上海市七宝中学2020-2021学年第一学期高三数学期中试题(含答案)
2020-2021上海七宝实验中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)
2020-2021上海七宝实验中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.56．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,47．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3328．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c a b >>10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 15．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 16．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.17．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．18．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．19．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 23．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.24．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.25．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．26．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．D解析：D【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y xx =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．10．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．15．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.16．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或13【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．17．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没 解析：{|2m m >或2}3m <-【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值， 则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.19．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】【分析】先由()()43f f x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】由题意，得()()()()()243f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-， 即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3. 【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式.【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．·（3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )， ()1111x f x x x -∴=-+=++ 【点睛】 本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式.22．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）19t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π=即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤<即实数t 的取值范围是19t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.23．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.24．(1) 1a = (2) [)4,+∞【解析】【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解.【详解】（1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0=，解得1a =.（2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< . 因为奇函数())22log log f x x ==，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭， 因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-， 因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 25．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>Q()()32793x x x xf k f ∴⋅>--+ ()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>- ∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．26．（1）B∩A=[1，4），B∩(∁U A)= [-4,1)∪[4,5)；（2）1 [,) 2.【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁U A={x|x＜1或x≥4}，∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），B∩(∁U A)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A∪B=A⇔B⊆A，①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,②B≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.。
2021届上海市闵行区七宝中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f-=_________.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D. M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6 三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.（1）求ab的值； （2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积.19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（1）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>；21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2n n b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时， 有n m m ka a a a n m m k--≥--； （3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a nn++≤-+.2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________. 【解析】{}()()12,13,A x x =->=-∞-+∞，所以[]1,3U C A =-.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f -=_________.【解析】令2()(4)45(5)f x x x =-+=≥，解得5x =，所以1(5)5f-=.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.【解析】()214732lim n n n →∞++++-=2(132)32lim 2n x n n →∞+-=. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________. 【解析】由等差数列的性质，得()5191122a a a =+=-.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意得22m ≥，所以1m ≥.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.【解析】令2,2a θb θ==，则[]222sin 2,24a b ⎛⎫+==+∈- ⎪⎝⎭πθθθ.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】令()2sin sin 20f x x x =-=，得2sin 2sin cos 0x x x -=，即sin (1cos )0x x -=， 故当[)0,x ∈+∞时，零点分别为0,,2,3,πππ，所以23πa π≤<.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.【解析】由lg()lg lg y x y x -=-得00y x x y y x x ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪-=⎩，所以2(1)x y x -=，显然1x ≠，所以201x y x =>-，故1x >， 所以22[(1)1]1124111x x y x x x x -+===-++≥---，当且仅当2x =时取等号， 故以x 为自变量的函数y 的最小值是4.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________.【解析】作出(),()f x g x 的图像，如图所示，则()x f x a b =-过点(1,0)-，所以10a b --=，即1ab =，因为0a >，所以0b >，所以1444b a b b+=+≥，当且仅当1,22a b ==时取等号，故14a b+的最小值为4. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_______. 【解析】因为()f x 恰有4个零点，所以160,1,2,36k ππωx k πx k ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=⇒=⇒=，所以1134662πx πωω⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<，即19251212ω≤<，①()0f x A =即0262ππωx k π-=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确；②当0x =时，66ππωx -=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912ω≤，又19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确； ③11()sin 262πf x A ωx ⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，而2[3,4)6ππωππ-∈，所以6πωx -可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确， 综上，真命题的序号是①②③.