三角函数图像与性质一对一辅导讲义.doc
函数图像的研究一对一辅导讲义
教学目标1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求 值域、求单调区间等问题中的应用．重点、难点教学重点：三角函数的图像和基本性质。
教学难点：三角函数图像的由来与函数y=Asin(wx+ϕ)性质图像的平移。
考点及考试要求 考点：三角函数的定义域值域、周期、三角函数的单调性、三角函数的对称性教 学 内 容第一课时 三角函数的性质一、函数的周期1、周期函数的定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
若函数)(x f 的周期为T ，则 也是)(x f 的周期。
即0,),(...)2()()(≠∈+=+=+=k Z k kT x f T x f T x f x f2、正弦函数R x x y ∈=,sin 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期是 ；3、余弦函数R x x y ∈=,cos 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期是 ；4、正切函数ππk x x y +≠=2,tan 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期是5、函数,),sin(R x x A y ∈+=ϕω（其中ϕω,,A 为常数，且0,0>≠ωA ）是周期函数，它的最小正周期T = ；6、函数,),cos(R x x A y ∈+=ϕω（其中ϕω,,A 为常数，且0,0>≠ωA ）是周期函数，它的最小正 周期T = ；7.函数)tan(π+=wx A y ，它的最小正周期T知识梳理课堂演练：1、函数x y 2sin 2=的最小正周期为____________；2、函数321cos2+=x y 的最小正周期为____________； 二、三角函数的奇偶性与对称性 1、奇偶性（1）正弦函数的奇偶性：如果点),(y x 是函数x y sin =的图象上任意一点，那么与它关于原点 对称的点__________也在函数x y sin =的图象上，这时我们说函数x y sin =是_______函 数。
三角函数的图像和性质学生讲义 -
三角函数的图像和性质1.诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππⅣ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 2、三角函数公式1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==3、三角函数的图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 “五点法”描图(1)y ＝sin x 的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为： (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()+=f x T f x 都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数4．由y ＝sin x 的图像变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像一般有两个途径利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图像向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像。
三角函数的性质讲义1.docx
三角函数的性质讲义1【知识要点】、图象和性质图表解函数正弦函数余弦函数正切函数图象\ ,A.V1 V儿丿丿°, 5七<7 •1定义域R R 』H兰 + k7i、ke Z>2值域[-1,1]最大值为1,最小值为[-1,1]最大值为1,最小值为・1R无最大值，最小值周期性最小止周期为2兀最小正周期为2龙最小正周期为兀奇偶奇函数偶函数奇函数单调性TT 7T[一专+ 2刼冷+ 2切增TT3龙[-- + 2^,—+ 2^ ]减2 2[(2^-1 '兀2k兀)增[2k兀,(2k一\}n ]减伙G Z)7F 7T在（一丝+ k;z■，丝+比龙）（RwZ）上都是增函数对称性JI对称轴X = k7T + —2对称中心坐标伙龙,0）,对称轴x = k兀7T对称中心坐标为伙龙+ —,0）,Ljr对称屮心坐标(——,0) ,(ke Z)【性质的应用】一、求定义域例1、已知三角函数值求角(1) sinx = —(2) tanx = -1 (3) sinx> —2 2 (4) cosx> —(5) sir\x<^-(6) tanx> V32 2例3、求函数y=Jsinx-cosx 的的定义域例4、求函数y = lg(2cosx +72) + 716-x 2的定义域二、周期性例1、下列函数是否是周期函数？若是求出最小正周期(l)y = sin x ; (2)y = cos x ;例 2、设函数 f(x) = sin3兀+ | sin3% 処I/O)为 ________________例3、己知函数^ = sin 2 x + 2sinx-cosx + 3cos 2 x,求该函数的最小正周期例2、求函数 y = lg(2cosx + V2) 1 - cos 兀 2sinx-l的定义域(3)y = sin x三、奇偶性］、若 y = Asin （60r + °）为奇函数则 ____________________________________________若y = A sin （血+°）为偶函数则 ________________________________________________2^ y = Asin （cm ： + °）的对称轴为 ________________ 对称中心为 ____________________ y = Acos （血+ 0）的对称轴为 ___________________ 对称中心为 ___________________ y = A tan （加+ °）的对称中心为 __________________ 无对称轴。
第20讲-三角函数的图象与性质(讲义版)
第20讲-三角函数的图象与性质一、 考情分析1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.二、 知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.三、 经典例题考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2， 所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数 A.π4B.π2C.3π4D.π【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称 (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称， 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可. 2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可. [方法技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.5.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .四、 课时作业A ．πππ2π,()2623k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ5π,()212212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π2ππ,π()63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZA ．3，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．3，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．1，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭A ．1y x= B ．y tanx =C ．x xy e e -=-D ．2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩A ．()2,266k k k Z ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈ B ．()22,333k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈ D ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦A ．B ．C ．D ．A ．()sin(2)6f x x π=+B ．()cos(2)6f x x π=+ C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()sin(2)3f x x π=+A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>A ．关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线12x π=-对称D ．关于直线12x π=对称A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]-ππ上是减函数A ．cos y x =在第一象限和第四象限内是减函数B ．sin y x =在第一象限和第三象限内是增函数C ．cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有3个零点 ④函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减A ．①③④B ．②④C ．①④D ．①③A ．2B ．3C ．4D ．6A ．44ππα-B ．42ππα<或324ππα< C ．04πα或34παπ< D ．04πα或34παπA ．6B ．7C ．8D ．9A ．B ．C ．D ．A ．π，1B ．π，12C ．2π，1D ．2π，12A ．1B ．2C ．3D ．4A ．函数()1f x -是奇函数B ．函数()1f x +是偶函数C ．函数()2f x +在[]0,1上单调递增D ．函数()3f x +是周期函数A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π A ．()f x 的最大值为3B ．()g x 是奇函数C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减①函数()()y f x g x =的最小正周期为π；②函数()()y f x g x =的最大值为2； ③将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象； ④将函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象. 其中正确结论的序号是____________.（1）求函数()y f x =解析式；（2）求[0,π]x ∈时，函数()y f x =的值域；（3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域和取得最大值时相应的x 的值.(1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．。
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
第3讲三角函数的图象与性质-讲义版
课程主题：第3讲 三角函数图象与性质【知识点】1． 正余弦函数图象的作法： i. 定义法：利用三角函数的定义．ii. 五点作图法：取图象上五个关键的点．x0 2ππ23ππ2sin x 011-事实上，描出这五个点后，函数sin y x =，[]0,2x π∈的图象形状就基本上确定了，因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图。
因为cos sin ,2y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭所以余弦函数的图象可以由正弦函数的图象向左平移2π个单位而得到。
x2ππ23ππ2cos x1 01-1()cos 0y x x π=≤≤的简图如下正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程O2ππ23ππ2]2,0[,sin π∈=x x y x2． 三角函数的图象和性质函数sin y x =cos y x =tan y x =图像值域[]1,1-[]1,1-R定义域RR2x R x k ππ⎧⎫∈≠+⎨⎬⎩⎭单调性 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22上递增⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22上递减 ()21,2k k ππ-⎡⎤⎣⎦上递增()2,21k k ππ+⎡⎤⎣⎦上递减,22k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上递增最值22x k ππ=+时，max 1y =22x k ππ=-+时，min1y =- 2x k π=时，max 1y =()21x k π=+时，min 1y =-无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数 对称性对称中心(),0k π对称中心,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭ 对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭对称轴：2x k ππ=+对称轴：x k π=无对称轴周期 2π 2ππ3． 三角函数()()sin ,0y A x B ωϕω=++>图象的性质()()sin ,0y A x B ωϕω=++>中的概念相位：x ωϕ+初相：ϕ；周期性：2T πω=频率：2f ωπ=； 振幅：A 值域：[],A B A B -++；定义域：R ；对称轴：2x k x πωϕπ+=+⇒的值；对称中心： ；单调增区间： ；单调减区间： ．【课堂演练】 题型一 简图例1 用五点法画出下列函数的简图： （1）[]1sin ,0,2y x x π=+∈；（2）[]cos ,0,2y x x π=-∈练1 用五点法画出下列函数的简图： （1）[]sin 2,0,y x x π=∈；（2）[]cos ,0,26y x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭题型二 定义域例2 求下列函数的定义域： （1）sin 2y x =；（2）cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（3）3sin 2y x =- （4）11cos 2y x =-练2 求下列函数的定义域 （1）sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（3）1sin 1y x =+；（4）1cos 2y x =-．题型三 三角函数的单调性 考点1 R 上的单调区间 例3 sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为 ，递减区间为 ．例4 sin 2y x =-的单调递增区间为 ，递减区间为 ．例5 sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为 ，递减区间为 ．练3 求函数1sin ,23y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的单调增区间．练4 函数()2sin 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则其单调递增区间为（ ） A ．()3,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦考点2 闭区间上的单调性例6 求函数[]1sin ,2,236y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间．例7 函数[]()2cos 2,0,6y x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭为增函数的区间是 ．例8 函数[]()2sin 2,0,6y x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ） A ．]3,0[πB ．]127,12[ππ C ．]