2017-2018学年上海市七宝中学高三下学期综合测试数学试卷
2018-2019学年七宝中学高三年级下学期3月月考数学试卷
2018-2019学年七宝中学高三下学期3月月考试卷一. 填空题1. 已知复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则||z =2. 已知集合{||1|2,}A x x x =-<∈R ，{|21,}x B x x =≥∈R ，则A B =【答案】[0,3) 3. 已知1()2x f x x+=，其反函数1()f x -，则1(0)f -= 【答案】1-4. 已知,0a b >，23a b m ==，且a 、ab 、b 成等差数列，则m =5. 若二项式6()a x x+展开式的常数项为20，则a = 【答案】16. 若实数x 、y 满足不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值是【答案】6-7. 设长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，1AA =A 、B 两点 之间的球面距离为 【答案】23π 8. 已知1F 、2F 分别是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上的任意一点，则 121||PF PF PF -的取值范围是【答案】[0,2]9. 数列{}n a 中，若10a =，2i a k =（*i ∈N ，122k k i +≤<，1,2,3,k =⋅⋅⋅），则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为【答案】12810. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB AM ⋅的最大值为【答案】18+11.已知函数23183()(3x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()n a f n =（*n ∈N ），若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是【答案】5(,4)3【解析】由题可知23345130,43a a t t a a>⎧⎪⎛⎫-<∈⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩解得12.设整数3n ≥，集合{1,2,,}P n =⋅⋅⋅，A 、B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数为 【答案】1(2)21n n --⋅+ 【解析】由题可知()()()()()()()()01101211231221121011121122122222122322122122122222222221n n n n n n n n n n n n n n A A A A n n --------------⨯-=-⨯-=-⨯-=--⨯-=--+-+-=-+当中最大数字为时，当中最大数字为时，当中最大数字为时，当中最大数字为时，二. 选择题13. 函数22()sin 3cos f x x x =+的最小正周期是（ ） 【A 】4π【B 】2π【C 】π 【D 】2π 【答案】C14. 二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的必要非充分条件是（ ）【A 】系数行列式0D ≠【B 】比例式1122a b a b ≠ 【C 】向量12a a ⎛⎫⎪⎝⎭，12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行 【D 】 直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行 【答案】D15. 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（ ） 【A 】110【B 】120【C 】140 【D 】1120【答案】B16. 对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间“，给出下列4个函数： ①()sin()2f x x π=；②2()21f x x =-；③()|12|x f x =-；④2()log (22)f x x =-；其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） 【A 】 ①②③ 【B 】 ②③ 【C 】 ①③ 【D 】 ②③④ 【答案】B 【解析】由题可知① 有[][][]1,00,11,1--，，三个区间符合 ② 只有[]1,1-符合条件 ③ 只有[]01，符合条件 ④ 没有区间符合条件三. 解答题17. 在正方体1111ABCD A B C D -中，棱12AA =，E 为棱1CC 的中点. （1）求异面直线AE 与1BC 所成角的大小； （2）求三棱锥1B ADE -的体积. 【答案】（1）4π；（2）23【解析】()1111BC AD D AE ∴∠即为所求()111111cos 24223B ADE B AFE E AB FD AE D AE B BF V V V π---∠=∴∠====取中点，18. 已知向量(sin ,1)m x =-，1(3cos ,)2n x =-，函数2()2f x m m n =+⋅-. （1）求()f x 的最大值，并求取最大值时x 的取值集合；（2）已知a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，且a 、b 、c 成等比数列， 角B 为锐角，且()1f B =，求11tan tan A C+的值. 【答案】（1）max ()1f x =，{|,}3x x k k ππ=+∈Z ；（2【解析】()()112cos 2sin 2226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ()()()()max 222222222162321,3,,2cos 0311tan tanC 3x k x k f x f B B B a b c b ac b a c ac B ac a c aca c a c A B C A πππππππ-=+=+=====+-=+--=∴=∴===∴+=当时，即时，为锐角，又因为成等比所以19. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中所有奇数项之和为n S '，所有偶数项之和为n S ''.（1）若{}n a 是等差数列，项数n 为偶数，首项11a =，公差32d =，且15n n S S '''-=，求n S ； （2）若数列{}n a 的首项11a =，满足123(1)2n n tS t S t +--=（*n ∈N ），其中实常数3(,3)5t ∈，且52n n S S '''-=，请写出满足上述条件常数t 的两个不同的值和它们所对应的数列.【答案】（1）20n =，305n S =；（2）2t =时，数列为1、2， 57t =时，13()5n n a -=- 【解析】()'''115203052n n n ndS S n S -==∴=∴= ()()()()()()()11111'''2212211'''3313232223122231223103121552723123153,3225312n n n n n nn ntS t S t n tS t S t t at a t a a ta S S a at tS t S t a S S a a a t t t a a t +-++--=≥--=⋅--=-==⎧⎪⎪-=-==⎨⎪--=⎪⎩⎧⎪=⎪⎪⎛⎫-=+-=∈∴=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-=⎪⎩当时，当数列有两项时，解的当数列有项时，又 ∴2t =时，数列为1、2，57t =时，123=1,5a a =-20. 抛物线22y px =（0p >）的焦点F 为圆22:430C x y x +-+=的圆心.（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线l 与圆C 相切，交抛物线于A 、B 两点， ① 若线段AB 中点的纵坐标为l 的方程； ② 求FA FB ⋅的取值范围.【答案】（1）28y x =，2x =-；（2）0x -=或4x =；（3）(,7]-∞ 【解析】()214,8,2p y x x ===-由题可知所以抛物线方程准线()()()()11222222212122,,:1,211318808643088A x y B x y l x my tl C t m t t x my t y my t y x m t y y m y y t =+=-=+≥≥≤=+⎧--=⎨=⎩⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩设直线与圆解得所以或联立得①()224214,04m m t m t t =-=+===由题可知解得或:040l x x ∴=--=或②()()()()()()[)(](]22121212122221222616152524415,3,,11515,7FA FB x x y y m y y m t y y t t t t t FA FB ⋅=--+=++-++-⎛⎫=-+-=--+∈+∞-∞ ⎪⎝⎭∴⋅∈-∞-21. 若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意1x 、2x （12x x ≠），都有1212|()()|||f x f x k x x -≤-成立，则称函数(f x ）在其定义域D 是“k -利普希兹条件函数“. （1）若函数()f x =14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数“，求常数k 的取值范围；（2）判断函数2()log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数“，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()y f x =（x ∈R ）是周期为2的“1-利普希兹条件函数“，证明：对任意的实数1x 、2x ，都有12|()()|1f x f x -≤.【答案】（1）1(,)2+∞；（2）不是；（3）略. 【解析】()[]12max 111,42k x x x k k ⎛⎫≤-∈∴≥∴≥在上恒成立()2211112log log 122424-=>-∴不是()()[]()()()()()()()()()()()()()()121212123,0,2,,1,11,,0b 2a 12211f x M m f a M f b m f x f x M m f a f b a b a b f x f x a b a b f x f x M m f a f b a b f x f x ==∴-≤-=-≤--≤-≤->><+-<-≤-=-+≤--<-≤设的最大值是最小值是在一个周期内，若则若则设综上。
2017-2018学年上海市七宝中学高三10月月考数学试题
2017-2018七宝中学高三月考数学卷2016.10一. 填空题1. 已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，则()()y f x f x =+-的定义域是2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是3. 锐角△ABC 中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则A =4. 二项式921()x x -的展开式中常数项为 (结果用数值表示) 5. 若函数cos(2)y x ϕ=+(||)2πϕ<的图像关于点4(,0)3π中心对称，则ϕ= 6. 若122log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是7. 已知0x >，0y >，1211x y +=+，则x y +的最小值为 8. 已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||2AB = ，||3AC = ，若AP AB AC λ=+ ， 且AP BC ⊥，则实数λ的值为9. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红 包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有 种 10. 设函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于 直线3x =-对称，其中min{,}a b 表示,a b 中的 最小值，则实数t =11. 右侧程序框图的运行结果：S =12. 已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数 (32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6a a π-+-=-，则2016S = 14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于二. 选择题15. 无穷等比数列{}n a *()n N ∈的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的 只可能是（ ） A.12 B. 12- C. 14 D. 14- 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函 数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 17. 