理论力学(机械工业出版社)第五章点的运动学习题解答

习 题5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ωϕ=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。

试求顶杆的运动方程和速度。

图5-13)(cos )sin(222t e R t e y ωω-+=)(cos 2)2sin()[cos(222t e R t e t e yv ωωωω-+==5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。

梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。

已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ，MB = h 。

试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度的大小。

图5-14A M x hl hh x +==θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h xA M +=+== θθ 得 θθcos )(0h l v +=θθθθθt a n)(c o s )(s i n s i n 00h l lv h l v l l yM +-=+⨯-=-= 0=M xθθθθθ322002020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +-=+⨯+-=+-=θ3220cos )(h l lv a M+=5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =ϕ（ 以 rad 计，t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。

铰O至水平杆CD 的距离h =400 mm 。

试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。

图5-15ϕtan h x M = ϕϕϕ22sec 6π400sec ⨯== h xM ϕϕϕϕϕϕϕs i n s e c 9π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π4003233=⨯⨯=⨯⨯= M x当s 1=t 时6π=ϕmm/s 3.2799π800346π400)6π(sec 6π4002==⨯==Mv 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==⨯⨯=⨯⨯=Ma5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动，如图5-16所示。

当t = 0时，M 在点O 处，试求在任一瞬时点M 的速度和加速度的大小。

图5-16)cos(t ut x ω= )sin(t ut y ω=)sin()cos(t t u t u xωωω-= )cos()sin(t t u t u y ωωω+=)cos()sin()sin(2t t u t u t u xωωωωωω---= )]cos()sin(2[t t t u ωωωω+-= )]sin()cos()[cos(t t t t u y ωωωωω-+= )]sin()cos(2[t t t u ωωωω-= 222)(1t u y xv ω+=+= 222)(4t u yx a ωω+=+=5-5 点沿曲线AOB 运动，如图5-17所示。

曲线由AO 、OB 两段圆弧组成，AO 段半径R 1= 18m ，OB 段半径R 2= 24m ，取圆弧交接处O 为原点，规定正方向如图。

已知点的运动方程s =3 +4t – t 2，t 以s 计，s 以m 计。

试求：(1) 点由t = 0 到t = 5 s 所经过的路程；（2）t = 5 s 时点的加速度。

图5-17243t t s -+= t sv 24-== 0=v 时s 2=t 3)0(=s 7)2(=s 2)5(-=s由t = 0 到t = 5 s 所经过的路程 m 13|72|)37(=--+-=s2τ-=a 2122n m/s 2836)104(==-==R R v a2222n 2τm/s 828.22222==+=+=a a a5-6 图5-18所示的摇杆滑道机构中的滑块M 同时在固定的圆弧槽BC 和摇杆OA 的滑道中滑动。

如BC 的半径为R ，摇杆OA 的轴O 在弧BC 的圆周上。

摇杆绕轴O 以等角速度ω转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。

试分别用直角坐标法和自然法给出点M 的运动方程，并求其速度和加速度。

图5-18直角坐标法)2cos 1(cos t R R R x ωθ+=+= t R R y ωθ2sin sin == t R xωω2sin 2-= t R y ωω2cos 2= t R x ωω2cos 42-= t R yωω2sin 42-= ωR y xv 222=+=2224ωR yx a =+=自然法t R t R s ωω22=⨯=ωR sv 2== 0τ==sa 22n 4ωρR v a ==5-7 小环M 在铅垂面内沿曲杆ABCE 从点A 由静止开始运动，如图5-19所示。

在直线段AB 上，小环的加速度为g ；在圆弧段BCE 上，小环的切向加速度ϕτcos g a =。

曲杆尺寸如图所示，试求小环在C 、D 两处的速度和加速度。

图5-19在直线段ABR v R v B B g 2g 2022==-圆弧段BCEϕcos g τ=aRst v cos g d d =R s t s s v cos g d d d d =⨯ R s s v v cos g d d = ⎰⎰=s v v s Rs v v B 0d cos g d Rs R v v B sin g )(2122=- 在C 处 2πsin g )(2122R v v B C =-R R v v B C g 4g 222=+=R v C g 2= 0τ=C a g 42n==Rv a C C g 4g)4(0222n 2τ=+=+=C C C a a a 在D 处4π3sing )(2122R v v B D =- R R v v B D g )22(22g 222+=⨯+=RR v D g 848.1g )22(=+=g 224π3cos g τ-==D a g )22(2n+==Rv a D D g 487.3g 245.6g )22()22(222n 2τ=+=++-=+=D D D a a a5-8 点M 沿给定的抛物线22.0x y = 运动（其中x 、y 均以m 计）。

