关于凸包问题的分治法
凸包问题的分治算法
凸包问题的分治算法
姓名：任小康，梅冬，连如鹤 学号：2011211706，2011211732，2011211707 学院：计算机学院 班级：0491102
凸包问题描述
凸包问题可以描述为：给定一个点集P，求最小点集S， 使得S构成的形状能包含P[1]。一般的研究主要针对二维平 面上和三维空间上的凸包，因为他们在更多的应用中能发挥 作用。 凸包的定义为：平面的一个子集S被称为是“凸”的， 当且进当对于任意两点p,q∈S，线段都完全属于S。几何S 的凸包CH(S)，就是包含S的最小凸集，更准确地说，它是 包含S的所有凸集的交。由此还可以推出凸包的很多性质， 包括一条直线如果与凸包相交（不是相切）的话，最多交于 两条边或者两即为点集Q={p0，p1， p2，...，p11，p12}的凸包。
一组平面上的点，求一个包含所有点的最小凸边形，既 是凸包问题。 • 形象地说：在一平木板（平面）上钉若干钉子（点）， 将一橡皮筋套上去后，会把钉子圈起来，形成一个凸边形， 即为该点集的凸包。
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致谢《算法设计与分析基础》
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分治法是一种很基础的算法。基本思路是将问题分解为 等价的几个子问题，对子问题进行递归分解和求解，然后将 子问题的解合成为所求的解。 由此，可以得到一种最简单的凸包分治算法：将点集依 照某种划分方法分为N部分，对每个部分求子凸包，最后将 几个子凸包合成一个更大的凸包。
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由此就可得到凸包问题的分治算法。 根据分治算法的思路，凸包问题的分支算法有着很好的 平均效率，一般会把问题平均分成为两个比较小的子问题， 这样会把效率提高很多。
分治法解决问题的步骤
分治法解决问题的步骤一、基础概念类题目（1 - 5题）题目1：简述分治法解决问题的基本步骤。
解析：分治法解决问题主要有三个步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。
例如，对于排序问题，可将一个大的数组分成两个较小的子数组。
2. 求解（Conquer）：递归地求解这些子问题。
如果子问题规模足够小，则直接求解（通常是一些简单的基础情况）。
对于小到只有一个元素的子数组，它本身就是有序的。
3. 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。
在排序中，将两个已排序的子数组合并成一个大的有序数组。
题目2：在分治法中，分解原问题时需要遵循哪些原则？解析：1. 子问题规模更小：分解后的子问题规模要比原问题小，这样才能逐步简化问题。
例如在归并排序中，不断将数组对半分，子数组的长度不断减小。
2. 子问题相互独立：子问题之间应该尽量没有相互依赖关系。
以矩阵乘法的分治算法为例，划分后的子矩阵乘法之间相互独立进行计算。
3. 子问题与原问题形式相同：方便递归求解。
如二分查找中，每次查找的子区间仍然是一个有序区间，和原始的有序区间查找问题形式相同。
题目3：分治法中的“求解”步骤，如果子问题规模小到什么程度可以直接求解？解析：当子问题规模小到可以用简单的、直接的方法（如常量时间或线性时间复杂度的方法）解决时，就可以直接求解。
例如，在求数组中的最大最小值问题中，当子数组只有一个元素时，这个元素既是最大值也是最小值，可以直接得出结果。
题目4：分治法的“合并”步骤有什么重要性？解析：1. 构建完整解：它将各个子问题的解组合起来形成原问题的解。
例如在归并排序中，单独的两个子数组排序好后，只有通过合并操作才能得到整个数组的有序排列。
2. 保证算法正确性：如果合并步骤不正确，即使子问题求解正确，也无法得到原问题的正确答案。
例如在分治算法计算斐波那契数列时，合并不同子问题的结果来得到正确的斐波那契数是很关键的。
一种改进的构建凸包的分治算法
的个 数 ， ｒｈ ｍ算法及传统 的分治法等基于排序 的算法 的 Ｇ ａａ 时间复杂度均可达到 这个下 限［ 。显而易见 ， 提高 计算 ３ ］ 要
略， 但和传统的分治策略在解 决此 问题时 采用的“ 搭桥” 方
法并不相同 。
速度就必须减少参加 构建 凸包 的离散点 的数 目。而且 ， 在 绝大多数情况下 ， 个点集 的凸包 只是由其 中一部 分点构 一 成的 ， 而其余的大部分点 则存 在于 凸包 内部 ， 这就使得通过 减少参加构建 凸包 的离散点数 目来提高计算速度 的想法成
中 图分 类 号 ： ３ １ ６ ＴＰ ０ ．
文 献标 识 码 ： Ａ
