高中数学导数题型分类非常全
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
导数题型总结
导数题型总结导数题型总结导数及其应用题型总结题型一：切线问题①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f”(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P （-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。
题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos （x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f”(x)是奇函数，求y=g （x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1，（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。
题型四：导数与函数图像问题例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y题型五：利用导数研究函数的极值和最值例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极yy32323oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。
求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。
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第三讲导数的应用研热点（聚焦突破）类型一利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x)就是曲线y＝f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率,即k＝f′(x)；(2)曲线y＝f(x)在点(x0,f(x))处的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)＝a e x＋1aex＋b(a>0)．在点(2,f(2))处的切线方程为y＝32x,求a,b的值．[解析]∵f′(x)＝a e x－1 aex,∴f′(2)＝a e2－1ae2＝32, 解得a e2＝2或a e2＝－12(舍去),所以a＝2e2,代入原函数可得2＋12＋b＝3, 即b＝12, 故a＝2e2,b＝12.跟踪训练已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线,求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t),即y＝(3t2－1)·x－2t3,将点(1,0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0,解得t＝1或－,代入y＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线,则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实根,记g(t)＝2t3－3at2＋a.则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当a>0时,函数g(t)的极大值是g(0)＝a,极小值是g(a)＝－a3＋a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a>0且－a3＋a<0,即a>0且a2－1>0,即a>1；当a＝0时,函数g(t)单调递增,方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；当a<0时,函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a,极小值是g(0)＝a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a<0且－a3＋a>0,即a<0且a2－1>0,即a<－1.综上所述,a的取值范围是(－∞,－1)∪(1,＋∞)．类型二利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果f′(x)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递减．[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝(k为常数,e＝2.718 28…是自然对数的底数),曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间． [解析] (1)由f (x )＝ln x ＋kex, 得f ′(x )＝1－kx －xln xxex ,x ∈(0,＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f ′(1)＝0,因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝(1－x －x ln x ),x ∈(0,＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ,x ∈(0,＋∞), 当x ∈(0,1)时,h (x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,h (x )<0.又e x >0,所以当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,＋∞)．跟踪训练若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间,求实数a 的取值范围． 解析：由题知f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax2＋2x －1x ,因为函数f (x )存在单调递减区间,所以f ′(x )＝－ax2＋2x －1x≤0有解．又因为函数的定义域为(0,＋∞),则应有ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解．(1)当a >0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线,所以ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上恒有解； (2)当a <0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线,要使ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解,则Δ＝>0,此时－1<a <0；(3)当a ＝0时,显然符合题意．综上所述,实数a 的取值范围是(－1,＋∞)． 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y ＝f (x )在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根x 0； (3)检查f ′(x )在x ＝x 0左右的符号； ①左正右负⇔f (x )在x ＝x 0处取极大值； ②左负右正⇔f (x )在x ＝x 0处取极小值．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y＝f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．[例3] (2012年高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0),g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,求a,b的值；(2)当a2＝4b时,求函数f(x)＋g(x)的单调区间,并求其在区间(－∞,－1]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝2ax,g′(x)＝3x2＋b,因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,所以f(1)＝g(1),且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b,且2a＝3＋b.解得a＝3,b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时,h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1,h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0,得x1＝－a2,x2＝－a6.a>0时,h(x)与h′(x)的变化情况如下：0 0所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞,－2)和(－6,＋∞)；单调递减区间为(－2,－6)．当－a2≥－1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(－∞,－1]上单调递增,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2<－1,且－a6≥－1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－1]上单调递减,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.当－a6<－1,即a>6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－a6)上单调递减,在区间(－a6,－1]上单调递增,又因为h(－a2)－h(－1)＝1－a＋14a2＝14 (a－2)2>0,所以h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.跟踪训练(2012年珠海摸底)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x3＋3x2＋1（x ≤0）eax （x>0）,在[－2,2]上的最大值为2,则a 的取值范围是( )A ．[12ln 2,＋∞)B ．[0,12ln 2]C ．(－∞,0]D ．