高考数学专题立体几何专题

专题三立体几何专题-【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算•既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题.选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究.【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等. 一【例题解析】学科题型1空间几何体的三视图以及面积和体积计算■■例1某几何体的一条棱长为7 ,在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a ■ b的最大值为-A • 2 2B • 2 3C • 4D • 2 5 _分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决.解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m, n,k ,由题意得、m2 n2 k2 =、7 , 、m2 k2 =6 = n = 1 ,-.1 k^a , .1 m2=b ,所以(a2 -1) (b2-1)=6=a2b2 =8 , .∙. (a b)2 = a2 2ab b2 = 8 2ab 空8 a2 b2= 16= a b 乞4当且仅当a = b = 2时取等号.一点评：本题是高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决. -例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A • 9 πB • 10 πC • 11 π D. 12∏O俯视團分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答∙解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1母线长是3 ,球的2 2半径是1 ,故其表面积是 1 3 2m ■ 4二1 =12二，答案D.-点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意高平齐、宽相等、长对正”的规则.AC例3已知一个正三棱锥P - ABC的主视图如图所示，若PC =J6 ,则此正三棱锥的全面积为______________ .-分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长. -解析：这个正三棱锥的底面边长是3、高是,故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是- -3 =:⅛,故这个正三棱锥的侧棱长是..3 . 6 -3 ,由此知道这个正3 2[3三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形，故其全面积是4 — 32=9∙∙3 ,答案9 3 . 4点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这一个视图要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心.题型2空间点、线、面位置关系的判断 ..例4已知m,n是两条不同的直线，：■,:为两个不同的平面，有下列四个命题：-①若m _〉，n _ ：, m _ n U ：•_：；-②若m〃一：打n // ：, m _ n ,则二// ：;-③若m _〉，n // L, m _ n ,贝U - // L;-④若m I u , n //：,〉// ：,则m _ n .学科其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断.解析：我们借助于长方体模型解决•①中过直线m,n作平面，可以得到平面:J所成的二面角为直二面角，如图(1),故G丄E①正确；②的反例如图(2)；③的反例如图(3)；④中由m丄of,G P P可得m丄B ,过n作平面Y可得n与交线g平行，由于m_g ,故m_n .答案①④.点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的.例5设m, n是两条不同的直线，-：x -是两个不同的平面，下列命题正确的是-A.若m _n,m _ ：•, n〃一：，则〉Uλ B .若m//〉，n〃二〉// 二则m//n_C.若m , n //-「//：,则m _ n D .若m// n, m II】，n// ：,则〉// L分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断. 一解析：对于〉// 一：，结合m ,n Il '-,则可推得m _ n .答案C.-点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异，但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度.