导数的计算与导数的几何意义高考试题汇编(含答案)
最新2021高考数学分类汇编 考点07 导数的运算及几何意义(答案解析版)
3年高考2年模拟 考点07 导数的运算及几何意义2、理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法则求简单的导数；导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填空题中也体现在大题大题的第一问中。
多数都是以送分题的形式出现。
在高考复习中要注意以下几点：1、解决在点处的切线问题要抓住两点：（1）切点即在曲线上也在曲线的切线上。
（2）切线l 的斜率2、求函数的导数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则，在求导的过程中，要仔细分析函数解析式的结构特点，紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形，正确求导。
3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线，挖掘切线的价值，在有些问题中，可利用切线求两个曲线上的点的之间距离或求参的范围。
1、【2020年全国1卷】.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =-D. 21y x =+2、【2020年全国3卷】.若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +123、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =5、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.6、(2019年江苏卷)..在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.7、【2020年山东卷】已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；8、【2020年天津卷】.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.10、【2020年北京卷】已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．11、【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．题型一 导数的几何意义1、（2010届北京西城区第4中学期中）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-2、（北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b 等于（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．123、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为y kx b =+，则实数b =______.4、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)x y ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________.5、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．6、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________..7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e xy =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 9、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数()2()()xf x x bx b e b =++∈R . （Ⅰ）若1b =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；10、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．题型二 函数图像的切线的综合问题1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32、（北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题）已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围为（） A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(1ln 2,)--+∞ C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞3、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点()00,x P x e处的切线与x轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数.若点()0,0B x ，PAB ∆的面积为3，则0x 的值是______.4、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知P 为指数函数()x f x e =图象上一点，Q 为直线1y x =-上一点，则线段PQ 长度的最小值是_______ 5、(2019苏锡常镇调研）已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ． 6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-.（1）求a ；（2）讨论函数)0(2)()(>-=x x x f x g ；)0(122)()(>+-=x x xx f x h 的单调性； （3）设521=a ，)(1n n a f a =+，求证：)2(0212251≥<-<-+n an nn答案解析三年高考真题1、【2020年全国1卷】.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.2、【2020年全国3卷】.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D.5、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4.【解析】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x'=-=-，得2(2)x =舍，32y = 即切点2,32)Q ，则切点Q 到直线0x y +=22232411+=+，故答案为：4．6、(2019年江苏卷)..在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .7、【2020年山东卷】已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【解析】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; 8、【2020年天津卷】.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；【解析】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线． 10、【2020年北京卷】已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==.11、【2019年高考北京理数】已知函数32()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->；当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.二年模拟试题题型一 导数的几何意义1、（2010届北京西城区第4中学期中）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．2、（北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b 等于（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．12【答案】A【解析】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24 代入直线方程解得：14b =- 故选：A3、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为y kx b =+，则实数b =______. 【答案】1；【解析】因为()xy f x e x ==+，所以()1x f x e '=+，所以()01f =，()02f '=，故曲线在0x =处的切线过()0,1且斜率2k =，故切线方程为21y x =+ 所以1b = 故答案为：14、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________. 