65,3[ππ D ．],65[ππ例9 cos 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间是（ ） A ．[,0]π- B ．3[,]44ππ-C ．[,]22ππ-D ．5[,]44ππ练5 下列函数中，周期为，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（ ）A ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．cos 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭练6 求下列函数的单调区间： （1）()[]2,0,4f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）()cos 2,,622f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．练7 若函数cos 2y x =与函数()sin y x ϕ=+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值是（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π练8 已知：()()2sin 21,6f x x a a R a π⎛⎫=+++∈ ⎪⎝⎭为常数．若()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之和为3，求a 的值．π练9 已知函数()2sin 4f x a x a b π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0a <时，()f x 在[]0,π上的值域为[]2,3，求,a b 的值题型四 周期性 例10 求下列函数的周期 （1）()sin 2f x x =（2）()2sin f x x = （3）()sin cos f x x x = （4）()2sin f x x =例11 函数()cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．π2D ．π4练10 已知函数()cos 3xf x π=，则(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++=L ．练11 ()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为，则ω= ．练12 函数()3sin(),24x f x x R π=-∈的最小正周期为（ ） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π5π练13 已知函数()()2sin 0y x ωϕω=+>在区间[]0,2π上的图象如图所示,那么ω=（ ） A ．1B ．2C ．12D ．13练14 若函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,且()03f ）A ．B ．C ．D ．练15 已知函数3sin )(xx f π=，则(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++=L （ ）A ．2017B 3C ．0D ．3-练16 函数)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f -+=的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．23π D ．π2题型五 奇偶性和对称性 考点1 简单概念例12 判断下列函数的奇偶性： （1）()2sin f x x = （2）()sin f x x x = （3）()sin f x x =（4）()2sin f x x =1,26πωϕ==1,23πωϕ==2,6πωϕ==2,3πωϕ==例13 若函数是偶函数，则（ ） A ．B ．C ．D ．例14 函数图像的对称轴方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．练17 判断下列函数的奇偶性： （1）()2cos2f x x = （2）()2cos f x x x =（3）()cos f x x x =（4）()4sin f x x =练18 函数()5sin 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是 ．练19 函数的图像的一条对称轴是（ ）A ．B ．C ．D ．考点2 综合应用例15 若函数，则是（ ） A ．最小正周期为的奇函数 B ．最小正周期为的奇函数 C ．最小正周期为的偶函数 D ．最小正周期为的偶函数例16 ()()ϕω+=x A x f sin ()0,0>>ωA 在x ＝1处取最大值，则（ ） A ．一定是奇函数 B ．一定是偶函数 C ．一定是奇函数 D ．一定是偶函数sin(2)3y x π=+6x π=-12x π=-6x π=12x π=)4sin()(π-=x x f 4π=x 2π=x 4π-=x 2π-=x 21()sin ()2f x x x R =-∈()f x 2ππ2ππ)1(-x f )1(-x f )1(+x f )1(+x f66 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6 ⎪⎝⎭A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0例18 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）A ．关于(,0)3π对称 B ．关于直线4x π=对称 C ．关于(,0)4π对称 D ．关于直线3x π=对称练20 下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）. A ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x =+练21 已知函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为，则该函数的图像（ ） A ．关于对称 B ．关于直线对称C ．关于对称D ．关于直线对称练22 设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()f x 的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减练23 已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈，下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称π(,0)3π4x π=(,0)4π3x π=66 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6 ⎪⎝⎭A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0练25 设点P 是函数()sin f x x ω=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π， 则()f x 的最小正周期是（ ）A ．π2B ．πC ．D ．【课后巩固1】 1．画出下列函数的简图（1）[]1sin ,0,2y x x π=-∈ （2）[]3cos 1,0,2y x x π=+∈2．求下列函数的定义域： （1）1sin 2y x =-（2）2cos 1y x =+3．函数3cos 2y x =-） A ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(),66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．R2π4π4．下列四个命题中，假命题是（ ） A ．cos y x =在()2,22x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭上是减函数 B ．cos y x =在[],0x π∈-上是增函数 C ．cos y x =在第一象限是减函数 D ．sin y x =和cos y x =在()2,22x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭上都是减函数5．函数cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ． B ．