题型3空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算(文科解答题的主要题型)例6.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—ABIC I D I中，E、F分别为DD1、DB的- 中占I 八 \、•(2)求证：EF_BQ ；-(3)求三棱锥V B I^FC的体积.-分析：第一问就是找平行线，最明显的就是明；第三问采用三棱锥的等积变换解决. 一解析：(1)连结BD I,如图，在=DD1B中，- E、F分别为DQ , DB的中点，则-(1)求证：EF //平面ABC1D1；EF /QBD i B平面 ABC i D i = EF // 平面 ABCD .- EF 二平面 ABC 1D 1(2)-B 1C 丄 AB、B 1C 丄 BC 1B 1C _L 平面 ABC 1DJ B 1C 丄 BD 1I B 舌 ： 十K : : EF _ B 1C AB, B 1C u 平面 ABC 1D 1BD 1U 平面 ABC 1D 1 EF //BD 1AB n BC 1 =BJ学.(3) CF _ 平面 BDD 1B 1 , . CF _ 平面 EFB 1 且 CF =BF =$2 ,- EF =*BD 1 = ,3 , B l F= BF2BBj= ( 2)2 2^ 6 ,-B 1E = B 1D 12D 1E 2= 12 (2、2)2=3∙∙∙ EF 2B 1F = B 1E 2即.EFB 1 =90 ,-3 .6 V 2 =1 .-3 2点评：空间线面位置关系证明的基本思想是转化， 根据线面平行、垂直关系的判定和性 质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证明线线垂直，但问题不能只局限在线上， 要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上， 通过 证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的， 但证明线面垂直又得借助于线线垂直， 在不 断的相互转化中达到最终目的. 立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形， 可以 通过换顶点”实行等体积变换，这也是求点面距离的基本方法之一.例 7•在四棱锥 P - ABCD 中，ABC =∕ACD =90 , BAC =/CAD =60 , PA _ 平面 ABCD , E 为 PD 的中点，PA =2AB =2 •一(1) 求四棱锥P -ABCD 的体积V ； 一(2) 若F 为PC 的中点，求证 PC _平面AEF ；- (3) 求证CE //平面PAB •-分析：第一问只要求出底面积和高即可； 第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明； 第 三问的线面平行即可以通过证明线线平行、 利用线面平行的判定定理解决， 也可以通过 证明面面■ V B I 上FC CF1- EF B 1F CF 3 2-VC .B 1EF平行解决，即通过证明直线CE所在的一个平面和平面PAB的平行解决.-解析：(1)在 Rt ABC 中，AB =1,. BAC =60 ,「• BC =. 3 , AC =2 •一 在 Rt ΔACD 中，AC =2,. ACD =60 ,二 CD =2、、3,AD =4.-则 V =1χ2√5x 2 =2√3 • -3 2 3(2) τ PA=CA , F 为 PC 的中点，∙∙∙ AF _ PC •-∙∙∙ PA _ 平面 ABCD ,∙ PA _ CD ,τ AC _ CD , PA AC =A , ∙ CD _ 平面 PAC ,∙∙∙ CD _ PC •-∙∙∙ E 为 PD 中点，F 为 PC 中点，∙ EF // CD ,则 EF _ CD , V AF EF =F ,∙ PC _ 平面 AEF •-(3) 证法一：- 取AD 中点M ,连EM ,CM •则EM // PA , V EM 二平面PAB , PA 平面PAB ,-∙ EM //平面 PAB • 在 Rt=ACD 中，.CAD =60 , AC=AM =2 , ∙ ACM =60 •而.BAC = 60 , ∙ MC // AB •-V MC 二平面 PAB , AB 二平面 PAB ,- ∙ MC // 平面 PAB •-V EM MC=M ,∙平面 EMC //平面 PAB .- V EC 平面 EMC , ∙ EC // 平面 PAB . 一证法二：延长 DC,AB ,设它们交于点 N , 一 连 PN •••• . NAC "DAC -60 , AC _ CD ,一 ∙ C 为ND 的中点.V E 为PD 中点，∙ EC // PN •V EC 二平面 PAB , PN 平面 PAB ,- ∙ EC // 平面 PAB •-点评：新课标高考对立体几何与大纲的高考有-了诸多的变化•一个方面增加了空间几何体的三视图、 表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了 三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念 与性质、球的性质与球面距离， 删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷 锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明(主要是平行与垂直) 题型4空间向量在立体几何中的应用 例8.