【答案】2-【解析】,((1)1)xxy y ax e ax a e '=+=++，011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2.5、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+6、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________. 【答案】22ln 2-【解析】函数()2ln y x m =+的导函数2y x m'=+， 设切点坐标00(,)x y ，则()0002ln 21x x m x m=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，解得：02ln 2,22ln 2x m ==-. 故答案为：22ln 2-.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .【答案】1【解析】函数f (x )=ax −ln x ,可得()1'f x a x=-,切线的斜率为：()'11k f a ==-，切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y −a =(a −1)(x −1)， l 在y 轴上的截距为：a +(a −1)(−1)=1. 故答案为1.8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e xy =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】①【解析】直线12y x b =+的斜率为k ＝12， 对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意；对于③xy e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意；故答案为：①9、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数()2()()xf x x bx b e b =++∈R . （Ⅰ）若1b =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； 【解析】（Ⅰ）解：2()(2)2xf x x b x b e '⎡⎤=+++⎣⎦， 当1b =时，(0)1f =，(0)2f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12y x -=，即21y x =+； 10、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）210x y -+=；（2）4927. 【解析】（1）当2a =时，321()212f x x x x =-++，2()32f x x x '=-+，所以(0)2f '=，又(0)1f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为12y x -=，即210x y -+=. （2）因为2()3f x x x a '=-+，因为函数()1f x x =在处有极小值，所以(1)202f a a '=+=⇒=-， 所以2()32f x x x '=-- 由()0f x '=，得23x =-或1x =， 当23x <-或1x >时，()0f x '>， 当213x -<<时，()0f x '<， 所以()f x 在22,3⎛⎫--⎪⎝⎭，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数， 因为249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最大值为249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 题型二 函数图像的切线的综合问题1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1 由题意可知：定点()1,1是曲线()325:03E y ax bx b =++≠的对称中心， 51313a b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线3215:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， f′（x ）=22x x - ，设切点M （x 0，y 0）， 则M 纵坐标y 0=32001533x x -+，又f′（x 0）=2002x x -， ∴切线的方程为：()()322000015y 233x x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭又直线过定点113⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()322000011521333x x x x x ⎛⎫∴--+=--- ⎪⎝⎭，得30x ﹣03x -2=0，()()300210xx x --+=，即()()2000120x x x +--=解得：021x =-或 故可做两条切线 故选C2、（北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题）已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围为（） A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(1ln 2,)--+∞ C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞【答案】A【解析】∵211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x => ∴()()11022f x x x '=+<，()()10g x x x'=>，函数()f x 在点()()11,A x f x 处的切线方程为：()2111111114222y x x a x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()g x 在点()()22,B x f x 处的切线方程为：()2221ln y x x x x -=-， 两直线重合的充要条件是1211122x x +=①，2121ln 14x a x -+=-②， 由①及120x x <<得21102x <<，故22222211111ln 1ln 122a x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令21t x =，则102t <<，且21ln 12a t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 设()21ln 12h t t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()()221112121t t t t h t t t t t+---'=--==， 当102t <<时，()0h t '<恒成立，即()h t 单调递减， ()11ln 22h t h ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，0x →时，()h t →+∞，即a 的取值范围为(1ln 2,)-++∞，故选A.3、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点()00,x P x e处的切线与x轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数.若点()0,0B x ，PAB ∆的面积为3，则0x 的值是______. 【答案】ln 6【解析】由题，e xy '=，∴切线斜率0x k e =，则切线方程为()000-=-x x y e e x x ，令0y =，解得01A x x =-，又PAB ∆的面积为3，01132x PAB S e ∆∴⨯⨯==，解得0ln 6x =. 故答案为：ln 64、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知P 为指数函数()xf x e =图象上一点，Q 为直线1y x =-上一点，则线段PQ 长度的最小值是_______【解析】设()f x 图象上斜率为1的切线的切点是00(,)P x y ，由()x f x e '=，00()1'==x f x e ，00x =，(0)1f =，即(0,1)P ．P 到直线1y x =-的距离是d ==．5、(2019苏锡常镇调研）已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．