湖北省荆州中学2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
湖北省荆州中学2016-2017学年高二下学期5月段测数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）5月段测数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个答案正确）1．设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．已知x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣1＜0”B．若p∨q为真命题，则简单命题p与q都为真命题C．“∀x∈R，（x﹣1）2＞0”是一个真命题D．“若x＞2，则x2﹣x﹣2≥0”的逆否命题是“若x2﹣x﹣2＜0，则x≤2”4．从集合{1，2，3，4}中随机取出两个不同的元素，它们的和为奇数的概率是（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．16．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±2x7．圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的公共弦长为（）A．B．C．2 D．28．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C． D．9．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=（）A．B．C．﹣D．﹣10．如图，横梁的横断面是一个矩形，而横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（）A．d， d B．d， d C．d， d D．d，d11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）12．函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x ＜1}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是．14．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则实数c的取值范围是．15．在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是．16．函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是k M，k N，规定φ（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．①函数f（x）=x3+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，φ（M，N）=；②设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1•x2=1，则φ（M，N）的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，其定义域是[﹣3，2]．（1）求f（x）在其定义域内的极大值和极小值；（2）若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，求t的最小值．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，计算高三全体学生视力在5.0以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，根据表1及临界值表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？表一附：临界值表2（参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）19．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x ﹣y ﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O 的方程； （Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆O 内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，求P 点的轨迹方程，并指出轨迹的形状．20．设F 1、F 2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P 的坐标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．21．已知f （x ）=xlnx ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣3（1）对x ∈（0，+∞），不等式2f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有．22．某市地产数据研究的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y关于x的回归方程；（Ⅱ）政府若不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅的销售均价．（从3月到7月的参考数据：x i=25，y i=5.36，（x i﹣）（y i﹣）=0.64；回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．）2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）5月段测数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个答案正确）1．设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：C．2．已知x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．【解答】解：解x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”必要条件．故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选：B．3．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣1＜0”B．若p∨q为真命题，则简单命题p与q都为真命题C．“∀x∈R，（x﹣1）2＞0”是一个真命题D．“若x＞2，则x2﹣x﹣2≥0”的逆否命题是“若x2﹣x﹣2＜0，则x≤2”【考点】21：四种命题．【分析】进行一一判断即可．【解答】解：①“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣1≤0”，故A错误；②若p∨q为真命题，则简单命题p与q都为真命题或p，q中有一个是真命题，故B错误；③“∀x∈R，（x﹣1）2＞0”是一个假命题，取x=1，可知（x﹣1）2=0，故C错误；④“若x＞2，则x2﹣x﹣2≥0”的逆否命题是“若x2﹣x﹣2＜0，则x≤2”，故D正确．故选：D．4．