如图，在棱长为2的正方体ABC^A I BC I D I 中，E 、F 分别为A ,D 1和CC I 的∙∙∙ S ABCD =IAB BC -AC CD2 21,∙>32,: 2、3 32 2 2、中占I 八 \、•(1)求证：EF //平面ACD1；(2)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；(3)在棱BB1上是否存在一点P ,使得二面角P-AC-P的大小为30 ?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.B【解析】解法一：如图分别以DA,DC,DD1所在的直线为X轴、y轴、Z轴建立空间(1)取AD1中点G ,则G 1,0,1 ,CG hl1,-2,1 ,又EF= -1,2,-1 ,由EF —CG ,∙∙∙ EF与CG共线•从而EF // CG ,∙∙∙ CG 平面ACD1, EF 二平面ACD1, ∙EF //平面ACD1.(2)∙∙∙ AB hi0,2,0 ,BB i 上存在一点P ,当BP 的长为一6时，二面角P - AC - B3的大小为30 . 解法二：(1 )同解法一知 E^ -1, 2- 1 , AD 1 h[-2,0,2 , AC= -2,2,0 ,• EF =AC - 1AD 1 , • EF 、AC 、AD 1 共面.又：EF 二平面 ACD 1 , • EF //2平面ACD 1 .(2)、( 3)同解法一.解法三：易知平面 ACD 1的一个法向量是 DB 1 = 2,2,2 .又：EF hIT ,2,-1 ,由EF DB 1 =0 •• EF-DB 1 ,而 EF 二平面 ACD 1 , • EF // 平面 ACD 1 . (2)、( 3)同解法一.COS EF AB 4I ΓM M _r ■ ■ .~⅛M ________________________________________ ______ ”— — ?3；EF'AB ・|EF||AB 「2.6•••异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为•、6 (3)假设满足条件的点 P 存在，可设点P(2,2,t) ( Oct 兰 2 ),平面 ACP 的一个法向量为n = x, y,z ，则 J n 'A C =0, ∙.∙ AP =(0,2,t) AC =(—2,2,0 ),• n AP =0. [-2x 2y = 0, 2y tz = 0,- 2取 n =(1,1^-)•易知平面ABC 的一个法向量 BB I =(0,0,2)， 依题意知，■:'' BB 1, n 1 =30 或 150 ',3(2 ,),解得 t= Q 4 t3• COS(BB ι,N )=2即亠3 一 4 2 t 2.点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力.利用空间向量证明线面平行的方法基本上就是本题给出的三种，一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线，二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据共面向量定理作出结论；三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.例9已知几何体A 一BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形.(1)求异面直线DE 与AB所成角的余弦值；(2)求二面角A—ED -B的正弦值；(3)求此几何体的体积V的大小.【解析】(1)取EC的中点是 F ,连结BF ,贝U BF J DE ,二∙FBA或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角在.BAF 中BF =AF =2、5•••异面直线DE与AB所成的角的余弦值为(2) AC _平面BCE ,过C作CG _ DE交DE于G ,连结AG .可得DE _平面ACG ,从而AG _ DE ,• . AGC为二面角A -ED - B的平面角.在Rt=ACG 中，ACG =90 , AC = 4 ,C G罟• MA G V .面角A 一 ED 一 B 的的正弦值为1(3) VS BCED ∙AC =16 ,•••几何体的体积 V 为 16 . 