C ．D ．6．“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数1cos y x =+的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线2x π=对称8．如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图像关于线6x π=对称，那么ϕ的最小值是 ．9．已知函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求： （1）函数的周期；（2）求函数在[],0π-上的单调递减区间．4π2ππ2π10．已知函数1()sin(2)26f x x π=-． （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值．【课后巩固2】 1．画出下列函数的简图 （1）[]sin 2,0,24y x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭（2）[]cos ,0,23y x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭2．求下列函数的定义域： （1）1sin 22y x =- （2）2sin 2y x =+3．函数[]()2sin 20,6y x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ） A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x =C ．sin y x =D ．sin 4y x =5．已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(10,2⎤⎥⎦D ．(]0,26．如果函数()()()sin 02f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T ，且当2x =时取得最大值，那么（ ） A ．2,2T πθ==B ．1,T θπ==C ．2,T θπ==D ．1,2T πθ==7．下列函数中周期为π且为偶函数的是（ ） A ．sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．cos 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．cos 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8．如果函数()3sin 2y x ϕ=+的图像关于线4x π=对称，那么ϕ的最小值是 ．9．已知函数3()sin(2)32f x x π=--（1）求的最小正周期和最大值； （2）讨论在上的单调性．()f x ()f x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()sin 2,3f x a x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭0a > （1）写出函数()f x 的单调递减区间； （2）设0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的最小值为2-3求实数,a b 的值．【课后巩固3】 1．画出下列函数的简图 （1）[]sin 2,0,6y x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭（2）[]3cos 1,0,22y x x ππ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭2．求下列函数的定义域： （1）2sin 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2） 2cos 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3．函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．52,21212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．72,21212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦4．函数cos y x =-的图象与余弦函数的图象（ ） A ． 只关于x 轴对称 B ．只关于原点对称C ．关于原点、x 轴对称D ．关于原点、坐标轴对称5．若函数sin 13y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，那么正数ω的值是（ ） A ．8 B ．4C ．2D ．16．已知函数()()sin 106f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，则()f x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．9x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=7．已知函数sin cos y x a x =+的图象关于直线53x π=对称，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．33-C 2D ．228．在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③9．如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值是 ．10．设函数()()()()sin 20,f x x y f x ϕπϕ=+-<<=的图像的一条对称轴是直线8x π=．（1）求ϕ的值；（2）求函数()y f x =的单调递增区间； （3）画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图像．。
高一数学讲义 三角函数的图像和性质
三角函数要求层次重难点sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象和性质C了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法 函数sin()y A x ωϕ=+的图象C会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理和方法用三角函数的图象解决一些简单的实际问题 B 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心三角函数的定义域和值域B 掌握三角函数的定义域、值域的求法三角函数的性质 C掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为sin()y A x ωϕ=+的三角函数的性质三角函数的图象和性质的应用C掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用三角函数的图象是高考的热点之一，重点考查已知图象求解析式，函数的图象变换及对称问题，利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题，多为中档题.板块一：三角函数的图象 高考要求第九讲三角函数的图像与性质知识精讲1.三角函数的图象2.函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象的作法――五点法①确定函数的最小正周期2πT ω=；②令x ωϕ+＝0、π2、π、3π2、2π，得x ϕω=-、1π()2ϕω-、1(π)ϕω-、13π()2ϕω-、1(2π)ϕω-，于是得到五个关键点(,0)ϕω-、1π((),1)2ϕω-、1((π),0)ϕω-、13π((),1)2ϕω--、1((2π),0)ϕω-；③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象．3.()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象函数()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x=的图象上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位；再把所得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ωϕ=+的图象．