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.【解析】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2[,2],1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[2,],1,sin 22a a a a ππM M a ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， ⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[,3],1,12a a a a ππM M ∈==由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，所以1,0,2cos 4sin ,,421,,sin 215,,sin 2451,,4πa a ππa a πk a πaπa πaπa ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪∈+∞⎢⎥⎪⎣⎦⎩，作出图像，得实数k 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =⋅，则a的值为_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M M =，得sin 2a a =，所以cos 4a =，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得sin a =③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M M =，得1a =，所以sin 2a =，34πa =； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得12a =，所以sin 2a =98πa =；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[][]0,,2a a a M M =，得无解，综上，34πa =或98πa =.【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为 .【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2sin 2a a ≥，所以1cos 4a ≤，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2a ≥，无解；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin a ≥，所以1sin 2a ≤，5,6πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin 2a ≥，所以1sin 22a ≤，13,12πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[0,][,2]2a a a M M ≥，得无解，综上，513,612ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故a 的最大值为1312π. 二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ D ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D.M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.法一：假设0a b c d <<<<是{}n a 中大于0的最大的4项，对于,,b c d 来说， 因为,b d d c d d +>+>，所以b d +和c d +都不是{}n a 中的项， 又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以b c +是{}n a 中的项，且b c c +>，所以b c d +=，对于,,a c d 来说，因为,a d d c d d +>+>，所以a d +和c d +都不是{}n a中的项，又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以a c +是{}n a 中的项，且a c c +>，所以a c d +=， 所以a d =，矛盾，所以{}n a 中大于0的最多有3项，同理，{}n a 中小于0的最多有3项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.法二：假设存在三项1,,m N N a a a -为正，则1,N N m N a a a a -++都不是{}n a 中的项， 所以1m N a a -+是{}n a 中的项，且11m N N a a a --+>， 所以1m N N a a a -=-，所以数列{}n a 中最多有3个正项，同理数列{}n a 中最多有3个负项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.【解析】（1）连接111,AD B D ，则11AD BC ∥， 所以11B AD ∠即为所求角，或其补角，1AB ==，13AD ==，11B D ==在11B AD ∆中，由余弦定理得22211111111cos 22AB AD B D B AD AB AD +-∠==，所以114πB AD ∠=，即异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为4π； （2）1111322ABD S AB AD ∆=⨯==，11222ABC S AB BC ∆=⨯==，1DD =， 设点C 到平面1ABD 的距离为h ，由等体积法，得11C ABD D ABC V V --=，即111133ABD ABC S S h DD ∆∆⨯=⨯，所以h =所以点C 到平面1ABD 18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.B 1D 1A 1D C 1CBA（1）求ab的值； （2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积. 【解析】（1）由已知及正弦定理得sin (cos 2cos )(2sin sin )cos C B A A B C -=-，得sin()2sin()B C A C +=+，因为A B C π++=，所以sin 2sin A B =，由正弦定理得2ab=； （2）因为3cos ,2,24aC c b===，由余弦定理得222324a b c ab +-=，即222(2)4344b b b +-=，解得b =，所以2a b ==sin C ==所以11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=.20. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（3）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（4）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.【解析】（1）当4x >时，23p =，所以123015033y x x =⋅⋅-⋅⋅=， 当04x <≤时，16p x=-， 所以21115(921301566)6x x y x x x x x -⎛⎫=-⋅⋅-⋅⋅= ⎪---⎝⎭， 所以()21592,04(6)0,4x x x y x x ⎧-⎪<≤=⎨-⎪>⎩；（2）当04x <≤时，22)15(96x x y x-=-，令[)62,6t x =-∈，则()215962(6)1815(152)t t y t tt⎡⎤---⎣⎦==--，所以15(1545y ≤-=万元， 当且仅当182t t=，即3,3t x ==时取等号，所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>； 【解析】（1）由题意得22921,2c a b-==，又222c a b =+，解得223,1a b ==， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=； （2）法一：设()()1122,,,,(0,)A x y B x y P t ，由PA mAF =得11211m x mt y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又点A 在双曲线上，所以2221131m t m m ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭，整理得226330m m t ---=， 同理，由PB nBF =，得226330n n t ---=，因为,A B 两点不重合，所以m n ≠，所以,m n 是方程226330x x t ---=的两根，所以6m n +=，为定值；法二：设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线:(2)l y k x =-，所以(0,2)P k -，由2213(2)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)121230k x k x k --++=，所以2212122212123,3131k k x x x x k k ++==--，由PA mAF =，PB nBF =得1122(2),(2)x m x x n x =-=-，所以1212211212(2)(2)22(2)(2)x x x x x x m n x x x x -+-+=+=---- 22121222212122()2242(123)6642()4(31)241231x x x x k x x x x k k k +--+-====-++--++-， 所以6m n +=，为定值；（3）在（2）法二的基础上，得(0,2)Q k ，1212122QAB QPB QPA S S S PQ x x k x x ∆∆∆=-=⨯-=-， 所以()()222221212124()44QABS k x x k x x x x ∆⎡⎤=-=+-⎣⎦()22242222222212123144(4812)(31)444313131k k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+-+-=⎢-⎥= ⎪--⎢⎥⎝⎭-⎣⎦()()222222221212(1)4483131k k k kkk++==--，因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++==--＞＞， 所以2310t k =-＞， 所以()()2222222111(1)48(1)(4)334848931QABt t k k t t S t t k ∆++⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===-22224854484519215139998t t t t t t ++⎛⎫⎛⎫==++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0t ＞，所以10t＞，所以()222192151925163398983QABS t ∆⎛⎫⎛⎫=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， 所以232.31310QAB S ∆>≈>，证毕. 21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2nn b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时，有n m m ka a a a n m m k--≥--；（3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a n n++≤-+. 