3方法二：(坐标法)(1)以C 为原点，以CA,CB,CE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则 A 4,0,0 , B(0,4,0) , D(0,4,2) , E 0,0,4 ,DE =(0, V,2), AB =(-4,4,0),10• cos ：： DE, AB P5•异面直线DE 与AB 所成的角的余弦值为 二10.5(2)平面BDE 的一个法向量为CA =(4,0,0),设平面ADE 的一个法向量为n =(x, y,z),n _ AD,n _ DE , AD = (-4,4,2), DE =(0, -4,2)• n AD =0, n DE = 0从而-4x 4y 2z = 0, -4y 2z = 0 ,H三三∙d ≡≡.Q令 y =1 ,则 n = (2,1,2) , cos ：： CA, n = —3•二面角A - ED - B 的的正弦值为—.31(3)VS BCED AC -16 ,•几何体的体积 V 为16 . 3点评：本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法.空间向量对解决三类角(异面直线角、线面角、面面角)的计算有一定的优势.对理科考生 来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外，不要忽视了传统的∙'∙ Sin ZAGC、.5 3方法，有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量.题型5距离(点到平面，线与线、线与面、面与面)求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂 足，当然别忘了转化法与等体积法的应用•典型例题 例10如图，正三棱柱ABC -A l B l C l 的所有棱长都为2， D 为CC 1中点• (I)求证：AB 1丄平面ABD ；(∏)求二面角 A —A D —B 的三角函数值； (川)求点C 到平面A B D 的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.解答过程：解法一：(I)取BC 中点O ,连结AO •■■-△ ABC 为正三角形，.AO 丄BC •匸正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面ABC 丄平面BCCB 1 ,.AO 丄平面BCG B I •连结B0,在正方形BB 1C 1C 中，O , D 分别为BC , CG 的中点，.B 1O 丄 BD , . AB 1 丄 BD • 在正方形 ABBA 中，AB 丄AB ,二AB 丄平面ABD •(∏)设AB 1与AB 交于点G ,在平面ABD 中，作GF 丄A D 于F ,连结AF,由(I)得AB 1丄平面A BD •.AF 丄AD ，■ ∠ AFG 为二面角 A-AD-B的平面角.在△ AAD 中，由等面积法可求得 AF =^-5,5所以二面角A -A D -B 的正弦值为 也•4（川）△ ABD 中，BD=AD=.5, AB =2.2,. S ^ABD = ∙6 ,S ^BCD=1 • 在正三棱柱中， A 到平面BCCB 1的距离为■. 3 • 设点C 到平面ABD 的距离为d •又 AG=丄 AB = . 2，2.Sin ∠AFGAG _ 2 10 • AF 4∙54由V A I^CD =VC BD,得3S A B C DO 3S A A1BD *d ,d = 3S A BCDS∆ A i BD.点C到平面ABD的距离为2•2解法二：（I）取BC中点O ,连结AO •■■△ ABC为正三角形，.AO丄BC • 匸在正三棱柱ABC-AB1C1中，平面ABC丄平面BCC l B l, .AD丄平面BCC i B •标系，则 B(1,0,0) , D(—1,1,0) , A(0,2,3), A(0,0,√3),AB i 二(12 3) ,BD =( -210) , BA — ( ~1?2, 3) •■■- AB BD=-2 2 0 =0 , AB1 BA= -1 4一3 =0 ,.AB i丄平面A i BD •（川）由（∏）, AB1为平面ABD法向量,取B1G中点O1,以O为原点,OB , OO , OA的方向为x, y, Z轴的正方向建立空间直角坐（∏）设平面A1AD的法向量为n=(χ, y, Z)•AD =(71, —73) ,AA =(0,2,0) •n 丄AD, n 丄AA ,n J AD =0, n A A1 =0,y=°,-X y Y,3z =0, y=°,2y =0, ∣x = - . 3z∙令z=1得n= （-73,01）为平面AAD的一个法向量.由（I）知AB1丄平面ABD，.AB1为平面ABD的法向量.cos ：：n , ABI = _n AB I-3-3 6•∣n∣*B二面角 A-AD - B的大小为arccos-6•4二AB i 丄BD ,AB i 丄BA •= BC=(/,O,O),AB=(1,2,—√3) ∙.点C到平面ABD的距离d =BC AB lAB l小结：本例中(川)采用了两种方法求点到平面的距离•解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的 B点到平面AMB i的距离转化为容易求的点K到平面AMB i的距离的计算方法,作图,这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法例2.