2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题(解析版)

2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题一、单选题1．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题； 若“b ＜1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a ”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D2．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．[6,)+∞C ．5(,2][,)2-∞-+∞UD ．15(,][6,)2-∞-+∞U【答案】C【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,然后对ω大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围. 【详解】Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-①当0>ω时,,54x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴ 52ππω-≤-可得:52ω∴≥②当0ω<时,,45x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴42ππω≤-可得:2ω≤-综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选:C. 【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合.3．已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤,若实数对(,)λμ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合M 的“嵌入实数对”的是（ ） A ．{(,)|2}λμλμ-= B ．{(,)|2}λμλμ+= C ．22{(,)|2}λμλμ-= D ．22{(,)|2}λμλμ+=【答案】C【解析】由定义可知||1λ≤,||1μ≤利用不等式的性质,即可得出2222,,,λμλμλμλμ+--+的范围,从而得出答案. 【详解】Q {(,)|||||1}M x y x y =+≤Q 对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈可得:||||1x y λμ+≤Q 11x y x y λμ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩, 结合:实数对(,)λμ满足,对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈.∴ 可得||1λ≤,||1μ≤ 即11λ-≤≤,11μ-≤≤对于A,Q 11μ-≤≤,可得11μ-≤-≤,根据1111λμ-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩可得:22λμ-≤-≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ-=对于B,Q 1111λμ-≤≤⎧⎨-≤≤⎩可得22λμ-≤+≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ+=对于C,Q ||1λ≤,||1μ≤可得:220110λμ⎧≤≤⎨-≤-≤⎩ 故2211λμ-≤-≤, ∴ 故不存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ-=对于D, Q ||1λ≤,||1μ≤可得220101λμ⎧≤≤⎨≤≤⎩,故2202λμ≤+≤. ∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ+=综上所述,故C:22{(,)|2}λμλμ-=不存在集合M 的“嵌入实数对. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是能理解新定义“嵌入实数对”,结合不等式知识进行求解,考查了学生的理解能力和推理能力,属于基础题.4．已知函数210()(1)0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩,则下列命题中正确命题的个数是（ ）①函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数②函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增③函数()f x 在1x m =-（m N ∈）取到最大值0,且无最小值④若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根,则11[,)32a ∈ A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作出()f x 的图像,由图像对各选项进行判断即可.0x ≤时,12112xx y -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,可由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像作关于x 轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当0x >时,()(1)f x f x =-故是周期为1的周期函数,01x <≤图像可由10x -<≤时,112xy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到0x >图像. 【详解】()f x 的图像如图所示:对于①,因为(1)1f -=-,(0)0f =,可得(1)(0)f f -≠所以函数()f x 在[1,)-+∞上不是周期函数,故①不正确;对于②,当(),1m m +,()m N +∈结合函数图像可知,函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增,故②正确;对于③,因为0m =时,(1)(1)1f m f -=-=-,不是最大值, 故③不正确; 对于④,如图所示,图中两条曲线对应的a 分别为13和12,故方程为()log (2)(01)a f x x a =+<<,有且只有两个实根,则11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,故④正确.故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.二、填空题5．已知集合2{|340}A x x x =--=,{|10,}B x mx m R =+=∈.且A B A ⋃=,则所有满足条件的m 构成的集合为________ 【答案】1{0,,1}4-【解析】先化简集合A .由A B A ⋃=,可得B A ⊆,分类讨论=0m 和0m ≠,即可求出构成m 的集合. 【详解】Q 集合2{|340}A x x x =--=∴ {1,4}A =-Q A B A ⋃=,可得B A ⊆①当0m =时,满足B A ⊆,符合题意②当0m ≠时,1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭Q B A ⊆∴ 11m-=-或14m -=解得:1m =或14m =-.∴ 所有满足条件的m 构成的集合为:1{0,,1}4-.故答案为:1{0,,1}4-.【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,属于基础题.6．设,a b ∈R ,则“tan b α=”是“arctan b α=”的________条件 【答案】必要不充分【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q ,a b ∈R ,只有当22ππα-<<时,由tan b α=才有arctan b α=∴ 由tan b α=不能推出arctan b α=故tan b α=不是arctan b α=的充分条件 又Q 由arctan b α=得tan tan(arctan )b α=∴ 可得tan b α=故tan b α=是arctan b α=的必要条件;∴ tan b α=是arctan b α=的必要不充分条件.