【答案】..1 【解析】设)21,(2t t P ，因为x y ='，所以切线l 的斜率t k =，且0≠t ，则直线)(121:2t x tt y PQ --=-，即12112++-=t x t y令⎪⎩⎪⎨⎧=++-=22211211x y t x t y ，消y 得：02232=--+t t x tx ，设),(11y x Q ，则t t x 21-=+，即t t x 21--=，又因为点Q 在曲线C 上，所以2222112221)2(2121t t t t x y ++=--==，故)2221,2(22tt t t Q ++--因为OQ OP ⊥，所以0=⋅，即0)2221(21)2(222=++⨯+--⨯tt t t t t ，化简得44=t ，则22=t ，所以点P 的纵坐标为.16、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;【解析】(1)()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()'0f x <恒成立，()f x 在()-∞+∞，上单调递减， 当0a >时，由()'0f x =，解得x lna =-，由于0a >时，导函数()1xf x ae '=-单调递增，故 ()x lna ∈-∞-，，()()0,f x f x '<单调递减， ()()(),,0,x lna f x f x '∈-+∞>单调递增. 综上，当0a ≤时()f x 在()-∞+∞，上单调递减; 当0a >时， ()f x 在()lna -∞-，上单调递减，在,()lna -+∞上单调递增. . (2)曲线11:x C y ae =与曲线222:C y x =存在唯一公切线，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,xx ae x x ，显然12x x ≠.由于12','2xy ae y x ==，所以11222122x x ae x ae x x x -==-，1222212222222x x x x ae x x x -=-=- ， 2122222x x x x ∴-=由于0a >，故20x >，且21220x x =-> 因此11x >，此时()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>， 设()()1 4()1xx F x x e =>-问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点， 又()4(2 )xx F x e-'=，令()'0F x =，解得2x =， 则()F x 在()1,2上单调递增，(2,)+∞上单调递减， 而()()242,10F F e ==，当x →+∞时，()0F x → 所以()F x 的值域为240,e ⎛⎤⎥⎝⎦.故24a e=. 7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-.（1）求a ；【解析】（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a'=+.因此2(1)2f a'=+.又因为(1)ln(2)f a =+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为2ln(2)(1)2y a x a -+=-+， 即22ln(2)22y x a a a=++-++. 由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+.3年高考2年模拟21 显然1a =，适合上式. 令2()ln(2)2a a a ϕ=+-+(0)a >， 求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++， 因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.。
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】2【解析】，又在点处的切线方程是，．【考点】三角函数化简求值．2.函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,因此切线方程为，即．【考点】（1）导数的运算法则；（2）导数的几何意义．3.若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”，下列方程：①x2﹣y2=1②x2﹣|x﹣1|﹣y=0③xcosx﹣y=0④|x|﹣+1=0其中所对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【解析】①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②x2﹣|x﹣1|﹣y="0" ,由两圆相交，可知公切线，满足题意，故有自公切线；③xcosx﹣y=0的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线；④|x|﹣+1=0，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故不存在．故选：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.4.抛物线在点处的切线的倾斜角是( )A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】设抛物线在点处的切线的倾斜角为,因为,由导数几何意义得：,故选B.【考点】导数几何意义.5.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.6.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数【答案】B.【解析】对于B，可以构造函数，则，而并不是的极值点，而A,C,D均正确，∴选B.【考点】导数的性质.7.函数的图像在点）处的切线与轴的交点的横坐标为（）若，则= 。
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.2.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.3.设，则曲线在处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率为，故选B．【考点】导数的几何意义．4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则的值是A．2B．C．D．【答案】B【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：B．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．5.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．6.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．【答案】【解析】与已知直线垂直的直线的斜率,,解得,代入曲线方程所以切线方程为,整理得：【考点】1.导数的几何意义；2.直线的垂直.7.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义8.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.9.在曲线处的切线方程为。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
导数的几何意义专题练习题含答案
导数的几何意义专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数f (x )在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f (4)+f ′(4)=( ) A.10 B.20C.30D.402. 函数f (x )=x 3−7x 2+1的图象在点(4,f (4))处的切线的斜率为( ) A.−8 B.−7C.−6D.−53. 已知三次函数y =f (x )的图像如右图所示，若f ′(x )是函数f (x )的导函数，则关于x 的不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集为（ ）A.{x|1<x <2或x >4}B.{x|x <7}C.{x|1<x <4}D.{x|x <1或2<x <4}4. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ，b =eD.a =1e ， b =−15. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ， b =−1 D.a =1e ，b =e6. 如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =2处的切线，则f ′(2)=( )A.1B.2C.3D.47. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象为（）A.B.C.D.8. 已知函数f (x )=53x −ln (2x +1)，则lim Δx→0f (1+Δx )−f (1)2Δx=( ) A.1 B.12C.43D.539. 已知直线y =ax +2a 与曲线y =ln (x +2)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2C.1eD.1e 210. 