从集合{1，2，3，4}中随机取出两个不同的元素，它们的和为奇数的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】用列举法列举总基本事件的个数和其和为奇数的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，3），（3，4）共4个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为=．故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【考点】E7：循环结构．【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．6．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±2x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得双曲线中c=4，结合离心率求出a，b即可得到结论．【解答】解：抛物线线y2=16x 的焦点坐标为（4，0），∵双曲线﹣=1 的一个焦点与抛物线y2=16x 的焦点重合，∴c=4，∵双曲线的离心率等于2，∴=2=，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则b=2，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A7．圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的公共弦长为（）A．B．C．2 D．2【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．【解答】解：x2+y2=50，①；x2+y2﹣12x﹣6y+40=0②；②﹣①得：2x+y﹣15=0为公共弦所在直线的方程，原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为：故选C．8．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】9V：向量在几何中的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．9．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最小时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D，如图所示，要使∠APB最大，则∠OPB最大，∵sin∠OPB==，∴只要OP最小即可，即点P到圆心O的距离最小即可；由图象可知当OP垂直于直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则∠APO=，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=，∴∠APB=60°，∴△PAB为等边三角形，此时对应的∠PAB=60°为最小，且cos∠PAB=．故选：B．10．如图，横梁的横断面是一个矩形，而横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（）A．d， d B．d， d C．d， d D．d，d 【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，建立关系．由勾股定理可得x 2+y 2=d 2，利用导函数的性质求出最值． 【解答】解：由题意，设横梁的强度为T ，则T=xy 2．（x ＞0，y ＞0） 由勾股定理可得x 2+y 2=d 2， 可得：T=x （d 2﹣x 2）=xd 2﹣x 3． 则T′=d 2﹣3x 2． 令T′=0．可得：x=或（舍去）．当时，可得T′＞0，则T 是单调递增函数．当时，可得T′＜0，则T 是单调递减函数．∴x=时，T 取得最大值，此时y==．故选：B ．11．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P 使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．（0，） B ．（） C ．（0，） D ．（，1）【考点】HP ：正弦定理；K4：椭圆的简单性质．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF 1F 2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a （a +ex 0）=c （a ﹣ex 0）解出x 0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．12．函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x ＜1}【考点】63：导数的运算．【分析】令g（x）=e x f（x）﹣2e x﹣e，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：令g（x）=e x f（x）﹣2e x﹣e，则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＜2，∴f（x）+f′（x）﹣2＜0，∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，又f（1）=3，∴g（1）=ef（1）﹣2e﹣e=0，故当x＜1时，g（x）＞g（1），即e x f（x）﹣2e x﹣e＞0，整理得e x f（x）＞2e x+e，∴e x f（x）＞2e x+e的解集为{x|x＜1}．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是760．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先计算出样本中高三年级的女学生人数，再根据分层抽样的性质计算出该校高三年级的女生的人数．【解答】解：根据题意，设样本中高三年级的女生人数为x，则（x+10）+x=200，解得x=95，所以该校高三年级的女生人数是1600×200×95=760．故答案为：760．14．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则实数c的取值范围是（﹣∞，）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由已知中函数解析式f（x），我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜，故答案为：．15．在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是．【考点】CF：几何概型；K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知中在区间（0，2）内任取两个实数，我们易求出该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件椭圆的离心率大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：区间（0，2）内任取两个实数计为（m，n），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，当m＞n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，m＞2n；当M＜n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，n＞2m；故其中满足椭圆的离心率大于时，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面区域如下图中阴影部分所示：2×1=2．