在x = 5 m 处，m/s 4=v ，2m/s 3=τa 。

试求点在该位置时的加速度。

22.0x y = x x y 4.0= )(4.02xx x y +=22y xv +=vy y x x v y y x x v a +=+==222τ 在x = 5 m 处，m/s 4=v ，2m/s 3=τa 。

即： 4)54.0(22=⨯⨯+x x2.32=x 2.3=x2.32=y34=+yy x x 122.322.3=+yx 2.3122=+yx (1)由)(4.02x x x y+= )52.3(4.0x y += x y228.1+= (2) 联立(1)(2)求得8296.05)56.22.312(=-=x9392.2=y222m/s 054.3=+=yx a5-9 点沿空间曲线运动，如图5-20所示，在点M 处其速度为j i v 34+=，加速度a 与速度v 的夹角︒=30β，且a =10 m/s 2。

试计算轨迹在该点的曲率半径ρ和切向加速度τa 。

图5-202τm/s 66.83530cos 10cos ==︒⨯==βa a 2n m/s 530sin 10sin =︒⨯==βa aρ2n v a = m 5552n 2===a v ρ5-10 点沿螺旋线运动，其运动方程为：)2/(,sin ,cos πωωωt h z t R y t R x ===，式中，R 、h 、ω均为常量。

设t=0时 s 0 = 0，试建立点沿轨迹运动的方程s = f (t )，并求点的速度、加速度的大小和曲率半径。

222)(d )(d )(d d z y x s ++=t h t R t R d )π2()cos ()sin (222ωωωωω++-= t h R d π2π4222ω+=222π4π2h R ts +=ω 222π4π2h R sv +==ωt R x a x ωωcos 2-== t R ya y ωωsin 2-== 0==z a z 2ωR a =0τ==va 2n ωR a a ==Rh R a v 22n 2π4+==ρ5-11 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为)3/sin(π44),3/sin(π2t y t x +==，设t =0时，s 0=0；s 的正方向相当于x 增大方向。

试求轨迹的直角坐标方程)(x f y =、点沿轨迹运动的方程)(t s s =、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。

轨迹的直角坐标方程 42+=x x 点沿轨迹运动的方程t tx y x s d 3πcos 3π52d 5)(d )(d d 22==+=(m)3πsin 472.43πsin 525tt x s ===s)(m/3πcos 683.43πcos 3π52tt sv === )(m/s 3πsin 904.43πsin 9π5222τt t v a -=-==5-12 已知动点的运动方程为：t y t t x 22=-=，。

试求其轨迹方程和速度、加速度。

并求当t =1s 时，点的切向加速度、法向加速度和曲率半径。

x 、y 的单位为m ，t 的单位为s 。

轨迹方程2)2(2yy x -= 0422=--x y y 速度、加速度12-==t xv x 2==y v y 5442+-=t t v 2==x a x 0==y a y 2m/s 2=a vt v t v a 24248τ-=-== 当t =1s 时 5=v52524τ=-=a 52524τ=-=a789.12.3)52(2222τ2n ==-=-=a a am 795.22.35n2===a v ρ5-13 如图5-21所示，动点A 从点O 开始沿半径为R 的圆周作匀加速运动，初速度为零。

设点的加速度a 与切线间的夹角为θ，并以β表示点所走过的弧长s 对应的圆心角。

试证：βθ2tan =。

图5-21常量cos τ===θa va θcos at v = θcos 212at s = θsin 2n a Rv a ==βθθθθ22cos cos )cos (tan 22τn =====RsR at Ra at a a5-14 已知点作平面曲线运动，其运动方程为：x = x (t )，y = y (t )。

试证在任一瞬时动点的切向加速度、法向加速度及轨迹曲线的曲率半径分别为：xy y x y xy xx y y x a y xy y x x a n -+=+-=++=23222222)(ρτ22y x v +=22yx a += 2222τ222y xyy x x y x y y x x v a ++=++== 22222222τ2n ||)(y xx y y x y xy y x x yx a a a +-=++-+=-=xy y x y xa v -+==2322n 2)(ρ。