已知f(x)=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A.[1, +∞)B.(1, +∞)C.(0, 1)D.(0, 1]11. 设f (x )为可导函数，且满足lim Δx→0f (1+3Δx )−f (1)Δx=−3，则函数y =f (x )在x =1处的导数为( ) A.1 B.−1C.1或−1D.以上答案都不对12. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( )A.1B.2C.eD.2e13. 函数f(x)=2x3−2的图象在点(1,0)处的切线的斜率为________.14. 曲线y＝ln x−在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin2α＝________．15. 已知函数f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A=f′(a)，B=f′(a+1)，C=f(a+1)−f(a)(a+1)−a，则A，B，C的大小关系是________．16. 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线为l．若l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=________．17. 函数在点处的切线方程为________．18. 已知函数，则曲线在处的切线方程为________.19. 曲线f(x)=e x−x ln x+2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.20. 若函数y=x3+ax2(a∈R)的图象在点(1,b)处切线的斜率为−1，则a+b=________.21. 曲线f(x)=x sin x在x=π2处的切线方程为________22. 已知直线y=kx+b是曲线y=e x的一条切线，则k+b的取值范围是________.23. 已知曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直，则实数a的值为________.24. 已知P是曲线y=14x2−12ln x上的动点，Q是直线y=34x−2上的动点，则PQ的最小值为________.25. 求函数y＝(2x−1)2在x＝3处的导数．26. 已知圆的面积S是半径r的函数S＝πr2，用定义求S在r＝5处的导数，并对S′(5)的意义进行解释．27. 求曲线y=1x+2x在x＝1处切线的斜率，并求该切线的切线方程．28. 已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>ln xx−1．29. 已知函数f(x)=ln x−12ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点(12,12)．（Ⅰ）若函数g(x)=f(x)−(a−1)x(a>0)，求g(x)的最大值（用a表示）；（Ⅱ）若a=−4，f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2，证明：x1+x2≥12．30. 已知函数f(x)=x2+a ln x．（Ⅰ）若曲线y=f(x)−1在点(1,0)上的切线与直线y=x垂直，求a的值；（Ⅱ）函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数，若f′(x)≥ln xx恒成立，求a的取值范围．31. 已知函数f(x)=e x−a，g(x)=ln x−b.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)若a=b+2，是否存在直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．x3−x2+2，M为函数f(x)图象上一点，曲线y=f(x)在M处的32. 已知函数f(x)=13切线为l.(1)若M点坐标为(0,2)，求切线l的方程；(2)求当切线l的斜率最小时M点的坐标．33. 已知函数f(x)=ln x−mx，m∈R.(1)若f(x)在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求该切线的方程；(2)设函数g(x)=1x2+f(x)有两个相异的极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围．2−8ln x (a∈R)34. 已知函数f(x)=2x−ax(1)若f(x)在点A(1,f(1))处取得极值，求过点A且与f(x)在x=a处的切线平行的直线方程；(2)若函数f(x)有两个都大于1的极值点x1,x2(1<x1<x2)，求证：当m≤1时，总有a ln x1>m(5x2−x22)成立．1−x135. 已知函数f(x)=−x3+ax2−4(a∈R)．(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1, f(1))处的切线的倾斜角为π，求a的值；4(2)若存在t∈(0, +∞)，使f(t)>0，求a的取值范围．参考答案与试题解析导数的几何意义专题练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】根据切点在切线上可求出f(4)的值，然后根据导数的几何意义求出f′(4)的值，从而可求出所求．【解答】解：根据切点在切线上可知当x=4时，y=17，∴f(4)=17，∵函数y=f(x)的图象在x=4处的切线方程是y=3x+5，∴f′(4)=3，则f(4)+f′(4)=17+3=20．故选B．2.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f(x)=x3−7x2+1，所以f′(x)=3x2−14x，所以f(x)在(4,f(4))处切线的斜率为f′(4)=3×42−14×4=−8．故选A.3.【答案】D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性函数的图象与图象变化导数的几何意义【解析】由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等式.【解答】解：由图象可知， f (7)=0 ，即原不等式转化为(x −2)f ′(x )>0又由于三次函数y =f (x )的导函数是二次函数，结合f (x )的图象可知， x =1和x =4分别是函数f (x )的极小值点和极大值点，则x =1和x =4是函数f ′(x )的两个零点，我们可以做出导函数f ′(x )的图象如图，由图象可知，当x <1时， f ′(x )<0， 当1<x <4时， f ′(x )>0， 当x >4时， f ′(x )<0接下来利用符号法则即可求解，当x <1时，f ′(x )<0，而x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，故x <1满足题意； 当1<x <2时， f ′(x )>0，但x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 当2<x <4时， f ′(x )>0，且x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，满足题意； 当x >4时， f ′(x )<0，但x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 综上所述，不等式x ⋅f ′(x )>0的解为x <1或者2<x <4， 故不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集 {x|x <1或2<x <4}. 故选D ． 4.【答案】 D【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1. 故选D . 5.【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1.故选C . 6.【答案】 A【考点】斜率的计算公式 导数的几何意义【解析】由图象可知直线1经过(2,3) (0,1) ，由两点的斜率公式可得切线l 的斜率，再由导数的几何意义可得所求值． 【解答】解：由图象可得直线l 与曲线y =f (x )相切的切点为(2,3)， ∵ 直线l 经过点(0,1)， ∴ 直线l 的斜率为k =3−12−0=1，由导数的几何意义可得f ′(2)=k =1. 故选A ． 7.【答案】 C【考点】导数的几何意义 函数的图象【解析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果． 【解答】解：由图可知，函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，∴ y =f ′(x )<0在(−∞,0)上恒成立，排除选项B 和D . 函数f (x )在(0,+∞)上先递减后递增再递减，∴ y =f ′(x )在(0,+∞)上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确． 故选C ． 8.【考点】导数的几何意义【解析】无【解答】解：由题得f′(x)=53−22x+1，∴f′(1)=1．∵limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=1，∴limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=12．