其中正方形面积S=4，阴影部分面积S阴影=2××∴所求的概率P==故答案为：．16．函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是k M，k N，规定φ（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．①函数f（x）=x3+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，φ（M，N）=；②设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1•x2=1，则φ（M，N）的取值范围是（0，）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对于①，由y=x3+1，得y′=3x2，则k M=3，k N=12，则|k M﹣k N|=9，y1=2，y2=9，则|MN|==5，即可求出φ（M，N）==；对于②，利用定义，再换元，即可得出结论．【解答】解：对于①，由y=x3+1，得y′=3x2，则k M=3，k N=12，则|k M﹣k N|=9，y1=2，y2=9，则|MN|==5，φ（M，N）==；②曲线f（x）=x3+2，则f′（x）=3x2，设x1+x2=t（|t|＞2），则φ（M，N）===，∴0＜φ（M，N）＜．故答案为，（0，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，其定义域是[﹣3，2]．（1）求f（x）在其定义域内的极大值和极小值；（2）若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，求t的最小值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t 即可，求出f （x ）的最大值和最小值，从而求出t 的范围．【解答】解：（1）求导得f'（x ）=3x 2﹣3令f'（x ）=0得x=±1，∴x=±1为极值点﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f'（x ）＞0得﹣3≤x ＜﹣1或1＜x ≤2令f'（x ）＜0得﹣1＜x ＜1所以f （x ）极大值为f （﹣1）=1，极小值为f （1）=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ， 则只须f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t 即可﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由（1）可知f （x ）max =1，f （x ）min =﹣19，t ≥f （x ）max ﹣f （x ）min =1﹣（﹣19）=20，即t ≥20， 所以t 的最小值为20﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，计算高三全体学生视力在5.0以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，根据表1及临界值表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？ 表一附：临界值表2（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用直方图中后四组的频数成等差数列，设公差为d，求出视力在5.0以下的频率，即可估计全年级视力在5.0以下的人数；利用组中值估计这100名学生视力的中位数；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）直方图中后四组的频数成等差数列，设公差为d，则0.2×（1.35+1.35+d+1.35+2d+1.35+3d+0.15+0.35）=1，∴d=﹣0.15，∴后四组的频率为0.27，0.24，0.21，0.18，∴后四组频数依次为27，24，21，18，所以视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×=820．这100名学生视力的中位数 4.1×0.15×0.2+4.3×0.35×0.2+4.4×0.27+4.5×0.24+4.6×0.21+4.7×0.18≈4.5（Ⅱ）K2=≈5.482＞3.841．因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．19．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x﹣y﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求P点的轨迹方程，并指出轨迹的形状．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】析：（1）圆心到直线的距离求半径．（2）由|PO|2=|PA|．|PB|平方化简得x2﹣y2=2，注意曲线是已知圆的内部．【解答】解：（Ⅰ）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，则，得圆O的方程为x2+y2=4…（Ⅱ）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，，即x2﹣y2=2…由于点P在圆O内，故由此得或所以所求轨迹方程为x2﹣y2=2（或）…即P点的轨迹为双曲线x2﹣y2=2在圆x2+y2=4内的一部分…20．设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【考点】9R：平面向量数量积的运算；I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）求出椭圆的a，b，c，P是第一象限内该椭圆上的一点设为（x，y），利用，以及P在椭圆上，求点P的坐标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A、B，△＞0且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），就是利用韦达定理，代入化简，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值范围是．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（1）对x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由已知得a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+（x＞0），则h′（x）=，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．（2）问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈（0，+∞）），设m（x）=﹣（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，由此利用导数性质求证即可．【解答】解：（1）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+（x＞0），则h′（x）=，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=4，∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤[h（x）]min=4．