【解析】（1）因为222212(2)(2)2(1)2(1)n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+20=-＜，所以数列2n a n n =-+不为“凸数列”，因为+21233339221322224nn n nn n n b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13042n⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，所以数列3()2n n b =为“凸数列”；（2）由题意得112(2,3,)k k k a a a k -++≥=，所以11k k k k a a a a +--≥-，而()()()()11211()n m n n n n m m m m a a a a a a a a n m a a ---++-=-++++-≥--，所以1mm m n a a a a n m+-≥--，又()()()()11211()k m k m m m m k m m a a a a a a a a m k a a ---+--=-++++-≤--，所以1m km m a a a a m k --≤--，故n m m k a a a a n m m k--≥--，证毕；（3）①当1i =时，111(1)i n ii a a a nn ++≤-+即21111(1)n a a a n n+≤-+， 由（2）得()1221(1)n a a n a a +-≥--，所以211(1)n na n a a +≤-+，故21111(1)n a a a n n+≤-+，成立； ②当i n =时，111(1)i n i ia a a nn++≤-+即11n n a a ++≤，显然成立， ③当1i n ＜＜时，由（2）得1111n i i a a a a n i i+++--≥-，所以1111()()n i i ia ia n i a n i a +++-≥---，所以111()i n na ia n i a ++≤+-，故111(1)i n i ia a a n n++≤-+成立， 综上所述，对1i n ≤≤，有111(1)i n i ia a a n n++≤-+.。
上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)参考答案
上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一. 填空题1. (,3][1,0)-∞--2. 79-3. 24. 3log 1x +（1(0,)3x ∈） 5. 312n n a n n =⎧=⎨≥⎩6. 507. 10108.9. 110. 1}-11. (3--- 12.1288二. 选择题13. B 14. C 15. C 16. B 三.解答题17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值. 【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==，设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩，设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为122m n m n⋅==⨯⋅，所以二面角1B EC C --=【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18．在ABC ∆在在在在A在B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ，1）求角B 的大小；，2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3πⅠ(Ⅰ)b =【解析】分析：ⅠⅠⅠ由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB=，则B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理可得b Ⅰ结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：ⅠⅠ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =Ⅰ 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ⅰ即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2Ⅰc =3ⅠB =π3Ⅰ 有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c，故cosA =Ⅰ因此22sin A sinAcosA ==Ⅰ212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.【答案】（1）不符合，原因见解析（2）a 的取值集合为{}910911912，， 【解析】【分析】（1）根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立；判断单调性及最值，即可求解； （2）由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和()5xf x ≤，即可求解参数范围，由a 为正整数，即可确定取值集合. 【详解】（1）设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的基本要求，函数()y f x =满足:当[10,1000]x ∈时，①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5x f x ≤恒成立.对于函数模型11005x y =-.当[10,1000]x ∈时，11005x y =-是增函数，max1000149()(1000)910055f x f ==-=>所以()9f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，当10100x ≤≤时，()f x 在定义域[10,100]上是增函数，且()9f x ≤恒成立；当1001000x <≤时，10100()101010x a a f x x x ---==+++，只有1000410005110a a --<⎧⎪-⎨≤⎪⎩时，()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；要使()9f x ≤在[10,1000]x ∈恒成立，(1000)9f ≤，即100041000[100,912]5110(1000)9a aa f --<⎧⎪-⎪≤⇒∈⎨⎪≤⎪⎩；要使()5x f x ≤恒成立对[10,1000]x ∈恒成立，即11010010055101001000105x xx x a x x x ⎧-<≤≤⎪⎪⎨-⎪<<≤⎪+⎩，即24050x x a -+≥恒成立，所以910a ≥； 综上所述，910a ≥，所以满足条件的正整数a 的取值集合为{}910911912，，【点睛】本题结合实际问题，考查了（1）函数的单调性，最值和恒成立问题；（2）由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、， （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM BN ⋅的取值范围；（3）设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.【答案】（1）22163x y+= （2）(2,3] （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和(2,1)A 代入椭圆方程可求得a 和c ，进而求得b ，方程可得；（2）由题意显然直线l 方程为()3y k x =-，联立直线与椭圆的方程22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222212121860k xk x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴>0∆，可得11k -<<，再用坐标表示出BM BN ⋅，即可求取值范围. （3）由（2）用坐标表示出AM AN k k +化简即可.【详解】（1）由题意得22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a =b =∴椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()3y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=.∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， ∴()()()42221444121862410k kkk ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则21221212k x x k+=+，212218612k x x k -=+， 又()113y k x =-，()223y k x =-，()()121233BM BN x x y y =--+⋅()()21212139k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦ ()2223333122212k k k +==+++， ∵11k -<<，∴()233232212k <+≤+， ∴BM BN ⋅的范围为(]2,3. （3）由（2）得121211=22AMAN y y k k x x --++--()()()()()()122112312312=22kx k x kx k x x x ---+-----()()()12121212251124=24kx x k x x k x x x x -++++-++()()()()()2222222186511212412=18624412k k k k k k k k k --+⋅+++--++2244=22k k -+- 2=-所以AM AN k k +为定值，=2AM AN k k +- 【点睛】本题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.21．已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数.（1）数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令1()n n n b a a n N *+=-∈，若11b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠. 【答案】（1）1（2）n b ()1210n ka a -=-≠（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意知1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-()2n ≥，得()()112n n n n a a k a n a --=-≥-，再由等差数列，即可求解k 值；（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，因此()()()1111n n n n n n n n b a a f a f a k a a kb +---=-=-=-=，由此可知，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.（3）先进行充分性证明：若()(1)f x kx k =≠则{}n a 数列是等比数列；再进行必要性证明：若{}n a 数列是等比数列，则()(1)f x kx k =≠.【详解】（1）由已知()1n n a f a -=，()()()()112,3,4,n n n n f a f a k a a n ---=-=⋅⋅⋅， 得()()()()1112,3,4,n n n n n n a a f a f a k a a n +---=-=-=⋅⋅⋅， 由数列{}n a 是等差数列，得()112,3,4,n n n n a a a n a +-=-=-⋅⋅⋅， 所以，()11n n n n a a k a a ---=-，()2,3,4,n =⋅⋅⋅，得1k =.