对于平面向量x 和给定的向量a ，记()2()f x x x a a =-⋅，若()()f x f y x y ⋅=⋅r r r r对 任意向量,x y 恒成立，则a的坐标可能是（ ）A. 1)2-B.C. 31(,)44D. 1(2-18. 函数()sin(2)f x A x θ=+(0,||)2A πθ>≤部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的12,[,]x x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A. )(x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B. )(x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 C. )(x f 在5(,)36ππ上是减函数 D. )(x f 在5(,)36ππ上是增函数三. 解答题19. 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =--； （1）解不等式|()|5g x <；（2）若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围；20. 某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）， 若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-，每千件商 品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完； （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点， △11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点；（1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； （2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求含有点A 的那部分体积；22. 已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，(1)nn S a a n n=+-； （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3(1)n n n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围； （3）若12a =，2016n n n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数p 、q ，使 得k p q c c c =？若存在，求出p 、q 的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由；23. 已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数； （1）若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；（2）若1a ≤-，[1,0]D =-，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值； （3）若0a >，在[0,]a 上存在n 个点i x (1,2,,.3)i n n =≥ ，满足10x =，n x a =，12n x x x <<< ，使得12231|()()||()()||()()|8n n f x f x f x f x f x f x --+-++-= ，求实数a 的取值范围；七宝中学2016第一学期高三10月考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(每题4分，共56分)： 1. 已知函数()f x 的定义域是[1 2]-，，则()()y f x f x =+-的定义域是 [1 1]-，. 2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是 (7 0)-，3. 在锐角中ABC ∆，角 A B 、所对的边长分别为 a b 、. 若2sin a B b =，则A =6π.4. 二项式921()x x-的展开式中常数项为 (结果用数值表示)84-． 5. 若函数cos(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图像关于点4(0)3π，中心对称，则ϕ= 6π-. 6. 若212log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是4a >.7. 已知0 0x y >>，，1211x y +=+，则x y +的最小值为. 8. 已知向量与AC 的夹角为120 ，且||2 ||3A B A C == ，，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为 1279. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相 同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有 种22142443343472P P C P C P ===.10. 设函数()min{|| ||}f x x x t =+，的图像关于直线3x =-对 称，其中min{ }a b ，表示 a b 、中的最小值. 则实数t = 6. 11. 右侧程序框图的运行结果：S = 1320.12. 已知函数10()420xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，，，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 23a <≤.13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6a a π-+-=-，则2016S = 6048.14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于 52π.二、选择题(每题5分，共20分)：15. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的只可能是 ( C )A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-. 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的 ( D ) A.充分非必要条 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件17. 对于平面向量x 和给定的向量a ，记()2()f x x x a a =-⋅．若()()f x f y x y ⋅=⋅r r r r 对任意向量 x y 、恒成立，则a 的坐标可能是 ( D )A．1 )2- B． C ．31( )44， D．1(2- 18. 函数()sin(2)(0 ||)2f x A x A πθθ=+>≤，部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的12 [ ]x x a b ∈，，，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则 ( B ) A.)(x f 在5( )1212ππ-，上是减函数 B.)(x f 在5( )1212ππ-，C.)(x f 在5( )36ππ，上是减函数D.)(x f 在5( )36ππ，上是增函数三、解答题：19. (12分)已知函数322)(++-=x a x x f ，()12g x x =--. (1)解不等式()5g x <；(2)若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围. 解：(1)由|()|||1|2|5g x x =--<得3|1|7x -<-<，∴|1|7x -<，解得68x -<<． 所以原不等式的解集为{|68}x x -<<；(2)∵{|()}y y y f x ∈=是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件， 所以{|()}{||()|}y y f x y y g x =⊆=，又()223232f x x a x a =-++-≥+-，()||1|2|0g x x =--≥ 所以32a +≥，解得：1a ≥-或5a ≤-.20. (14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x (万元)，若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30 0)-，，且()C x 的最小值是75-. 若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-. 每千件商品售价 为50万元. 通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)依题意，当080x <<(千件)时，设2()(30)C x a x x =+，则22575a -=-解得13a =，即21()(30)3C x x x =+，此时21()50[250()]402503L x x C x x x =-+=-+-当80x ≥(千件)时，10000()50[250()]1200()L x x C x x x=-+=-+∴2140250 0803()100001200() 80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩，，(2)当080x <<(千件)时，21()(60)9503L x x =--+，此时，max ()(60)950L x L ==；当80x ≥(千件)时，10000()1200()1000L x x x=-+≤(当且仅当100x =时等号成立) 此时，max ()(100)1000L x L ==，综上所述，当年产量100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，为1000万元. 21. (14分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．(1)若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； (2)平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分， 求含有点A 的那部分体积．解：取BC 中点为N ，连结1 MN C N ，， ∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11AC ，∴11,,,A M N C 四点共面， 且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N =又DE Ü平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ，∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点，∴13CE EB =．(2)因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC，又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A∵122AB AA ==，又11A MC ∆是等腰三角形，所以111AM AC ==如图，将几何体11AA M CC N -补成三棱柱11AA M CC F - ∴几何体11AA M CC N -的体积为：1111111111111232232212V AM AA AC CF CC NF =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=MEDC 1B 1 A A 1B C NF22. (16分)已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)nn S a a a n n==+-，. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3(1)n n n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围； (3)若12a =，2016nn n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数 p q 、，使得k p q c c c =？若存在，求出 p q 、的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由. 