但 是 ， ｌｙ 算法 有着明显的缺 陷 ： 是只能 在初始时 Ｆｏ ｄ 一
１ 引 言
根据给定 的离散点构建包含这些点的 凸包是计算机辅
运用一次 ， 还剩余大量的非 凸包顶点没有去除 ； 二是在某些
情况下 （ 比如散 点中的最大 ｚ值 和最 大Ｙ值 的点是一个 ， 最 小 ｚ值和最小 Ｙ值的点也是一个 ） 本不能构成 初始 的四 根
凸优化问题的解法与应用
凸优化问题的解法与应用凸优化问题是指满足下列条件的优化问题：目标函数是凸函数，约束条件是凸集合。
凸优化问题是最优化问题中的一类比较特殊的问题，也是应用非常广泛的一类问题。
凸优化问题在工业、金融、电力、交通、通信等各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化问题的基本概念、解法和应用。
一、凸优化问题的基本概念1. 凸函数凸函数是指函数的图形总是位于函数上方的函数，即满足下列不等式：$$f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2),\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}, 0 \le \alpha \le 1$$凸函数有很多种性质，如单调性、上凸性、下凸性、严格凸性等，这些性质都与函数的图形有关。
凸函数的图形总是呈现出向上凸起的形状。
2. 凸集合凸集合是指集合内任意两点间的线段都被整个集合所包含的集合。
凸集合有很多常见的例子，如球、多面体、凸多边形、圆等。
凸集合的特点在于其内部任意两点之间都可以通过一条线段相连。
3. 凸组合凸组合是指将若干个向量按照一定比例相加后所得到的向量。
具体地，对于$n$个向量$x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的凸组合定义为：$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n, \quad\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1, \quad \alpha_i \ge 0 $$凸组合可以看做是加权平均的一种特殊形式。
在凸优化问题中，凸组合常常被用来表示优化变量之间的关系。
二、凸优化问题的解法凸优化问题可以用很多方法来求解，其中比较常用的有梯度下降算法、最小二乘法、线性规划、二次规划、半定规划等。
1. 梯度下降算法梯度下降算法是一种基于梯度信息的优化算法。
【算法】凸包问题--分治法
【算法】凸包问题--分治法凸包问题--分治法求能够完全包含平⾯上n个给定点的凸多边形。
⽰例：⼀、分治法：（⼀）算法思路：（这⾥所说的直线都是有向直线的。
）将数组升序排序，若x轴坐标相同，按照y轴坐标升序排序。
最左边的点p1和最右边的点p_n⼀定是该集合凸包的顶点。
该直线将点分为两个集合，上包为S1，下包为S2。
在p1 p_n线上的点不可能是凸包的顶点，所以不⽤考虑。
在上包S1中，找到p_max(距离直线p1p_n最远距离的点)，若有两个距离同样远的点，取∠p_max p1 p_n最⼤的那个点（即△p_max p1 p_n⾯积最⼤）。
（⼀次递归到这⾥结束）找出S1中所有在直线p1 p_max左边的点，这些点中⼀定有构成上包中左半部分边界的顶点，⽤上⾯的算法递归查找点，直到上包就是以p1和p_n 为端点的线段。
下包S2中找下边界同理。
*如何判断点是否在直线p1 p_max左边（同 p1 p_n上⽅）？如果q1（x1，y1），q2（x2，y2），q3（x3，y3）是平⾯上的任意三个点，那么三⾓形△q1 q2 q3的⾯积等于下⾯这个⾏列式绝对值的⼆分之⼀。
当且仅当点q3=（x3，y3）位于直线q1 q2的左侧时，该表达式的符号为正，该点位于两个点确定的直线的左侧。
（⼆）实现中碰到的问题如何⽤快速排序来排序Point类（内有坐标x,y）的⼀维数组？按照x坐标排序很简单，若碰到x相同，y不同的怎么办？在快排的原基础上修改，以j向前逼近说明：（第⼀个while循环）当前⽐较数的横坐标>基准点的时，j向前逼近。
此处不加等于号，排序是不稳定的，即相等元素的相对位置可能发⽣改变。
（快排详见博客：（第⼆个while为添加内容）⽐较相等元素的纵坐标，基准点的更⼩，j继续向前逼近，即相等元素的相对位置不发⽣改变；否则，则改变。
也就是将原来快排中while循环拆分为两个，增加相等元素另外⽐较纵坐标的情况。
