第7章-点阵常数的测定
6 点阵常数的精确测定
C
C
图 6-3 试样吸收误差产生 的示意图
衍射，衍射线束的中心线由试样中心 C 发出，位置为 P。可见由于吸收产生的衍射线位移 PP与试样在水平方向上位移 CC＝x 产生的衍射线位移是相同的。所以可将吸收误差合并
68
燕大老牛提供
到试样偏心误差中。 综合上述四种误差，可以得到角的总误差为：
燕大老牛提供
6 点阵常数的精确测定
点阵常数是晶体物质的重要参量，它随物质的化学成分和外界条件（温度和压力）而发 生变化。晶体物质的键合能、密度、热膨胀、固溶体类型、固溶度、固态相变、宏观应力等， 都与点阵常数的变化密切相关。 所以， 可通过点阵常数的变化揭示上述问题的物理本质及变 化规律。但在这些过程中，点阵常数的变化一般都是很小的（约为 10-4 量级） ，因此，必须 对点阵常数进行精确的测定。
在背反射区， 接近 90， 很小， sin ， cos 1 。则：
d sin S R x S R x [( ) sin sin ] ( ) sin2 d 1 S R R S R R
在同一张底片上，括号中各项均属恒量，可用常数 K 表示，则有：
(
S R x ) sin cos S R R
6-7)
由于 900 ， ， sin cos ， cos sin ，可将方程(6-2)写成：
d cos sin sin S R x cot [( ) sin cos ] d sin cos cos S R R
－
的数值，故不考虑它的误差，所以，点阵常数的测量精度主要取决于 sin 值。由布拉格方 程可知 sin ，若为常数，则两边取微分： 2d
第7章-点阵常数的测定
曲线外推：通常引入人为主观因素。 直线外推：效果好。
a a0 a a0 bf
若用a0表示点阵常数精确值，则实测的点阵常数a为：
d d
c
os2
(
A s in 2Βιβλιοθήκη Bs in C
D
sin2
4E
sin2 2
)
d d
ctg2 (A B sin
C sin2
D
E
cos2 )
n (HKL)
0.010
0.005 0.0010~
0.000 30 40 50 60 70 80 90
点阵参数测量精度与θ和Δθ的关系
当一定时，采用高角的衍射 线，面间距（或者立方系物质的 点阵参数）误差将减小。
因此，选择角度尽可能高的线条 进行测量。
7.2 误差来源
7.2.1 德拜照相法：
相机半径、 底片伸缩、 试样偏心、 试样吸收
7.1 基本原理
2d sin
a d
H 2 K 2 L2
a
H 2 K 2 L2
2 s in
d
cos 2sin2
d d
a a
cos 2sin2
ctg
2 s in
a
H 2 K 2 L2
2 s in
X射线测定点阵常数是一种 间接方法，它直接测量的是 某一衍射线条对应的θ角，然 后通过晶面间距公式、布拉 格公式计算出点阵常数。
第七章 点阵常数精确测定
点阵常数是晶体的重要基本参数，随化学组分和 外界条件(T,P)而变。 材料研究中，它涉及的问题有：键合能、密度、 热膨胀、固溶体类型、固溶度、固态相变，宏观 应力。 点阵常数的变化量很小，约为10－3 nm ,必须精 确测定。
南开大学材料学院结构分析课后题答案(XRD、中子衍射、电子衍射)
结构分析唐老师部分作业汇总第一次作业1、请写出晶体的定义。
试说明什么是单晶体?什么是多晶体？定义：质点（原子、离子或分子)在空间按一定规律周期性重复排列构成的固体物质。
基本为一个空间点阵所贯穿的整块固体称单晶体，简称单晶；由许多小单晶按不同取向聚集形成的固体称多晶。
2、晶格与点阵是何关系?晶体结构与点阵、结构基元是何关系？原子参数与阵点坐标是何关系？晶体是由原子、离子或分子在空间按一定规律周期性重复地排列所构成的固体物质，将其中周期性排列的重复单元抽象成在空间以同样周期性排列的相同几何点,这些点所构成的阵列称为点阵（lattice)，或空间点阵、空间格子。