如图，已知两个正四棱锥 P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(I )证明PQ丄平面ABCD ;(∏ )求点P到平面QAD的距离.命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系及点到平面的距离基本知识,能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法• 解答过程：方法一 (I)取AD的中点，连结PM, QM. 因为P — ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，所以AD丄PM, AD丄QM.从而 AD丄平面 PQM.又PQ二平面PQM ,所以PQ ⊥ AD. 同理PQ ⊥ AB,所以PQ ⊥平面ABCD.1 1(II)连结 OM ,贝y OM AB =2 OQ.2 2所以∠ MQP = 45° .由(I)知 AD丄平面 PMQ ,所以平面 PMQ丄平面面QAD.从而PH的长是点P到平面QAD的距离.考查空间想象QAD.过 P 作PH⊥ QM 于H，PH丄平又PQ=PO QO =3, PH=PQSin 45° :2即点P到平面QAD的距离是3-2.2方法二(I)连结 AC、BD ,设AC BD =0.由P — ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，所以PO丄平面 ABCD , QO丄平面 ABCD.从而P、0、Q三点在一条直线上，所以PQ丄平面ABCD.(∏)点 D 的坐标是(O,—2√2 , O) , AD =(-2√rΞ,-2j2,0),PQ= (0,0, -3),设n =(x, y, Z)是平面QAD的一个法向量，由取 x=1 ,得 n =(1, _1，r；2).===,≡. ■]PQ n 3J2所以点P到平面QAD的距离d = --------- =^-.n∣2题型6割补法：割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何变换，其主要思想是把不规则问题转化为规则问题，这个方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.例6. 1若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为'.3 ,则其外接球的表面积是_______ .分析：将其补成一个正方体.解析：这样的三棱锥实际上是正方体被一个平面所截下来的，我们考虑在原来的正方体中解决这个问题•设原来的正方体的棱长为,则本题中的三棱锥和原来的正方体具有同一个外接球，这个球的直径就是正方体的体对角线，长度为半径是3,故这个球的表面积是4,∙i3=9二.2 12丿点评：三条侧棱两两垂直的三棱锥习惯上称为"直角三棱锥”，它就隐含在正方体之中，在解题中把它看作正方体的一个部分，在整个正方体中考虑问题，往往能化难为易，起到意想不到的作用.例6. 2如图，已知多面体 ABC-DEFG中，AB, AC, AD两两互相垂直，平面 ABC // 平面 DEFG ,平面BEF // 平面 ADGC , AB =AD = DC=：2 , AC = EF=：1 ,则该多面体的体积为分析：这个几何体即可以看作两个三棱柱拼合而成的，也可以看作是从一个正方体割下来的.解析一(割)：如图，过点C作CH DG于H ,连结EH ,这样就把多面体分割成一个直三棱柱 DEH -ABC和一个斜三棱柱 BEF -CHG .于是所求几何体的体积为(1V =SDEH AD S BEF D^ 2 2 1Jn A n AQ=O得』AD =0-j2x+z=0x y -03 -,3 = 3 ,即球的A. 2B. 4 D. 82 丄21 2=4.2C∖DE匸解析二（补）：如图，将多面体补成棱长为 2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半•于是所求几何体的体积为V=1 2^4 .2点评：害吟卜法是我们解决不规则空间几何体体积的最主要的技巧，其基本思想是利用割补将其转化为规则空间几何体加以解决.【专题训练与高考预测】」、选择题如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为B . 18 - -…4：.C . 18 2 3 :某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是(不考虑接触点) D . 32 7：O2.C. 2^2-33 D . 3^2-2.33.4.5.T正翟图已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为则此几何体的外接球的表面积为4A.316C .32的正三角形，俯视图是直径为8—π332——π一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为形，则这个平面图形的面积是1 、2 2A .B . 1 ——2 2 2 C. 1-245 ,腰和上底长均为D. 