while (i < j && points[j].getX() > center.getX()) {j--;}while (i < j && center.getX() == points[j].getX() && points[j].getY() > center.getY()) {j--;}/** (i<j)若points[j].getX()< center.getX()或 center.getX() ==* points[j].getX()且points[j].getY()<center.getY() 以上两种情况，需要赋值*/if (i < j)// 跳出循环也有可能时因为i=j，所以这⾥要判断⼀下points[i++] = points[j];如果使⽤全局数组visit标识点是否访问，能确定凸包的所有顶点，但怎么顺序输出?在已经求的凸包顶点⾥逐⼀确定边界，判断是不是所有点都在这条边界的⼀侧，如果是则确定⼀条边界。
分治策略凸多边形的相交检测算法
分治策略凸多边形的相交检测算法1.引言1.1 概述分治策略凸多边形的相交检测算法是一种用于判断两个凸多边形是否相交的方法。
在计算机图形学和计算几何学中，相交检测是一个重要的问题，因为它可以应用于很多实际应用中，例如物体碰撞检测、路径规划等。
本文主要介绍了分治策略在凸多边形相交检测中的应用。
分治策略是一种将大问题划分为小问题并分别解决的方法，它可以有效地降低问题的复杂度。
在凸多边形相交检测中，我们可以将问题划分为多个子问题，然后通过递归地解决这些子问题来得到最终的结果。
凸多边形的定义与性质是分治策略凸多边形相交检测算法的基础。
凸多边形是指没有凹角的多边形，每条内部线段都包含在多边形内部。
凸多边形具有很多特性，例如任意两个顶点之间的线段都完全包含在多边形内部，任意两边不相交等。
在本文中，我们将详细介绍分治策略凸多边形相交检测算法的实现过程，并给出其正确性证明。
同时，我们还将进行算法的复杂度分析，通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行评估，来评判算法的效率和可行性。
总之，本文通过引言部分的概述，为读者提供了对分治策略凸多边形相交检测算法的整体认识。
接下来的正文部分将更加详细地介绍其中的关键内容和步骤。
通过阅读本文，读者将能够全面理解并应用该算法。
1.2 文章结构本文旨在介绍分治策略在凸多边形的相交检测算法中的应用。
文章分为引言、正文以及结论三个部分。
引言部分首先对文章的整体内容进行概述，介绍了本文所要解决的问题以及使用的方法。
接着，详细说明了文章的结构安排，将对分治策略和凸多边形的定义与性质进行深入探讨。
正文部分是本文的核心内容，首先详细介绍了分治策略的概念和基本原理，并阐述了其在解决凸多边形相交检测问题中的应用。
然后，对凸多边形的定义进行了详细说明，并探讨了凸多边形的一些重要性质。
通过结合分治策略和凸多边形的特性，提出了一种有效的相交检测算法。
结论部分对本文所提出的算法的有效性进行总结和评价，指出了该算法在凸多边形相交检测中的优势和适用性。
凸包 扩展系数-概述说明以及解释
凸包扩展系数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：凸包是计算几何学中的重要概念，它是一个包含给定点集中所有点的最小凸多边形。
凸包的计算方法和算法在计算机图形学、模式识别、地理信息系统等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，为了更好地描述点集之间的几何关系，人们引入了凸包扩展系数这一概念。
凸包扩展系数可以帮助我们衡量凸包在空间中的扩展程度，进一步优化算法和提高计算效率。
本文将系统地介绍凸包的定义、计算方法和算法，以及凸包扩展系数的定义和计算方法，旨在深入探讨凸包在实际应用中的意义和作用。
1.2 文章结构本文将分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将首先对凸包进行简要概述，介绍凸包的基本概念，并说明本文的目的。
引言部分将帮助读者了解本文所要讨论的主题，并对文章的重点和方向有一个初步的了解。
在正文部分，将详细介绍凸包的定义和基本概念，以及凸包的计算方法和算法。
通过对凸包的详细讨论，读者可以深入了解凸包的特性和计算过程，从而更好地理解凸包扩展系数的定义和计算方法。
在结论部分，将总结本文的内容，讨论凸包在不同领域的应用和意义，并介绍凸包扩展系数的定义和计算方法。
结论部分将对本文所讨论的内容进行一个简要的总结，同时展望凸包在未来的研究和应用方向。
1.3 目的:本文的目的在于探讨和分析凸包扩展系数在计算机图形学和几何学中的重要性和应用。
通过详细介绍凸包的定义、基本概念和计算方法，引出了凸包扩展系数的概念。
在这一部分，我们将重点讨论凸包扩展系数的定义和计算方法，以及其在实际应用中的意义和作用。
同时，我们也将探讨如何利用凸包扩展系数来优化算法和提高计算效率。
