（如图5.1-5），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P0附近，曲线y=f (x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.例4 图5.1-6是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线的斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，ℎ′(t0)=0. 这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率ℎ′(t1)<0. 这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率ℎ′(t2)<0. 这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.例5图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确度0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率k=0.48−0.911.0−0.7≈−1.4所以f′(0.8)≈−1.4表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0 )是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x) 就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）. y=f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x )=y′=lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x.课堂练习：1根据导数的定义求下列函数的导数．(1)求函数y=x2+3在x＝1处的导数；(2)求函数y=1x在x=a(a≠0)处的导数．解：(1) ∆y=f(1+∆x)−f(1)=[(1+∆x)2+ 3]−(12+3)=2∆x+(∆x)2∴∆y∆x =2∆x+(∆x)2∆x=2+∆x∴y′|x=1=lim∆x→0(2+∆x)=2 (2)∆y=f(a+∆x)−f(a)=1a+∆x−1a=a−(a+∆x)a(a+∆x)=−∆xa(a+∆x)∴∆y∆x =−∆xa(a+∆x)∙ 1∆x=− 1a(a+∆x)∴y′|x=a=lim∆x→0[− 1a(a+∆x)]=−1a2求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤2 已知函数f (x)在 x =x 0处导数的4，则lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x=____ .解： lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x =lim ∆x→0[f (x 0+3∆x )−f (x 0)3 ∆x ×3]=3lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)3∆x =3f ′(x 0 )=3×4=12答案：12注：（1）本题中x 的增量是3∆x ，即(x 0+3∆x )−x 0=3∆x ，而分母为∆x ，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．3 长方形的周长为10，一边长为x .其面积为S. （1） 写出S 与x 之间的函数关系；（2） 当x 从1增加到1+∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？解释它的实际意义；（3）当长从x 增加到x +∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？ （4）在x =1处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义；（5）在x 处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？1平均变化率2瞬时变化率3导数的概念4 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤。
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第1课时 导数的概念与几何意义
1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数.
2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题.
3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.
4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法.
如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么?
问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是 .
问题2:导数的概念与求法:
我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数,
lim Δx→0
f (x 0+Δx )‒f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )‒f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0);
(2)算比值:=;
Δy Δx f (x 0+Δx )‒f (x 0)Δx (3)求极限:y'=.
| x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: .
问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直
线是曲线的切线吗?
它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.
不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 .
1.下列说法正确的是( ).
A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线
D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在
2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ).
A.f'(x0)>0
B.f'(x0)<0
C.f'(x0)=0
D.f'(x0)不存在
3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标
为 .
4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).
三，课后反思：。