福建省高三上学期摸底数学试卷
2022-2023学年福建省石狮市永宁中学高三上学期开学摸底考数学试卷含详解
石狮市永宁中学2023届高三摸底考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数32iz i-+=+的共轭复数是A ．2i+B ．2i-C ．1i-+D ．1i --2．已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B = （）A ．{}1x x ≥-B ．{}1x x ≥C ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭3．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.84．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（）A ．210-B ．120-C ．120D ．2105．已知向量OA a,OB b,OC c === ，且=3AC BC，则（）A ．1322c a b=-+B ．3122c a b=- C ．1322c a b=- D ．1433c a b =-+ 6．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．13C ．512D ．167．已知函数π()sin(2)4f x x =+，为了得到cos 2y x =的图象，只需把()f x 的图象（）A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π8个单位长度A ．财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B ．财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10．已知函数()e 1x f x =-，则（）A ．()f x 定义域为RB ．()f x 值域为C ．()f x 在(0(0)),f 的切线方程为y x=D ．()f x 与y 11．已知双曲线C 过点(221)，且渐近线为12y x =±，则下列结论正确的是（A ．C 的方程为2214x y -=B ．C 的离心率为C ．C 的焦点到渐近线的距离为1D ．直线2x -12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +与()2f x +都为奇函数，则A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为周期函数()（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于2×2列联表补充完整，并判断是否有99%优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：2()()()(n ad bc K a b c d a -=+++（1）证明：1B C 平面1A BD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为的坐标为(0,2)-.(1)求E 的方程；(2)若直线DP 与E 交于另一点Q ，直线BP 22．已知函数()(ln 1ln 2,f x x ax g =-+-(1)求函数()f x 的极值点；(2)当0a >时,当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点，求实数【详解】【点睛】本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，注意定义在解题中的应用，属于中档题9．AD【分析】根据折线图，观察图象的变化情况，逐项分析即可得出答案【详解】由图可以看出两条曲线均在上升，选项图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，选项财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量，选项故选：AD 10．AC【分析】对A 、B ：根据指数函数的定义域和值域分析判断；对()()2g x f x x =-，求导，利用导数判断【详解】对A ：()f x 定义域为对B ：∵e 0x >，则()e f x =对C ：∵()e 1x f x =-，则f 可得()(0)0,01f f '==，即切点坐标为故切线方程为y x =，C 正确；对D ：构建()()2g x f x x =-令()0g x '>，则ln 2x >，【点睛】结论点睛：（1）球的任何截面均为圆面；（2）球心和截面圆心的连线垂直于该截面，故外接球的球心位于过底面的外心的垂线上17．(1)π3A =(2)2【分析】（1）利用正弦定理，结合角（2）根据三角形面积公式得bc 【详解】（1）由正弦定理得，2sin 故3sin 2A =，又因为锐角ABC （2）由题意得11sin 22S bc A ==由余弦定理得2222cos a b c bc =+-即2222a b c bc bc bc bc =+-≥-=当且仅当2b c ==时等号成立，故则()3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(1A ∴()()(13,0,13,1,,0,3,1,0AB AA AD =-=-=--设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z = ，则1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩ ，∴3030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1n AA n AD ⎧⊥⎨⊥⎩ ，∴3030x z x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =，则∴11cos ,777m n m n m n⋅<>===⨯⋅ ，。
福建省七地市2024届高三上学期第一次质量检测数学含答案解析
厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。
福建省三明市(新版)2024高考数学统编版(五四制)摸底(培优卷)完整试卷
福建省三明市（新版）2024高考数学统编版（五四制）摸底(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题命题“”的否定是（）A．B．C．D．第(2)题如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．第(3)题若直线与圆相交所得的弦长为，则（）A．1B．2C．3D．4第(4)题中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（）A．尺B．尺C．尺D．尺第(5)题函数的值域为（）A．B．C．D．第(6)题若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题已知，则（）A．B．C．D．第(8)题已知向量，若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知直线x＝my－1经过椭圆C：的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有（）A．椭圆C的短轴长为B．弦的最小值为3C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点D．若，则第(2)题已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（）A．2B．4C．6D．8第(3)题下表是某校高三（1）班三名同学在高三学年度的六次数学测试中的分数及班级平均分表．下列叙述中正确的是（）学生测试序号第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲同学138127131132128135乙同学130116128115126120丙同学108105113112115123班级平均分128.2118.3125.4120.3115.7122.1A．甲同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平B．乙同学的数学学习成绩不稳定，总在班级平均水平上下波动C．丙同学的数学学习成绩始终低于班级平均水平D．通过与班级平均分的对比，可发现丙同学的数学成绩在稳步提高三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____.第(2)题已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数的最小整数，则的值为___________.