沿三个不同的方向，通过点阵中的点阵点可以作许多平行的直线族和平行的晶面族，使点阵形成三维网格。
这些将点阵点全部包括在其中的网格称为晶格.带有原子、离子、分子或其集团的点阵就是晶格。
晶体结构= 点阵+ 结构基元对于点阵点坐标和原子参数，它们对于3个坐标轴的方向是相同的，但是点阵点坐标的度量单位是点阵周期，而原子参数的度量单位是晶胞参数.3、晶体的晶胞类型共分为哪几种？空间格子（点阵)可分为几类？每一类晶系各有多少种空间点阵格子形式?请分别写出.晶胞是描述晶体微观结构的基本单元,有素晶胞和复晶胞之分。
如果点阵点都处于平行六面体的顶点,每个平行六面体只有一个点阵点，此空间格子称为素格子,以P表示；如果体心还有点阵点，则此空间格子称为体心格子，以I表示；如果所有平面格子中心有点阵点，则称为面心格子，以F表示;如果仅一对相对的平面格子中心有点阵点，则此空间格子称为底心格子,视相对面位置分别以A, B或C表示。
晶体分为7个晶系(立方、六方、四方、三方、正交、单斜和三斜），依据特征对称元素和正当点阵单位的划分规则,晶体的点阵分为14种空间点阵型式：简立方(cP)、体心立方（cI）、面心立方(cF)、简六方（hP)、简四方（tP)、体心四方(tI）、R心六方(hR)、简正交(oP)、C心正交(oC)、体心正交（oI)、面心正交（oF）、简单斜(mP)、C心单斜（mC）和简三斜(aP)）。
第7章-哈工大-第三版-材料分析测试-周玉讲解
15
图7-12 多晶铝的衍射图 a) 铝粉 b) 冷轧铝板
第二节 织构的种类和表示方法
一、极图 织构可用极图、反极图和取向分布函数3种方法表示，极 图常用于描述板织构 多晶体中某晶面001法向，在空间分布的极射赤面投影图称 001极图， 板织构取轧面为宏 观坐标面的投影面，而丝织构取 与丝轴平行或垂直的平面 图7-10是轧制纯铝板以轧面为投 影面的极图，用不同级别的等密 度线表示极点密度的分布
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
与点
阵常数无关，标准投影图对于不同点阵常数的立方晶体普 遍适用；因立方晶系同名的晶面和晶向垂直，其标准投影 图同时可用于晶面和晶向 非立方晶系的晶面间夹角与点阵常数有关，故无法制作普 遍适用的标准衍射图 12
第一节 极射赤面投影法
三、单晶体的标准投影图 图7-9为立方晶系标准投影图，落在同一大圆弧和直线上的极 点对应的晶面法线在同一平面上， 此平面的法线为这些晶面 的交线。相交于同一直线的晶面属于同一晶带， 其交线称为 晶带轴，用[uvw]表示，晶面指数(hkl)和[uvw]满足晶带定律
图7-7 极点绕倾斜轴转动
10
第一节 极射赤面投影法
二、乌氏网 5) 投影面的转换 在乌氏网上将极点绕确定轴转动到新位置
如图7-8， K、P、Q是以 O 为
投影面的极点， 将K转到投影 面基圆中心， P、Q 随之作相 同的转动，沿其各自的纬线到 达新位置 P1、Q1，这就是 P、
Q点以K为新投影面的位置
h : k : l a sin cos : b sin sin : c cos
冷压磷钢 板的ODF截面图
21
第三节 丝织构指数的测定
点阵常数的精确测定
X射线测定点阵常数是一种间接方法，它直接测量的是某 一衍射线条对应的θ角，然后通过晶面间距公式、布拉格 公式计算出点阵常数。以立方晶系为例，其晶面间距公
式为： adH 2K 2L 2
根据布拉格公式2dsinθ=λ，则有：
H2K2L2
a
sin
在式中，λ是入射特征X射线的波长，是经过精确测定的，
S
φ =S/4 R
设相机不准造成的半径误 差为ΔR，底片伸缩误差为 ΔS。则由于
R
2θ 2φ
S R SR
S R SR
相机半径误差及底片伸缩误
差导致的角度误差为
R、 S