解：(1)11(1)(1)nn n n S a a a n na S a n n n==+-⇒=+-， {1111(1)22(1)(1)n n n n n n n n na S a n nna na an a a a n a S an n ++++=+-⇒-=⇒-=+=++∴{}n a 是以11a =为首项，2d a =为公差的等差数列，∴12(1)n a a n =+- (2)11113(1)3(1)n n n n n n n n b b a a ++++<⇔+-<+-,即(1)[1(21)]3n n a n -+-<若n 为奇数，则31(1 3 5 )21n a n n +>-=- ，，，恒成立， 考察31()21n f n n +=--，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n f n f n n n n n +++--++-=-+=<+-+-即(1)(3)(5)f f f >>> ，∴(1)4a f >=-；若n 为偶数，则31(2 4 6 )21n a n n -<=- ，，，恒成立， 考察31()21n g n n -=-，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n g n g n n n n n +---++-=+=>+-+-即(2)(4)(6)g g g <<< ，∴8(2)3a g <=；综上所述，843a -<<；(3)由(1)2016n n n a n c n ==+，.假设对任意*k N ∈，总存在正整数 p q 、，使k p q c c c =，则(2016)201620162016k p q k q p k p q q k+=⋅⇒=+++-令1q k =+，则(2017)p k k =+(或2q k =，则22016p k =+；…) ∴(2017)1k k k k c c c ++=(或220162k k k c c c +=；…)23. (18分)已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数. (1)若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；(2)若1[10]a D ≤-=-，，，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值； (3)若0a >，在[0,]a 上存在n 个点(1,2,,.3)i x i n n =≥ ，满足10x =，n x a =，12n x x x <<< ，使得12()()f x f x -23()()f x f x +-+ 1()()n n f x f x -+-8=，求实数a 的取值范围.解：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立， ∴||||x x a x x a -=+，即0ax =对任意x ∈R 恒成立，∴0a =；(2)2222() 24()||()24a a x x a f x x x a a a x x a ⎧--≥⎪=-=⎨⎪--+<⎩，，，11 ∵1a ≤-，∴[1 0][ )a -⊆+∞，，，∴22()()24a a f x x =--，[1 0]x ∈-， ①当21a -≤≤-时，1122a -≤≤-，()f x 在[1 ]2a -，上递减，在[ 0]2a ，递增，2min [()]4a f x =- ②当2a <-时，12a <-，()f x 在[1 0]-，上单调递增，min [()](1)1f x f a =-=+ 综上所述，2 21()41 2a a g a a a ⎧⎪--≤≤-=⎨⎪+<-⎩，，， 若21a -≤≤-，则11()4g a -≤≤-；若2a <-，则()1g a <- ∴当1a =-时，max 1[()]4g a =- (3)∵0a >，且()f x 在[0 ]2a ，上单调递增，在[ ]2a a ，上单调递减， ∴max min ()()()(0)2a f x f f x f ==， 而12231max min |()()||()()||()()|2[()()]n n f x f x f x f x f x f x f x f x --+-++-≤-要使满足条件的点存在，必须且只需2[()(0)]82a f f -≥，即282a ≥，解得4a ≥为所求.。
上海市七宝中学2018-2019学年高三下第三次模拟考试数学试题
七宝中学高三三模数学试卷2019.05注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一. 填空题1. 已知复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则||z =2. 不等式1021x x -≤+的解为 3. 函数()y f x =的值域是[1,1]-，则函数2(1)y f x =+的值域为4. 求值：1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-= 5. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为 6. 若实数集合{31,65}A x y =与{5,403}B xy =仅有一个公共元素，则集合A B 中所有元素之积的值为7. 已知函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的反函数为1()f x -，若1()y f x -=在[0,1]上 的最大值和最小值互为相反数，则a 的值为8. 一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独 立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 9. 已知正方形ABCD 中心为O 且其边长为1，则()()OD OA BA BC -⋅+的值为10. 已知数列{}n a 满足：11a =，且1(1)30n n n a na ++--=，若对任意的[2,2]a ∈-，不等式221n a t at ≤+-恒成立，则实数t 的范围为 11. 如图，正方体ABCD EFGH -棱长为1，点M 在正方 体的表面EFGH 上，定义每一点均在正方体表面上的一条 路线为一条路径，已知点M 到A 的最短路径长(,)l M G ， 则(,)l M G 的最大值为12. 已知21|lg |10()1020x x f x x xx ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩，若1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，且方程2[()]()0f x af x b -+=有5的取值范围为二. 选择题13. “2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 非充要条件14. 已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C. ()f x 是周期函数 D. ()f x 在[,0]π-上是增函数15. 已知点00(,)P x y 是曲线C 上的动点，若抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PA 、PB 的中点均在C 上，则A 、B 两点的纵坐标是以下方程的解（ ）A. 22000280y y y x y -+-=B. 22000280y x y x y -+-=C. 22000280y y y y x -+-=D. 22000280y x y x y ++-=16. 已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，ω=）A. B. [1,2] C. (0,2] D. 2三. 解答题17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点.（1）求直三棱柱111ABC A B C -的全面积； （2）求异面直线AE 与1A C 所成角θ的大小. （结果用反三角函数表示）18. 设函数()f x 在[1,)+∞上有定义，实数a 和b 满足1a b ≤<，若()f x 在区间(,]a b 上不存在最小值，则称()f x 在(,]a b 上具有性质P .（1）当2()f x x cx =+，且()f x 在区间(1,2]上具有性质P 时，求常数c 的取值范围； （2）已知(1)()1f x f x +=+（1x ≥），且当12x ≤<时，()1f x x =-，判别()f x 在区间(1,4]上是否具有性质P ，试说明理由.19. 如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其 中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上，经测量得，扇形OPQ 区域的圆心角（即POQ ∠）为23π半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射 线OA 和OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； （2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y C a b+=（1a b >>）的左右两个焦点分别是1F 、2F ，P 在椭圆C 上运动.（1）若对12F PF ∠有最大值为120°，求出a 、b 的关系式；（2）若点P 是在椭圆上位于第一象限的点，过点1F 作直线1F P 的垂线1l ，过2F 作直线2F P 的垂线2l ，若直线1l 、2l 的交点Q 在椭圆C 上，求点P 的坐标；（3）若设22b =，在（2）成立的条件下，试求出P 、Q 两点间距离的最小值()f x 的函数，并求出()f x 的值域.21. 已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，2120181n n n a a a +++=+（1n ≥）.（1）已知52a =，61009a =，试求a 、b 的值； （2）若1a =，求证：22017||2n n na a +-≤； （3）求ab +的取值范围.参考答案一. 填空题1.2. 1(,1]2- 3. [2,2]- 4. 1-5.6. 07. 8. 0.88 9. 1 10. 2t ≥或2t ≤-11.12. [0,5二. 选择题13. A 14. D 15. A 16. B三. 解答题17.（1）15+（2）arccos10. 18.（1）2c ≥-；（2）具有性质P ，理由略.19.（1）MN =，62ππα<<；（2）min MN =，3πα=.20.（1）；（2）；（3）.21.（1）2a =，1009b =；（2）证明略；（3）1011或2019.。
上海市闵行区七宝中学2017-2018学年高三下开学考数学试题
上海市闵行区七宝中学2017届高三下学期开学数学试题1、不等式11>x的解集是_______ 2、已知直线023:1=+-y x l ，0533:2=-+y x l ，则直线1l 与2l 的夹角是______3、函数1cos 22sin 3)(x x x f -=的最大值是_____ 4、i 为虚数单位，θθ2sin 2cos 1i z -=对应的点在第二象限，则θ是第_____象限的角 5、已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是______6、从二项式11)1(x +的展开式中取一项，系数为奇数的概率是______7、命题“对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，m x <tan 恒成立”是假命题，则实数m 取值范围是_______ 8、函数)1,0)(34(log )(2≠>+-=a a x x x f a 在),[+∞∈m x 上存在反函数，则m 的取值范围是_______9、若平面向量b a ,满足12)2(,2||=⋅+=b b a a ，则||b 的取值范围为________10、已知数列}{n a ，11=a ，n n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=++311，*∈N n ，则)(lim 12321-∞→++++n n a a a a =______ 11、已知函数)0()(>+=a x a x x f ，若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,31p n m 、、，长为)()()(p f n f m f 、、的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是______12、已知数列}{n a 满足：对任意的*∈N n 均有221-+=+k ka a n n ，其中k 为不等于0与1的常数，若}888,88,8,2,32,272{---∈i a ，5432、、、=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为_______ 13、已知实数n m 、，则“0>mn ”是“方程122=+ny mx 代表的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件14、将半径为R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（ ）A 、3243R πB 、383R πC 、3245R πD 、385R π 15、已知数列}{n a 通项公式为)1(1+=n n a n ，其前m 项和为109，则双曲线1122=-+m y m x 的渐近线方程是（ ）A 、x y 109±=B 、x y 910±=C 、x y 10103±=D 、x y 310±= 16、已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ）A 、若03>a ，则02016>aB 、若04>a ，则02017>aC 、若03>a ，则02017>SD 、若04>a ，则02016>S17、如图，用一平面去截球O ，所得截面面积为π16，球心O 到截面的距离为3，1O 为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径（1）计算球O 的表面积和体积（2）若C 是截面小圆上一点，︒=∠30ABC ，N M 、分别是线段1AO 和1OO 的中点，求异面直线AC 与MN 所成的角（结果用反三角表示）18、ABC ∆中，角C B A 、、所对边分别为c b a 、、，135cos =A ，3102cot 2tan =+B B ，21=c （1）求C sin 的值（2）求ABC ∆的面积19、已知函数R a a x x x f ∈++-=,34)(2（1）若函数)(x f y =在[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围（2）设函数R b b bx x g ∈-+=,25)(，当3=a 时，若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使得)()(21x f x g =，求b 的取值范围20、已知抛物线px y 2:2=Γ上一点),3(m M 到焦点的距离为4，动直线)0(≠=k kx y 交抛物线Γ于坐标原点O 和点A ，交抛物线Γ的准线于点B ，若动点P 满足→--→--=BA OP ，动点P 的轨迹C 的方程为0),(=y x F（1）求出抛物线Γ的标准方程（2）求动点P 的轨迹方程0),(=y x F （不用指明范围）（3）以下给出曲线C 的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④0>y 时，写出由0),(=y x F 确定的函数)(x f y =的单调区间，不需证明21、已知无穷数列}{n a ，满足*++∈-=N n a a a n n n |,|12（1）若2,121==a a ，求数列前10项和（2）若Z x x a a ∈==,,121，且数列}{n a 前2017项中有100项是0，求x 的可能值（3）求证：在数列}{n a 中，存在*∈N k ，使得10<≤k a。
上海市七宝中学2017-2018学年下学期高三3月月考数学试题
2017-2018年七宝中学高三下3月月考2018.03一. 填空题1. 已知集合{|3}{|1}A x x x x =≥<-，则C A =R2. 复数1i z i=-（其中i 为虚数单位）的模为 3. 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为4. 从编号0，1，2，⋅⋅⋅，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为5. 设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-，若当[0,5]x ∈时，()f x 的图像如图，则不等式()0f x <的解是6. 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 7. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆22:2O x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是8. 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，8AD =，20BC =，则AB AC ⋅的值为9. 设x 、y 、z 是实数，9x 、12y 、15z 成等比数列，且1x 、1y 、1z 成等差数列，则x z z x + 的值是10. 设实数a 、b 、c 满足221a b c +≤≤，则a b c ++的最小值为11. 若不等式2(1)[3(1)1]0mx m x m --+-≥对任意(0,)m ∈+∞恒成立，则实数x 的值为12. 设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且11a ≥，2424a ≥，12168S ≤，则29a d -的取值范围是二. 选择题13. 若函数2()21xx f x =-+，则该函数在(,)-∞+∞上是（ ） A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值14. “22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的（ ）条件A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知a 、b 是单位向量，0a b ⋅=，若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的取值范围是（ ）A. 1]B. 2]C. 1]D. 2]+16. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A.3 B. 23+ C. 43+ D. 3三. 解答题17. 在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=，16AB BC ⋅=-，求：（1）AB 的值；（2）sin()sin A B C-的值.18. 如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，AD ∥BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，13AD AA ==.（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.19. 将52名志愿者分成A 、B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗，假定A 、B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时，应如何分配A 、B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小 时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.20. 已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点(1,3E ，过点(1,1)P 分别作斜率为1k 、2k 的椭圆 的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；（3）若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.21. 已知数列{}n a 满足212n a a a n ++⋅⋅⋅+=（n ∈*N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的k ∈*N ，是否存在,p r ∈*N （k p r <<）使1ka 、1p a 、1r a 成等差数列？ 若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组），若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为1n a 、2n a 、3n a .参考答案1、[)1,3-2、23、184、765、()(]2,02,5-6、4a >7、1y =+ 8、36- 9、3415 10、12- 11、1x = 12、2498,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13-16、AAAC17、（1）5；（2）72518、（1）证明略;（2）7 19、（1）A 组20人，B 组32人；（2）277小时 20、（1）22132x y +=；（2）23-；（3）20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 21、（1）21n a n =-；（2）21p k =-，2452r k k =-+；（3）证明略。
上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题 Word版含解析
上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分．）1.函数y =______________. 【答案】(0,1] 【解析】试题分析：由0log 5.0≥x 得10≤<x ，应填答案(0,1]. 考点：对数不等式的解法．2.已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则M N =_____.【答案】⎢⎣【解析】试题分析：因02≥=x y ,而2222≤-=y x ,故22≤≤-x ,所以]2,0[=N M .考点：集合的交集运算．3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为______________.【答案】10考点：二项式定理及通项公式的运用．4.已知地球的半径为R ，在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045西经060有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计） 【答案】3R π【解析】试题分析：已知纬圆所在的纬度为045,则纬圆的半径为R 22,纬圆周的两点B A ,的弦长为R R AB =⋅=222,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π.考点：球面距离及计算．【易错点晴】球面距离的定义是经过球心的大圆上的劣弧的长.解答本题的关键是求出经过B A ,大圆的圆心角AOB ∠,为此先求045纬圆上这两点B A ,连线段的长AB ,即纬圆上的弦长AB .求的长时借助纬度的概念,求出了球心与纬圆面之间的距离=d R 22与纬圆的半径相等.由经度的定义可知0190=∠B AO ,所以R R AB =⋅=222,这样AOB ∆就是等边三角形,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π,即球面距离是R 3π.5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=______________.【答案】11 【解析】试题分析：因为3)840(41)(,20)64160(41)(2=++==++=x E x E ,所以11920)()(22=-=-=x E x E D ξ.考点：数学期望和方差的计算． 6.在极坐标系中，点(2,),(2,)2A B ππ，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________. 【答案】3 【解析】试题分析：将点B A ,化为直角坐标为)2,0(),0,2(B A -,极坐标方程化为直角坐标为0222=-+x y x ,所以圆心为)0,1(C ,所以ABC ∆的面积为32321=⨯⨯=S . 考点：极坐标方程及运用．7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示） 【答案】3135【解析】试题分析：从7名学生中选3名的种数为3512356737=⨯⨯⨯⨯=C ,其中无女生的种数为41434==C C ,所以至少含有一个女生的概率为35313541=-=P . 考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=______________.考点：复数的模及计算．9.将()f x =sin cos xx 的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为______________. 【答案】56π 【解析】试题分析：因为()f x =sin cos xx )6cos(sin cos 3π+=-=x x x ,所以按向量平移后所得的函数为)6cos()(π++=a x x g ,由题设可得1)60cos()0(±=++=πa g ,即ππk a =+6,也即6ππ-=k a ,所以a 的最小值为56π.考点：行列式的计算及三角函数的图象和性质．10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称，若实数,x y满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是______________. 【答案】[16,36]考点：函数的单调性和圆的方程的等知识的综合运用．11.函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间 是________. 【答案】1[,0]2-的子集都可以 【解析】试题分析：因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.考点：定义新概念和综合运用所学知识．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力.结论的开放性和不确定性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案.解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间.12.椭圆22221(0)43x y a a b+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是______________.【答案】acb S 23=考点：椭圆的定义和几何性质．