第(3)题的内角的对边分别为，若，则 ________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．(1)求证：；(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．第(2)题已知函数）的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.第(3)题的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求角；(2)若，设P，Q分别是边AB、BC上的动点（含端点），且．当取得最小值时，求点到直线的距离．第(4)题如图1所示，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿折起，使折起后的平面与平面垂直，得到如图2所示的几何体.（1）求证：平面；（2）点在棱上，且满足平面，求几何体的体积.第(5)题某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.组别频数926655347(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望；(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.。
福建省泉州市五校高三数学上学期摸底联考试题理
福建省泉州五校 高三上学期摸底联考数学理试卷第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出分四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则A B 为（ ）A ． {0,1}-B ．{1,1}-C ．{1}-D ．{0}2．若是复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．1 C ．2 D ．1或 －23. 在ABC ∆中，假设322,60==︒=AC AB B ，,那么ABC ∆的面积( )A 、3B 、32C 、 332D 、3344．以下命题中，真命题是（ ）A ．0,00≤∈∃x e R x B ．22,x R x x >∈∀ C ．12x x +≥ D ．222(),,2a b a b a b R ++≥∈5. 函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是（ ）A B C Ｄ 6．在某种新型材料的研制中，实验人员取得了右边一组实验数据：现预备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 （ ）22y x =- B.21(1)2y x =-C.2log y x =D. 1()2x y =x3 4 y127．假设l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，那么以下结论正确的选项是（ ）A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥8. 如图过拋物线y2＝2px(p ＞0)的核心F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么拋物线的方程为( )A ．=2y x 23B=2y x 3 C ．=2y x 29D ．=2y x 99. 设f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕方程式相异实根的个数 ()200f x -= 1 ()100f x -=3 ()0f x =3 ()100f x += 1 ()200f x +=1关于f 的极小值α﹐试问以下哪个选项是正确的（ ）A.2010α-<<-B.100α-<<C.010α<<D.1020α<<﹒10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所组成的两个正三角形扣除内部六条线段后能够形成一正六角星﹐如下图的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x ﹐y 别离为原点O 到两个极点的向量﹒假设将原点O 到正六角星12个极点的向量﹐都写成为a x b y +的形式﹐则a b +的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（非选择题共100分）填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题
福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前．AC【分析】根据图中的信息可以知道：可同学更靠前，他的阅读表达成绩排名靠后，对确；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠后，故B 错误；根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，所以在甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，甲同学更靠后，故C 正确；由图可知甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠后，故D 错误.故选：AC.10．AC【分析】根据()()t x P Z x =<结合正态曲线的对称性，可判断A;由(||)()12()P Z x P x Z x P Z x <=-<<=-³可推得其结果为2()1t x -，判断B;根据正态分布的3s 准则可判断C,D.【详解】对于A ，根据正态曲线的对称性可得：()()()1()1()t x P Z x P Z x P Z x t x -=<-=³=-<=-，故A 正确；对于B, 当0x >时，(||)()1()()12()P Z x P x Z x P Z x P Z x P Z x <=-<<=-£--³=-³12[1(2()]2(11))P Z x P t Z x x =--<=<=-- ，故B 错误；对于C ，D ，根据正态分布的3s 准则，在正态分布中s 代表标准差，m 代表均值,x m =即为图象的对称轴，根据3s 原则可知X 数值分布在()m s m s -+，中的概率为0.6826，是常数，故由(||)()P X P X m s m s m s -<=-<<+可知，C 正确，D 错误，故选：AC 11．ACD【分析】利用三角形的面积公式，可先推出B 选项是正确的，对于AC 选项，结合抛物线n【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算D ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +，12x x （或12y y +，12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
《精编》福建高三数学四校联考摸底试卷 理 新人教A版.doc
—学年 高三年第一次统一考试 试卷〔理科数学〕考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两局部第I 卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1、集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B xx x =≤∈，那么A B =A.()0,2B.[]0,2C.{}0,2D.{}0,1,22、设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-,33,1,1y x y x y x 那么目标函数y x z +=4的最大值为〔 〕A. 4 B .11 C . 12 D . 143、以下命题 ：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ； ③43≥； ④“21x ≠〞的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-〞. 中,其中正确命题的个数是 〔 〕A. 0 B.1 C. 2 D. 34、要得到函数x y 2cos =的图象，只需将函数)32sin(π-=x y 的图象〔 〕A 、向左平移B 、向右平移C 、向左平移D 、向右平移 5、函数2()(32)ln 20082009f x x x x x =-++-，那么方程()0f x =在下面哪个范围内必有实根〔 〕A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)6、 要完成以下两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购置力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。