故答案为:必要不充分. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.7．294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =________ 【答案】5【解析】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,整理后由复数相等的条件列式求得,a b 的值,根据z a bi =+的模为22z a b =+即可求得z .【详解】Q 设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,得:()2()394a bi a bi a bi i ++-=-=+39,4a b ∴=-= 故:3,4a b ==-∴ 34z i =-根据z a bi =+的模为22z a b =+∴ ()22345z =+-=故答案为:5. 【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.8． 若△ABC 中，a ＋b ＝4，C ＝30°，则△ABC 面积的最大值是________． 【答案】1 【解析】【详解】在△ABC 中，∵C ＝30°，a ＋b ＝4，∴△ABC 的面积S ＝12ab ·sin C ＝12ab ·sin30°＝14ab ≤241()2a b +＝14×4＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因此△ABC 面积的最大值是1. 故答案为1.9．设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为310，则直线l 的方程是________ 【答案】4x =-或43160x y -+=【解析】设l 的方程为(4)(1)0a x b y ++-=(,a b 不同时为零),根据直线夹角公式可得2222310103(1)a b =++-,化简可得0b =或34a b =-,即可求得直线l 的方程. 【详解】直线:310m x y -+=的方向向量为(1,3)α= 设所求直线的方向向量为(,)a b β=(,a b 不同时为零)Q 依题意有:310310|cos ,|cos αβ⎛〈〉== ⎝⎭ ∴310||||10αβαβ⋅= ,2233101010a b a b+=⨯+ 解得243a ab =,即0a =或34a b =- ①当0a =时,则(0,)b β=且0b ≠∴ 此时直线l 的斜率不存在,直线的方程为:4x =-②当34a b =-时,则,a b 均不为0可得:3,4b b β⎛⎫= ⎪⎝⎭,故直线的斜率为:4334b b =∴ 直线的方程为:4(4)3y x =+ ,即43160x y -+=综上所述, 直线l 的方程:4x =-或43160x y -+=.故答案为: 4x =-或43160x y -+=. 【点睛】本题考查直线夹角的问题,解题关键是熟记直线夹角的计算公式,考查了计算能力.属于基础题.10．设常数0a >，9x x ⎛+ ⎝展开式中6x 的系数为4，则()2lim n n a a a →∞+++=L _______ 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式3992199rrr r r r r T C x a C xx --+==和已知求出r ，再代入求a ，从而将a 代入所求表达式，结合等比数列的前n 项和公式求和并取极限即可. 【详解】9x x ⎛ ⎝展开式的通项公式为3992199rr r r r r r T C x a C xx --+==，令3962r -=，解得2r =，则2294a C =，解得13a =，所以，()2lim lim l 11(1)111331223213im n n n n n n a a a →∞→∞→∞-⎛⎫=-= ⎪⨯⎝-+⎭++=L .故答案为：12. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n 项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11()142x x f x =-++，则此函数的值域为________.【答案】{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【解析】先求当0x >时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R 上的值域. 【详解】当0x >时，21111()1=()14222x x x x f x =-++-++, 令1,(01)2x t t =<<，所以2()1(01)g t t t t =-++<<， 所以5()(1,]4g t ∈.由于函数是奇函数，所以当0x <时，5()[,1)4f x ∈--. 当0x =时，(0)0f =.综上所述，此函数的值域为{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝.故答案为：{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知函数8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是________ 【答案】[4,20)-【解析】根据复合函数单调性同增异减,因为外层函数8log y x =是单调增函数,则需内层函数8a y x x =+-也是增函数,且满足80ax x+->,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 8()log (8)af x x x=+-设8log ,8a y t t x x==+-8log y t =Q 在(0,)+∞上为增函数要保证8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数8at x x ∴=+-在[2,)+∞上是增函数 ∴ 210at x'=+≥在[2,)+∞上恒成立2a x ∴≥- 在[2,)+∞上恒成立 22,4x x ≥≥Q 可得24x -≤-4a ∴≥-Q 8()log (8)af x x x=+-2802a∴+-> 20a ∴<∴ 实数a 的取值范围是:[4,20)-.故答案为:[4,20)-. 【点睛】本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,当外层函数是增函数时,内层函数也需要增函数,注意内层函数要满足外层函数的定义域. 13．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=,且(1)9f =,则(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为________【答案】9【解析】由(2)(2)0f x f x ++-=推导出(4)()f x f x +=即可得到()f x 的周期为4,当0x =时,由(2)(2)0f f +=得(2)0f =.结合(1)9f =,即可求得(2016)(2017)(2018)f f f ++的值.【详解】Q (2)(2)0f x f x ++-=(2)(2)f x f x ∴+=-- ┄①Q ()f x 为奇函数,故()()f x f x -=-(2)[(2)](2)f x f x f x ∴-=--=-- ┄②由①②可得:(2)(2)f x f x +=- 即:(4)()f x f x += 可得:()f x 的周期为4Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得: (0)0f =Q 当0x =时, 由(2)(2)0f x f x ++-=,可得: (20)(20)0f f ++-=∴ (2)0f =(2016)(50440)(0)f f f ∴=⨯+= (2017)(20161)(1)9f f f =+== (2018)(20162)(2)0f f f =+==∴ (2016)(2017)(2018)9f f f ++=故答案为:9.【点睛】本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.14．在直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．