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3,( 1.2]2π=-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{}(]n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y∙=的概率为29P =. 则下列正确命题的序号是______________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：由定义0](1<-≤-x x ,所以其值域为[1,0)-,故①正确；由于5.0](=-x x ,因此可求得2.3,2.2,2.1=x ,所以②正确；对于③,如取数列7.4,9.2,1.1成等差数列,但4]7.4(,2]9.2(,1]1.1(===不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x（*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可） 【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时x x x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取1,0,1===c b a ,函数xx x f 2cos )(+=,取数列}25,23,2{πππ,则253322)25(,2)23(,2)2(ππππππ===f f f 成等比数列,故答案应填1,0,1===c b a . 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ） A ．(1,3);arctan3d α== B ．(1,3);arctan(3)d α=-=- C ．(1,3);arctan3d απ==- D ．(1,3);arctan3d απ=-=- 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C ∙∙<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A试题分析：由题设条件可知C B A cos ,cos ,cos 中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则C B A cos ,cos ,cos 的积必为负数,即是必要条件,应选答案A. 考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—半随函数”.有下列关于“λ—半随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—半随函数”；② “12—半随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—半随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 【答案】A考点：函数及新定义的概念的灵活运用．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是函数的零点等有关知识及推理判断的能力. 命题的真假的判断及分析求解的能力是解答好本题的关键,本题给出的三个命题的真假的判断成为解答这道试题的重中之重.对于命题①,实数λ的取值是不唯一的,因此该命题是假命题；对于命题②,运用定义可得结论,显然这个方程0)(21)21(=-=+x f x f 的解是不唯一的,所以是真命题；对于命题③找不到实数λ满足题设,因此是假命题整个求解过程充满了推理和判断.18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工n （3n ≥，*n N ∈）个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变. 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知选择支中的A,C,D 都是不正确的，所以应选B. 考点：中位数平均数方差等概念的理解和计算．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060， 设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1；(2)3． 【解析】试题分析：(1)运用平几的勾股定理等知识求解；(2)运用等积法求解. 试题解析：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，即0160A BC ∠=,又连接1AC ，AB AC =，则11A B AC = ∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=BC ⇒=∴11A B a =⇒==.（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离. 设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'242S ==，又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以'11333S AC S d d ∙∙=∙∙⇒=，即11B C 到平面1A BC 的距离等于3. 考点：空间的直线与平面的位置关系及几何体的体积公式．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也是上海市历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与直线所成角的计算问题和直线与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件中异面直线所成角的概念,通过解直角三角形而获解.关于第二问中直线与平面之间的距离问题,解答时巧妙运用转化的思想,将其转化为三棱锥的高的问题来处理,使得问题的求解过程简捷明快.20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有,A B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发出过鱼群。
七宝中学高三模拟卷(2018.05)
七宝中学高三模拟卷2018.05一. 填空题1. 若log 21x =，则x =2. 已知直线l 垂直于直角坐标系中的y 轴，则l 的倾斜角为3. 在复平面内，点(2,1)A -对应的复数z ，则|1|z +=4. 若角α的终边经过点(2,2)P -，则arctan(tan )α的值为5. 若不等式||6ax <的解集为(1,)t -，则实数t 等于6. 由参数方程2csc 3cot x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，n θπ≠，n Z ∈）所表示的曲线的右焦点的坐标为7. 直角坐标系xOy 内有点(2,1)A 、(2,2)B 、(0,2)C 、(0,1)D ，将四边形ABCD 绕直线1y = 旋转一周，所得到的几何体的体积为8. A 、B 二校各推荐两篇课题放在一起进行评比，则四篇课题在排序中没有本校课题相邻 的概率为9. 已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，有12211||2AOB S a b a b ∆=-，设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为10. 设点O 在ABC ∆的内部，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，且|2|1OD OE +=u u u r u u u r，则|23|OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r11. 设函数2()1f x x x =-+，数列{}n a 的首项112a ≥，且1()n n a f a +=，*n N ∈，若数列{}n a不是单调递增数列，则1a 的取值范围是12. 给定曲线族22(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是二. 选择题13. 若椭圆C 的方程为：221x y l m+=（0l >，0m >），则l m >是曲线C 的焦点在x 轴 上的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 方程44arccosarccos()arcsin 55x --=的解有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个15. 已知实数x 、y 满足22(2)1x y +-=，ω=）A. B. [1,2] C. (0,2] D. 16. 实数a 、b 满足||1a ≤，||1a b +≤，则(1)(1)a b ++的取值范围是（ ） A. 9[0,]4 B. 9[2,]4- C. [0,2] D. [2,2]-三. 解答题17. 已知圆柱的底面圆半径为r ，上底面圆心为O ，正六边形ABCDEF 内接于下底面圆1O ，OA 与母线所成角为30°.（1）试用r 表示圆柱的表面积S ；（2）若圆柱体积为9π，求点C 到平面OEF 的距离.18. 已知向量11(,sin )22a x x =+r 和向量(1,())b f x =r ，且a r ∥b r . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，若有()3f A π-=，BC =sin 7B =，求AC 的长度.19. 业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投 入资金为A （A 为常数）元，之后每年会投入一笔研发资金，n 年后总投入资金记为()f n ，经计算发现当010n ≤≤时，()f n 近似地满足9()nAf n p q a=+⋅，其中232a -=，p 、q 为 常数，(0)f A =，已知3年后总投入资金是研发启动投入资金的3倍，问： （1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动投入资金的8倍？ （2）研发启动后第几年的投入资金最多？20. 平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2y px Γ=（0p >）的焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于B 、C 两点.（1）若l 垂直于x 轴，且线段BC 的长为1，求Γ的方程； （2）若l 的斜率为k ，求tan BOC ∠；（3）设抛物线上异于B 、C 的点A 满足||||AB AC =，若ABC ∆的重心在x 轴上，求ABC ∆的重心的坐标.21. 设函数()f x 在[1,)+∞上有定义，实数a 和b 满足1a b ≤<，若()f x 在区间(,]a b 上不存在最小值，则称()f x 在区间(,]a b 上具有性质P .（1）当2()f x x Cx =+，且()f x 在区间(1,2]上具有性质P ，求常数C 的取值范围； （2）已知(1)()1f x f x +=+（1x ≥），且当12x ≤<时，()1f x x =-，判别()f x 在区间(1,4]上是否具有性质P ；（3）若对于满足1a b ≤<的任意实数a 和b ，()f x 在区间(,]a b 上具有性质P ，且对于任意*n N ∈，当(,1)x n n ∈+时，有|()()||()(1)||()(1)|f n f x f x f n f n f n -+-+=-+，证明：当1x ≥时，(2)()f x f x >.参考答案一. 填空题1. 22. 03.4. 4π-5. 16. 7. 2π 8. 139. 20 10. 211. 112.10. 解 OA OD AD =-u u u r u u u r u u u r ，OB OE EB =+u u u r u u u r u u u r ，OC OE CE OD DC =-=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以 232()24OA OB OC OA OC OB OC OD OE ++=+++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，|23|2OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r11. 解 112a ≥；设12k a ≥，则21131()()242k k k a f a a +==-+≥ 若2112a a >≥，则32121()()2a f a f a a =>=≥，由此可证得{}n a 是单调递增数列，这矛盾，所以221111111a a a a a a ≤⇒-+≤⇒= 12. 解 以2y x =代入曲线方程得10x =，28sin cos 12sin cos 3x θθθθ++=-+令218sin cos 12sin cos 3t x x θθθθ++=-=-+，则31(82)sin (1)cos t t t θθ-=-++⇒|31|82||8t t t -≤-≤≤⇒≤，所以弦长|l t =≤二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B14. 解 444arccos arccos()2arccos 555--=-π，由于4arccos (0,)54π∈， 所以42arccos 52π-π<-，由此得到方程44arccos arccos()arcsin 55x --=无解三. 