宜采用的抽样方法依次为〔 〕 A ．①随机抽样法，②系统抽样法 B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法永春一中 培元中学 π65π65π125π1257、α，β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，以下条件：①a //α、b β⊂；②a ⊥α、b β//；③a ⊥α、b β⊥；④a //α、b β//且a 与α的距离等于b 与β的距离，其中是a ⊥b 的充分条件的有 〔 〕 A ．①④ B ．① C ．③ D ．②③ 8、在ABC ∆中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，222b c a bc +-=, 222sin sin sin A B C += . 那么角B 为 〔 〕A4π B 6π312CDππ９、函数R x x x x f ∈+=,)(3，当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，那么实数m 的取值范围是〔 〕A ．()1,0 B ．()0,∞- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, D ．()1,∞-１０、一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路程是〔 〕A ．321- B ．26 C ．4 D ．5第二卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
福建省德化一中、安溪一中2021届高三数学摸底考试试卷 理(1)
福建省德化一中、安溪一中2021届高三数学摸底考试试卷 理考试科目：理科数学 总分值：150分，考试时刻：120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中只有一项符合要求． 1．已知i 为虚数单位，那么 2(1)i -的值等于A. 22i -B.22i +C.2i -D.2i 2．“sin 1x =”是“cos 0x =”的 A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件3．1x e dx ⎰的值等于A.eB.1e -C. 1e -D. 1(1)2e - 4．已知,a b ∈+R 且1a b +=，那么ab 的最大值等于A ．1B ．14C ．12D ．225．等差数列{}n a 的前n 项和n S 知足2n S n =，那么其公差d 等于A ．2B ．4C ．±2D ．±46．某流程图如下图，现输入如下四个函数，那么能够输出的函数是A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()x f x x= D ．2()f x x =7．已知(),x y 知足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么1y k x =+的最大值等于A ．12B ．32C ．1D ．148．已知一空间几何体的三视图如下图，那么该几何体中彼此垂直的棱共有A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对9．已知F 1，F 2别离是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右核心，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，假设双曲线的离心率为5，那么21cos PF F ∠等于A ．35B ．34C ．45D ．5610．将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，那么角θ知足的条件是A ．esin θ= cos θB ．sin θ= ecos θC ．esin θ=lD ．ecos θ=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分． 11．在6(1)x +的展开式中，含4x 的项的系数是___． 12．已知22222222221111123,12235,123347,1234666=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯++=⨯⨯⨯+++14596=⨯⨯⨯，那么22212n +++=___（其中n ∈*N ）． 13. 某次测量发觉一组数据(,)i i x y 具有较强的相关性，并计算得1y x =+，其中数据0(1,)y 因书写不清，只记得0y 是[]0,3任意一个值，那么该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为___．（残差=真实值-预测值） 14．已知ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边别离为a b c 、、．假设△ABC 的面积222S b c a =+-，那么tan A 的值是___．15．概念在R 上的函数()f x ，其图象是持续不断的，若是存在非零常数λ（λ∈R ），使得对任意的x ∈R ，都有()()f x f x λλ+=，那么称()y f x =为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，以下命题为真命题的是___（写出所有真命题对应的序号）． ①假设函数()y f x =是倍增系数2λ=-的倍增函数，那么()y f x =至少有1个零点； ②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数1λ=；③函数()xf x e -=是倍增函数，且倍增系数(0,1)λ∈.俯视图左视图主视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出必要文字说明、证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值13分）已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ωϕωϕπ00，为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π。
福建省普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
福建省普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π2．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A 6B ．34C ．12D 33．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．325．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-6．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．37．若关于x 的不等式1127kxx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．68．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥9．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()e ln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞11．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．2012．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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福建省高三上学期摸底数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共16分)
1. （1分）已知A={x|x＞3}，则∁RA=________．
2. （1分） (2018高二下·聊城期中) 已知复数，，且，则 ________．
3. （1分） (2019高三上·广东月考) 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若△ 为等边三角形，则＝________.