故选B．9.【答案】C【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得y′=1x+2=a,解得x=1a−2，∴ a(1a −2)+2a=ln(1a+2−2),解得a=1e.故选C.10.【答案】A【考点】导数的几何意义利用导数研究函数的单调性【解析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立”转换成当x>0时，f′(x)≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，则f′(x)=ax+x≥2在(0, +∞)上恒成立，则a≥(2x−x2)max=1，即a的取值范围是[1, +∞). 故选A．11.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】【解答】解：∵f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=−3，∴f′(1)=limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=13×(−3)=−1，∴f′(1)=−1．故选B．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性导数的几何意义函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R，且F(−x)=F(x)，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x>0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．【解答】解：∵函数的定义域为R，且F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)，∴函数F(x)是偶函数，∵f(x)={e −x+2mx+m，x<0，e x(x−1)，x≥0，（e为自然对数的底），∴f(−x)={e −x(−x−1)， x≤0，e2−2mx+m， x>0，又因为F(x)有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根，即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根， 令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数，下面求H (x )过(12,0)的切线斜率．设切点为Q (t,t e t )，t >0，则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )，将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)，即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍）， 此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点；当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ．故选D .二、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）13.【答案】6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f ′(x )=6x 2，所以f ′(1)=6．故答案为：6．14.【答案】【考点】导数的几何意义【解析】先求出曲线y＝ln x−的导数，得到曲线在x＝1处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到tanα的值，进一步求出sin2α的值．【解答】由y＝ln x−，得y′＝，∴曲线y＝ln x−在x＝3处的切线斜率k＝2，∵曲线y＝ln x−在x＝2处的切线的倾斜角为α，∴tanα＝2，∴sin2α＝5sinαcosα＝．15.【答案】A>C>B【考点】导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义．【解答】解：设M(a,f(a))，N(a+1,f(a+1))，表示直线MN的斜率k MN；则C=f(a+1)−f(a)(a+1)−aA=f′(a)表示函数f(x)在点M处的切线的斜率；B=f′(a+1)表示函数f(x)在点N处的切线的斜率，作出函数f(x)的大致图像，由图易知f′(a)>k MN>f′(a+1)，所以A>C>B．故答案为：A>C>B．16.【答案】8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．【解答】，解：函数f(x)=x+ln x的导函数为f′(x)=1+1x=2，所以切线l的方程为y−1=2(x−1)，则f′(1)=1+11即y=2x−1，因为直线l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=2x−1，即ax2+ax+2=0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ=a2−4×2a=0，解得a=8．故答案为：8．17.【答案】7x−v−4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得切线方程．【解答】由函数f(x)=2x3+x，得f′(x)=6x2+1f′(1)=7，即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为k=7，又f(1)=3．曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=7(x−1)，即7x−y−4=0故答案为：7x−y−4=018.【答案】y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求出f(0)和f′(0)即可因为f(x)=x3，所以f(0)=0,f′(x)=3x2所以f′(0)=0所以曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为：y−0=0×(x−0)即y=0故答案为：y=019.【答案】92(e−1)【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导得f′(x)=e x−ln x−1，故f′(1)=e−1，再结合f(1)=e+2和直线的点斜式方程得切线方程y−(e+2)=(e−1)(x−1)，进而求在坐标轴上的点的坐标，计算三角形的面积．【解答】解：因为f′(x)=e x−ln x−1，所以f′(1)=e−1，又f(1)=e+2，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e+2)=(e−1)(x−1)，切线交两坐标轴于点A(0,3)，B(31−e,0)，所以S△AOB=12⋅OA⋅OB=92(e−1).故答案为：92(e−1).20.【答案】−3【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，求出a，b的值，即可得解．【解答】解：函数y=x3+ax2(a∈R)的导数为f′(x)=3x2+2ax，可得函数在点(1,b)处的切线斜率为：k=f′(1)=3+2a=−1，所以a=−2，因为点(1,b)在函数y=x3+ax2(a∈R)上，所以b=1+a=−1，所以a+b=−2+(−1)=−3.故答案为：−3.21.y=x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】略22.【答案】(−∞,e]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=e x，切点为(x0，e x0)，f′(x)=e x，∴ k=e x0，b=e x0−kx0=e x0(1−x0)，∴ k+b=e x0+e x0(1−x0)=e x0(2−x0).令g(x)=e x(2−x)，g′(x)=e x(2−x)−e x=e x(1−x)，当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.又g(1)=e，∴ k+b的取值范围是(−∞,e].故答案为：(−∞,e].23.【答案】25【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线2x+3y=0的斜率为−23，设曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l的斜率为k，则k⋅(−23)=−1,k=32，又曲线y=1x +ln xa在x=1处有切线l，则y′=−1x2+1ax，y′(1)=1a−1=k,即1a −1=32，解得a=25.故答案为：25.24.【答案】6−2ln25【考点】导数的几何意义点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为(0,+∞)，由y=14x2−12ln x内导数为y′=12x−12x,令12x−12x=34,可得x=2或x=−12(舍去),所以切点为(2,1−12ln2).