2.22的圆,(1的等腰梯一个盛满水的三棱锥容器S - ABC ,不久发现三条侧棱上各有一个小洞D,E,F ,知SD: DA = SE: EB = CF : FS= 2 :1 ,若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的()6.点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是（）2 705&已知异面直线a和b所成的角为50 ,P为空间一定点，则过点P且与a,b所成角都是30的直线有且仅有<J <J j.9.如图所示，四边形ABCD 中，AD∕∕BC,AD= ABN BCD= 45 ,N BAD= 90,将△ ABD沿BD折起，使平面ABD _平面BCD ,构成三棱锥A-BCD ,则在三棱锥A- BCD中，下列命题正确的是A.平面ABD _平面ABCC .平面ABC _平面BDCB.平面ADC _平面BDC D .平面ADC _平面ABC10 .设X、y、Z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①X、y、Z均为直线；② X、y是直线，Z是平面；③ Z是直线，X、y是平面；④ X、y、Z均为平面. 其中使’X丄Z且y丄Z= X // y "为真命题的是（）A. ③④B. ①③C. ②③D. ①②11.已知三条不重合的直线m、n、I两个不重合的平面：•、：，有下列命题①若m∕∕n, n 二：＜,则mil】；②若I _ ： , m」"且I J m ,则-；③若m 二*, m 二：J m * ,n 一：，^U〉；④若：•_：,〉L = m , n ： , n _ m ,则n _「.中正确的命题个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 412 .直线AB与直二面角〉-1 - 1的两个面分别交于代B两点，且代B都不在棱上，设直2329B. 29C. 303123274.15 6.1557.正方体ABCD -A'B'C'D'中，AB的中点为所成的角是A. 30B. 90,DD'的中点为N ,异面直线B'MC. 45D. 60与CN线AB与平面：■ /■所成的角分别为打,则--的取值范围是A.(0弓B. 0,-≡C. G，二) D . ⅛}2I 2」22、填空题13. 在三棱锥P-ABC 中，PA = PB=PC =2 , APB =/BPC =∕CPA = 30 , 一只蚂蚁从A点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到A点，则蚂蚁经过的最短路程是__________ .14. 四面体的一条棱长为X，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成X的函数f X，贝U f X的增区间为____________ ,减区间为______________ .15. 如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60角；④DM 与BN垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是.16. 已知棱长为1的正方体ABCD - A l B I C I D I中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABGU所成的角的正弦值是________________三、解答题17. 已知，如图是一个空间几何体的三视图.(1)该空间几何体是如何构成的；(2)画出该几何体的直观图；(3)求该几何体的表面积和体积.18•如图，已知等腰直角三角形RBC ,其中.RBC =：90 , RB = BC= 2 •点代D 分别是RB , RC 的中点，现将 ΔRAD 沿着边AD 折起到APAD 位置，使PA 丄AB ,连结PB 、PC •(1) 求证：BC _ PB ；(2) 求二面角 A-CD - P 的平面角的余弦值.119.如下图，在正四棱柱ABCD —■ A ∣BC 1D 1中，AA 1AB ，点E, M 分别为A 1B,CC 1的 2中点，过点A,B,M 三点的平面 ABMN 交GU 于点N .(1)求证：EM L)平面 A 1B 1C 1D 1 ；(2)求二面角B - AN - B 1的正切值;(3)设截面ABMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V 1,V 2 (V 1<V 2 ),求V 1W 2的值.20.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形， AD//BC, ∙ BAD =90 , PA 垂直于底面ABCD , PA = AD=AB= 2BC = 2 ,M ,N 分别为PC I PB 的中点.(1)求证：PB _ DM ； (2)求BD 与平面ADMN 所成的角；(3)求截面ADMN 的面积.C ICP21 .如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点,AC _ BC ,且AC=BC .