解答题 17. 解:（1）h =,---2分()22S rπ=---4分（2）39,3V r r h π==∴==Q ---6分C OEF O CEF V V --∴=, 1133OEF CEF d S h S ∆∆∴⋅=⋅, ---10分3d ∴==分18. 解:（1）由条件得0)cos 23sin 21()(21=+-x x x f ，……2分 得)3sin(2)(π+=x x f .则函数)(x f 的周期为π2，最大值为2. ．……6分（2）由3)3(=-πA f 得3sin 2=A ，即23sin =A ，．……8分 由正弦定理得BACA BC sin sin =，又7=BC ，721sin =B ，．……10分 则2sin sin =⋅=ABBC AC . ．……14分19. （1）由题意知(0)f A =，(3)3f A =．所以99314AAp q A A p q ⎧=⎪+⎪⎨=⎪⎪+⎩ 解得18p q =⎧⎨=⎩ ． 所以9(n)18n A f a =+⋅．……4分 令()8f n A =，得9818nA A a=+⋅，解得64na =，即23264n -=，所以9n =． 所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍． ……………7分 （2）由（1）知9()18nAf n a=+⋅ 第n 年的投入资金＝()(1)f n f n --1991818n n A Aa a-=-+⋅+⋅． …………9分 9972(1)72(1)188(18)(8)8(1)64n n n n n nnA a A Aa a A a a a a a a a a a a a ⋅--=-==+⋅+⋅+⋅+⋅+++≤== ……………………12分 当且仅当64nn a a a=，即2(21)31264n --=等号，此时n ＝5．所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多． ……………………14分20. 解（1）联立方程22222y pxy p p x ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩，所以BC 长||21BC p ==，从而Γ的方程为2y x =．……4分（2）设(,)B B B x y ，(,)C C C x y ，l ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0k ≠） 由2tan B B B y p BOF x y ∠==、2tan C C Cy pCOF x y ∠==-得到 2222()tan tan()2241B C C B B C B Cp py y p y y BOC BOF COF p p y y p y y --∠=∠+∠==++⋅．……8分 222222202B C B C y px p y y p y y p k p k y k x y y p ⎧=⎧+=⎪⎪⇒--=⇒⎨⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎪=-⎩⎝⎭⎩，所以22()tan 4C B B C p y y BOC y y p -∠==+……10分 （3）若l 垂直于x 轴，则由||||(0,0)AB AC A =⇒，此时重心坐标为,03p ⎛⎫⎪⎝⎭以下设l ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（0k ≠），(,)A A A x y 20A B C A B C py y y y y y k++=⇒=--=-，2222A A y p x p k == 设线段BC 中点(,)D D D x y ，则2B C D y y py k+==，22221242B C B C D x x y y p x p k ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以直线AD 的斜率2231272AD pk k k p p k k==-⇒=-，k =……14分此时(7,)A p ，从而直线AD：7)y x p ±=-与x 轴的交点(5,0)p即为ABC ∆的重心，综合有，ABC ∆的重心为,03p ⎛⎫⎪⎝⎭或者(5,0)p ．……16分21. 解（1）当(1,2]2C -∈时，2()f x x Cx =+在(1,2]上存在最小值2C f ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当22C ->时，()f x 在(1,2]上存在最小值(2)f ；当12C -≤时，()f x 在(1,2]上单调递增，所以不存在最小值，所以2C ≥-．……4分（2）因为1x ≥时，(1)()1()f x f x f x +=+>，所以()f x 在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(1,2]上取到……7分 另一方面，1,12()1,2x x f x x -<<⎧=⎨=⎩在区间(1,2]上不存在最小值，所以()f x 在区间(1,4]上具有性质P ．……10分 （3）首先证明对于任意n *∈N ，()(1)f n f n <+当(,1)x n n ∈+时，由|()()||()(1)||()(1)|f n f x f x f n f n f n -+-+=-+可知()f x 介于()f n 和(1)f n +之间，若()(1)f n f n ≥+，则()f x 在区间(,1]n n +上存在最小值(1)f n +，矛盾利用归纳法和上面结论可得：对于任意,k n *∈N ，当n k <时，()()f n f k < 其次证明当1n ≥且x n >时，()()f x f n >；当2n ≥且x n <时，()()f x f n ≤ 任取x n >，设正整数k 满足1n k x k ≤<≤+，则()()()(1)f n f k f x f k ≤≤≤≤+L ，若存在01k x k n +≥>≥使得0()()f x f n ≤，则00()()()()f x f n f k f x ≤≤≤，即0()()f k f x =，由于当(,1)x k k ∈+时，()()f k f x ≤，所以()f x 在区间0(,]k x 有最小值0()f x ， 矛盾，类似可证，当2n ≥且x n <时，()()f x f n ≤， 最后证明：当1x ≥时，(2)()f x f x >，当1x =时，(2)(1)f f >成立，当1x >时，由21x x x -=>可知， 存在n *∈N 使得2x n x <<，所以()()(2)f x f n f x <≤．……18分。
上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷(解析版)
上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的最小正周期为( )A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， ∴最小正周期T =2π2=π．故选：C ．由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x +π3)，利用三角函数的周期公式即可求值得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题．2. 二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件是( )A. 系数行列式D ≠0B. 比例式a 1a 2≠b1b 2 C. 向量(a 2a 1),(b 2b1)不平行 D. 直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行【答案】D【解析】解：当两直当两直线共面时，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解当两直线异面，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1无解，故直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行是二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件．故选：D ．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A ，B ，C 为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．3. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：( )A. 110B. 120C. 140D. 1120【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A 1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤： ①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A 33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A 66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙(包括两端的位置)中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A 72种方法．根据分步计数原理(乘法原理)，共有A 33⋅A 66⋅A 72种方法． ∴一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P =A 33⋅A 66⋅A 72A 1010=120．故选：B ．由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A 1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果． 本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．4. 对于函数f(x)，若存在区间A =[m,n]，使得{y|y =f(x),x ∈A}=A ，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A 为函数f(x)的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①f(x)=sin(π2x)；②f(x)=2x 2−1； ③f(x)=|1−2x |； ④f(x)=log 2(2x −2)．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( ) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ②③④【答案】B【解析】解：①函数f(x)=sin(π2x)的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A =[0,1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A =[−1,0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[−1,1]时，f(x)∈[−1,1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[−1,1]一个．③A=[0,1]为函数f(x)=|2x−1|的“可等域区间”，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，函数单调递增，f(0)=1−1=0，f(1)=2−1=1满足条件，∴m，n取值唯一.故满足条件．④∵f(x)=log2(2x−2)单调递增，且函数的定义域为(1,+∞)，若存在“可等域区间”，则满足{log2(2n−2)=nlog2(2m−2)=m，即{2n−2=2n2m−2=2m，∴m，n是方程2x−2x+2=0的两个根，设f(x)=2x−2x+2，f′(x)=2x ln2−2，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，∴f(x)=2x−2x+2=0不可能存在两个解，故f(x)=log2(2x−2)不存在“可等域区间”．故选：B．根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z满足z(1+i)=2(i是虚数单位)，则|z|=______．【答案】√2【解析】解：∵z(1+i)=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，则|z|=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．6.已知集合A={x||x−1|<2,x∈R}，B={x|2x≥1,x∈R}，则A∩B=______．【答案】[0,3)【解析】解：A={x||x−1|<2,x∈R}={x|−1<x<3}，B={x|2x≥1,x∈R}={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x<3}=[0,3)故答案为：[0,3)求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．7.已知f(x)=x+12x，其反函数为f−1(x)，则f−1(0)=______．