（SR）
SR
编辑ppt
13
对于立方晶 a系 ： ctg
a
所以， a(SR)( )ctg
a S R2
当θ接近90度时，相机半径误差及底片伸缩误差
编辑ppt
20
数学处理方法
图解外推法 最小二乘法
编辑ppt
21
图解外推法
如果所测得的衍射线条θ角趋近 90°，那么误差（△a/a）趋近 于0。
但是，要获得θ=90°的衍射线 条是不可能的。于是人们考虑 采用“外推法”来解决问题。
所谓“外推法”是以θ角为横坐 标，以点阵常数a为纵坐标；求 出一系列衍射线条的θ角及其所 对应的点阵常数a；在所有点阵 常数a坐标点之间作一条直线交 于θ=90°处的纵坐标轴上，从 而获得θ=90°时的点阵常数， 这就是精确的点阵常数。
编辑ppt
9
对布拉格公式微分，可得:
2 d sin n 2 d cos 2 sin d d ctg d d ctg d 对于立方晶系： d a
da
编辑ppt
点阵常数精确测定
误差与校正
❖机械零点误差校正 只有通过精确调整设备的机械零点，现代X射线衍射仪都 有自动调整程序，通过反复调光来校准机械零点 ❖试样转动与计数器转动角度的匹配误差校正 由于样品转动与计数器转动速度不匹配，导致衍射峰位 置的偏移。可以通过标准硅作校正。 Δ（2θ）=A0+A1*（2θ）+A2*（2θ）2+A3*（2θ） 3+A4*（2θ）4 式中Δ（2θ）=2θ计算-2θ测量，A0，A1，A2，A3，A4为最 小二乘法的最佳匹配参数
2 theta/ °
精确测定点 阵参数原理
利用点阵参数的灵敏范围
测定点阵参数最灵敏的区域 是在高角度范围，这是因为影响
精确度的是 sin hkldຫໍສະໝຸດ kl 2 sinhkl1.0
0.9
0.8
0.7 0.6
相
0.5
同，高角
0.4 0.3
度sin 误
0.2
差较小。
0.1
0.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
点阵常数 精确测定
点阵常数是晶体物质 的重要参数
晶体材料中原子键合力、密 度、填隙式固溶体和缺陷固溶体 的鉴定、宏观应力、固态相变、 热膨胀系数等，都与点阵常数的 变化密切相关。通过点阵常数的 变化可揭示这些问题的本质和变 化规律。
点阵常数的变化特点
晶体材料的点阵常数变化 较小，一般小于0.001nm，这 种微小的变化容易被实验误差 所掩盖。因此，测定点阵常数 在实验条件上要求较高。
误差与校正
❖ 温度校正 当实验温度不在25℃时，需要进行温度校正。这是由于在晶体点阵中 原子中心相对点阵结点在各个方向有热振动位置偏移,当X射线入射晶 体而对布喇格公式加以温度校正.公式为: a校=a测[1+α(25-T测)] α——晶体膨胀系数
XRD分析测试方法-7
《材料分析测试方法》
1. 固溶体的类型与组分测量
固溶体分间隙式和置换式两类，根据固溶体的点阵常数随溶质原于的浓 度变化规律可以判断溶质原子在固溶体点阵中的位置，从而确定因溶体的类型。
0.05265.....W . M
0.05265 17.0% 1 0.69
WQ
8604 4892
0.69 8.08
0.15019.....W . Q
0.15019 1 0.69
48.4%
WC
6660 0.69 4892 9.16
0.10255.....W . C
求 ——参比强W度i值。
K
i s
得先
(2) K值法特点
《材料分析测试方法》
• K值法中的 与掺K入si 量无关，且为常数。而内标法公式中的 关，还C随si内标物质的掺入量有关
不仅与物相本身有
• 绘制内标法标定曲线时一般至少需要三个试样，在不同样品中标准相 S 的重量百分
数保持恒定，i 相含量在各个试样中不相同。 在 K 值法中，配制试样不要求 S 相
C A
9.16
复合样中各峰的强度， IM（120+210）= 922， IC（101）= 6660， IA（113）= 4829