(1)求证：AM —平面EBC ；(2)求直线AB与平面EBC所成的角的大小；(3)求二面角A-EB-C的大小.B22.已知斜三棱柱ABC —A1BiG , Z BCA = 90 =, AC=BC= 2 , A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D ,又知BA1- AC1.(1)求证：AC1-平面ABC ；(2)求CC1到平面A I AB的距离;(3)求二面角A-AB-C的一个三角函数值.【参考答案】1.解析：C该几何体是正三棱柱上叠放一个球.故其表面积为部分是一个底面边长为‘3 的正方形、高为.2 的四棱锥，故其体积为J 1Q“；3 ；：：〔；3 * .. 3 ■—：：或3-：3√2 = 3-』3 亠 * 2 .33. 解析：C由三视图知该几何体是底面半径为1,高为3的圆锥，其外接球的直径为仁.3 4. 解析：D如图设直观图为O'A'B'C',建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中OC _ OA ,且OC=：2 , BC=：1 , OA = 1 • 22= V ■ 2 ,21 —L故其面积为12 J 2=2 J25. 解析：D 当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多1 1 .S S DE 'h1SD SE Sin —DSE h1V F^DE _ 3 = 3 ____________________V C ^AB 1 S S AB h21 SA SB Sin ASB h23 3SDSEh^ 2 21J4SASBh2 ^ 3 3 274 23最多可盛原来水得1 - 4 = 23.4: 112丿=18 23二.2.解析：B 这个空间几何体的是一个底面边长为.3 的正方形、高为 3 的四棱柱，上半27 276.解析：A 设三边长为x,2 X, y ,则5x 2 ∙ y 2 =4 ,=J4 cos G , y =2sin (V”3x +y =37.解析：B 如图，取AA'的中点P ,连结BP ,在正方形ABB'A'中易证BP _ B'M .&解析：B 过点P 作a ja ，b jb ,若P a ,则取a 为a ,若P b ,则取b 为b .这 时a , b 相交于P点，它们的两组对顶角分别为50和130 .记a , b •所确定的平面为「，那么在平面:内，不存在与a : b •都成30的直线. 过点P 与a , b 都成30 角的直线必在平面：•外，这直线在平面：■的射影是a , b •所成对顶角的平分线•其中 射影是50对顶角平分线的直线有两条 丨和I •,射影是130 •对顶角平分线的直线不存在.故答案选B .9.解析：D 如图，在平面图形中CD — BD ,折起后仍然这样，由于平面ABD —平面BCD , 故CD _平面ABD ,CD_AB ,又A A) ,故AB _平面ADC ,所以平面ADC - 平面ABC .10.解析： C X 、y 、Z 均为直线，显然不行；由于垂直于冋一个平面的两条直线平行,故②，可以使’X 丄Z 且y 丄Z= X // y ”为真命题；又由于垂直于同一条直线的两个42 ■—诟cos "sin 0≤护FADCBC平面平行，故③可以使“丄Z且y丄Z= X // y ”为真命题；当X、y、Z均为平面时，也不能使X丄Z且y丄Z= X // y ”为真命题.11.解析：B ①中有m二：＜的可能；I uI m且丨_ ,可得m _ ,又m丨••，故用「：，②正确；③中当m时，结论不成立；④就是面面垂直的性质定理，④正确•故两个正确的.12.解析：B 如图，在RtADC 中，AD=ABCoS H AC=ABSin ',而AD AC ,即IrjT ∖JF JTCoSV sin =cos ，故'一…，即' 一，而当A B_ I时，12 丿 2 2.213.解析：22将如图⑴三棱锥P-ABC ,沿棱PA展开得图⑵，蚂蚁经过的最短路程应是 AA ,又∙∙∙∙APB =∕BPC=∕CPA =30 , ∙APA'=90 ,二 AA =2 2 .14.解析:0,于，f（ X）=x Vl ,禾U用不等式或导数即可判断.415.解析：③④ 如图，逐个判断即可.(3)由题意可知，该几何体是由长方体 ABCD -A'B'C'D '与正四棱锥P-A'B'C'D' 构成的简单几何体.由图易得：AB=AD2 , A'A 1 , P O , 取 A'B'中点 Q ,连接PQ ,从而 P Q= . P'O 'O 2Q= 121^ = ,2所以该几何体表面积1 S=1A'B' B'C' CD' D'A' PQ A'B' B'C' C'D' D'A' AA' AB AD =4.2 12.116体积 V =2 2 12 2 1 =33佩解析：¥取CD 的中点F ,连接EF 交平面ABCQ 于O ,连AO .由已知正方体,易知EO _平面ABC iD i ,所以EEAo 为所求.在Rtc EoA 中, EO=丄 EF =I A l D=丄,2 2 2AE 「A 1V ， 的正弦值为卫.5Sin EAO=IO AE耳.所以直线 AE 与平面ABC i D i 所成的角17.解析：(1)这个空间几何体的下半部分是一个底面边长为 上半部分是一个底面边长为 2的正方形高为1的四棱锥.2的正方形高为1的长方体,(2)按照斜二测的规则得到其直观图，如图.A B18.