通过深入研究凸包扩展系数的相关理论和实践，希望能够为读者提供全面的了解和思考，推动相关领域的研究和发展。
2.正文2.1 凸包的定义和基本概念凸包是指包围一组点集的最小凸多边形。
其中，凸多边形意味着多边形内部的所有角度都小于180度。
凸包在计算机图形学、几何学、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
近似凸分解的算法步骤
近似凸分解的算法步骤
凸分解是指将一个凸集合分解成凸包的并集。
实际应用中，我们经常需要在大规模数据集上进行凸分解，但是传统的凸分解算法存在着计算量大、时间复杂度高等问题。
为了解决这些问题，近似凸分解算法应运而生。
近似凸分解算法的基本思路是在保持算法效率的同时，尽可能减小结果误差，从而实现快速而准确地进行凸分解。
下面就具体介绍一下近似凸分解算法的步骤。
1.将原始凸集合投影到低维空间中进行处理。
这个步骤的目的是为了降低算法的时间复杂度，同时避免高维数据对计算精度的影响。
2.使用快速分治算法进行凸包分解。
主要思路是将凸包分解成若干个较小的凸包，然后对这些小凸包再次进行分解。
这个过程类似于归并排序，并且能够有效地减小计算量。
3.在对凸包进行分解之后，使用优化算法进一步减少误差。
优化算法根据具体的应用场景选择不同的方法，例如基于随机化的优化算法、局部搜索算法等。
4.最后，将分解后的凸包合并得到原始凸包的近似分解。
这个过程可以使用线性代数中的凸组合进行实现。
在合并过程中，需要将凸包之间的交集考虑进去，从而保证分解结果正确。
综上，近似凸分解算法是一种相对快速而准确的凸分解方法，常用于大规模数据集的处理。
通过投影、分治、优化和合并等步骤，能够有效地解决传统凸分解算法的计算量大和精度低等问题。
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1.数据结构。
程序实现
2.算法的选择。
3编写程序。
三 维 空 间 的 凸 壳
数据挖掘的简单运用
多维空间概述 一维 二维 三维 四维（事实上网络数据的维数较高）
聚类分析 如何把数据归类？
算法设计与分析
Step1:在p1内部找一点p Step2：if p不属于p2 goto step4 Else goto step3 Step3：p在p2的内部，用p连接p1，p2的各个顶点并按各个夹角排序。
得到p1，p2的一个分类表。 Goto step5. Step4：计算p到p2的正切线，得到u，v，删除uv链上的点保留u，v顶
西七620制作
3P4 4 5Fra bibliotekP5p1
P3
P 2
P 2
1
图一
图二
图三
图四
格雷厄姆算法
一： 找初始点： 先从这一系列的点中找到Y轴最小的点，如果存在相等的纵坐标的值，则取 X值最小的点P0。 显然P0是凸壳CHS（S）中的点。
二：以p0为定点连接其他的点，形成n-1条线段，计算各线段与x轴的夹 角，并按夹角的大小和线段的长度排序。
三：若夹角相同，则删除线段最短的点。这样得到一个新的序列。 p0，p1到pm，其中p0，p1，和pm必为凸壳中的点。
四：再从p3，开始重复二和三，直到遍所有点，最后剩下的点，就是所求的凸壳。
凸壳问题分治法的过程
划分过程
p1 p14
归并过程
Divide and Conquer: Step1：把S中的点按x坐标进行排序。 Step2：划分成两个子集S1，S2. Step3：P1=CH(S1)和P2=CH(S2). Step：合并P1，P2得到解集P.
凸壳问题的常用方法
卷包裹法 格雷厄姆算法 分治法
卷包裹法
一： 找初始点： 先从这一系列的点中找到Y轴最小的点，如果存在相等的Y值，则取 X值最小的点P0。 显然P0是凸壳CHS（S）中的点。
二： 以P0为定点，连接P0和其他的点，的到n-1条直线段，计算各线段的 角度，将角度最小的点P1加入到凸壳序列中，并以P1为定点，重复二。 直到回到初始点P0.
……
Si的解
子集解的合并
问S的题解S
……
问题Sn
……
Sn的解
凸壳问题
问题要求： 给定一个点集
s
{
p, 1
p , 2
pn}，求一个
最小凸边形包含S中所有的点，组成这个凸边形的点的集合就是凸 壳，用CHS(S)表示（Convex hull的英文缩写）。
上图所示的凸壳为：CHS(S)={ p1,p3,p10,p12,p0 }
关于凸壳问题的分治法
分治法的求解过程
一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成： (1)划分 (2)求解子问题 (3)合并
二分：
子问题1 的规模是n/2 子问题1的解
原问题 的规模是n
子问题2 的规模是n/2
子问题2的解
原问题的解
问题的分解
问题S
问题S1
问题S2
……
问题Si
S1的解
S2的解
子问题求 解