（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，且当2n >时，()()()111n n n n n n n b a a f a f a k a a +--=-=-=-()1210n k a a -==-≠，所以，当2n ≥时，()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n f a f a k a a b a a k b a a a a a a --+-------====---，因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. 故通项公式为()1210n n b ka a -=-≠（3）{}n a 是等比数列的充要条件是()()1f x kx k =≠，充分性证明:若()()1f x kx k =≠，则由已知10a a =≠，()()12,3,4,n n a f a n -==⋅⋅⋅ 得()12,3,4,n n n a ka -==⋅⋅⋅，所以，{}n a 是等比数列. 必要性证明:若{}n a 是等比数列，由（2）知，()()1*21n n b ka a n N-=-∈，()()()12121211n n n b b b a a a a a a --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()12n a a n =-≥，()1121n n a a b b b -=+++⋅⋅⋅+.当1k =时，()()()12112n a a a a n n =+--≥.上式对1n =也成立， 所以，数列{}n a 的通项公式为:()()()()*1n a a f a an n N =+--∈.所以，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首项，()f a a -为公差的等差数列. 所以，1k ≠.当1k ≠时，()()1121121n n k a a a a n k--=+-≥-. 上式对1n =也成立，所以，()11()1n n k a a f a a k --=+--1()(())11n f a a f a a k a k k---=+---. 所以，()0()1f a aa f a ka k-+=⇒=-.Ⅰ，等式()(1)f x kx k =≠对于任意实数a 均成立.所以()(1)f x kx k =≠.【点睛】本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.。
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2022-2023年上海市七宝中学高三上学期期中数学试卷及答案
2022-2023 年七宝中学高三上期中一、填空题1.函数()3cos 21f x x =+最小值为_______________.2.函数()f x =_______________. 3.若{}222A y y x x ==−+，且a A ∈，则12a +的取值范围是______. 4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为________5.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52−，则实数a 的值为________.6.函数lgsin y x =的单调递增区间是___________7.函数()cos f x x ω=()0,Z x ω>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为 __．8.设()cos 2cx f x ax bx =++（x R ∈），,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x （*n ∈N ），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组a 、b 、c 的值__________．（答案不唯一，一组即可）9.已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点均在双曲线Γ：2221x y a−=（a ＞0）的右支上，若1212x x y y >恒成立，则实数a 的取值范围为 __．10.已知函数f (x )=-x 2+x +m +2，若关于x 的不等式f (x )≥|x |的解集中有且仅有1个整数，则实数m 的取值范围为____________ .11.已知数列{}n a 满足2*11()n n n a a a n N +=−+∈，设12111n n S a a a =++，且10910231a S a −=−，则数列{}n a 的首项1a 的值为______．12.若对任意(1,)x ∈+∞，不等式1(ln 1)ln x x a x e x a−+−>恒成立，则a 范围__________． 二、选择题13.已知数据1x ,2x ,3x ，n x ⋅⋅⋅是上海普通职n (3n ≥，n N *∈)个人年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确（ ）A .年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变14.将函数sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x 轴向右平移6π个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（） A .,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C . 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D .,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭15.双曲线2213x y −=绕坐标原点O 逆时针旋转α后可以成为函数()f x 的图像,则α的角度可以为（ ）A .30°B .45°C .60°D .90°16.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=−，()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨−−<⎪⎩，则方程()()0g x g x −−=实数根的个数为（）A .2024B .2025C .2026D .2027三、解答题17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的封闭图形.（1）设1BC =，2AB =，求这个几何体的表面积；（2）设G 是弧DF 的中点，设P 是弧CE 上的一点，且AP BE ⊥.求异面直线AG 与BP 所成角的大小.18. 了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间[)1000,1500内的概率；（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；19.设函数()()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为4π，且()f x 为偶函数.（1）求ω和ϕ的值；（2）在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，若()2cos cos −=a c B b C ，求()()22fA f C +的取值范围. 20.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n na b 表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？21.令()()(){}()()()()()()(),max ,R ,f x f x g x H x f x g x x g x f x g x ⎧≥⎪==∈⎨<⎪⎩. （1）若()212f x x =−，()22g x x x =−，试写出()H x 的解析式并求()H x 的最小值； （2）已知()f x 是严格增函数，()g x 是周期函数，()h x 是严格减函数，x ∈R ，求证：()()(){}max ,G x H x h x =是严格增函数的充要条件：对任意的x ∈R ，()()f x g x ≥，()()f x h x ≥.参考答案一、填空题1.2−2. (]3,1−3. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦4. 185. 12−6. π2π,2π2k k k Z7. 29π或29π8.1,0,1a b c ===9. [)1,+∞10. [)2,1−−11.3212.[)1,+∞二、选择题13.B 14. D 15. C 16. D三、解答题17.（1）42π+（2）6π18.（1）0.1（2）平均数为2400，中位数为240019.（1）1,22πωϕ== （2）5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦20.（1）4540001,1600154n n n n a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯−=⨯−⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）至少经过5年21.（1）()22212,3112,132,1x x x H x x x x x x ⎧−<−⎪⎪⎪=−−≤≤⎨⎪−>⎪⎪⎩，()H x 的最小值为1−（2）证明略。
七宝中学高三上期中数学试卷2
一. 填空题
1.集合 【答案】 【解析】 【分析】
的真子集有________个
直接写出集合 A 的真子集即得解.
【详解】集合 A 的真子集有 ，{0}，{1}，{2018}，{0,1}，{0,2018}，{1,2018}，所以集合 A 的真子集个数
为 7,故答案为：7
【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
所以 a＜3x-1 或 a＞x+1 在[0,1]上恒成立，
所以 a<-1 或 a>2,因为 a>0,
综合得 a>2.
故答案为：a>2
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
10.已知常数 ，函数 【答案】
的图像经过点 、
，若
，则 ________
二. 选择题
13.“函数
存在反函数”是“函数 在 上为增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
函数
存在反函数，至少还有可能函数 在 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
视频
14.若函数 的反函数为 ，则函数 与
2.设全集 ，
，
，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）
【答案】 【解析】 【分析】 先化简集合 M 和 N，再求 M∩N,再求
即得阴影部分所表示的集合.
【详解】由题得 M={x|x>2 或 x<-2}，N={x|x≥0}，所以 M∩N={x|x＞2}，
所以
上海市闵行区七宝中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题(含解析)
1+ 4 + 7 + + (3n − 2)
3. lim n→
n2
= _________.
4.已知数列an 为等差数列，且 a1 = 1, a9 = −25 ，则 a5 = _________.
5.设函数 f (x) = x2 − 4mx +1在 (−, 2 上是减函数，则实数的取值范围是_________.
与日产量
x
（万枚）间的关系为：
p
=
6
1 −
x 2 3
,0 ,x
x 4,
4,
，已知每生产
1
枚合格芯片供应商
可盈利 30 元，每出现1件次品亏损15 元.
（1）将日盈利额 y （万元）表示为日常量 x （万枚）的函数； 次品数
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率 = 产品总数 100% ）.
A. x2 x + 6 与 x2 x + 6 x +1 x +1
C. (x + 2)(x −1) 0 与 x + 2 0 x −1
B.
(x
−
2x)(x x2
+1)
0
与
(x
−
2)(x
+1)
0
D.
