n皇后问题
第2讲 搜索算法-N皇后问题的自动求解
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N皇后问题的解之间有什么关联？这些解有什 么特点？ N皇后问题的解的个数跟N有关系吗？
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解的个数 1 0 0 2 10 4 40 92 352 724
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思考2：如何理解对角线
N皇后中的对角线，以8皇后问题为例。主对角线 一共有15条。我们将这种对角线称为第1种情形的 对角线。
void CNQueenDlg::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) { //代码有点缺陷：没有判定单击位置是否已经超出棋盘范围 int c = (point.x-20)/cell, r = (point.y-20)/cell; queen[r][c] = 1 - queen[r][c]; RECT rect; rect.left = 20+c*cell, rect.top = 20+r*cell; rect.right = 20+(c+1)*cell, rect.bottom = 20+(r+1)*cell; InvalidateRect( &rect ); //只刷新鼠标单击位置所在的方格 CDialog::OnLButtonDown(nFlags, point); }
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8皇后问题
N=8时，N皇后问 题就成了经典的8 皇后问题。 8皇后问题：要在 8×8大小的棋盘上 放置8个皇后，使 得任意两个皇后不 在同一行、同一列， 以及对角线上。
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8皇后问题的演示
数据结构与算法演示软件
数据结构算法|栈和队列|递归过程|皇后问题(注意观察 回退过程)
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8皇后问题的一个解
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思考1：N皇后问题解的个数
回溯法实验(n皇后问题)(迭代法)
算法分析与设计实验报告第三次附加实验附录：完整代码（回溯法）//回溯算法递归回溯n皇后问题#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>#include"math.h"using namespace std;class Queen{friend int nQueen(int); //定义友元函数，可以访问私有数据private:bool Place(int k); //判断该位置是否可用的函数void Backtrack(int t); //定义回溯函数int n; //皇后个数int *x; //当前解long sum; //当前已找到的可行方案数};int main(){int m,n;for(int i=1;i<=1;i++){cout<<"请输入皇后的个数："; //输入皇后个数cin>>n;cout<<"皇后问题的解为："<<endl;clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();m=nQueen(n); //调用求解的函数cout<<n<<"皇后问题共有";cout<<m<<"个不同的解！"<<endl; //输出结果end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间cout<<endl;}system("pause");return 0;}bool Queen::Place(int k)//传入行号{for(int j=1;j<k;j++){if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k]))//如果两个在同一斜线或者在同一列上，说明冲突，该位置不可用{return false;}}return true;}void Queen::Backtrack(int t){if(t>n){sum++;/*for(int i=1;i<=n;i++) //输出皇后排列的解{cout<<x[i]<<" ";}cout<<endl;*/}else{//回溯探索第i行的每一列是否有元素满足要求for(int i=1;i<=n;i++){x[t]=i;if(Place(t)){Backtrack(t+1);}}}}int nQueen(int n){Queen X; //定义Queen类的对象X//初始化XX.n=n;X.sum=0;int *p=new int[n+1]; //动态分配for(int i=0;i<=n;i++) //初始化数组{p[i]=0;}X.x=p;X.Backtrack(1);delete[] p;return