它到直线y=34x−2即3x−4y−8=0的距离d=√9+16=6−2ln25,即点P到直线y=34x−2的距离的最小值6−2ln25.故答案为：6−2ln25.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）25.【答案】20【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】求出函数的导函数，然后求解在x＝3处的导数值即可．【解答】函数y＝(2x−1)2＝4x2−4x+1，y′＝8x−4．y′|x=3=8×3−4＝20．26.【答案】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】根据导数的定义即可求出．【解答】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．27.【答案】+2，函数的导数f′(x)=−1x2在x＝1处切线的切线斜率k＝f′(1)＝−1+2＝1，f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y−3＝x−1，即y＝x+2．【考点】导数的几何意义【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】函数的导数f′(x)=−1x 2+2，在x ＝1处切线的切线斜率k ＝f′(1)＝−1+2＝1， f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y −3＝x −1，即y ＝x +2．28.【答案】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12，即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0，故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0．从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0．即f(x)>ln x x−1．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】本题考查导数的运算、几何意义、导数与函数的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12， 即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0， 故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0． 从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0． 即f(x)>ln x x−1．29.【答案】（Ⅰ）解：由f ′(x)=1x −ax +b ， 得f ′(1)=1−a +b ，f(1)=−12a +b +1， ∴ 切线l 的方程为y −(−12a +b +1)=(1−a +b)⋅(x −1)， 又切线l 过点(12,12)，∴ 12−(−12a +b +1)=(1−a +b)(12−1)， 解得b =0．∵ g(x)=f(x)−(a −1)x =ln x −12ax 2+(1−a)x +1(x >0)， ∴ g ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x +1x=−a(x−1a )(x+1)x (a >0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．【考点】导数的几何意义不等式的综合【解析】本题考查导数的几何意义、导数、函数、不等式的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：由f′(x)=1x−ax+b，得f′(1)=1−a+b，f(1)=−12a+b+1，∴切线l的方程为y−(−12a+b+1)=(1−a+b)⋅(x−1)，又切线l过点(12,12 )，∴12−(−12a+b+1)=(1−a+b)(12−1)，解得b=0．∵g(x)=f(x)−(a−1)x=ln x−12ax2+(1−a)x+1(x>0)，∴g′(x)=1x−ax+1−a=−ax2+(1−a)x+1x=−a(x−1a)(x+1)x(a>0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．30.【答案】解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x2+a ln x−1，所以ℎ′(x)=2x+ax，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y=x垂直，所以ℎ′(1)=2+a=−1，所以a=−3．（Ⅱ）由题意可得f′(x)≥ln xx，即2x+ax ≥ln xx(x>0)，也即a≥ln x−2x2恒成立，令g(x)=ln x−2x2，g′(x)=1x −4x=1−4x2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减，所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 【考点】函数的单调性与导数的关系 导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性之间的关系． 【解答】 解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x 2+a ln x −1， 所以ℎ′(x)=2x +a x ，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y =x 垂直， 所以 ℎ′(1)=2+a =−1， 所以a =−3．（Ⅱ）由题意可得f ′(x)≥ln x x，即2x +ax ≥ln x x(x >0)，也即a ≥ln x −2x 2恒成立，令g(x)=ln x −2x 2，g ′(x)=1x −4x =1−4x 2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减， 所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 31.【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=e x−1，f ′(x )=e x−1， ∴ f ′(1)=1，f(1)=1，∴ 曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程为y −1=x −1， 即y =x .(2)设直线与曲线y =f (x )相切于点A (x 1,y 1)，与曲线y =g (x )相切于点B (x 2,y 2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】（1）当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，故k=f′(1)=1，再根据点斜式方程求解即可 .（2）设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，①则根据切点在切线上，也在曲线上得{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x2−a(x2−x1)②，，整理得(x1−1)(x2−1)=0，再分当x1=1时和x2=1时两种情况求解即可．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，∴f′(1)=1，f(1)=1，∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y−1=x−1，即y=x.(2)设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.32.【答案】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．33.【答案】解：(1)∵f(x)=ln x−mx，∴f′(x)=1x−m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)，∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的几何意义 利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f (x )=ln x −mx ， ∴ f ′(x )=1x −m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 34. 【答案】解：(1)f ′(x)=2+a x 2−8x=2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴ 2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x 11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 导数的几何意义 【解析】 【解答】解：(1)f ′(x)=2+ax 2−8x =2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴ x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 35.