解析：（1）V 点 A 、D 分别是 RB 、RC 的中点，∙∙ AD//BC ）A^IBC .∙∙∙N PAD=NRAD=NRBC=90° ∙'∙ PA 丄 AD . A PA 丄 BC ,V BC _ AB ) PA AB= A , A BC _ 平面 PAB . V PB 二平面 PAB , A BC _ PB .(2)取 RD 的中点 F ,连结 AF 、PF . V RA=AD=I ,A AF _ RC .∙∙∙ AP _ AR ) AP _ AD ,∙ AP-平面 RBC . ∙∙∙ RC _ 平面 RBC ,A RC _ AP .∙∙∙ AF AP =A, A RC _ 平面 PAF .V PF 二平面 PAF , A RC _ PF .A . AFP 是二面角A -CD -P 的平面角.A EM 」平面ABGD I .(2)作 BH 丄 AN 于 H ,连结 BH , V BB l 丄丄平面 A 1B 1C 1D 1, A BH 丄 AN .•A ∙ BHB l 为二面角B-AN-B 1的平面角.在 Rt RAD 中，AF冷 RD { RA 2 AD 2 在 Rt PAF 中，PFY PA 2 A F 2AF CoSMAFP =PF面角A-CD -P 的平面角的余弦值是19.解析：（1）设AB I 的中点为F ,连结EF, FC 1VE 为A 1B 的中点，AEF -丄 1BB 1 .2又C 1M^BB I ，AEF 三MC 1 .∙A 四边形 A EM j FC 1 .V EM二平面 A I B1GD 1, FC 1平面 A l B I GD I ,2EMC I F 为平行四边形.EM //平面A 1 B 1 C 1 D EMU 平面A I BMN 平面A I BMN 平面A B G D 1 A ,N• EM 」AN .又∙∙∙ EM jFC 1 ,• AN 'FC 1.又∙∙∙ A I FPNC I ,「•四边形AlFGN 是平行四边形.∙∙. NC I = AF . 设 AA = a ，则 AIB I= 2a , D 1N = a .• Si n∠ A 1ND 1= SinNAND I=二-=.AN √5在 Rt ABH 中，B 1H =AB I Sin. HAB(3)延长AN 与BG 交于P ,则P 平面ABMN ,且P 平面BBQC .又•••平面 ABMN 平面 BB 1C 1C =BM , ∙ P BM ,即直线 AN, BC 1, BM 交于一点P .又•••平面MNC 1 S/平面BA 1B 1 ,•••几何体 MNC 1 -BA 1B 1为棱台•..O 1 2 Q 1112• S 霑 BB 1= 2 '2a a = a , S 纫NC I = 2 a 2 a = 4 a，棱台 MNC 1-BAB 1 的高为 B 1C 1 =2a ,V 1 二丄 a 2、a 2 1a 21a 23 - 44V 2 =2a 2a a-7a 3=17a 3•- VL=Z6 620.解析：(1)因为N 是PB 的中点，PA=AB ,所以AN — PB . 由PA —底面ABCD , 得 PA AD ,又 BAD = 90 ,即 BA _ AD , AD _ 平面 PAB ,所以 AD _ PB , PB -RL =A 1D 1NA 1N = AD 12 D 1N 2 = 5aA L D I 2 在 Rt BB 1H 中，tan BHB 1 = BBIB 1H44.5aV 2 17平面 ADMN , . PB _ DM .(2)连结DN ,因为BP _平面ADMN ,即BN _平面ADMN ,所以.BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角. 在Rt ABD 中，BDBA 2 AD 2 =2、. 2 ,在Rt PAB---------- 1中，PB= PA2AB 2 =2 2 ,故 B N-P =B 2 ,在 Rt B D N 中, 2B^J IP下sin . BDN,又O 「BDN ,故BD 与平面ADMN 所成的角是一.BD 22611 (3)由M ,N 分别为PC I PB 的中点，得 MN //BC ,且MN 二丄BC=丄,又22AD // BC ,故 MN // AD ,由(1)得AD _平面PAB ,又AN 平面PAB ,故AD _ AN , 四边形ADMN 是 直角梯形，. 1在 Rt PAB 中，PBPA 2 AB 2'2、2 , AN PB =、一 2 , 截面 ADMN 的2法二：(1)以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系 A -XyZ ,如图所示(图略)由PA =AD =AB =2BC =2 ,得A( O1P(O,O, 2), B(2,O,O), M(1-,1)1D(O 121O)23 因为 PB DM =(2,O, -2)(1,-3,1) =O ,所以 PB — DM .2(2)因为 PB AD =(2,0, -2) (O,2,O) =O ,所以 PB — AD ,又 PB — DM 故PB _平面ADMN ,即PB=(2, 0,-2)是平面ADMN 的法向量.1面积S (MN2AD) AN =-(-2)22 24P。