X.sum;//输出解的个数}完整代码（回溯法）//回溯算法迭代回溯n皇后问题#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>#include"math.h"using namespace std;class Queen{friend int nQueen(int); //定义友元函数private:bool Place(int k); //定义位置是否可用的判断函数void Backtrack(void); //定义回溯函数int n; // 皇后个数int *x; // 当前解long sum; // 当前已找到的可行方案数};int main(){int n,m;for(int i=1;i<=1;i++){cout<<"请输入皇后的个数：";cin>>n;cout<<n<<"皇后问题的解为："<<endl;clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();m=nQueen(n); //调用求解皇后问题的函数cout<<n<<"皇后问题共有";cout<<m<<"个不同的解!"<<endl;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间cout<<endl;}system("pause");return 0;}bool Queen::Place(int k){for (int j=1;j<k;j++){if ((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k])) //如果两个皇后在同一斜线或者在同一列上，说明冲突，该位置不可用{return false;}}return true;}void Queen::Backtrack() //迭代法实现回溯函数{x[1] = 0;int k = 1;while(k>0){x[k] += 1; //先将皇后放在第一列的位置上while((x[k]<=n)&&!(Place(k))) //寻找能够放置皇后的位置{x[k] += 1;}if(x[k]<=n) //找到位置{if(k == n) //如果寻找结束输出结果{/*for (int i=1;i<=n;i++){cout<<x[i]<<" ";}cout<<endl; */sum++;}else//没有结束则找下一行{k++;x[k]=0;}}else//没有找到合适的位置则回溯{ k--; }}}int nQueen(int n){Queen X; //定义Queen类的对象X//初始化XX.n=n;X.sum=0;int *p=new int[n+1];for(int i=0;i<=n;i++){p[i]=0;}X.x=p;X.Backtrack();delete []p;return X.sum; //返回不同解的个数}。
用遗传算法解决n皇后问题
用遗传算法解决n皇后问题（李怀远）一、问題提出N皇后问题描述如下：在nxn格棋盘上敖置彼此不受攻击的n个皇后。
按国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
N皇后问题等价于在以下三个约束条件下：约束①任何2个皇后不放在同一行；约束②任何2个皇后不放在同一列；约束③任何2个皇后不放在同斜线；找出一种合法的放置方案。
我们把nxn的棋盘看作二维方阵，其行号从上到下列号从左到右依次编号为0, 1,…， n-l.。
设任意两个皇后，皇后1和皇后2的坐标分别是（i.j）和（k,l）,则如果这两个皇后在从棋盘左上角到右下角的主对角线及其平行线（斜率为-1的线）上，有i-j=k-l=0 ；如果这两个皇后在斜率为+ 1的每一斜线上，有i+j=k+l；以上两个方程分别等价于i-k=j-l 和i-k=l-j因此任两皇后的在同一斜线上的充要条件是l/-^l=l J-/I 式①因此满足两个皇后不在同一斜线上的条件表示为：\i-kM j-l\式②两皇后不在同一行用式表示为:iHk式③两皇后不在同一列用式表示为：j^l式④此属NP问题不易求解，现在我们把任意n个皇后的任意一种放置办法当作一个个体（染色体），把其中的任意一个皇后当作一个基因，用遗传算法来解决该问題。
二、编码方案对于此问题我提出两种编码方案。
A.编码方案1：排列编码用一维n元数组x[0：n-l]来表示一个个体，其中x[i]e{0,l,…,n-1}, x[i]表示皇后i放在棋盘的第i行第x[i]列，即第i行第x[i]列放置一个皇后。
例如，x[0]=0 表示棋盘的第0行第0列敖一个皇后。
数组第i个元素表示第i行的放置情况，可以看作一个基因。
这种编码可以自然的解决了某一行只能放一个皇后的约束，如果数组的每一个元素x[i]都不重复，可以看成0——n-l的一种排列，就自然保证每一列只能放一个皇后。
因此在交叉变异和产生个体时必须注意x[i]的唯一性。
N皇后问题
n皇后问题【问题描述】在n×n的国际象棋盘上，放置n个皇后，使任何一个皇后都不能吃掉另一个,需满足的条件是：同一行、同一列、同一对角线上只能有一个皇后。
求所有满足要求的放置方案。
【输入】一个正整数n，表示皇后的个数。