x−3 x2 − x +1
2x x2 −
+1 与 x +1
x−3
2x
+1
14.若数列an 的前 n 项和为 Sn ，则“an 是递增数列”是“Sn 为递增数列”的（ ）
6 结论中：① f (x0 ) f (x) 恒成立，则 x0 的值有且仅有 2 个；②存在 0 ，使得 f (x) 在
2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知集合A={x|log 2x≥0}，B={x|2x -4＞0}，则A∩ B =___ ．2.（填空题，3分）若1，a ，2x ，b ，25成等比数列，则实数x 的值是 ___ ．3.（填空题，3分）已知函数 f (x )={x 2−ax ，−2022≤x ≤0bx 2+cx ，0≤x ≤d 是奇函数，则实数a+b+c+d=___ ．4.（填空题，3分）将函数y=sin2x 的图像向左平行移动 π6 个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的 12 （纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是 ___ ．5.（填空题，3分）已知等差数列{a n }的前和为S n ，若a 1=2，S 5=S 12，且S m =0，则m=___ ．6.（填空题，3分）关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2），则函数 f (x )=log 2nx−pnx−m 的定义域是 ___ ．7.（填空题，3分）函数y=f （x ）图像C 如图所示，若C 上存在n （n∈N *，n≥2）个点（x i ，y i ）（i=1，2，⋯，n ）满足f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯=f (x n )x n，则n 的取值集合是 ___ ．8.（填空题，3分）已知△ABC 中的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+2b=3，a 2≤bc ，且 √3 cosA （bcosA+acosB ）-csinA=0．则△ABC 的面积是 ___ ．9.（填空题，3分）已知函数f （x ）=sinωx+acosωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则使函数f （x ）在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω取值范围是 ___ ．10.（填空题，3分）已知函数f （x ）= {e (x+1)2，x ≤0x +4x−3，x ＞0，函数y=f （x ）-a 有四个不同零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为 ___ ．11.（填空题，3分）设ave{a ，b ，c}表示实数a ，b ，c 的平均数，max{a ，b ，c}表示实数a ，b ，c 的最大值．设A=ave{- 12 x+2，x ， 12 x+1}，M=max{- 12 x+2，x ， 12 x+1}，若M=3|A-1|，则x 的取值范围是___ ．12.（填空题，3分）数列{a n}中，a n表示与√n最接近的整数，则满足1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20的正整数n的最小取值为 ___ ．13.（单选题，3分）地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3疏散乘客时间（s）120 140 190 160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.m1B.m2C.m3D.m414.（单选题，3分）若正实数a，b，c满足3−a=log0.4b=c23=14，则（）A.c a＞b aB.logc a＜logb aC.log a b＞log b cD.c a-1＜b c-115.（单选题，3分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A.小寒比大寒的晷长长一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.小雪的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长长16.（单选题，3分）已知a、b、c是三角形的三边，对于f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b，有下列说法：① f（a，b，c）有最小值3；② f（a，b，c）有最大值是3．（）2A. ① 对，② 错B. ① 错，② 对C. ① ② 都对D. ① ② 都错17.（问答题，14分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周|OA|=3．P0为圆周上一点，且∠AOP0= π6上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．（1）求t秒钟后，点P到直线l的距离用y=f（t）（t≥0）的解析式；（2）当|P0P|=2 √3时，求t的值．18.（问答题，14分）如图，四棱锥P-ABCD在底面是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，AB=3，AD=4．（1）求证：MN || 平面PAD；（2）若直线MN与平面ABCD所成的角为45°，求直线MN与平面PAC所成的角的大小．19.（问答题，14分）某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元．食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．20.（问答题，16分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于该椭圆的另一个焦点F2上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1、PF2的夹角相等．已知BC⊥F1F2，垂足为F1，|F1B|=3m，|F1F2|=4cm，以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．① 是否存在m，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；② 若∠F1PF2的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，请问kk2+kk1是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知函数f（x）=|2x+4|+|x-2|．（1）解不等式f（x）＞7；（2）设函数f（x）的最小值为M，若正实数a，b，c满足a+2b+3c=M，求3a +2b+1c的最小值；（3）若数列{a n}满足a1=a（a≤-2或a≥0，a为常数），3a n+1=f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的前项和S n．2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知集合A={x|log2x≥0}，B={x|2x-4＞0}，则A∩ B =___ ．【正确答案】：[1]{x|1≤x≤2}【解析】：求出集合A，B，从而求出B，由此能求出A∩ B．【解答】：解：∵集合A={x|log2x≥0}={x|x≥1}，B={x|2x-4＞0}={x|x＞2}，∴ B={x|x≤2}，∴A∩ B={x|1≤x≤2}．故答案为：{x|1≤x≤2}．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，3分）若1，a，2x，b，25成等比数列，则实数x的值是 ___ ．【正确答案】：[1]log25【解析】：根据题意可得（2x）2=1×25=25，从而即可求出x的值．【解答】：解：∵1，a，2x，b，25成等比数列，∴（2x）2=1×25=25，又2x＞0，则2x=5，∴x=log25．故答案为：log25．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算求解能力，属于基础题．3.（填空题，3分）已知函数f(x)={x2−ax，−2022≤x≤0bx2+cx，0≤x≤d是奇函数，则实数a+b+c+d=___ ．【正确答案】：[1]2021【解析】：由奇函数的定义和定义域关于原点对称，结合分段函数的解析式，可得a，b，c，d，可得所求和．【解答】：解：函数f(x)={x2−ax，−2022≤x≤0bx2+cx，0≤x≤d是奇函数，可得定义域关于原点对称，则d=2022，由-2022≤x≤0，f（x）=x2-ax，设0≤x≤2022，则-2022≤-x≤0，f（-x）=x2+ax，由f（x）为奇函数，可得f（x）=-f（-x）=-x2-ax，即有当0≤x≤2022时，f（x）=-x2-ax，又当0≤x≤2022时，f（x）=bx2+cx，所以b=-1，c=-a，则a+b+c+d=a-1-a+2022=2021，故答案为：2021．【点评】：本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于基础题．4.（填空题，3分）将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是 ___ ．【正确答案】：[1]y=sin（4x+ π3）【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得出结论．【解答】：解：将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，得到y=sin（2x+ π3）的图像，再把所得图像上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式为y=sin（4x+ π3），故答案为：y=sin（4x+ π3）．