高中数学专题：导数几何意义的必会题型

常考题型精析 高考题型精练
常考题型精析
题型一 直接求切线或切线斜率问题 题型二 导数几何意义的综合应用
题型一 直接求切线或切线斜率问题
例1 (1)(课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1， f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝______. 1 解析 f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. (1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1). 将(2,7)代入切线方程， 得7－(a＋2)＝(1＋3a)， 解得a＝1.
(3)证明:对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋ ∞)时，恒有x2<cex. 证明 方法一 ①若c≥1，则ex≤cex. 又由(2)知，当x>0时，x2<ex. 所以当x>0时，x2<cex. 取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex. ②若 0<c<1，令 k＝1c>1，要使不等式 x2<cex 成立，只要 ex>kx2 成立.
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b2
所以a＋b c≥2
ac 2 b>
b
4 ＝1，
即f′b1－1＝a＋b c的取值范围是(1，＋∞).
答案 A
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6.已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0，16)且与曲线y＝f(x)相
∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与 直线y＝0和y＝x围成的三角形如图 所示，其中直线 y＝－2x＋2 与 y＝x
的交点为 A23，32， 所以三角形面积 S＝12×1×23＝13. 答案 A
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3.曲线y＝x＋x 2 在点(－1，－1)处的切线方程为( A )
将点(1,0)代入②式得，－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，
当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值， 且极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值.
(2)证明:当x>0时，x2<ex； 证明 令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0. 故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0， 因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.
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1.(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞ 0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为( )
A.(－1，－1)
B.(1,1)
C.2，12
D.12，2
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8.(2014·江西)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y ＋1＝0，则点P的坐标是__(_e_，__e_) _. 解析 设P(x0，y0).∵y＝xln x， ∴y′＝ln x＋x·1x＝1＋ln x. ∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e. ∴y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e).
>(2x)2·(2x)2；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 x>x0 时，ex>(2x)2(2x)2>4c(2x)2＝1cx2.
因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)
时，恒有x2<cex.
方法三 首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有13x3<ex.
证明如下：
令 h(x)＝13x3－ex，则 h′(x)＝x2－ex. 由(2)知，当x>0时，x2<ex. 从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以 h(x)<h(0)＝－1<0，即13x3<ex.
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2.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成
的三角形的面积为( )
1
1
2
A.3
B.2
C.3
D.1
解析 因为y′＝－2e－2x， ∴曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，
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专题3 函数与导数
第12练 导数几何意义的必会题型
题型分析·高考展望
本部分题目考查导数的几何意义:函数f(x)在x＝x0处的导 数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要 为选择题和填空题或者在综合题的某一步中出现(难度为 低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x0，y0)的切 线还是在点(x0，y0)处的切线.
切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝_______8_. 解析 由 y＝x＋ln x，得 y′＝1＋1x， 得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2， 所以切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
消去y得ax2＋ax＋2＝0， 得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________.
解析 设切点坐标为(t，t3－at＋a).
由题意知，f′(x)＝3x2－a，
切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a，
①
所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t). ②
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易知k>ln k，k>ln 2,5k>0.所以h(x0)>0. 即存在 x0＝1c6，当 x∈(x0，＋∞)时，恒有 x2<cex.
综上可知，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0， ＋∞)时，恒有x2<cex.
方法二
对任意给定的正数c，取x0＝
4， c
xx
由(2)知，当 x>0 时，ex>x2，所以 ex＝ e2 e2
解析 y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1， 设 P(m，n)，y＝1x(x>0)的导数为 y′＝－x12 (x>0)， 曲线 y＝1x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12 (m>0)， 因为两切线垂直， 所以k1k2＝－1， 所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1). 答案 B
4.曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则 实数a的值为( A )
A.2
B.－2
C.
1 2
D.－
1 2
解析 依题意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2，
所以－1a×2＝－1，a＝2，故选 A.
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切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是( )
A.－3 B.3 C.6 D.9
解析 先设切点为M(x0，y0)，
则切点在曲线 y0＝x30－3x0 上，
①
求导数得到切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x20－3，
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又切线过 A、M 两点，所以 k＝y0－x016，
则 3x20－3＝y0－x016.
②
联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2， －2－16
从而实数 a 的值为 a＝k＝ －2 ＝9. 答案 D
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7.设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若
f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )
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9.(陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________. 解析 设y＝f(x)＝xex， 令y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＝0，得x＝－1. 当x＜－1时，y′＜0； 当x＞－1时，y′＞0， 故x＝－1为函数f(x)的极值点，切线斜率为0，
5.若曲线 f(x)＝13ax3＋21bx2＋cx＋d (a，b，c>0)上不存在斜率
为 0 的切线，则f′b1－1 的取值范围是(
)
A.(1，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.[2，＋∞)
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解析 因为函数f′(x)＝ax2＋bx＋c， 所以f′b1－1＝a＋bb＋c－1＝a＋b c. 函数f(x)图象上不存在斜率为0的切线，也就是f′(x)＝0 无解， 故 Δ＝b2－4ac<0，即 ac>b42，
A.y＝2x＋1
B.y＝2x－1
C.y＝－2x－3
D.y＝－2x－2
解析 易知点(－1，－1)在曲线上，
且 y′＝x＋x＋2－22x＝x＋222，所以切线斜率 k＝y′|x＝－1＝2. 由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
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A.y＝3x
B.y＝－2x
C.y＝－3x
D.y＝2x
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f′(x)是偶函数，
∴a＝0，即f′(x)＝3x2－3.