大变形问题的有限元分析

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大变形分析中的本构关系 (1/5)
本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对描 述材料的本构关系。
弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
（大变形分析中）
? ij ? Aijkl ? kl
为常数 Aijkl
线弹性材料 (elasticity)
? ij
?
?? u j ?xi
? ?? ?
1 2
?? uk ?xi
?? uk ?xj
? ? IJ
?
?xm ?X I
?xn ?X J
? *? mn
?
?
e* ij
?
?
?* ij
非线性部分
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线性部分
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大变形问题的应变描述 (4/4)
应变增量：（续）－对于大变形小应变情形
Green 应变增量退化成：
Kirchhoff 应力：
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff 应力，用 S 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated ）Kirchhoff 应力， 用 表示。* S
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大变形问题的应力描述 (2/2)
Kirchhoff 、现时Kirchhoff 及Euler 应力（增量）间的关系：
?
1
??? ?
ui
?
??
uj
? ??
2 ? ?x j ?xi ?
1 ?? uk 2 ?xi
?? uk ?xj
? ? IJ
?
? *?ij
?
1
??? ?
ui
2 ? ?X j
?
?? u j ? ?
?X i ?
? ?ij
?
?
e* ij
?
? *? ij
非线性部分是高阶小量
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线性部分
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大变形问题的应力描述 (1/2)
xi
yi
XI
(a)
初始构型（ 0时刻）
(b)
现时构型（ t 时刻）
(c)
当前构型（ t ? ? t 时刻）
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
大变形问题的分析方法：增量法。
应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。
与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler 应力： 从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler 应力，用 ?
表示。Euler 应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
? ? ? ? ? ?IJ
?
1 2
??
? KJ?uK来自J? uK ,I ?? KI ? uK ,I
? uK ,J ?? ?
1 2 ? uK ,I ? uK ,J
? ? eIJ ? ? ? IJ
线性部分 非线性部分是高阶小量
现时（Updated ）Green 应变增量退化成：
对于小变形情形
?
?* ij
研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。
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大变形问题的应变描述 (1/4)
问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。
型所定义的应变，数学表示为
? ? ?kl
?
1 2
uk ,l ? ul,k ? um,k um ,l
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。
大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
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大变形问题的应变描述 (3/4)
应变增量：
Green 应变增量：
? ? ? ? ? ?IJ
*Sij ? ? ij ? ? * Sij
现时Kirchhoff 应力增量
现时Kirchhoff 应力 t ? ? t 时刻
Euler 应力 t 时刻
特点：以现时构型为参考。
根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系
? *Sij ?
1 ?xi D?N ? ?X K
?xj ?X L
?
Skl
? ? ? ij ?
第三章 大变形问题的有限元分析
目的：以大变形问题为例，介绍几何非线性问题的有限元 方法。
特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。
内容：
? 引言 ? 大变形问题的应变描述 ? 大变形分析中的应力描述及本构关系 ? 大变形问题有限元方程的建立 ? 大变形分析中的载荷处理 ? 小结
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?
1 2
??
? KJ
? uK ,J
? uK,I ?
? KI ? uK , I
? uK ,J
?? ?
1 2 ? uK,I? uK,J
? ? eIJ ? ? ? IJ
二者之间满足张
线性部分 非线性部分
量变换关系！
现时（Updated ）Green 应变增量：
? *?ij
?
1 2
? ? ?
?? ui ?xj
?
?W ? ? ij
? ? ij
?t
?
Aijkl
? ?kl
?t
W
?
1 2
?ij
Aijkl
?
kl
? ? ij
?
1 ?yi D*?N ?1? ?xk
?y j ?xl
? kl ? ? *Skl
D?N ? ? ? ?x1, x2 , x3 ? ? ?xi ? ?X1, X 2 , X3 ? ?X J
? ? D*?N ?1? ? ? y1, y2 , y3 ? ?yi ? ?x1, x2, x3 ? ?x j
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引言
几何线性问题： 位移与应变成线性 （微分）关系；
几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。
物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形 问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移
（转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。
研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考 虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。
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大变形问题的应变描述 (2/4)
描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。
Green 应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学
表示为
? ? ?KL
?
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uK,L ? uL,K ? uM ,K uM ,L
现时（Updated ）Green 应变张量：以现时构型为参考构