(－∞,12ln 2]解析：当x ≤0时,f ′(x )＝6x 2＋6x ,易知函数f (x )在(－∞,0]上的极大值点是x ＝－1,且f (－1)＝2,故只要在(0,2]上,e ax ≤2即可,即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立,即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立,故a ≤12ln 2. 答案：D析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考辽宁卷)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ,b ∈R,a ,b 为常数),曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ,b 的值；(2)证明：当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 【解析】 (1)由y ＝f (x )过(0,0)点,得b ＝－1.由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y ′⎪⎪x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )⎪⎪x ＝0＝32＋a ,得a ＝0.(2)证明：证法一 由均值不等式,当x >0时, 2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x2＋1. 记h (x )＝f (x )－9x x ＋6, 则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54（x ＋6）2＝2＋x ＋12（x ＋1）－54（x ＋6）2<x ＋64（x ＋1）－54（x ＋6）2 ＝（x ＋6）3－216（x ＋1）4（x ＋1）（x ＋6）2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1), 则当0<x <2时,g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数． 又由g (0)＝0,得g (x )<0,所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数． 又h (0)＝0,得h (x )<0.于是当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 证法二 由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1.由均值不等式,当x >0时,2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x 2＋1.① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ,则k(0)＝0,k′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1<0,故k(x)<0,即ln(x＋1)<x.②由①②得,当x>0时,f(x)<32 x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x,则当0<x<2时,h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9<32x＋(x＋6)·(1x＋1＋12x＋1)－9＝12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(2＋x＋1)－18(x＋1)]<12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(3＋x2)－18(x＋1)]＝x4（x＋1）(7x－18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减．又h(0)＝0,所以h(x)<0,即f(x)<9xx＋6.【名师点睛】本题主要考查导数的应用和不等式的证明以及转化与化归能力,难度较大．本题不等式的证明关键在于构造函数利用最值来解决．考情展望高考对导数的应用的考查综合性较强,一般为解答题,着重考查以下几个方面：一是利用导数的几何意义来解题；二是讨论函数的单调性；三是利用导数研究函数的极值与最值．常涉及不等式的证明、方程根的讨论等问题名师押题【押题】已知f(x)＝ax－ln x,x∈(0,e],g(x)＝ln xx,其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a＝1时,f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2；(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题知当a＝1时,f′(x)＝1－1x＝x－1x,因为当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明因为f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1.令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12,h′(x)＝1－ln xx2,当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增,所以h(x)max＝h(e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min,所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2.(3)假设存在实数a,使f(x)＝ax－ln x(x∈(0,e])有最小值3,f′(x)＝a－1x＝ax－1x.①当a≤0时,因为x∈(0,e],所以f′(x)<0,而f(x)在(0,e]上单调递减,所以f(x)min＝f(e)＝a e－1＝3,a＝4e(舍去),此时f(x)无最小值；②当0<1a <e 时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,e]上单调递增,所以f (x )min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3,a ＝e 2,满足条件；③当1a≥e 时,因为x ∈(0,e],所以f ′(x )<0,所以f (x )在(0,e]上单调递减,f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3,a ＝4e (舍去)此时f (x )无最小值．综上,存在实数a ＝e 2,使得当x ∈(0,e]时,f (x )有最小值3.知识改变命运。
导数(非常典型非常全)
知识要点1. 导数的定义：一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.2. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((00'0x x x f y y -=-导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
导数的几何意义：导数就是切线斜率。
3.基本初等函数的导数公式：0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= )0(ln )('>=a a a a x x x x e e =')()1,0(ln 1)(log '≠>=a a ax x a x x 1)(ln '=4.导数运算法则：[])()()()('''x g x f x g x f ±=±[])()()()()()('''x g x f x g x f x g x f +=∙[])0)(()()()()()()()(2'''≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f 注：)()(x g x f 、必须是可导函数.5.复合函数的求导法则：（整体代换）例如：已知2()3sin (2)3f x x π=+，求'()f x 。
导数的基本题型归纳
导数基础题型题型一 导数与切线利用两个等量关系解题：①切点处的导数=切线斜率,即()k x f o ='；②切点()o o y x ,代入曲线方程或者代入切线方程.切点坐标或切点横坐标是关键例1：曲线y ＝错误!在点－1,－1处的切线方程为A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 例2：已知函数的图象在点1,f 1处的切线方程是x －2y ＋1＝0,则f 1＋2f ′1的值是B ．1 D ．2例3 求曲线132+=x y 过点1,1的切线方程练习题：1.已知函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切,则a ＝D ．12.曲线y ＝x 3＋11在点P 1,12处的切线与y 轴交点的纵坐标是A ．－9B ．－3C ．9D ．153.设曲线y ＝错误!在点3,2处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直,则a 等于A ．2B ．－2C ．－错误!4.设曲线y ＝ax 2在点1,a 处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a ＝________.5.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点1,0处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程；题型二 用导数求函数的单调区间①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④划分区间注意：定义域参与区间的划分；⑤判断导数在各个区间的正负.例1：求函数c x x x y +-+=33123的单调区间.例2 求函数x a x a x x f )1(ln 21)(2+-+=的单调区间其中a ＞0例3：已知函数ax x y +=2在),1[+∞上为增函数,求a 的取值范围.练习题：1.求函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间.2.已知331)(23-++=x ax x x f 在]3,1[上单调递减,求a 的取值范围.题型三 求函数极值和最值①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④列表注意：定义域参与区间的划分；⑤确定极值点.；5,求出极值,区间端点的函数值,比较后得出最值例：求函数x x y ln 2-=的极值.例：求函数y ＝x ＋2cos x 在区间错误!上的最大值.例：已知函数fx ＝2x 3－6x 2＋mm 为常数在－2,2上有最大值3,那么此函数在－2,2上的最小值为A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11例：若函数b bx x x f 36)(3+-=在)1,0(内有极小值,则实数b 的取值范围是A ．)1,0(B ．)1,(-∞C ．),0(∞+D ．)21,0(练习题：1.设函数x xx f ln 2)(+=则 =21为fx 的极大值点 =21为fx 的极小值点 =2为fx 的极大值点 =2为fx 的极小值点2. 已知函数xbx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值,则a 与b 满足 .,题型四、函数与导数图象的关系▲函数看增减,导数看正负例：若函数c=2)(的图象的顶点在第四象限,则函数f′x的图象是+bxxxf+练习题：1.下图是函数y=fx的导函数y=f′x的图象,则下面判断正确的是A.在区间-2,1内fx是增函数B.在1,3内fx是减函数C.在4,5内fx是增函数D.在x=2时fx取到极小值2. f′x是fx的导函数,f′x的图象如右图所示,则fx的图象只可能是A B C D。