【答案】(),33,⎡-∞-⋃+∞⎣【解析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB =Q ()()2222124x y x y -+=-+化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆， 由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，221m≤+，解得3m ≤或3m ≥.因此，实数m 的取值范围是(),33,⎡-∞-⋃+∞⎣. 故答案为：(),33,⎡-∞-⋃+∞⎣.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 15．下列命题:①关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的必要非充分条件;②已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;③“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件;④“0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的充要条件; 其中,真命题序号是________ 【答案】②【解析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案. 【详解】对于①,Q 系数行列式0D ≠,关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有唯一解,∴ 0D =是该方程组有解的非充分条件又Q 系数行列式0D =,0x D ≠或0y D ≠关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩无解系数行列式0D =, 0x y D D ==关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有无穷组解∴ 关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的非必要非充分条件; 故①不正确;对于②,已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交.Q 命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件又Q 直线EF 和GH 不相交,当EF GH P ,即E 、F 、G 、H 四点共面,∴ 命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件 ∴ 甲成立是乙成立的充分非必要条件.故②正确;对于③,设|1||1|y x x =++- 当1x ≥时,22y x =≥; 当11x -≤<时,2y =;当1x <-时,22y x =->. 故|1||1|2x x ++-≥Q 2a <能推出任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥又Q 对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥不能推出2a <故“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充分不必要条件 故③不成立;对于④,由关于x 的实系数方程px p x=+有且仅有一个实数根,得:20x px p +-=, 由240p p ∆=+=得:0p =或4p =-当0p =时,得0x =,检验知:0x =不是方程px p x=+的实根,故此时方程无解 当4p =-时,2440x x -+=,解得2x =,检验知:2x =是方程px p x=+的实根.故此时关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实数根∴ “0p =或4p =-”不能推出“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”又Q 关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根也不能推出“0p =或4p =-”∴ “0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件.故④错误. 故答案为:②. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.16．在直角坐标平面xOy 中,已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y R =+≤∈,记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈,{(,)|(,)}T x y x y Q S =∈I ,则由T 中的所有点所组成的图形的面积是________ 【答案】4433π【解析】根据条件确定集合P 对应的轨迹,利用集合T 的定义,确定T 对应图形,即可求得T 中的所有点组成的图形的面积. 【详解】Q 两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,如图:过1(2,0)F -与2(2,0)F 分别作l 直线的垂线,垂足分别为,B C 由题意得122F B F C -=,即12F A =Q 在12Rt AF F △中214F F =,∴ 121cos 2AF F ∠=可得2160AF F ︒∠= ∴.集合P 对应的轨迹为线段2AF 的上方部分,Q 对应的区域为半径为2的单位圆内部根据T 的定义可知,T 中的所有点组成的图形为图形阴影部分∴ 阴影部分的面积为:21142224sin 4362360ππ︒⎛⎫⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故答案为:4433π. 【点睛】本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.三、解答题 17．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12-【解析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案; (2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =．(2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-. 【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18．如图,四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为平行四边形,若60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =.（1）求证:PA BD ⊥;（2）若45PCD ∠=︒,求点D 到平面PBC 的距离h . 【答案】（1）答案见解析（2）2217. 【解析】（1） 因为60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =,利用余弦定理求出BD ,即可判断出ABD △满足勾股定理,即ABD △直角三角形且角ADB ∠为直角,则AD BD ⊥,结合已知PD ⊥底面ABCD ,即可求证PA BD ⊥.（2）利用等体积法,根据P BCD D BCP V V --=列方程,即可求得点D 到平面PBC 的距离h . 【详解】（1）1,2,60AD AB DAB ︒==∠=Q根据余弦定理可得: 2222cos60BD AB AD AB AD ︒=+-⋅⋅∴3BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥Q PD ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCDPD BD ∴⊥,又AD PD D =IBD ∴⊥平面PADPA ⊂Q 平面PAD ∴ PA BD ⊥综上所述, PA BD ⊥ （2）由（1）可知BC BD ⊥132BCD S BC BD ∴=⨯⨯=V 45PCD ︒∠=Q 可得:2PD CD ==13323P BCD V -∴==22222,,1PC CD PB PD DB BC ===+=Q 222BC PB PC ∴+= PB BC ∴⊥172BCP S BC PB ∴=⋅=V 177326D BCP hV h -∴=⨯=又Q P BCD D BCP V V --=7363h =解得:2217h = . 【点睛】本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.19．