【输出】每行代表一种放置方案：第i行的第一个数是i，表示第i种方案，后面一个冒号，然后是用空格隔开的n个数，其中第i个数x[i]表示第i行上的皇后放在第x[i]列；最后一行：一个整数，表示方案总数。
〖问题描述〗在一个8×8的棋盘里放置8个皇后，要求每个皇后两两之间不相"冲"（在每一横列竖列斜列只有一个皇后）。
〖问题分析〗(聿怀中学吕思博)这道题可以用递归循环来做，分别一一测试每一种摆法，直到得出正确的答案。
主要解决以下几个问题：1、冲突。
包括行、列、两条对角线：（1）列：规定每一列放一个皇后，不会造成列上的冲突；（2）行：当第I行被某个皇后占领后，则同一行上的所有空格都不能再放皇后，要把以I 为下标的标记置为被占领状态；（3）对角线：对角线有两个方向。
在同一对角线上的所有点（设下标为(i,j)），要么(i+j)是常数，要么(i-j)是常数。
因此，当第I个皇后占领了第J列后，要同时把以(i+j)、(i-j)为下标的标记置为被占领状态。
2、数据结构。
（1）解数组A。
A[I]表示第I个皇后放置的列；范围：1..8（2）行冲突标记数组B。
B[I]=0表示第I行空闲；B[I]=1表示第I行被占领；范围：1..8 （3）对角线冲突标记数组C、D。
C[I-J]=0表示第（I-J）条对角线空闲；C[I-J]=1表示第（I-J）条对角线被占领；范围：-7..7 D[I+J]=0表示第（I+J）条对角线空闲；D[I+J]=1表示第（I+J）条对角线被占领；范围：2..16〖算法流程〗1、数据初始化。
2、从n列开始摆放第n个皇后（因为这样便可以符合每一竖列一个皇后的要求），先测试当前位置(n,m)是否等于0（未被占领）:如果是，摆放第n个皇后，并宣布占领(记得要横列竖列斜列一起来哦)，接着进行递归；如果不是，测试下一个位置(n,m+1)，但是如果当n<=8,m=8时，却发现此时已经无法摆放时，便要进行回溯。
N皇后问题及答案解
N皇后问题及答案解题⽬在⼀张N∗N的国际象棋棋盘上，放置N个皇后，使得所有皇后都⽆法互相直接攻击得到，（皇后可以直接攻击到她所在的横⾏，竖列，斜⽅向上的棋⼦），现在输⼊⼀个整数N，表⽰在N∗N的棋盘上放N个皇后，请输出共有多少种使得所有皇后都⽆法互相直接攻击得到的⽅案数。
例如下⾯这样的摆法，是4皇后的⼀个解 （1代表有皇后，0代表没有）0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0输⼊⼀个整数N，代表皇后的个数输出输出⽅案数样例输⼊样例输⼊14样例输⼊28样例输出样例输出12样例输出292⼀、DFS+回溯(1)设已经放好的皇后坐标为(i,j),待放⼊的皇后坐标为(r,c)，则它们满⾜以下关系：（1）不同⾏，即 i ≠ r；（2）不同列，即 j ≠ c；（3）不在斜对⾓线上，即 |i-r| ≠ |j-c|.可以在⼀⾏逐列尝试，这样就不⽤考虑（1）了。
#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;int n, tot = 0;int col[15] = {0}, ans[15] = {0}; //col[i]的值为第i⾏的皇后的列数的值，即j,ans[]数组⽤来存放结果bool check(int c, int r) //检查是否和已经放好的皇后冲突{for (int i = 0; i < r; i++)if (col[i] == c || (abs(col[i] - c) == abs(i - r))) //因为是逐⾏放置，所以只考虑纵向和斜向return false;return true;}void dfs(int r,int m) //在第r⾏放皇后,m表⽰⾏数{if(r==m){ //r==m,即皇后放到最后⼀⾏，满⾜条件，tot++,返回;tot++;return;}for(int c=0;c<m;c++) //在此⾏逐列尝试if(check(c,r)){ //检查是否冲突col[r]=c; //不冲突就在此列放皇后dfs(r+1,m); //转到下⼀⾏继续尝试}}int main(){cin>>n;for (int i = 0; i <= 13; i++) //算出所有N皇后的答案，先打表，不然会超时{memset(col, 0, sizeof(col)); //清空col，准备计算下⼀个N皇后问题tot = 0;dfs(0,i);ans[i] = tot;}cout << ans[n] << endl;return 0;}在上述程序中，dfs()⼀⾏⾏放置皇后，时间复杂度为O(N!)；check()判断冲突，时间复杂度为O(N)，总的为O(N*N!)！⾮常的⾼。
n皇后问题递归算法c语言
n皇后问题递归算法c语言概述n皇后问题是一个经典的回溯算法问题，它要求在一个n×n的棋盘上放置n个皇后，使得它们互不攻击。
本文将使用递归算法来解决n皇后问题，并使用C语言进行实现。
问题描述在n×n的棋盘上放置n个皇后，使得它们不在同一行、同一列或同一斜线上。
其中，皇后的移动规则是可以横向、纵向、对角线方向上自由移动任意步数。
算法思路为了解决n皇后问题，我们可以采用递归的方式逐行放置皇后。
具体地，可以按照行优先的顺序，从第一行开始放置皇后，并逐行向下递归，直到放置了n个皇后，或者无法再放置皇后为止。
