圆锥曲线大题十个大招——面积问题

招式五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧⎪⎨⎪⎩1b∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+=223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。

当且仅当2219k k =，即k =时等号成立。

当0k =时，AB =， 综上所述max 2AB =。

∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。

例题2、已知椭圆C:2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =． ∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 例题3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BDx x k x x x x⎡=-=++-=⎣；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k -，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． 练习1.己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C于点G .①求证：PQG 是直角三角形； ②求PQG 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）①证明见解析；②169【解析】 【分析】（1）解方程组2222221312c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可； （2）①设直线PQ 的斜率为k .则其方程为()0y kx k =>，联立直线与椭圆方程得到,,P Q E 坐标，再由QG 与椭圆方程联立得到G 点坐标，证明斜率乘积等于1-即可；②利用两点间的距离公式算得,PQ PG 的长度，将三角形的面积用k 表示，再结合双勾函数的单调性即可得到答案.【详解】（1）由题意，2c a =，221123a b +=，222a b c =+，解得2,a b ==所以椭圆的方程为：22142x y +=.（2）①：设直线PQ 的斜率为k .则其方程为()0y kx k =>.由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =记u =，则(),P u uk ，(),Q u uk --，(),0E u .于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-. 由22()2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=.① 设(),G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+. 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+. 所以PQ PG ⊥，即PQG 是直角三角形.②：由①得||2PQ =22||2PG k==+， 所以PQG 的面积12S PQ PG ==122⨯=2222(1)2u k k k ++，又u =，所以22222418(1)8(1)2(12)(2)252k k k k S PQ PG k k k k ++===++++218()112()k k k k+=++. 设1t k k=+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号. 因为2881122t S t t t==++，而11222()y t t t t=+=+在[2,)+∞单调递增，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，PQG 面积的最大值为169.练习2.点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32-． （ⅰ）证明：直线AP 与BP 的斜率之积为定值； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程，化简后求得轨迹C 的方程. （Ⅱ）（ⅰ）利用点差法，求得34AP BP k k ⋅=-，由此证得结论成立. （ⅱ）利用弦长公式求得AP ，利用点到直线的距离公式求得B 到直线AP 的距离，由此求得三角形ABP面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形ABP 面积的最大值.【详解】12=，两边平方并化简得223412x y +=，即点M 的轨迹C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足2211143x y +=， ①设点()22,P x y ，满足2222143x y +=， ②由①－②得：()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，∵121232AP y y k x x -=-=--，1212BP y y k x x +=+，∴()()()()1212121234AP BP y y y y k k x x x x -+⋅==--+． （ⅱ）∵A ，B 关于原点对称，∴2ABP OAP S S =△△，设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22:143x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：212m <，12x x m +=，21233m x x -=，12AP x =-==，点O 到直线AP的距离d =，∴1222ABP OAPS S AP d ==⨯⨯⋅==△△，∴ABPS ==△，当26m =时，∴ABPS △取到最大值练习3.已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -，21,0F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；内切圆面积的最大值为916π，直线的方程为1x = 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得1c =，由||3PQ =，可得223b a=，又221a b -=，由此可求椭圆方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨10y >，20y <，设△1F MN 的内切圆的径R ，则△1F MN 的周长48a ==，1111(||||||)42F MNSMN F M F N R R =++=，因此1MNF S 最大，R 就最大．设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，从而可表示△1F MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【详解】解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由焦点坐标可得1c =.由3PQ =，可得223b a =.又221a b -=，得2a =，b =故椭圆方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨令10y >，20y <， 设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，则R 最大，此时1MNF S也最大.112121212F MNSF F y y y y =-=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-=，得1y =，2y =，则112F MNS y y =-=△，令t 1t ≥，则1212121313F MNt S t t t===++△令()13f t t t=+，则()213f t t '=-， 当1t ≥时，()0f t '>，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增， 有()()14f t f ≥=，11234F MN S ≤=△， 当1t =，0m =时，13F MN S =△，又14F MN S R =△，∴max 34R =这时所求内切圆面积的最大值为916π，此时直线的方程为1x = 练习4：抛物线()2:20C x py p =>，Q 为直线2py =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M ，N .（1）证明：直线MN 过定点；（2）若以50,2p G ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线MN 相切，且切点为线段MN 的中点，求该圆的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）24p π或22p π 【解析】 【分析】（1）设点,2P Q t ⎛⎫-⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，利用导数求出切线MQ 的斜率，再利用斜率公式求出切线MQ 的斜率，进而求出直线MN 的方程，从而可证明直线MN 过定点；（2）将直线MN 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，求出H 点坐标，借助向量垂直的坐标运算，求得0t =或t p =±，进而求得圆的面积.【详解】（1）设,2P Q t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,M x y ，则2112x py =， 由2222x x py y p =⇒=， 所以x y p '=，所以切线MQ 的斜率为1MQ xk p =， 故1112py x x t p+=-，整理得211220tx py p -+=，设()22,N x y ，同理可得222220tx py p -+=，所以直线MN 的方程为2220tx py p -+=，所以直线MN 恒过定点0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由（1）得直线MN 的方程为2txpy p =+， 由222tx py p xy p⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2220x tx p --=，122x x t +=，()212122t t y y x x p p p p +=++=+，设H 为线段MN 的中点，则2,2t p H t p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于GH MN ⊥，而2,2t GH t p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， MN 与向量1,t n p ⎛⎫= ⎪⎝⎭平行，所以220t t t p p p ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得0t =或t p =±，当0t =时，圆G 半径2R GH p ==，所以圆G 的面积为24p π， 当t p =±时，圆G 半径2R GH p ==，所以圆G 的面积为22p π. 所以，该圆的面积为24p π或22p π.。