如果一条信息有n 1,N)n n >∈（种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p L ，则称H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈）为该条信息的信息熵．已知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．【答案】（1）5（2）422n -【解析】试题分析：利用11()22f =求出a ，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为132，利用公式H =()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），求出信息熵的值；比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和. 试题解析：（1）由1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得111log 222a -=，解之得2a =. 由32种情形等可能，故()11,2,,3232k P k ==L ， 所以21132log 53232H ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，答：“谁被选中”的信息熵为5．（2）n A 获得冠军的概率为111111111+1124222n n n ---⎛⎫⎛⎫-++=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，当1,2,k = ,1n -L 时，()22log 22k kk k k f p --=-=，又()112nn n f p --=， 故111231124822n n n n H ----=+++++L ， 1112211+248222n n n n n n H L ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-L ，故422n H =-， 答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -．20．双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB V 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r，求l 的斜率. 【答案】（1）2y x =；（2）15. 【解析】试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413bb+=，从而解得2b 的值．（2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k∆=+>．再设AB 的中点为(),xy MM M ，由()110F F A +B ⋅AB =u u u r u u u r u u u r 即10F M⋅AB =u u u u r u u u r，从而得到11F k k M ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2,0F c ，21c b =+，()22241y bcb A =-=，因为1F AB V 是等边三角形，所以23c y A =， 即()24413bb+=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为2y x =．（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()221{32y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F M⋅AB =u u u u r u u u r ，知1F M ⊥AB ，故11F k k M ⋅=-． 而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12323F k k k M =-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l 的斜率为15． 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.21．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数．()1已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值；()2在()1的条件下，定义数列()()21(1,n a f n f n n =+-=2，3，).⋯求201720181222223333a a a alog log log log ++⋯++的值． ()3若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数，设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）()01f =，()1728f =（2）2035153（3）证明见解析，()()12.f x f x <，证明见解析 【解析】()1是抽象函数基础题,令121,0x x ==,求得()01f =;令121x x ==,求得()1728f =; ()2对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令x n =，1y =,利用题中关系式推导出递推公式12n n a a -=,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;()3属于难题,因为()()12的铺垫,代入特定的数即令0x =,y 为任意实数即可证明偶函数,证明()1f x 与()2f x 的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点.【详解】解：()1令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，所以()01f =． 令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，所以()1728f =． ()2令x n =，1y =，其中n 是大于1的整数，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，所以()()()()()21221f n f n f n f n +-=--，即12n n a a -=．又因为()()12213a f f =-=，所以数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，则213na log n =-． 所以原式0120172035153=++⋯+=．(3)证明:由题意函数()f x 定义域为R 关于原点对称,令0x =,y 为任意实数,则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()-=f y f y ，所以()f x 是偶函数．令N 为1x ,2x 分母的最小公倍数,并且1a x N =,2b x N=,a b 、都是自然数,并且a b <． 令数列{}n c 满足n n c f N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0n =，1，.⋯下证：数列{}n c 单调递增．()1.01i f f N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以01c c <；.ii 若1n n c c -<，n 是正整数，即1n n f f N N -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令n x N =，1y N =，则11122n n n n f f f f f N N N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n c c c +-+>． 所以()1112n n n n n n n c c c c c c c +-->-=+->．综上,数列{}n c 单调递增,所以()()12fx f x <，又因为()f x 是偶函数，所以()()12.f x f x < 【点睛】本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法,属于难题.。