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换规律，属于基础题．5.（填空题，3分）已知等差数列{a n}的前和为S n，若a1=2，S5=S12，且S m=0，则m=___ ．【正确答案】：[1]17【解析】：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5=S 12可得5a 1+10d=12a 1+66d ，即a 1+8d=0，结合a 1=2即可求出d=- 14 ，进一步利用S m =2m+ m (m−1)2 ×（- 14 ）=- 18m 2+ 178 m=0求出m 的值即可．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5=S 12，得5a 1+10d=12a 1+66d ，即a 1+8d=0， 又a 1=2，所以d=- 14 ， 所以S m =2m+m (m−1)2 ×（- 14 ）=- 18m 2+ 178 m ， 令S m =0，得m 2-17m=0，解得m=17，或m=0（舍去）． 故答案为：17．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．6.（填空题，3分）关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2），则函数 f (x )=log 2nx−pnx−m 的定义域是 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，-2）∪（1，+∞）【解析】：根据不等式的性质求出 n m =1， n p =- 12 ，代入f （x ），结合对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2）， 所以m ＜0，并且-1，2是mx 2-nx+p=0的两个根，由韦达定理知 pm =-2＜0， ∴p ＞0， n m =1，∴ n p =- 12， ∴ f (x )=log 2nx−p nx−m =log 2（ p m • np x−1n m x−1）=log 2（ −12x−1x−1 ×（- 12 ）），由- 12 • −12x−1x−1＞0，解得：x ＞1或x ＜-2，故函数f （x ）的定义域是（-∞，-2）∪（1，+∞）， 故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及不等式问题，是基础题． 7.（填空题，3分）函数y=f （x ）图像C 如图所示，若C 上存在n （n∈N *，n≥2）个点（x i ，y i ）（i=1，2，⋯，n ）满足f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯=f (x n )x n，则n 的取值集合是 ___ ．【正确答案】：[1]{2，3，4}【解析】：y= f(x)x的几何意义为动点到原点的斜率，利用数形结合进行判断即可．【解答】：解：y= f(x)x 的几何意义为动点到原点的斜率，满足f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n的几何意义为到原点斜率相同点的个数，由图象知在① ③ ⑤ 位置有两个点的斜率相同，此时n=2，在② ④ 位置有三个点的斜率相同，此时n=3，在③ 位置有四个点的斜率相同，此时n=4，即n的取值集合是{2，3，4}，故答案为：{2，3，4}【点评】：本题主要考查直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．8.（填空题，3分）已知△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+2b=3，a2≤bc，且√3 cosA（bcosA+acosB）-csinA=0．则△ABC的面积是 ___ ．【正确答案】：[1] √34【解析】：由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA的值，结合范围A∈（0，π），可得A= π3，由余弦定理，基本不等式可得a2≥bc，结合已知可求a2=bc，结合已知可求b，c的值，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：因为√3 cosA（bcosA+acosB）-csinA=0，由正弦定理可得√3 cosA（sinBcosA+sinAcosB）-sinCsinA=0，可得：√3 cosAsin（A+B）-sinCsinA=0，即√3 cosAsinC-sinCsinA=0，因为sinC≠0，所以√3 cosA-sinA=0，即tanA= √3，因为A∈（0，π），所以A= π3，由余弦定理可得a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，又a2≤bc，所以a2=bc，b=c，可得a=b=c，又a+2b=3，可得a=b=c=1，可得△ABC的面积S= 12 bcsinA= 12×1×1×√32= √34．故答案为：√34．【点评】：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．9.（填空题，3分）已知函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为2，则使函数f（x）在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][ 1318，+∞）【解析】：将函数恒等变形，可得函数的最大值，可得a的值，由x的范围，求出ωx+ π3的范围，再由在区间上取两次最大值，可得ω的范围．【解答】：解：因为a＞0，函数f（x）=sinωx+acosωx= √1+a2 sin（ωx+φ），因为函数的最大值为2，则√1+a2 =2，解得a= √3，所以f（x）=2sin（ωx+ π3），因为x∈[0，3]，则ωx+ π3∈[ π3，3ω+ π3]，函数f（x）至少取得两次最大值，则3ω+ π3≥ 52π，解得：ω≥ 1318，故答案为：[ 1318 ，+∞）．【点评】：本题考查三角函数的恒等变形的应用，属于中档题．10.（填空题，3分）已知函数f （x ）= {e (x+1)2，x ≤0x +4x −3，x ＞0，函数y=f （x ）-a 有四个不同零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][4，5）【解析】：通过f （x ）的单调性，画出f （x ）的图象和直线y=a ，考虑四个交点的情况，得到x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，x 3x 4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围．【解答】：解：当x ＞0时，f （x ）=x+ 4x -3≥2 √x •4x -3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f （x ）=e (x+1)2 ，x≤0，x ＜-1时，f （x ）递减；-1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=-1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e (x 1+1)2 =e (x 2+1)2 =x 3+ 4x 3 -3=x 4+ 4x 4 -3， 即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，x 3-x 4= 4x 4 - 4x 3 =4(x 3−x 4)x 3•x 4， 可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4-2x 2-x 22=-（x 2+1）2+5，在-1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故答案为：[4，5）．【点评】：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．11.（填空题，3分）设ave{a，b，c}表示实数a，b，c的平均数，max{a，b，c}表示实数a，b，c的最大值．设A=ave{- 12 x+2，x，12x+1}，M=max{- 12x+2，x，12x+1}，若M=3|A-1|，则x的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{x|x=-4或x≥2}【解析】：由已知中max{a，b，c}表示a，b，c三个实数中的最大数，若M=3|A-1|=|x|，M 是一个分段函数，所以要对x的取值进行讨论，从而求出满足条件的x范围．【解答】：解：由题意易得A= 13x+1，故3|A-1|=|x|= {−x，x＜0x，x≥0，∵M=3|A-1|，∴当x＜0时，-x= −12x+2，得x=-4；当0≤x＜1时，x= −12x+2，得x= 43，舍去；当1≤x＜2时，x= 12x+1，得x=2，舍去；当x≥2时，x=x，恒成立，综上所述，x=-4或x≥2．故答案为：{x|x=-4或x≥2}．【点评】：点评：本题考查的知识点是分段函数的最值，运用了分类讨论思想和数形结合思想，结合函数的图象会更好理解．12.（填空题，3分）数列{a n}中，a n表示与√n最接近的整数，则满足1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20的正整数n的最小取值为 ___ ．【正确答案】：[1]111【解析】：根据题意，归纳可得使得a n=m的正整数有2m个，且最小的是m2-m+1，最大的是m2+m，由此可得1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n= 2×11+4×12+6×13+8×14+⋯，利用验证法分析可得答案．