算法的关键在于如何判断当前位置是否可以放置皇后，即判断是否与已经放置的皇后位置冲突。
为了判断冲突，我们需要考虑以下几个方面：1.所有皇后不能在同一列：我们可以使用一个数组q ue en[]来记录每一行放置的皇后的列位置。
2.所有皇后不能在同一对角线上：我们可以使用两个数组up D ia g[]和d ow nD ia g[]来记录每一条对角线上是否已经存在皇后。
对于任意一个位置(i,j)，它所在的主对角线上的元素满足i-j的值相等，次对角线上的元素满足i+j的值相等。
在放置皇后时，我们可以逐个尝试每一列，然后检查当前位置是否与已经放置的皇后位置冲突，如果冲突则继续尝试下一列，直到找到一个合适的位置。
然后，继续递归放置下一行的皇后，直到放置了n个皇后或者无法再放置为止。
伪代码定义一个全局整型数组q ue en[]，用于记录每一行放置的皇后的列位置定义两个全局整型数组u pD ia g[]和do wn D ia g[]，用于记录每一条对角线上是否已经存在皇后P r oc ed ur en Qu ee ns(r ow):i f ro w=n://找到一个解P r in tS ol ut io n()r e tu rnf o rc ol fr om0t on-1:i f Ca nP la ce Qu ee n(r o w,co l):P l ac eQ ue en(r ow,co l)n Q ue en s(ro w+1)R e mo ve Qu ee n(ro w,c o l)P r oc ed ur eC an Pl ace Q ue en(r ow,c ol):i f qu ee n[co l]!=-1:r e tu rn fa ls ei f up Di ag[r ow-c ol+n-1]!=-1o rd ow nDi a g[ro w+co l]!=-1:r e tu rn fa ls er e tu rn tr ueP r oc ed ur eP la ce Que e n(ro w,co l):q u ee n[co l]=r owu p Di ag[r ow-c ol+n-1]=1d o wn Di ag[r ow+c ol]=1q u ee n[co l]=-1u p Di ag[r ow-c ol+n-1]=-1d o wn Di ag[r ow+c ol]=-1P r oc ed u r eP ri nt Sol u ti on():f o rr ow fr om0t on-1:f o rc ol fr om0t on-1:i f qu ee n[co l]=r ow:p r in t"Q"e l se:p r in t"*"p r in tn ew li nep r in tn ew li neC语言实现下面是使用C语言实现的n皇后问题递归算法的代码示例：#i nc lu de<s td io.h>#d ef in eN8i n tq ue en[N];//记录每一行放置的皇后的列位置i n tu pD ia g[2*N-1];//记录每一条对角线上是否已经存在皇后i n td ow nD ia g[2*N-1];//记录每一条对角线上是否已经存在皇后v o id nQ ue en s(in tro w);i n tc an Pl ac eQ ue en(i nt ro w,in tc ol);v o id pl ac eQ ue en(in t ro w,in tc ol);v o id pr in tS ol ut ion();i n tm ai n(){f o r(in ti=0;i<N;i++){q u ee n[i]=-1;}f o r(in ti=0;i<2*N-1;i++){u p Di ag[i]=-1;d o wn Di ag[i]=-1;}n Q ue en s(0);r e tu rn0;}v o id nQ ue en s(in tro w){i f(r ow==N){p r in tS ol ut io n();r e tu rn;}f o r(in tc ol=0;c ol<N;c ol++){ i f(c an Pl ac eQ ue en(r ow,c ol)){ p l ac eQ ue en(r ow,co l);n Q ue en s(ro w+1);r e mo ve Qu ee n(ro w,c o l);}}}i n tc an Pl ac eQ ue en(i nt r o w,in tc ol){i f(q ue en[c ol]!=-1){r e tu rn0;}i f(u pD ia g[ro w-col+N-1]!=-1||do wnD i ag[r ow+c ol]!=-1){ r e tu rn0;}r e tu rn1;}v o id pl ac eQ ue en(in t ro w,in tc ol){q u ee n[co l]=r ow;u p Di ag[r ow-c ol+N-1]=1;d o wn Di ag[r ow+c ol]=1;}v o id re mo ve Qu ee n(i n tr ow,i nt co l){q u ee n[co l]=-1;u p Di ag[r ow-c ol+N-1]=-1;d o wn Di ag[r ow+c ol]=-1;}v o id pr in tS ol ut ion(){f o r(in tr ow=0;r ow<N;r ow++){f o r(in tc ol=0;c ol<N;c ol++){i f(q ue en[c ol]==ro w){p r in tf("Q");}e ls e{p r in tf("*");}}p r in tf("\n");}p r in tf("\n");}总结本文使用C语言实现了n皇后问题的递归算法。