当函数sin()y A x ωϕ=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；1T叫做频率；x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换要得到函数sin()(0)y x ϕϕ=+≠的图象，可以令x x ϕ=+，也就是原来的x 变成了现在的x ϕ+，相当于x 减小了(0)ϕϕ<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)ϕ>或向变换，使相位由x 变为x ϕ+，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y x ω=的图象，其周期由2π变为2πω，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩． (3)振幅变换要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令yy A=，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．【说明】本题的所有变换都是针对x 和y 来的，也就是说所有的转换都是用在x 和y 身上的，他们的系数也不包括在内．例如()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，如果先把sin y x =各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）变成sin y x ω=，再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x ω=，而最后才所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位，这样得到就是sin ()y A x ωϕ=+，而不是sin()y A x ωϕ=+．希望大家能够从中理解“坐标变换是针对x 和y 做的” 这句话的意义．(二)典例分析【例1】 ⑴（2009年全国I ）如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4π3⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么ϕ的最小值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2 ⑵（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数3πcos ([0,2π])22x y x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象和直线12y =的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【例2】 函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如下图所示，则(1)(2)(3)f f f +++…(11) f=【例3】方程1sin22x=在[2π,2π]-内解的个数为．【例4】如图，方程sin2sinx x=在区间(0,2π)内解的个数是( ) A．1B．2C．3D．4【例5】⑴求方程lg sin0x x-=的解的个数；⑵求方程100sin x x=的解的个数．【例6】(2006年-辽宁)已知函数11()(sin cos)sin cos22f x x x x x=+--，求()f x的值域．【例7】 函数cos(sin )y x =的值域为_______【例8】 ⑴求函数22log (1sin )log (1sin )y x x =++-，ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域．⑵求函数223sin sin y x x=+(π,)x k k ≠∈Z 的值域．【例9】 (1sin )(3sin )2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合【例10】 已知正弦曲线sin()(0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>><<上的一个最高点是(2,，由这个最高点到相邻的最低点，曲线与x 轴相交于点(6,0)，试求这个函数的解析式.【例11】 已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3π,2)x +-. ⑴求()f x 的解析式；⑵用列表作图的方法画出函数()y f x =在长度为一个周期的闭区间上的图象.【例12】 如图，是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>，πϕ<的图象的一部分，由图中条件写出函数解析式．【例13】 右图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,02π)A ωϕ>><<的图象的一部分，试求此函数的解析式.【例14】 函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,π)A ωϕ>><的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式.【例15】 (2005年湖南高考)设函数()f x 的图象与直线x a =，x b =及x 轴围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面积，已知函数sin y nx =在π0,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为2n ()n *∈N ， ⑴sin3y x =在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为 ；⑵sin(3π)1y x =-+在π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为 ． 【例16】 设π()sin (0)53kf x x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭⑴求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．⑵求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．【例17】 已知函数2sin sin 1y x a x =++的最小值为1，求a 的值.【例18】 求证：在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的实数对(,)c d ，π,0,2c d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c d <，使得sin(cos )c c =，cos(sin )d d =成立．【例19】 已知函数()b x a x x a x a x f ++⋅+=22cos 33cos sin 2sin 3⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πx 的值域为[23，-]，求a 、b 的值．【例20】 已知函数R ∈+⋅+=x x x x y ，1cos sin 23cos 212． （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y =sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例21】 已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（200πϕω<>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）． （1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的31，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．板块二：三角函数图象变换(一）知识内容1．