【解答】：解：根据题意，a n表示与√n最接近的整数，n=1，2时，a n=1；n=3，4，5，6时，a n=2；n=7，8，…，12时，a n=3；n=13，14，…，20时，a n=4；…………故使得a n=m的正整数有2m个，且最小的是m2-m+1，最大的是m2+m，故有1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n= 2×11+4×12+6×13+8×14+⋯，若1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20，验证可得：n的最小取值为2+4+6+⋅⋅⋅+20+1=111，故答案为：111．【点评】：本题考查数列的求和，涉及数列的表示方法，属于中档题．13.（单选题，3分）地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3A.m1B.m2C.m3D.m4【正确答案】：B【解析】：分别比较有相同安全出口的编号的时间，得到各个安全出口的疏散乘客的快慢，再比较即可．【解答】：解：由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，所以m2比m4疏散乘客快，由同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m1比m4疏散乘客快，由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m2比m1疏散乘客快，由同时开放m1，m2疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以m1比m3疏散乘客快，综上所述：m2＞m1，m1＞m3，m1＞m4，m2＞m3，所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是m2，故选：B．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．，则（）14.（单选题，3分）若正实数a，b，c满足3−a=log0.4b=c23=14A.c a＞b aB.logc a＜logb aC.log a b＞log b cD.c a-1＜b c-1【正确答案】：D【解析】：由对数，指数的运算化简可得0＜c＜0.4＜b＜1＜a，从而依次对四个选项判断即可．【解答】：解：∵ 3−a=14，即3a=4，∴a＞1，∵ 0＜log0.4b=14＜1，∴0.4＜b＜1，∵ c23=14，∴ c=18，∴0＜c＜0.4＜b＜1＜a，∴c a＜b a，log c a＞log b a，log a b＜0＜log b c，∴A，B，C项错误；∵a-1＞0，c-1＜0，∴0＜c a-1＜1＜b c-1，D项正确．故选：D．【点评】：本题考查指数、对数，幂的大小比较，同时考查了对数函数、指数函数的性质应用，属于基础题．15.（单选题，3分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A.小寒比大寒的晷长长一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.小雪的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长长【正确答案】：C【解析】：先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}的基本量以及由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}的基本量，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误即可．【解答】：解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1=15，a13=135，则d=10，同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，其中b1=135，b13=15，则d'=-10，故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7=b1+6d'=135-60=75，因为秋分的晷长为a7，所以a7=a1+6d=15+60=75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为a11，所以a11=a1+10d=15+100=115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4=a1+3d=15+30=45，b4=b1+3d'=135-30=105，所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．故选：C．【点评】：本题考查了数列知识的应用，解题的关键是看懂题意，构造等差数列，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．16.（单选题，3分）已知a、b、c是三角形的三边，对于f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b，有下列说法：① f（a，b，c）有最小值32；② f（a，b，c）有最大值是3．（）A. ① 对，② 错B. ① 错，② 对C. ① ② 都对D. ① ② 都错【正确答案】：A【解析】：（1）根据已知条件，结合换元法和基本不等式的公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角形两边之和大于第三边，即可求解．【解答】：解：① 令x=b+c，y=a+c，z=a+b，x＞0，y＞0，z＞0，则a= −x+y+z2，b= x−y+z2，c= x+y−z2，故ab+c +ba+c+ca+b= −x+y+z2x +x−y+z2y+ x+y−z2z= y2x +x2y+z2x+x2z+z2y+y2z−32≥ 2√y2x•x2y+ 2√z2x•x2z+ 2√z2y•y2z−32=32，当且仅当{y2x =x2yz 2x =x2zz 2y =y2z，即x=y=z，即a=b=c时，等号成立，故① 正确，② 由三角形两边之和大于第三边可知，0＜a＜b+c，故ab+c ＜1，同理可得ba+c＜1，ca+b＜1，故f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b＜3，故② 错误．故选：A．【点评】：本题主要考查函数最值，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3．P0为圆周上一点，且∠AOP0= π6．点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．（1）求t秒钟后，点P到直线l的距离用y=f（t）（t≥0）的解析式；（2）当|P0P|=2 √3时，求t的值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，周期为2，t秒钟后，旋转角为ωt，求出点P的横坐标，从而求出点P到直线l的距离．（2）当|P0P|=2 √3时，∠POP0= 2π3，进而即可求解．【解答】：解：（1）由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为ωt= 2πTt=πt，则此时点P的横坐标为x=2cos（πt+ π6），所以点P到直线l的距离为f（t）=3-2cos（πt+ π6），t≥0．（2）当|P0P|=2 √3时，∠POP0= 2π3，可得P旋转了πt= 2π3+2kπ，k∈N，或πt= 4π3+2kπ，k∈N，解得t= 23 +2k，k∈N，或t= 43+2k，k∈N．【点评】：本题考查已知三角函数模型的应用问题，关键是搞清旋转角，理解三角函数的定义．18.（问答题，14分）如图，四棱锥P-ABCD在底面是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，AB=3，AD=4．（1）求证：MN || 平面PAD；（2）若直线MN与平面ABCD所成的角为45°，求直线MN与平面PAC所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明MN方向向量与平面PAD的法向量数量积为零；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，再解三角方程求解．【解答】：（1）证明：由题意知AB、AD、AP两两垂直，建系如图，平面PAD的法向量是m⃗⃗ =（1，0，0），设P（0，0，2h），M（32，0，0），N（32，2，h），MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，h），因为MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • m⃗⃗ =0，MN⊄平面PAD，所以MN || 平面PAD ．（2）解：由（1）知 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，h ）， 平面ABCD 的法向量为 n ⃗ =（0，0，1），又因为直线MN 与平面ABCD 所成的角为45°， 所以 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = ℎ√4+ℎ2•1=sin45°= √22 ， 解得h=2， MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，2）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0）， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，4）， 令 k⃗ =（1，-1，0）， 因为 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • k ⃗ =0， AP⃗⃗⃗⃗⃗ • k ⃗ =0， 所以 k⃗ 是平面PAC 的法向量， 所以直线MN 与平面PAC 所成的角正弦值为 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •k ⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|k⃗ | = 22√2•√2 = 12 ， 所以直线MN 与平面PAC 所成的角的大小为30°．