n皇后问题课程设计
n皇后问题课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握“N皇后问题”的解决方法，理解其背后的数学原理和计算机科学应用。
知识目标要求学生了解“N皇后问题”的定义、解法和优化策略；技能目标要求学生能够运用所学的知识解决实际问题，编写出相应的算法程序；情感态度价值观目标则是培养学生对计算机科学的兴趣，提高其创新意识和解决问题的能力。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括三个部分：第一部分是“N皇后问题”的定义和基本解法，让学生了解问题背景和基本概念；第二部分是“N皇后问题”的优化策略，让学生掌握如何提高算法效率；第三部分是“N皇后问题”的计算机编程实践，让学生亲自动手编写程序，巩固所学知识。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我们将采用以下教学方法：首先，通过讲授法向学生介绍“N皇后问题”的基本概念和解法；其次，运用讨论法让学生分组讨论优化策略，促进学生思考；然后，采用案例分析法分析实际问题，引导学生将所学知识应用于实践；最后，通过实验法让学生动手编程，培养其实际操作能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法，我们将准备以下教学资源：首先，教材和参考书，为学生提供理论支持；其次，多媒体资料，如课件、视频等，帮助学生形象理解问题；再次，实验设备，如计算机等，让学生进行编程实践；最后，网络资源，如在线编程平台等，为学生提供更多学习资源和交流渠道。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生在“N皇后问题”课程中的学习成果，我们将采取以下评估方式：1.平时表现：通过课堂参与、提问、回答问题等方式评估学生的学习态度和理解程度，占总评的30%。
2.作业：布置与课程相关的中等难度练习题，要求学生在规定时间内完成，占总评的20%。
3.实验报告：学生在实验过程中独立编写程序，并撰写实验报告，占总评的20%。
4.期末考试：期末考试中将包含“N皇后问题”的相关题目，测试学生对该课程知识的掌握程度，占总评的30%。
六、教学安排本课程的教学安排如下：1.授课时间：共8课时，每课时45分钟。
n皇后问题
n 后问题1 问题描述：N 皇后问题是一个古老而著名的问题。
该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出的。
八皇后问题要求在一个N ＊N 的棋盘上放上N 个皇后，使得每一个皇后既攻击不到另外N-1个皇后，也不被另外N-1个皇后所攻击．按照国际象棋的规则，一个皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的其他任何棋子，问有多少种不同的摆法？并找出所有的摆法。
因此，N 皇后问题等于要求N 个皇后中的任意两个不能被放在同一行或同一列或同一斜线上。
2 回朔法回溯法有“通用的题解法”之称。
从问题的某种可能情况出发，搜索所有能到达的可能情况，然后以其中一种可能的情况为新的出发点，继续向下探索，当所有可能情况1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 78都探索过且都无法到达目标的时候，再回退到上一个出发点，继续探索另一个可能情况，这种不断回头寻找目标的方法称为“回溯法”。
适用于解组合是较大的问题。
回朔法思想：1针对所给问题，定义问题的解空间。
2.确定易于搜索的解空间结构。
3.以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
在搜索过程中，通常采用两种策略避免无效搜索：一是用约束函数剪去得不到可行解的子树；二是用限界函数剪去得不到最优解的子树。
这两类函数统称为剪枝函数。
回溯算法的一个显著的特性是在搜索过程中动态产生问题的解空间。
在任何时刻，只保存从根结点到当前扩展结点的路径。
因此，回溯算法的空间需求为o（n），（n为从根结点起最长路径的长度）。
而显式地存储整个解空间则需要o（2n）或o（n!）内存空间。
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。
void backtrack (int t){if (t>n) output(x);elsefor (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);}}采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。