证明：（2）问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈（0，+∞）），由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x=时取得．设m（x）=﹣（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，由题意得[m（x）]max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣成立．22．某市地产数据研究的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y关于x的回归方程；（Ⅱ）政府若不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅的销售均价．（从3月到7月的参考数据：x i=25，y i=5.36，（x i﹣）（y i﹣）=0.64；回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由题意，计算，，求出回归系数，，即可写出回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回归方程，计算x=12时的值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得出下表；计算=×x i=5，=×y i=1.072，（x i﹣）（y i﹣）=0.64，∴===0.064，=﹣=1.072﹣0.064×5=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为=0.064x+0.752；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回归方程，计算x=12时，=0.064×12+0.752=1.52；即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．2017年6月23日。
荆州市2016-2017学年度上学期高二期末考试文科数学(扫描版含答案)(2017.01)
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此时 PC
4 1 5 ，弦长为 2 25 5 4 5 ………………12 分
19 解： （1）由概率和为 1 可得： 0.2 0.3 0.4 20a 1 a 0.005 ………………3 分 （2） 区间 50,70] 的概率和为 0.05 0.4 0.45 ， 则区间 [70,80] 中还需拿出概率 0.05 的 区域才到达概率为 0.5 ，即区间 [70,80] 要拿出 故中位数为 70 （3） 分数段
3 1 .………………………………6 分 27 9
（2）“ a, b, c 不完全相同”的对立事件是“ a, b, c 完全相同”， “ a, b, c 完全相同” 包 含 三 个 基 本事 件 ：
“ a b c 1, a b c 2, a b c 3 ” ………………………9 分 所以 p 1
1 2 10 71 ……………………………8 分 6 3
1 的区域， 6
50,60
1:1
5人 5人
60,70
2 :1
40 人 20 人
70,80
3: 4
30 人 40 人
80,90
4:5
20 人 25 人
x: y
x y
根据上表知： [50,90) 外的人数为： 100 (5 20 40 25) 10 ………………12 分 20 解 由 f(x)= 1 3+ 3 1 3 + 3 1
2k
3 3 3 ，直线方程为 y x ………………6 分 4 4 4
0
（2） CPQ 面积最大时， PCQ 90 ， S
湖北省荆州中学高二上学期期末考试数学(文)Word版含答案
荆州中学2017～2018学年度上学期期 末 考 试 卷年级：高二 科目：数学（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1.抛物线212y x =的准线方程是 ( ) A. 18y =- B. 12y =- C. 18x =- D. 12x =- 2.已知命题p :R x ∃∈使得12x x +<，命题2q :R,1x x x ∀∈+>，下列为真命题的是（） A. ()q p ⌝∧ B. ()p q ∧⌝ C.q p ∧ D. ()()p q ⌝∧⌝3.圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（ ）A. 30x y -=B. 30x y +=C. 30x y -=D. 30x y +=4.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）5.“15k <<”是“方程22151x y k k +=--表示椭圆”的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图,输出20172018s =,那么判断框内应填（ ）A. 2017?k ≤B. 2018?k ≥C. 2017?k ≥D. 2018?k ≤7.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）A. 128.若()2,2P -为圆()221100x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（）． A.260x y --= B.220x y ++= C.220x y +-= D.260x y --=9.已知圆1F ：()22236x y ++=，定点()22,0F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（ ） A. 22143x y += B. 22134x y += C. 22195x y += D. 22159x y += 10.甲、乙两名同学打算在下午自习16:00-17:00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟.若甲乙两人在16:00-17:00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（ ） A. 316 B. 516 C. 716 D. 91611.已知0,0a b >>，且3a b +=，则14a b +的最小值为（ ） A. 2B. 3 C. 4 D. 512.将一颗六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体形状的骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a b 、，设直线1:2l ax by +=与2:22l x y +=平行的概率为1P ，相交的概率为2P ，则圆22:16C x y +=上到直线126211()PxP y -+=的距离为2的点的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.学生A ，B 在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A 的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m =__________．14.在ABC ∆中，三顶点()2,4A ，()1,2B -，()1,0C ，点(),P x y 在ABC ∆内部及边界运动，则z x y =-最大值为_________.15.