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．19.（问答题，14分）某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元．食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n （n+1）．即可得到平均每天费用y1= 1n[n(n+1)+100]+1500，利用基本不等式即可得出最小值．（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y2= 1m[m(m+ 1)+100]+1500×0.95．利用导数研究其单调性，即可得出其最小值．【解答】：解：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．则平均每天费用y1= 1n [n(n+1)+100]+1500 n= n+100n+1501≥1521．当且仅当n=10时取等号．∴该食堂隔10天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少．（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y2= 1m[m(m+1)+100]+1500×0.95= m+100m+1426（m∈[20，+∞））．令f（m）= m+100m(m∈[20，+∞))．则f′(m)=1−100m2=m2−100m2＞0，故当m∈[20，+∞）时，函数f（m）单调递增，故当m=20时，（y2）min=1451＜1521．∴食堂可接受此优惠条件．【点评】：正确审清题意，利用等差数列的前n项和公式得出表达式，熟练掌握基本不等式求最值和利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．20.（问答题，16分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于该椭圆的另一个焦点F2上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1、PF2的夹角相等．已知BC⊥F1F2，垂足为F1，|F1B|=3m，|F1F2|=4cm，以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．① 是否存在m，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；② 若∠F1PF2的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，请问kk2+kk1是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设所求椭圆方程为x 2a2+y2b2=1，由椭圆的性质求得a=|BF1|+|BF2|2，b，可得椭圆的方程；（2）① 存在，设椭圆上的点P（x0，y0），直接计算|PF2|d，即可探索出存在m；② 由（1）得椭圆的方程为x216+y29=1，设椭圆上的点P（x0，y0），有k1=y0x0+2，k2=y0 x0−2，证明椭圆x216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，再由右光学性质得直线PQ⊥l，由此可求得定值．【解答】：解：（1）设所求椭圆方程为x 2a2+y2b2=1，则|F2B|=√|F1F2|2+|BF1|2=√42+32=5，由椭圆的性质：|BF1|+|BF2|=2a，所以a=|BF1|+|BF2|2=12(3+5)=4，b=√a2−c2=√42−22=2√3，所以椭圆的方程为x 216+y212=1．（2）由椭圆的方程为x 216+y212=1，则F1（-2，0），F2（2，0）．① 存在直线x=8，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值．设椭圆上的点P（x0，y0），则|PF2|=√(x0−2)2+y2，P到直线x=m的距离d=|m-x0|，所以|PF2|d =√(x0−2)2+y02|m−x0|=√(x0−2)2+12−34x02(m−x0)2=√14(x0−8)2(m−x0)2，所以，当m=8时，|PF2|d =12（定值）．即存在m=8，使得P到F2和P到直线x=8的距离之比为定值12．② 设椭圆上的点P（x0，y0），则k1=y0x0+2，k2=y0x0−2，又椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，证明如下：对于椭圆x 216+y212=1，当y＞0，y=√12−3x 24，则y′=4√12−3x24所以椭圆x 216+y212=1在P（x0，y0）处的切线方程为y−y0=04√12−024x−x0)，又由x0216+y0212=1，可以整理切线方程为：y−y0=04√y02x−x0)=−3x04y0(x−x0)，即切线方程为4y0（y-y0）=-3x0（x-x0），即3x0x+4y0y=4y02+3x02=48，也即x0x16+ y0y12=1．所以椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，同理可证：当y＜0，椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，综述：椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，所以在点P（x0，y0）处的切线l的斜率为−3x04y0，又由光学性质可知：直线PQ⊥l，所以−3x04y0⋅k=−1，则k=4y03x0．所以kk1=4y03x0⋅x0+2y0=4(x0+2)3x0，k k2=4y03x0⋅x0−2y0=4(x0−2)3x0，那么kk1+kk2=4(x0+2)3x0+4(x0−2)3x0=83．【点评】：本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中的探索性问题等知识，属于中等题．21.（问答题，18分）已知函数f（x）=|2x+4|+|x-2|．（1）解不等式f（x）＞7；（2）设函数f （x ）的最小值为M ，若正实数a ，b ，c 满足a+2b+3c=M ，求 3a +2b +1c 的最小值；（3）若数列{a n }满足a 1=a （a≤-2或a≥0，a 为常数），3a n+1=f （a n ）（n∈N *），求数列{a n }的前项和S n ．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用绝对值不等式的解法求出结果； （2）利用基本不等式的应用求出最小值；（3）利用分类讨论思想的应用和数列的递推关系式和数列的通项公式的求法和数列的求和的应用求出结果．【解答】：解：（1）函数f （x ）=|2x+4|+|x-2|． 所以：|2x+4|+|x-2|＞7， 令2x+4=0，解得x=-2， 令x-2=0，解得x=2，故当x ＜-2时，-2x-4+2-x ＞7，整理得-3x ＞9，故x ＜-3；所以x ＜-3． 当-2≤x≤2时，2x+4+2-x ＞7，整理得x ＞1，故1＜x≤2， 当x ＞2时，2x+4+x-2＞7，整理得：3x ＞5，即 x ＞53 ，故x ＞2． 故不等式的解集为：{x|x ＜-3或x ＞1}．（2）由于函数f （x ）=|2x+4|+|x-2|= {−3x −2(x ＜−2)x +6(−2≤x ≤2)3x +2(x ＞2) ，故函数f （x ）的最小值为4． 即M=4，由于a+2b+3c=4， 所以(a+2b+3c )4•(3a +2b +1c ) = 14(10+2a b+ac +6b a+2b c+9c a+6cb) ≥4+2√3 ，当且仅当a= √3b=3c 时等号成立，故函数的最小值为 4+2√3 ． （3） ① 当a≤-2时，3a 2=f （a 1）=-3a-2， 解得 a 2=−a −23 ＜-2，3a3=f（a2）=-3a2-2，解得a3=a；同理a4=−a−23，a5=a，........，所以a n+a n+1=−23；当n为偶数时，S n=（a1+a2）+（a3+a4）+...+（a n-1+a n）= −23×n2=−n3；当n为奇数时，S n=a1+（a2+a3）+...+（a n-1+a n）= a−23×n−12=a−n−13；故S n={−n3(n为偶数)a−n−13(n为奇数)．② 当0≤a＜2时，3a2=f（a1）=a+6，解得a2=a3+2＞2；所以3a3=f（a2）=3a2+2，解得a3=a3+83＞2，故当n≥2时，a n+1−a n=23，所以当n≥2时，数列{a n}是以23为公差，a3+2为首项的等差数列；当n=1时，a1=S1=a，所以S n=a+(23+a)(n−1)+(n−1)(n−2)2×23=a+(n−1)(n+4+a)3；所以S n={a(n=1)a+(n−1)(n+4+a)3(n≥2)．③ 当a≥2时，由于3a n+1=f（a n），整理得a n+1−a n=23（常数），数列{a n}是以23为公差，以a为首项的等差数列；所以S n=na+n(n−1)2×23=n(n+3a−1)3．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，基本不等式，绝对值不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．。