IQ(1011) 8604
《材料分析测试方法》
计算公式： 计算结果：
Wi
Ii Is
Ws
K
i s
,
Wi
Wi (1 Ws )
WM
922 0.69 4892 2.47
含量恒定，也不要求i 相重量分数有规律变化
《材料分析测试方法》
X射线衍射之晶面标定及精确测定点阵常数
点阵常数的精确测定41130269 材料1109 顾诚【实验目的】了解点阵常数测定时的误差来源，消除误差的实验方法及数据处理方法。
【实验原理】对立方晶系通常采用下式计算测定点阵常数的误差：θθ∆∙-=∆cot a a通常所指精确测定点阵常数，是指使测定点阵常数的精确度达到小数点第四位（0A ），即00001.0A a +=∆。
无论采用粉末照相方法还是衍射仪法测定点阵常数，都是通过测量衍射线的θ2角的位置，根据布拉格公式及晶面间距与点阵常数的关系公式来求出点阵常数值。
测定θ2角的误差包括偶然误差和系统误差两大类。
在精确测定点阵常数时，一方面应尽可能采用精密的实验技术，使这两类误差减至最小限度，另一方面，又根据这些误差所具有的特点和规律，采用合理的数据处理方法，使它们减至最小。
【实验方法】 衍射仪法用衍射仪精确测定点阵常数的精度可达到15万分之一。
由于衍射仪法与德拜法的测试方法与记录手段不同，故误差来源和消除误差的实验方法不相同。
误差来源1) X 射线管焦点偏离测角计180度的位置：()R x /2-=∆θ2) 试样表面偏离测角计轴：()R P /cos 22θθ-=∆3) 试样表面偏离聚焦圆：()θθcot 622a -=∆4) 试样吸收系数过小：()R μθθ2/2sin 2-=∆5) 入射束轴向发散：()θδθδθ2sin 36cot 2221+-=∆6) 因其他实验条件（如试样制备、温度波动、测角计传动、扫描速度以及时间常数等因数）所导致的误差。
消除误差的实验方法1. 精细调试测角计：不同厂家生产的衍射仪的调试细节各不相同。
2. 合理选择时间常数和扫描速度。
3. 消除测角计传动误差：用调试手段很难消除此种误差，但可通过将θ2角测量结果与精确点阵常数已知的标样的θ2角测量结果进行比较来校正。
比较时要选择θ2相近的线条逐一比较，以防因θ2角差值过大造成新的误差。
4. 利用双向扫描消除焦点不在180度处及接收狭缝不在零位的误差：采用双向扫描和θ2cos 外推法进行处理。
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当角接近90，接近0，sin ~ ; cos ~1, 简化可得：
d sin S R x S R x [( ) sin sin ] ( ) sin 2 d 1 S R R S R R
d 2 2 K sin K cos d
因此，选择角度尽可能高的线条 进行测量。
7.2 误差来源
7.2.1 德拜照相法：
相机半径、 底片伸缩、 试样偏心、 试样吸收
总体可写为：
90
o
(
S R x ) sin cos S R R
=，=90-
d cos sin sin S R x ctg [( ) sin cos ] d sin cos cos S R R
d E 2 2 ctg ( A B sin C sin D ) 2 d cos
其中，
A＝ 2 ／ 12；B＝s / R；C 1/(2R)；D＝12 ／ 12；E＝ 22 ／ 12
水平发散度；s －试样表面离轴距离；R－ 测角仪半 径； －试样的线吸收系数；1和2－入射线和衍射
任何一种晶体材料的点阵常数都与它所处的状态 有关。
当外界条件（如温度、压力）以及化学成分、内 应力等发生变化，点阵常数都会随之改变。 这种点阵常数变化是很小的，通常在10-5nm量级。
精确测定这些变化对研究材料的相变、固溶体含 量及分解、晶体热膨胀系数、内应力、晶体缺陷 等诸多问题非常有作用。所以精确测定点阵常数 的工作有时是十分必要的。