函数图象平移基本结论小结如下：(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位 (0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍()()y f x Ay f x =−−−−−−−−→=1各点纵坐标变成原来的倍A()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折 ()()y f x y f x =−−−−→=-绕y 轴翻折设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．1（二）典例分析【例22】 已知函数()sin f x x a =-，a ∈R⑴讨论函数()f x 的奇偶性⑵求当()f x 取最大值时，自变量x 的取值集合.【例23】 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．在区间,2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数【例24】 设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 为( )A ．周期函数，最小正周期为π3B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数【例25】 已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（200πϕω<>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）． （1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的31，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．【例26】 (2005年湖北文)函数sin cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为 ．【例27】 已知函数π()sin ()4f x a x a b ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ，，当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为1．⑴求()f x 的解析式；⑵由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．板块三：三角函数的性质（一）知识内容]2π,(21)π]()k k k +∈Z(2π,x k =（二）典例分析【例28】 求使1cos 1ax a+=-有意义的a 的取值范围.【例29】 当方程224sin 4sin 20x x k k +-+-=有解时，求k 的取值范围.【例30】 设f (x )满足ππ2(sin )3(sin )4sin cos ()44f x f x x x x -+=-≤≤，求()f x 的表达式.板块四：三角函数与二次函数典例分析【例31】 求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【例32】 求函数222cos sin y a x x =--的最大值与最小值.【例33】 求函数253sin cos 82y x a x a =++-π(0)2x ≤≤的最大值【例34】 为使方程2cos sin 0x x a -+=在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是( )A.11a -≤≤B.11a -<≤C.10a -<≤D.54a -≤【例35】 已知定义在(,4]-∞上的减函数()f x ，使得27(sin )(12cos )4f m x f m x -+-+≤，对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围 .【例36】 已知,b c 是实数，函数2()f x x bx c =++对任意,αβ∈R 有：①(sin )0f α≥②(2cos )0f β+≤⑴求(1)f 的值； ⑵证明：3c ≥；⑶设(sin )f α的最大值为 10，求()f x .（一）知识内容1.定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的数T ，使得当x 取定义域中的任意一个数时，()()f x T f x +=总成立，那么称()f x 是周期函数，T 称为这个函数的周期，如果函数()f x 的所有正周期总存在最小值0T ，则称0T 为这个函数的最小正周期.2.说明：周期函数的定义域是无界的；若T 是某函数的周期，则(,0)nT n n ∈≠N 均为此函数的周期；若函数()y f x =的最小正周期是T ，则函数()y f x ωϕ=+的最小正周期是Tω.3.对称轴为x a =的函数，对称中心为(,)a b 的函数的解析式问题函数()y f x =周期为T ⇔如果点(,)x y 在图象上，则(,)x T y +也在图象上⇔()()y f x f x T ==+推广：关于一般的轴对称：函数()y f x =关于直线x a =对称⇔如果点(,)x y 在图象上则它关于直线x a =的对称点(2,)a x y -也在图象上⇔()(2)y f x f a x ==-板块五：三角函数的周期性关于一般的中心对称：()y f x =关于点(,)a b 对称⇔如果点(,)x y 在图象上，则它关于点(,)a b 的对称点(2,2)a x b y --也在图象上⇔2()(2)b f x f a x -=-4.某个函数关于点对称或轴对称，周期的特点：⑴若定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =，x b =()a b >，则这个函数必定是周期函数，2()T a b =-是它的周期.证：[2()][(2)]f a b x f a a b x -+=+-+[(2)](2)f a a b x f b x =--+=- [()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=∴()f x 以2()a b -为周期⑵若函数()f x 在R 上的图象关于某点0(,)A a y 与某直线x b =()a b ≠对称，则此函数为周期函数，4T b a =-是它的周期.证：图象上任一点(,())x f x 关于点0(,)A a y 的对称点0(2,2())a x y f x --也在图象上，即有0(2)2()f a x y f x -=-，且()()f b x f b x -=+，则0()2(2)f x y f a x =-- 02[(2)]y f b b a x =---+02[(2)]y f b b a x =-+-+02(22)y f b a x =--+[2(22)]f a b a x =--+[(34)]f b b a x =--+[(34)]f b b a x =+-+[4()]f b a x =-+∴()f x 是以4()b a -为周期的函数（二）典例分析【例37】 ⑴设函数ππ()2sin()25f x x =+,若对任意x ∈R ,都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值( )A.4B.2C.1D.12⑵已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________.【例38】 已知函数2sin()y x ωϕ=+(0π)ϕ<<为偶函数，其图象与直线2y =相邻的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，且12πx x -=，则( ) A.π2,2ωϕ==B.1π,22ωϕ==C.1π,24ωϕ==D.π2,4ωϕ== 【例39】 函数()f x ，当(,)x ∈-∞+∞时，(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.⑴试判断函数()f x 的奇偶性.⑵试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，证明你的结论.【例40】 设()f x 是定义在R 上并以2为周期的函数， 当[1,1]x ∈-时，2()f x x =.⑴求(1,3]x ∈时，()f x 的表达式；⑵作出()f x 的图象，并求(3)f -及(3.5)f 的值.【例41】 函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是 .【例42】 函数21π5cos π36k y x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()k *∈N 对于任意实数a ，在区间[,3]a a +上的值54出现的次数习题1. 