【答案】解：(1)依题意f ′(x)=−3x 2+2ax ， f ′(1)=tan π4=1，∴ −3+2a =1，即a =2． (2)f′(x)=−3x(x −2a 3)．①若a ≤0，当x >0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】（1）求出f(x)的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值；（2）求出f(x)的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在(0, +∞)上为减函数，又x=0时f(x)的值为−4且当x大于0时，f(x)小于−4，所以当a 小于等于0时，不存在x0>0，使f(x0)>0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f(x)的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意a的取值范围．【解答】解：(1)依题意f′(x)=−3x2+2ax，f′(1)=tanπ4=1，∴−3+2a=1，即a=2．(2)f′(x)=−3x(x−2a3)．①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．试卷第31页，总31页。
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。
【答案】或。
【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.2.曲线在横坐标为l的点处的切线为，则点P(3，2)到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】欲求点到直线的距离，需知点的坐标和直线的方程，由公式,计算可得.由于直线为已知曲线方程的切线，且已知切点，这样一般通过求导数得到切线的斜率，由点斜式得到直线方程.，，.【考点】（1）导数与切线的关系；（2）点到直线的距离.3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由曲线在点处的切线方程为得：，从而可得：，所以曲线在点处切线的斜率为４；故选Ｂ．【考点】函数导数的几何意义．4.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.5.曲线在点处的切线斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得到，把x=0代入得：，则曲线在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．【考点】1．直线的斜率；2．导数的几何意义．6.已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn ，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N +），其中x n为正实数．（1）用xn 表示xn+1；（2）若x1=4，记an=lg，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（3）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】（1）由题设条件知曲线y=f（x）在点处的切线方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能够导出．（3）由题设知，所以，由此可知．解：（1）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得．即．显然，∴．（2）由，知，’同理．----6’故．-----7’从而，即．所以，数列成等比数列．---8’故．即．----9’从而,所以．----10’（3）由（Ⅱ）知，∴∴ ---11’当时，显然．-------12’当时，-----13’∴．综上，．【考点】1．数列递推式；2．等比关系的确定；3．数列的求和；4．不等式的证明．7.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．8.已知曲线：（1）试求曲线在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线C的切线方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）先求出的值，再求函数的导函数，求得的值即为点斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）设切点为，利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．（1）∵，∴，求导数得：，∴切线的斜率为，∴所求切线方程为，即：．（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为．又∵所求切线与直线平行，∴，解得：，代入曲线方程得：切点为或，∴所求切线方程为：或，即：或．【考点】1、导数的计算；2、导数的几何意义．9.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义10.过点恰可以作曲线的两条切线，则的值为；【答案】0或1或9【解析】设切点，则有所以或.因为过点恰可以作曲线的两条切线，，所以方程有不等于零的两个等根或包含零的两个不等根.由得或，此时方程的根非零.当方程有零根时，，此时方程还有另一根【考点】导数求切线11.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为．【答案】【解析】曲线在点处切线的方程为：.【考点】导数的几何性质.12.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.13.在曲线处的切线方程为。
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
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专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义2019年1.（2019全国Ⅰ文13）曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．2.（2019全国Ⅱ文10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=3.（2019全国三文7）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =-4.（2019天津文11）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 5.（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的 切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax ．若()f x 为奇函数，则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为A ．2=-y xB ．y x =-C ．2=y xD ．=y x2．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -=B ．2()f x x=C ．()3xf x -=D ．()cos f x x =3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．e x y =D ．3y x =4．（2016年四川）设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩，图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ． (0,+∞)D ．(1,+ ∞) 5．（2013浙江）已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如右图所示，则该函数的图像是6．（2014新课标）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．(2011重庆)曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为A ．31y x =-B ．33y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =8．（2011江西）曲线xy e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ）A ．1B ．2C ．eD ．1e9．（2011山东）曲线211y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是A ．