d s cos2 d R sin 2
d cos2 d 2R
（3）试样透明度误差
（4）轴向发散误差
d 12 cos2 22 2 d 12sin 12sin 2
(220)
(311) (222)
(331)
(420)
综合上述四种系统误差，可得：
d A B D 4E cos 2 ( 2 C ) 2 2 d sin sin sin sin 2
基本原理
2d sin
d a H 2 K 2 L2
a
2 sin
H 2 K 2 L2
d
cos 2 2 sin
cos 2 d a 2 sin ctg d a 2 sin
a
2 sin
H 2 K 2 L2
X射线测定点阵常数是一种 间接方法，它直接测量的是 某一衍射线条对应的θ 角，然 后通过晶面间距公式、布拉 格公式计算出点阵常数。 在式中，λ 是入射特征X射线 的波长，是经过精确测定的， 有效数字可达7位数，对于一 般分析测定工作精度已经足 够了。干涉指数是整数无所 谓误差。所以影响点阵常数 精度的关键因素是sinθ 。
d E 2 2 ctg ( A B sin C sin D ) 2 d cos
n (HKL)
1 2 3 4 333 440 531 620
47.4705 53.3475 57.0409 63.7670
ai
5.43144 5.43142 5.43126 5.43119
对于立方晶系:
a d K cos 2 a d
Intensity (counts)
(111)
(200)
(400)
7.2.1 衍射仪法：
（1）平板试样的误差
20 40 60 80 100 120 140 2 degrees
d 2 cos2 d 12 sin 2
（2）试样表面离轴误差
cos2
0.45694 0.35636 0.29598 0.19538
线测得的点阵常数，按一定的外推函数f()外推 到 =90，这时系统误差为零，即得到精确的点 阵常数。
如何外延？
曲线外推：通常引入人为主观因素。 直线外推：效果好。
a a0 a a0 bf
若用a0表示点阵常数精确值，则实测的点阵常数a为：
d A B D 4E cos 2 ( 2 C ) 2 2 d sin sin sin sin 2
线光路的有效发散角。
一、不能利用外推函数消除的误差
（1）测角仪机械零点的调整误差， （2）角的驱动匹配误差， （3）计数测量系统滞后的误差， （4）折射校正， （5）温度校正。
7.3 消除误差的方法
(1)、外推法 (2)、Cohen最小二乘法
(3)、标准样校正法
7.3.1 外推法
所谓外推法消除系统误差，就是将由若干条衍射
- sin关系曲线
0.030 0.025
d/d , %
0.05 ~ 0.01 ~
0 0
0.020 0.015 0.010 0.005 0.000
0.005 ~
0
0.001 ~
0
30
40
50
60
70
80
90
点阵参数测量精度与θ和Δθ的关系
当一定时，采用高角的衍射 线，面间距（或者立方系物质的 点阵参数）误差将减小。
精确测定点阵参数的物理应用：
（1）测定热膨胀系数
（2）计算材料的真实密度
（3）计算简单晶体结构中的原子间距
（4）确定固溶体是间隙式还是替位式
（5）完善更合理的键能概念 （6）完善相平衡图 （7）测定材料中的应力 （8）过饱和固溶体分解过程
（9）固相溶解度曲线的测定
晶体热膨胀系数的测量
0.824
Lattice Parameter,a / (nm)
0.822 0.820 0.818 0.816 0.814 0.812 0.810 0.808 200 300 400 500 600
o
70re / ( C)
7.1 基本原理 7.2 点阵常数测定中的误差来源 7.3 测定方法 7.4 点阵参数精确测定的几个应用
7.1