4. （1分）在行列式中，元素a的代数余子式值为________ ．
5. （1分） (2017高一下·泰州期末) 若实数x，y满足，则z=3x+y的取值范围是________．
6. （1分） (2019高二下·盐城期末) 5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有________种．（结果用数值表示）
7. （1分） (2017高三上·泰安期中) 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S8=4S4 ，则a9=________．
8. （1分） (2018高三上·重庆期末) 二项式的展开式中常数项为________。
9. （1分）(2012·辽宁理) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
10. （1分） (2017高二上·潮阳期末) 定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是________．
11. （2分）(2017·东城模拟) 已知函数
①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是________．
②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是________．
12. （2分） (2020高二上·福州期中) 如图，已知抛物线C的顶点为，焦点为，则抛物线C的方程为________；过点F作直线交抛物线C于两点，若直线，分别交直线于M，N两点，则的最小值为________．
13. （1分） (2017高一上·蓟县期末) 给出下列五个命题：
①函数的一条对称轴是x= ；
②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若，则x1﹣x2=kπ，其中k∈Z；
⑤函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）．
以上五个命题中正确的有________（填写所有正确命题的序号）
14. （1分） (2016高一上·浦城期中) 给出下列结论：
①y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；
②幂函数图象一定不过第四象限；
③函数f（x）=loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；
④若loga ＞1，则a的取值范围是（，1）；
⑤函数f（x）= + 是既奇又偶的函数；
其中正确的序号是________．
二、选择题 (共4题；共8分)
15. （2分） (2018高二上·北京期中) 数列{ }中，“ （n∈N*）”是“数列{ }为等比数列”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
16. （2分） (2016高二上·吉安期中) 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b 的是（）
A . a⊥α，b∥β，α⊥β
B . a⊥α，b⊥β，α∥β
C . a⊂α，b⊥β，α∥β
D . a⊂α，b∥β，α⊥β
17. （2分）(2017·焦作模拟) 将函数图象上的点向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P'，若P'位于函数y=cos2x的图象上，则（）
A . ，m的最小值为
B . ，m的最小值为
C . ，m的最小值为
D . ，m的最小值为
18. （2分） (2016高二下·南城期中) 已知函数f（x）=x2﹣x﹣（x＜0），g（x）=x2+bx﹣2（x＞0），b∈R，若f（x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，则b的取值范围为（）
A . （﹣4 ﹣5，+∞）
B . （4 ﹣5，+∞）
C . （﹣4 ﹣5，1）
D . （4 ﹣5，1）
三、解答题 (共5题；共45分)
19. （10分） (2018高一下·雅安期中) 向量 , ,已知，且有函数 .
（1）求函数的解析式及周期；
（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边 , ，求的长及的面积.
20. （10分）如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，AB∥DF，∠ADF= ，BC⊥DF，△AED为等边三角形，
AD= ，DC= ，如图2，将△AED，△BCF分别沿AD，BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF，DF，设G为AE上任意一点．
（1）证明：DG∥平面BCF；
（2）若GC= ，求的值．
21. （5分） (2016高一上·湖州期中) 已知f（x）=max{x2﹣ax+a，ax﹣a+1}，其中max{x，y}= ．
（Ⅰ）若对任意x∈R，恒有f（x）=x2﹣ax+a，求实数a的值；
（Ⅱ）若a＞1，求f（x）的最小值m（a）．
22. （10分） (2016高三上·浙江期中) 数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn=2n﹣an ，
（1）求a1 ， an；
（2）若数列{bn}中，bn=n（2﹣n）（an﹣2），且对任意正整数n，都有，求t的取值范围．
23. （10分） (2018高二下·盘锦期末) 已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线 .
（1）求曲线的方程；
（2）是曲线上两点，且，为坐标原点，求面积的最大值.
参考答案一、填空题 (共14题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、选择题 (共4题；共8分)
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、22-1、
22-2、23-1、
23-2、。