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）Ａ.π3 Ｂ.ππ2k k +∈Z ， Ｃ.πk k ∈Z ， Ｄ.π2π2k k -∈Z ，习题2. ⑴函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_____________________.⑵函数sin y x =的一个单调增区间是( ) A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，家庭作业习题3. 已知函数()()cos ωϕ=+f x A x 的图象如图所示，π223⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ，则()0=f （ ）A.23-B.12-C.23D.12习题4. 求下列不等式x 的取值范围.⑴2sin 10x +≥；⑵π2cos(3)106x +-≤.习题5. 若函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,02π)A ωϕ>><≤的图象上一个最高点的坐标为（，由这个最高点到相邻的最低点间，图象与x 轴的交点为(4,0).求此函数的解析式.习题6. 把曲线π:2sin 24C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移(0)a a >个单位，得到的曲线G 关于直线π4x =对称.求a 的最小值.习题1. 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π[0,]2x ∈时，()sin f x x =，则5π()3f 的值为（ ） A . 12- B .3C .3-D .12习题2. 设()f x 是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，πcos 2,0,2()sin ,0π,x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤则()15π4f -= .习题3. 已知π4x ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值习题4. （2005山东卷）函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩≥，若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）A.1B.21,-C.2- D.21, 习题5. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意的1x ，2x 10,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且(1)0f a =>，⑴求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭及14f ⎛⎫⎪⎝⎭⑵证明()f x 是周期函数习题6. 关于x 的不等式222sin 2cos 2a a x a x +--≥的解集是全体实数，求实数a 的取值范围月测备选。
三角函数完美讲义
三角函数完美讲义
1.引言
三角函数是高中数学的重要知识点之一，也是解决几何和物理
问题的基础。
本讲义旨在提供一个完整且简明易懂的三角函数讲解，帮助学生更好地理解和应用三角函数的概念和性质。
2.基本概念
研究前提：了解直角三角形和基本三角比的概念
三角函数定义：正弦、余弦和正切的定义及图示
三角恒等式：介绍常见的三角恒等式及其证明方法
3.三角函数图像
正弦函数图像：介绍正弦函数的周期、振幅、相位和对称性
余弦函数图像：介绍余弦函数的周期、振幅、相位和对称性
正切函数图像：介绍正切函数的周期、渐近线和对称性
4.三角函数性质
基本性质：介绍正弦、余弦和正切函数的定义域、值域和奇偶性
三角函数的推导：从直角三角形的角度推导三角函数的值
5.三角函数应用
角度的测量单位：介绍弧度制和度制的转换关系
三角函数应用举例：解决实际问题时如何运用三角函数
三角函数的相关性：介绍三角函数之间的关系，如和差公式和倍角公式
6.总结
本讲义通过简明易懂的语言和清晰明了的图示，全面介绍了三角函数的基本知识和应用。
希望学生能够通过本讲义的研究，更加深入地理解和掌握三角函数，为日后的高中数学研究和实际应用打下坚实的基础。
以上是《三角函数完美讲义》的框架概述，具体内容请根据需要进行补充。
希望对您有所帮助！。
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教学目标
1、掌握三角函数的图像与性质；能处理同角三角函数的基本关系运算。
2、熟练掌握三角函数的诱导公式及其应用。
重点.难点教学重点：公式、三角函数的单调性、对称性教学难点：公式的正向、逆向、变向的应用考点及考试要求考点：求任意角的三角函数的，通过描点熟练画三角函数图像
教学内容
第一课时三角函数的图像与性质
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
(1)正弦函数y=sinx, xG[0, 2 Ji]的图彖屮，五个关键点是：
(0,0) (£,1)
2 (2)余弦函数y二cosx (兀,0)(竺,-1) (2K, 0)
2
x€ [0, 2兀]的五个点关键是
(0, 1)(兰，0)
2 (兀，-1)(衍，0) (2K, 1)
2
只要这五个点描出后，图象的形状就基木确定了.因此在精确度不太高时，常釆用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握.
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
y=cosx
二、三角函数的性质
函数/
7性质y=sinx y=cosx y=tanx
定义域R R兀
{x\x^kit+y RGZ}
y y.厂丿
_*5 °哥厂。
:?-值域[―叩]L JI R
jr
对称轴:x=wez)无对称轴
对称轴：x=k7t+^(kEZ)
乙
对称中心：对称中心：对称性
对称中心：
(k/r + — ,0)Zc G Z —,0)«Z
伙兀，0)(Z： ez)
最小正周期2TI2兀K
单调性
单调增区间
71
71
[2防r 一专,2S +专]KZ ； 单调减区间
TT \jT [2^+-,2^+—]^G Z
单调增区间
[2hr —兀，2加](RWZ)；
单调减区间
[2刼,2鸟兀+兀]伙GZ)
单调增区间
(k,兀 -- ,k7T H —)k G Z
2 2
奇偶性
W
遇
第二课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识点
一、【前课知识梳理】
1、同角三角函数的基木关系：
平方：(l)sin 2 a + cos' a- \ (sin 2 cr = l-cos 2 £Z,cos 2 a- 1-sin 2 a):
倒数：(3)tan6r cot<7 = 1。
2、三介函数的诱导公式：
(l) sin(2k;r + a)二 sina , cos (2k + 6if) = cos a , tan(2£;r + Q )= tana^ke Z)。
(2) sin(^ + dZ )= -sina , cos(;r + a) = -cosa , tan(;r + a) = tana 。
COS (-G ) = cosa , tan (-a) = —tana □
(4)sin(^-cr) = sin6r, cos (龙一a) =-cosa,
sin a
=tana cos a
• sin a)
sin a = tan a cos a. cos a -------
tana ) (3)sin(-6r) = -sin6Z,
tan (龙一 a) = - tan o
商:
717t ——a=cos a，cos ——a U丿、2丿
、(一 \
7171—+ Q =cos a , cos —+ Q U丿U )
-sin^z c = sina o
(5)sin
(6)sin
口诀：奇变偶不变（奇偶是指彳的奇数或偶数倍），符号看象限。
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：对于k・n/2 土a （kGZ）的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sin-^cos ; cos-^sin; tan—^cot, cot—tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例1:若cos a + 2 sin a = —y[5,则tan a =