在球面上有,,,A B C D 四个点，如果,,AD AB AB BC ⊥⊥,BC AD ⊥1,AD =2,AB =3,BC =则该球的表面积为________.16.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =_______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos cos a B b A C +=． （Ⅰ）求角C 的值．（Ⅱ）若CA CB ⋅= ，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．18.（本题满分12分）已知0m >，2:280p x x --≤，:22q m x m -≤≤+.（Ⅰ）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若3m =，“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.19.（本题满分12分）为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图． （Ⅰ）求成绩在[)600,700的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；（Ⅲ）我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[)650,700这段的人数？20.（本题满分12分）已知直线10ax y -+=与圆22:6440C x y x y +-++=交于,A B 两点，过点()5,1P -的直线l 与圆C 交于,M N 两点，（Ⅰ）若直线l 垂直平分弦AB ，求实数a 的值； （Ⅱ）若4MN =，求直线l 的方程；21.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中,BCD ∆是等腰直角三角形,且BC CD ⊥,4BC =,AD ⊥平面BCD ,2AD =.（Ⅰ）求证:平面ABC ⊥平面ADC（Ⅱ）若E 为AB 的中点,求点A 到平面CDE 的距离.22.（本题满分12分） 已知椭圆22154x y +=，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．l 的方程； （Ⅱ）若直线l 的斜率存在，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点(),0P a ，求实数a 的取值范围．荆州中学2017—2018学年上学期高二年级期末考试文科数学试题参考答案及评分标准一、 选择题BCABB ADACD BB二、 填空题13：514：1 15：14π 16：2三、解答题17、解：（1）cos cos cos a B b A C +=由正弦定理得sin cos sin cos cos A B B A C C +=，∴sin()cos A B C C +=∴sin cos C C C =cos 2C ∴=又0C π<<，∴π4C =．…………………………………5分（2）∵cos CA CB ab C ⋅===∴11sin ()222ABC S ab C ab ∆===10分 18、解：(1)记命题p 的解集为A=[-2，4]， 命题q 的解集为B=[2-m ，2+m]，∵p 是q 的充分不必要条件 ∴∴22{ 24m m -≤-+≥，解得：4m ≥. …………………………………5分(2)∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，∴命题p 与q 一真一假，①若p 真q 假，则241,,5x x or x -≤≤⎧⎨<->⎩»，解得：[)2,1x ∈--…………………8分②若p 假q 真，则2,,415x or x x <->⎧⎨-≤≤⎩，解得：(]4,5x ∈. ………………11分 综上得：[)(]2,14,5x ∈-- .………………………………………12分19、解：（1）根据频率分布直方图，得:成绩在[600，700）的频率为0.003500.001500.2⨯+⨯= ；…………………………………………2分（2）设样本数据的平均数为a ,中位数为b ,0.002504250.004504750.00550525a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.005505750.003506250.00150675+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯540=…………………………………………………………5分根据直方图估计中位数b 在[500,550)段0.002500.004500.005(500)0.5b ⨯+⨯+⨯-=解得540b = ……………………………………………………8分所以数据的平均数和中位数都是540（3）成绩在[650，700）的频率为：0.001×50=0.05，所以我校880名学生生中成绩在[650，700）的人数为：0.05×880=44（人），……12分20、解：（Ⅰ）由于圆22:6440C x y x y +-++=即22:(3)(2)9C x y -++=圆心()3,2C -，半径为3，直线10ax y -+=即1y ax =+ 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线l 上，所以l 的过点()5,1P -和()3,2C - 所以2AB k a ==-， …………………………………………………………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程是(5)1y k x =--, C 到l 的距离解得2k =-，……………………………………………………………10分所以l 的方程是：2(5)1y x =--- 即l 方程为：290x y +-=………………………………………………12分21、解：（1）证明：AD ⊥ 平面,BCD BC ⊂平面BCD ，AD BC ∴⊥，又,BC CD CD AD D ⊥= ，BC ∴⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD . …………………………………5分（2）由已知可得CD =，取CD 中点为F ，连结EF ，132ED EC AB === ，ECD ∴∆为等腰三角形，EF ∴= ECD S ∆=8分由（1）知BC ⊥平面,ACDE ∴到平面ACD 的距离为122BC =， 4ACD S ∆=，……………10分 设A 到平面CED 的距离为d ，有11233A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅，解得d =A ∴到平面CDE………………………………12分 22、解：（1）当直线l的斜率不存在时，M ⎛ ⎝⎭，1,N ⎛ ⎝⎭，1分 当直线l 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为()1y k x =-，①又椭圆的方程为22154x y +=，② 由①②可得()222254105200k x k x k +-+-=， ∴21221054k x x k +=+，212252054k x x k -+=+，…………………………………3分 ∴()22121212216154k y y k x x x x k -⎡⎤=-++=⎣⎦+，…………………………………4分 ，解得24k =，………………………5分 ∴2k =±，即直线l 的方程为()21y x =-或()21y x =--．………………………6分（2）由（1）可知()121228254k y y k x x k k -+=+-=+， 设MN 的中点为Q ，即22254,5454k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，…………………………8分 1PQ MN k k ⋅=- ，直线PQ 的方程是令0y =解得10分 当0k =时，M ，N 为椭圆长轴的两个端点，则点P 与原点重合，当0k ≠时，10,5a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，…………………………………………………11分综上所述，存在点P 且10,5a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．………………………………………12分。