-9B ．-3C ．9D ．15 10．（2011湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．211．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 12．（2010辽宁）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题13．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln =y x 在点(1,0)处的切线方程为__________．14．(2018天津)已知函数()ln x f x e x =，()f x '为()f x 的导函数，则(1)f '的值为__． 15．（2017新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为____________． 16．（2017天津）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l在y 轴上的截距为 ．17．（2016年全国III 卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________．18．（2015新课标1）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 的处的切线过点(2,7)，则a = ．19．（2015陕西）函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________．20．（2015天津）已知函数()ln f x ax x =，()0,x ∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为 ．21．（2015新课标2）已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a ．22．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 23．（2014江西）若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______．24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________． 三、解答题27．（2017山东）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ． (Ⅰ)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(Ⅱ)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．28．（2017北京）已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29．（2016年北京）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.30．（2015山东）设函数()()ln f x x a x =+，2()x x g x e=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f处的切线与直线02=-y x 平行． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使的方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{}min ,p q 表示,p q 中的较小值），求)(x m 的最大值．31．(2014新课标1)设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0 （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 32．（2013北京）已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值． （2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围．专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义答案部分 2019年1.解析 因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 由y =2sin x +cos x ，得2cos sin y x x '=-，所以π2cos πsin π=-2x y ='=-，所以曲线y =2sin x +cos x 在点(π,1)-处的切线方程为12(π)y x +=--， 即2210x y +-π+=． 故选C ．3.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1xy a x =++， 又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ． 4.解析 由题意，可知1sin 2y x '=--.因为1sin 002y x '=--==所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程112y x -=-，即220x y +-=． 5.解析 设00(,ln )A x x ，由ln y x =，得1'y x=，所以001'|x x y x ==，则该曲线在点A 处的切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，因为切线经过点(e,1)--， 所以00e 1ln 1x x --=--，即00eln x x =，则0e x =．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇年函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0) 处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ． 2．A 【解析】对于选项A ，1()2()2-==xx f x ， 则1()()()22=⋅=x x x x e e f x e ，∵12>e，∴()xe f x )在R 上单调递增，∴()2-=x f x 具有M 性质．对于选项B ，2()=f x x ，2()=x x e f x e x ，2[()](2)'=+x x e f x e x x ，令2(2)0+>x e x x ，得0>x 或2<-x ；令2(2)0+<x e x x ，得20-<<x ，∴函数()xe f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，∴2()=f x x 不具有M 性质．对于选项C ，1()3()3-==x xf x ，则1()()()33=⋅=xxxxe ef x e ，∵13<e ，∴()3=x ey 在R 上单调递减，∴()3-=x f x 不具有M 性质．对于选项D ，()cos =f x x ，()cos =xxe f x e x ，则[cos ](cos sin )0'=-≥xxe x e x x 在R 上不恒成立，故()cos =xxe f x e x 在R 上不是单调递增的，所以()cos =f x x 不具有M 性质．3．A 【解析】设两个切点分别为11(,)x y ，22(,)x y ，选项A 中，cos y x '=，12cos cos 1x x =-，当120,x x π==时满足，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.4．A 【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得 12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭． 分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为211121121(,ln )11x x P x x x -+++．∵11x >， ∴2112211211||||1211PABA B P x x S y y x x x ∆+=-⋅=<=++，∴01PAB S ∆<<，故选A ． 5．B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B ． 6．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 7．A 【解析】∵236y x x '=-+∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故选A.8．A 【解析】xy e '=，0x =，01e =．9．C 【解析】∵23y x '=，切点为(1,12)P ，所以切线的斜率为3， 故切线方程为390x y -+=，令0x =得9y =．10．B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'==++，所以2112(sincos )444y x πππ'===+。