A. % B・ 2 C.
例3：下列各三角函数值屮，取负值的是
C. cos(-740°) D・
sin(-420°)-cos570
例4：已知cos（a_;r） = _右,且a是第四象限角,
例5：化简下列各式:
sin(& — 5龙)cos( --- 0) cos(8 龙一 ff)
(2) ---------------------- 2——— -----------
sin(& ----- ) sin(-& — 4龙)
A.
12
13
12
B・Ti D.
5
12
()
D. —2
例2：已知tan 0 = 2,求
3sin0-2cosy
sin + 3 cos
的值。
A. sin(-660°)
B. tan(-160°)
则sin(-2^ + 6Z)=
(1)
5/1-2加0。
如0。
sin 170°-Vl-sin2170°
一.【老考表龜实战诃休】 第三课时高考实战
71 3
兀 K （2008-广东中山模拟）已知aw （兰,上），tan （cr-7^） =——，贝ijsina + cosa 的值为（ ） 2 2 4
1 C.—
5
，则/（-—）的值为（
V3
D. —丄一
2
、2 1 B.—— 5 2、（08•惠州模拟）已知心）=空上型泌日 cos （-;r
一 a ）・ tan a 2
1 A.-
2
1 B.——
2
C. 二.【篠后延伸诃休】
1、
cos300°
= A
.
A /
3 2 B .
1 C.—
2
D.
Vs 2
2、
若/(cosx) = cos2x ,则/(sin 15°)=
A.
_V| 2 1 B. -----
2 1 C.— 2
D.
3、 在AABC 中，下列函数值中可以是负值的是
A. 4、 A B • cot —
2
已知心sing+Q ）*cos （M+a ）（辰乙），则A 的值构成的集合是
sin A B + C C. cos --------
2
D. tan A
sin a {1, — 19 2, —2} A. 二、填空题 cosa + 2sina n =2 , cos a-sin a
5. 7、 COS <7 B. {-1,
1} C ・{2, -2} D. {1, -1, 0, 2, -2}
彖限; —
/
、 8
. 3龙、
HOT cos (7r-a) = — f ae (-T,—), tana =
设a 二 sin(—l),b = cos(—l),c = tan(-l),则 ci 、b 、c 的人小关
系是
jr
8、已知/(x) = 2cos一X，则/(0) + /⑴ + 于(2) + …+ /(2006)= ____________
6
9、若tan&二2,贝ij2sin2&一3sin& cos&二 __________ ；
10、t ancr = sin2+ 2sin crcos- 3cos2« = :
3
11> 己知sina + cosa = -l,贝Osin2008 6^ + cos200S a的值为________ ；
12、(1)已知。
为第二彖限角，fLsina二一，求cosG, tana； 13
(2)已知tan 6T = 2 ,求sin a , cos a。
13、已知如。
=-1,求下列各式的值：
tanQ-l
z、sin«-3cos«,、• 2 r
(1) — -------------- ；(2) sirr o + sinacosa + 2
sina + cosG
sin(-zr 一a) cos(2^ 一a) tan(—a d ) 14、已知a是第三象限角，Rf(a) = ------------------------------------------- 2_
cot(—a - 7i) sin(—龙-a)
3乃1
(1)化简 /(") ；(2)若cos(a ------- )=—,求/ (a)的值；
2 5
(3)若a = —186(T,求门a)的值。
sin(a一3龙)+ cos(龙一a) + sin(——a)-2 cos(— + a) 15、已矢n tan(3;r + a) = 2 , 求--------------------------- ------------- ----
一sin(-a) + cos(龙 + a)。