【数学】湖北省荆州市2016-2017学年高二(上)期末试卷(文)(解析版)
2016-2017学年湖北省荆州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．30 B．25 C．20 D．152．（5分）在下列命题中，正确命题的个数是（）①两个复数不能比较大小；②复数z=i﹣1对应的点在第四象限；③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1；④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，则z1=z2=z3．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是（）A．72 B．36 C．24 D．25204．（5分）下面使用类比推理恰当的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”5．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4内一点P（2，1），则过P点的直径所在的直线方程是（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y﹣3=0 C．x+y+3=0 D．x=26．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6]7．（5分）当下面的程序段输出结果是41，则横线处应填（）A．i＞4 B．i＞=4 C．i＜4 D．i＜=48．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：算得，K2≈7.8．见附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”9．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，P A，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B．C．D．210．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg11．（5分）半径为r的圆的面积公式为s=πr2，当r=5时，计算面积的流程图为（）A．B．C．D．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1] C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则虚数z=+的实部为．14．（5分）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的范围是．16．（5分）“开心辞典”中有这样个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，它的第8个数可以是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）18．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．19．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．20．（12分）已知函数f（x）=，（1）f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）的值；（2）归纳猜想一般性的结论，并证明之．21．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．22．（10分）由经验得知，在某大商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：（1）不多于6个人排队的概率；（2）至少8个人排队的概率．参考答案一、选择题1．C【解析】设样本中松树苗的数量为x，则故选C2．A【解析】对于①，若两个复数都是实数，则可以比较大小，命题①错误；对于②，复数z=i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，1），位于第二象限，命题②错误；对于③，（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则，解得x=1，命题③错误；对于④，若z1﹣z2=i，z2﹣z3=1，则（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，命题④错误．∴正确命题的个数是0．故选：A．3．A【解析】∵504÷360=1 (144)360÷144=2 (72)144÷72=2∴360和504的最大公约数是72故选A．4．C【解析】对于A：“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，对于D：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12故选C5．A【解析】由题意，圆心C（1，0），∴过P点的直径所在的直线方程是，即x﹣y﹣1=0，故选A．6．D【解析】若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D7．D【解析】模拟程序的运行结果如下：当i=1时，s=1；当i=1时，s=1；当i=2时，s=3；当i=3时，s=10；当i=4时，s=41；此时程序循环结束，输出变量s值故i≤4应满足循环的条件．故选：D．8．C【解析】由题意知本题所给的观测值K2≈7.8＞6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选：C．9．D【解析】圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形P ACB=2S△PBC，四边形P ACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选D．10．D【解析】对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．11．D【解析】∵输入和输出框是平行四边形，故计算面积的流程图为D．故选D．12．A【解析】设点M（x，y），由MA=2MO，知：，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故选A．二、填空题13．0【解析】z=====i．故其实部为0．故答案为0．14．6.8【解析】∵根据茎叶图可知这组数据是8，9，10，13，15这组数据的平均数是=11∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]= [9+4+1+4+16]=6.8故答案为：6.8．15．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小，由得C（，），则CD的斜率z==，即z=的取值范围是（0，]，故答案为：．