【答案】−1【解析】解：f(x)=x+12x，∴f−1(x)=12x−1，∴f−1(0)=−1故答案为：−1先求出反函数，再代值计算即可．本题考查了反函数的求法及函数值的计算，属于简单题．8. 已知a ，b >0，2a =3b =m ，且a 、ab 、b 成等差数列，则m =______ 【答案】√6【解析】解：∵a ，b >0，2a =3b =m ≠1， ∴a =lgmlg2，b =lgm lg3．∵a 、ab 、b 成等差数列，∴2ab =a +b ，∴2×lgm lg2×lgm lg3=lgm lg2+lgmlg3.∴lgm =12(lg2+lg3)=12lg6=lg √6． 则m =√6．故答案为：√6．a ，b >0，2a =3b =m ≠1，利用对数换底公式化为a =lgmlg2，b =lgm lg3.根据a 、ab 、b 成等差数列，可得2ab =a +b ，代入利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数换底公式、等差数列、指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 若二项式(x +ax )6展开式的常项数为20，则a =______． 【答案】1【解析】解：二项式(x +ax )6展开式的通项公式：T r+1=∁6r x 6−r(ax)r =a r ∁6r x 6−2r ， 令6−2r =0，解得r =3．∴常项数为20=a 3∁63，则a =1． 故答案为：1．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 实数x ，y 满足不等式组{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3，那么目标函数z =2x +4y 的最小值是______．【答案】−6【解析】解：约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3对应的平面区域如下图示：当直线z =2x +4y 过(3,−3)时，Z 取得最小值−6． 故答案为：−6．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.长方体ABCD−A1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，AA1=2√2，则A、B两点之间的球面距离为______．【答案】2π3【解析】解：由AB=BC=2，AA1=2√2，得AC1=BD1=4，∴△ABO为正三角形，∠AOB=π3，∴A，B两点间的球面距离为2×π3=2π3，故答案为：2π3．利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB所对球心角，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．12.已知F1，F2分别是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则|PF1−PF2|PF1的取值范围是______．【答案】[0,2]【解析】解：|PF1−PF2|PF1=|PF1−(8−PF1)|PF1=|PF1−(8−PF1)PF1|=|2−8PF1|，因为2≤PF1≤6且函数y=2−8x在x∈[2,6]上单调递增，所以−2≤2−8PF1≤23，故|2−8PF1|∈[0,2]．故答案为：[0,2]．利用椭圆的定义，化简|PF 1−PF 2|PF 1，再利用函数的单调性，即可求出|PF 1−PF 2|PF 1的取值范围．本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．13. 已知数列{a n }中，若a 1=0，a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)，则满足a i +a 2i ≥100的i 的最小值为 ______． 【答案】128【解析】解：∵a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)， ∴a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100， 故k ≥7；故i 的最小值为27=128， 故答案为：128．由题意可得a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100，从而解得． 本题考查了数列，注意i 与2i 的关系对k 的影响即可．14. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．【答案】18+12√3【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2√3，以外接圆圆心O 为原点建立平面直角坐标系，设A(2√3,0)，B(−√3,3)． 设M(2√3cosθ,2√3sinθ)， 则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3cosθ−2√3,2√3sinθ)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−18cosθ+6√3sinθ+18=12√3sin(θ−π3)+18．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是18+12√3． 故答案为18+12√3．求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成θ的三角函数，求出最.大值 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．15. 已知函数f(x)={x 2−3tx +18,x ≤3(t −13)√x −3,x >3，记a n =f(n)(n ∈N ∗)，若{a n }是递减数列，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(53,4)【解析】解：要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t >53；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t <13． 又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)=27−9t >f(4)=(t −13)⋅√4−3，解得t <4．故t 的取值范围是(53,4)． 故答案为：(53,4)．要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t ，解得t ；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t ；又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)>f(4)，解得t.联立解得即可．本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．16. 设整数n ≥3，集合P ={1,2，…，n}，A ，B 是P 的两个非空子集.则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A,B)的个数为：______． 【答案】(n −2)⋅2n−1+1【解析】解：设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3， 则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，故A 的个数为：C k−10+C k−11+⋯+C k−1k−1=2k−1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：C n−k 1+C n−k 2+⋯+C n−k n−k =2n−k −1，从而集合对(A,B)的个数为2k−1⋅(2n−k −1)=2n−1−2k−1，∴a n =∑k =1n −1(2n−1−2k−1)=(n −1)⋅2n−1−1−2n−11−2=(n −2)⋅2n−1+1．故答案为：(n −2)⋅2n−1+1．设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，B 中必不含元素1，2，…，k ；元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中.由此能求出a n ．本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1=2，E 为棱CC 1的中点．(1)求异面直线AE 与BC 1所成角的大小； (2)求三棱锥B 1−ADE 的体积．【答案】解：(1)取BC 的中点，连接EF 、AF ， 因为EF//BC 1，所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE 与BC 1所成角， 又AE =√AC 2+CE 2=3，EF =√2，AF =√5， 所以cos∠AEF =AE 2+EF 2−AF 22×AE×EF=√22， 又0<∠AEF <π，所以异面直线AE 与BC 1所成角的大小为π4， 故答案为π4(2)取BB 1的中点H ，连接EH ，则EH//AD ，则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=13×12×1×2×2=23，故答案为：23．【解析】(1)由异面直线所成角的求法得：∠AEF(或其补角)为所求，又AE=√AC2+CE2=3，EF=√2，AF=√5，即cos∠AEF=AE2+EF2−AF22×AE×EF =√22，即异面直线AE与BC1所成角的大小为π4，(2)利用等体积法求三棱锥的体积得：则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=1 3×12×1×2×2=23，得解．本题考查了异面直线所成角的求法及利用等体积法求三棱锥的体积，属中档题．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,−1)，n⃗=(√3cosx,−12)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2．(Ⅰ)求f(x)的最大值，并求取最大值时x的取值集合；(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f(B)=1，求1tanA +1tanC的值．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ −2=(sinx+√3cosx,−32)⋅(sinx,−1)−2=sin2x+√3sinxcosx−12=1−cos2x2+√32sin2x−12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)．故f(x)max=1，此时2x−π6=2kπ+π2,k∈Z，得x=kπ+π3,k∈Z．所以取得最大值的x的集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}.(Ⅱ)由f(B)=sin(2B−π6)=1，又∵0<B<π2，∴−π6<2B−π6<56π．∴2B−π6=π2，∴B=π3．由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．∴1+1=cosA+cosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)sin2B =1sinB=√32=2√33．【解析】(Ⅰ)把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到f(x)=sin(2x−π6)，直接由2x−π6=2kπ+π2,k∈Z即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；(Ⅱ)由B为锐角，利用f(B)=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到sin2B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”.是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．19. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，其中所有奇数项之和为S n ′，所有偶数项之和为S n ″.(1)若{a n }是等差数列，项数n 为偶数，首项a 1=1，公差d =32，且S n ″−S n ′=15，求S n ；(2)若数列{a n }的首项a 1=1，满足2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)，其中实常数t ∈(35,3)，且S n ′−S n ″=52，请写出满足上述条件常数t 的两个不同的值和它们所对应的数列．【答案】解：(1)若数列{a n }项数n 为偶数，由已知，得，解得n =20，Sn =1×20+20×192×32=305．(2)在2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)中，令n =1，得a2=3(t−1)2t，∵2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)①可得2tS n −3(t −1)S n−1=2t(n ∈N ∗,n >1)② ①减去②得：a n+1a n=3(t−1)2t，且a 2a 1=3(t−1)2t，∵t ∈(35,3)， ∴0<|3(t−1)2t |<1，.