导数八大题型汇总
导数八大题型汇总
以下是导数的八大题型汇总：
1. 基本函数的导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数。
2. 和、差、积的导数：给定两个或多个函数，求其和、差、积的导数。
3. 商的导数：给定两个函数，求其商的导数。
4. 复合函数的导数：给定一个函数和另一个函数的复合，求复合函数的导数。
5. 反函数的导数：给定一个函数和其反函数，求反函数的导数。
6. 参数方程的导数：给定一个参数方程，求其对应的函数的导数。
7. 隐函数的导数：给定一个隐函数关系式，求导数。
8. 极限的导数：给定一个函数的极限，求其导数。
这些题型涵盖了导数的常见应用场景，掌握这些题型可以更好地理解和运用导数的概念和计算方法。
高中数学导数题型归纳总结
高中数学导数题型归纳总结高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。
在考试中，导数题型往往是必考的内容。
为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。
1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。
常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。
例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。
3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。
链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。
4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。
常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。
5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。
6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。
反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。
7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。
例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。
除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。
这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。
总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。
通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。
高考导数压轴题型归类总结
⑴当a 0时，f (x) x2e x ，f '(x) (x2 2x)e x，故f '(1) 3e.
所以曲线y f (x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为3e.
f '(x) x (a 2)x 2a 4ae . ⑵
2
2
x
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m
令f '(x) 0，解得x 2a，或x a 2.由a 2 知， 2a a 2. 3
函数f ( x)在x 2a处取得极大值f (2a)，且f (2a) 3ae 2a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
函数f (x)在x a 2处取得极小值f (a 2)，且f (a 2) (4 3a)ea2.
② 若a ＜ 2 ，则 2a ＞ a 2 ，当 x 变化时， f '(x)，f (x) 的变化情况如下表： 3
5
已知函数 f (x) =ln(1+ x )- x + x x2 ( k ≥0). 2
(Ⅰ)当 k =2时，求曲线 y = f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 f (x) 的单调区间.
解：（I）当 k 2 时， f (x) ln(1 x) x x2 ， f '(x) 1 1 2x 1 x
(0,)
，
令 g(x) ax2 x 1 a, x (0,),
8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零 点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)
已知函数 f (x) ln x, g(x) ex.
⑴若函数 φ (x) = f (x)－ x 1 ，求函数 φ (x)的单调区间； x1
2
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导数
1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-
'()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ ''
'2()u u v uv v v
-= 3.复合函数的求导法则：（整体代换）
例如：已知2()3sin (2)3
f x x π
=+，求'()f x 。
4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。
6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。
【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4
y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为223s t t
=+（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 。
【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用）
3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。
4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。
5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。
6.若2
3ln 4
x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。
7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。
8.已知曲线11
x y x +=-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。
9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。
10.若曲线)(x h y =在点（,()a h a ）处切线方程为012=++y x ，那么（ ）
A ．0)('<a h B. 0)('>a h C. 0)('=a h D. )('a h 的符号不定
11.曲线46323+++=x x x y 的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 。
12.求曲线3231y x x =-++过点(1,1)和(2,5)的切线方程。
【易错题】
【题型四】导数与单调区间
13.函数13)(23+-=x x x f 的减区间为 。
14.函数)0,0(≥>=-x n e x y x n 的单调递增区间为 。
15.判断函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ） A.3(,)22ππ B.(,)22
ππ- C.(,2)ππ D.(0,)π 16.已知函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是 。
【题型五】导数与极值、最值
17.函数3125y x x =-+在x = 时取得极大值 ，在x = 时取得极小值 。
18.函数32()23f x x x =-+在[1,1]-上的最大值是 ，与最小值是 。
19.函数)0(≥-=x x x y 的最大值为 。
20.函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值, 则=a 。
21.已知a a x x x f (62)(23+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是 。
22.已知函数322+--=x x y 在区间[,2]a 上的最大值为154
, 则a = 。
23.函数⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈-=2,2,2sin ππx x x y 的最大值是 ，最小值是 。
24.若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围。
【题型六】导数与零点，恒成立问题
零点定理：若函数()f x 在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间[,]a b 上是至少有一个零点。
（即()0f x =在区间[,]a b 上是至少有一个解）
25.判断函数2()log (2)f x x x =+-在[1,3]上是否存在零点？
26.已知[1,3]x ∈-，且144234++-≤x x x a 恒成立，则a 的最大值为 。