16．【解析】将这一组数：，化为：﹣，，﹣，，﹣，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为正，偶数项符号为负，则它的第8个数可以是故答案为三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．所以P（B）=1﹣P（）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．18．（1）证明：直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0所以直线恒过定点（3，1）（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短直线l的斜率为由解得此时直线l的方程是2x﹣y﹣5=0圆心C（1，2）到直线2x﹣y﹣5=0的距离为所以最短弦长是19．解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．20．解：，同理可得：，．证明：设x1+x2=1，=21．解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x=1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．所求直线l1的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆心到直l1的距离d=又∵三角形CPQ面积S=×2=d=∴当d=时，S取得最大值2．∴d==，k=1或k=7．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．22．解：设排队人数在5人及以下、6人、7人、8人、9人、10人及以上等分别对应事件A、B、C、D、E、F，并且它们之间是两两互斥的．则（1）设排队人数至多6个人排队为事件G，包含事件A和B，∵P（A）=0.1，P（B）=0.16，∴P（G）=P（A+B）+P（A）+P（B）=0.1+0.16=0.26（2）设排队人数至少8个人排队为事件H，并且H=D+E+F∵P（D）=0.3，P（E）=0.1，P（F）=0.04∴P（H）=P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44．。
湖北省荆州中学高二数学上学期期末考试试题文
湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 曲线313y x =在1x =处的切线的倾斜角为（ ） A. 1B. 4π-C .4π D ．54π 2. 对于常数,m n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=”的曲线是椭圆的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C . 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 某公司10名员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x 其均值和方差分别为x 和2S ，若从下A. 22,100x S + C . 2,x SD 4. 若0,0a b >>在1x =处有极值，则a +A. 2 B. 3 5. 从抛物线24y x =垂足为M ，且5PM =则PMF ∆的面积为（ A. 10 6. 其中收入记为正数，支出记为负数，该店用下列的程序框图 计算月总收入S ，那么在图中空白的判断框和处 理框中，应分别填入（A. 0,A V S T >=- C . 0,A V S T >=+7.已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则,x y 的值分别为（ ） A. 2、6B. 2、7C . 3、6D ．3、78. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线2y =的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）C .2D ．9. 若函数1()f x x ax x 2=++在1(,)2+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. [1,0]-B. [1,)-+∞C .[0,3]D ．[3,)+∞10. 椭圆22110064x y +=的焦点为12F F 、，椭圆上的点P 满足01260F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A.3B.3C .3D ．64311. 已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0,()()()()0,g x f x g x f x g x ''≠-<()(1)(1)5,()(1)(1)2x f x f f a g x g g -=+=-，则关于x 的方程2502abx ++=，(0,1)b ∈有两个不同的实根的概率为（ ） A.35B.25C .15D ．1212. 定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()sin g x x =(0),x π<< 3()ln (0),()(0)h x x x x x x ϕ=>=≠的“新驻点”分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. c b a >> C . a c b >>D ．b a c >>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数2()1f x x mx =++，若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是 .14. 已知,A B 两地相距800,m 在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2,s 且声速为340/m s ，则炮弹爆炸点的轨迹是 .15. 如图甲是某市有关部门根据当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图。
2016-2017学年高二数学上学期期末试卷含答案)
2016-2017学年高二数学上学期期末试卷(含答案)kj.co荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）本试题卷共4页，三大题22小题．全卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某单位员工按年龄分为A、B、c三个等级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则从c等级组中应抽取的样本数为A．2B．4c．8D．102．下列有关命题的说法错误的是A．若“”为假命题，则均为假命题B．“”是“”的充分不必要条件c．“”的必要不充分条件是“”D．若命题：，则命题：3．若向量，，则A．B．c．D．4．如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为A．分B．分c．分D．分5.已知变量与负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A．B．c．D．6．执行如图所示的程序框图,输出的等于A．B．c．D．7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为A．B．