(当t =1时，数列为1，0，0…，显然不合题意)所以，{a n }是首项a 1=1，公比q =3(t−1)2t的等比数列，且公比0<|q|<1，设项数n =3，，∴1−q +q2=52∴q2−q −32=0，解得q =1−√72或q =1+√72(舍)，由1−√72=3(t−1)2t解得，t =√7−2∈(35,3)，所以，当t =√7−2时，对应的数列为1，1−√72，(1−√72)2． 设数列{a n }为无穷数列， 由题意，得，S″=q1−q 2，，∴11+q =52， ∴q =−35，由3(t−1)2t=−35解得t =57∈(35,3)，∴当t =57时，对应的数列为：1，−35，(−35)2，…(−35)n−1….【解析】(1){a n }是等差数列，则S″−S′=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)…(a 2n −a 2n−1)=d +d +⋯d =d ×n2求出n ，再利用等差数列前n 项和公式计算． (2)根据S n 与a n 的固有关系a n ={sn −sn −1 n ≥2s1 n=1，得出a n+1a n=3(t−1)2t，借助于等比数列性质解决．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．20. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 为圆C ：x 2+y 2−4x +3=0的圆心．(1)求抛物线的方程与其准线方程；(2)直线l 与圆C 相切，交抛物线于A ，B 两点；①若线段AB 中点的纵坐标为4√3，求直线l 的方程；②求FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【答案】解：(1)由圆C ：x 2+y 2−4x +3=0配方可得：(x −2)2+y 2=1，可得圆心C(2,0)．∴抛物线的焦点F(2,0)． ∴p2=2，解得p =4．∴抛物线的准线方程为：x =−2．(2)设直线l 的方程为：my +t =x ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). ∵直线l 与圆C 相切， ∴√1+m 2=1，化为：(t −2)2=m 2+1≥1．∴t ≥3，或t ≤1．联立{y 2=8x my+t=x，化为：y 2−8my −8t =0，△=64m 2+32t >0.∴t >−2m 2． ∴t ≥3，或−2m 2<t ≤1． ∴y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8t ． ①∵线段AB 中点的纵坐标为4√3， ∴4m =4√3， ∴m =√3，∴(t −2)2=m 2+1=4， 解得t =0或t =4，故直线l 的方程为x −√3y =0或x −√3y −4=0②FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m(t −2)(y 1+y 2)+(t −2)2=−8t(m 2+1)+8m 2(t −2)+(t −2)2=−8t(t −2)2+8[(t −2)2−1](t −2)+(t −2)2=−15t 2+52t −44，=−15(t −2615)2+1615∈(−∞,−7]． ∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(−∞,−7]．【解析】(1)由圆C：x2+y2−4x+3=0配方可得：(x−2)2+y2=1，可得圆心C(2,0).可得抛物线的焦点F(2,0).因此p2=2，解得p，即可得出．(2)设直线l的方程为：my+t=x，A(x1,y1)，B(x2,y2).由直线l与圆C相切，可得：(t−2)2=m2+1≥1.t≥3，或t≤1.联立，化为：y2−8my−8t=0，△>0.进而得到t≥3，或−2m2<t≤，根与系数的关系可得y1+y2=8m，y1y2=−8t，①根据中点坐标公式即可求出m的值，可得直线方程，②利用数量积运算性质，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与抛物线相交问题、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域 D上是“k−利普希兹条件函数”．(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(2)判断函数f(x)=log2x是否是“2−利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1−利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f(x1)−f(x2)|≤1．【答案】解：(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，不妨设x1>x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立．∵1≤x2<x1≤4，∴14<√x+√x<12，∴k的最小值为12．(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞)，令x1=12，x2=14，则f(12)−f(14)=log212−log214=−1−(−2)=1，而2|x1−x2|=12，∴f(x1)−f(x2)>2|x1−x2|，∴函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”．证明：(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0,2]内f(a)=M，f(b)=m，则|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b)≤|a−b|．若|a−b|≤1，显然有|f(x1)−f(x2)|≤|a−b|≤1．若|a−b|>1，不妨设a>b，则0<b+2−a<1，∴|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b+2)≤|a−b−2|<1．综上，|f(x1)−f(x2)|≤1．【解析】(1)根据新函数的定义求出k关于x1，x2的不等式，根据x1，x2的范围即可得出k的最小值；(2)令x1=12，x2=14即可举出反例，得出结论；(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期内f(a)=M，f(b)=m，根据|a−b|与1的大小关系和“1−利普希兹条件函数”的性质得出结论．本题考查了抽象函数的性质与应用，属于中档题．。
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2016学年七宝中学高三第二学期综合测试卷
2017.4
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 若集合{}{}
|1,|2
1x
A
x x B x =
<=>，则A
B =
.
2. 若a 为实数，则()12a
i i i
a ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
，则1a i +
=
.
3.函数()12c o s sin 2
x f x x
=
的最小正周期为 .
4.将满足230
1x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥-⎩
的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的主观图面积
为 . 5．多项式()7
111x x ⎛
⎫+
+ ⎪⎝⎭
的展开式中，2x 项的系数为 .
6.已知等差数列{}n a 满足423a a a =+，则lim
n n n
n a S →∞
=
.
7.A 盒中有3张足球票和3张篮球票，B 盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A 中任意抽取一张票，乙从B 盒中任取抽取一张票，则两人至少抽到一张足球票的概率为 . 8.方程9310
x
x
m m +⋅+-=有唯一解，则实数m 的取值范围是 .
9.记椭圆的左右焦点分别为12,F F ，斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点()21,0F ，且与椭圆在第一象限交于点P ，1215
P F F ∠=则椭圆的长轴长为 .
10.若函数()()
1f x x a x x R =-+∈存在反函数，则a 的取值范围是 .
11.已知函数()()2
2,f x x g x x a x =
=-，对于不相等的实数12,x x ，设
()()
()()
1212
12
12
,f
x f
x g x g x m n x x x x -
-=
=
--，都有现有如下命题：①对于不相等的实数
12
,x x ，都有0
m
>；②对于任意实数a 及不相等的实数12,x x ，都有0
n
>；③对
于任意实数a 及不相等的实数12,x x ，都有m n
=；④存在实数a ，锐任意不相等的
实数12,x x ，都有m
n
=，其中所有的真命题是 .
12.在A B C ∆中，内角A B C
<<，记{}
,m in ,,a a b a b b a b
≤⎧=⎨
>⎩，则s in s in m in ,
s in s in B
C A B ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
的
取值范围为 .
二、选择题：
13.已知两条直线12:10,:
10l m x y l y +-=-+=“m =
是“直线1l 与直线2
l 的夹角为60”的
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.函数()2
a x c f x x b
+=+的图象如图所示，则下列结论成
立的是
A. 0,0,0a b c ><<
B. 0,0,0a b c >><
C. 0,0,0a b c <>>
D. 0,0,0a b c ><>
15．在平面直角坐标系xo y 中，两个非零向量,O A O B 与x 轴正半轴的夹角分别为6
π
和
23
π，
向量O C 满足320O A O B O C ++=，则O C 与x 轴正半轴夹角的取值范围是
A. 0,
3π⎛
⎫
⎪⎝⎭
B. 5,
3
6ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ C. 2,2
3ππ⎛⎫
⎪
⎝⎭ D.25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
16．已知函数()3lo g ,03
2s in ,3182x x f x x x π⎧<<⎪
=⎨
⎛⎫
<≤
⎪⎪⎝⎭
⎩
，集合(){}|,A x f x k n N ==∈，若不相等
的实数,a b A ∈且都有a b Z +∈，则满足条件的,a b （不考虑,a b 的顺序）的组数为 A. 36 B. 58 C. 62 D. 74
三、解答题：
17.（本题满分14分）
某小区打造休闲场地，将一块直角三角形空地ABC 用一条长为16m 的道路MN 分成两部分（点M 在边AB 上）.分别种植花卉和铺设草坪，其中花卉面积为1S ，草坪面积为2S ，且1
2
S S ≤，已知32,24,90
A B
m A C m A ==∠=，求1S 的最大值（本
题中道路都指线段）.
18.（本题满分14分）
如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱111A B C
A B C -，三棱柱的高度为
3，
矩形的对角线和三棱柱的侧棱11,B B C C 的交点记为E,F.
（1）求三棱柱111A B C
A B C -的体积；
（2）求三棱柱中异面直线A E 与1A F 所成角的大小.
19.（本题满分14分）函数()f x 对任意的x R
∈满
足:()()()(),2f x f
x f x f
x -=
-+=
，当()0,1x ∈时，()2
.1
x f x x =+
（1）求出函数在R 上零点； （2）求满足不等式()()sin co s f f
θθ>-的实数θ的范围.
20.（本题满分16分） 已知双曲线
()
222
2
10,0x y a b a
b
-
=>>的左右顶点分别为(),,2,0A B A -.直线:1
l x
=
和两条渐近线交于点,E F ，点E 在第一象限且E F =，P 是双曲线上的任意一
点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）是否存在点P 使得O E P ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的个数； （3）直线,P A P B 与直线l 分别交于点,M N
，证明：以M N 为直径的圆必过定点.
21.（本题满分16分）
已知n 位数满足下列条件：①各个数字只能从集合{}1,2,3,4中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含2.将这样的n 位数的个数记为.n a （1）求23,a a ；
（2）探究1n a +与n a 之间的关系，求出数列{}n a 的通项公式；
（3）对于每个正整数k ，在1a 与1k a +之间插入12k -个1
3得到一个新数列{}n b ，设n
S 是数列{}n b 的前n 项和，试探究2017
n S =能否成立？写出你探究得到的结论并给
出证明.。