c．D．8.函数图象上的动点P到直线的距离为，点P到y轴的距离为，则A．B.c．D.不确定的正数9.如果实数满足条件，则的最大值为（）A．B．c．D．10.椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为A.75°B.60° c.45° D.30°11．如图，在正方体ABcD-A1B1c1D1中，P是侧面BB1c1c 内一动点，若P到直线Bc与直线c1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆c.双曲线D.抛物线12．过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两条直线，与双曲线分别交于、两点，若，则双曲线离心率的值所在区间是A．B.c．D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆x210－＋y2－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则＝________.14．下列各数、、中最小的数是___________.15．已知函数，其中实数随机选自区间，对的概率是_________.16．已知的三边长分别为，，，是边上的点，是平面外一点．给出下列四个命题：①若平面，且是边中点，则有；②若，平面，则面积的最小值为；③若，平面，则三棱锥的外接球体积为；④若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设是实数，有下列两个命题：空间两点与的距离.抛物线上的点到其焦点的距离.已知“”和“”都为假命题，求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知圆过点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，求的最大值．19.（本题满分12分）某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数，满分100分）分成六段[40，50），[50，60）…，[80，90），[90，100]，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；（3）把从[80，90）分数段选取的最高分的两人组成B组，[90，100]分数段的学生组成c组，现从B，c两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自c组的概率．20．（本题满分12分）在直角梯形PBcD中，∠D=∠c=，Bc=cD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB 沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥Bc，点E在SD上，且，如图2．(1)求证：SA⊥平面ABcD；(2)求二面角E-Ac-D的正切值；(3)在线段Bc上是否存在点F，使SF∥平面EAc？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知直线经过椭圆：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．①若直线平分线段，求的值；②对任意，求证：．22．（本题满分10分）已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为；的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）命题人：冯钢审题人：冯启安参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案AcDBccDBBBDc12【解析】选c设为左焦点，由双曲线的对称性，不妨设点的纵坐标为，则由得，又∵直线的方程为，∴，即，又∵，∴，两边同除以，得，即，令，∵，，∴双曲线离心率的值所在区间是.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.814.15.16.①④三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解答：和都是假命题，为真命题，为假命题.………………2分,；…………………………………………6分又抛物线的准线为，为假命题，，.…………………………………10分故所求的取值范围为.………………………………12分18.解答：（1）设圆心坐标为，则解得：，故圆的方程为：……………6分（2）因为z＝x＋y，即，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小，即可求出的最大和最小值.将代入圆的方程，令，或者利用圆心到直线的距离等于半径可求得最大值为：……………………………………12分 19.解答：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）10=0.30第四个小矩形的高为=0.03……4分（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，故这次考试的及格率约为75%，………………6分由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，得本次考试中的平均分约为71：………………8分（3）由已知可得c组共有学生60×10×0.005=3人，则从B，c两组共5人中选两人参加科普知识竞赛，设5人分别为，共有等10种不同情况，其中这两个学生都来自c组有3种不同情况，∴这两个学生都来自c组的概率．……………………………………12分20.解法一：(1)证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABcD为正方形，所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABcD是边长为2的正方形，因为SB⊥Bc，AB⊥Bc，所以Bc⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以Bc⊥SA，又SA ⊥AB，所以SA⊥平面ABcD，……………………4分(2)在AD上取一点o，使，连接Eo．因为，所以Eo∥SA 所以Eo⊥平面ABcD，过o作oH⊥Ac交Ac于H，连接EH，则Ac⊥平面EoH，所以Ac⊥EH．所以∠EHo为二面角E-Ac-D的平面角，．在Rt△AHo中，，，即二面角E-Ac-D的正切值为．……………………8分(3)当F为Bc中点时，SF∥平面EAc理由如下：取Bc的中点F，连接DF交Ac于，连接E，AD ∥Fc，所以，又由题意，即SF∥E，所以SF∥平面EAc，即当F为Bc的中点时，SF∥平面EAc...............12分解法二：(1)同方法一 (4)(2)如图，以A为原点建立直角坐标系，A(0，0，0)，B(2，0，0)，c(2，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，E 易知平面AcD的法向为设平面EAc的法向量为，由所以，可取所以所以即二面角E-Ac-D的正切值为．………………………………8分(3)设存在F∈Bc，所以SF∥平面EAc，设F(2，a，0)所以，由SF∥平面EAc，所以，所以4-2a-2=0，即a=1，即F(2，1，0)为Bc的中点.……………………………………12分21.解：（1）在直线中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，由题意得c=b=1，∴，则椭圆方程为．…………………………3分（2）①由，，的中点坐标为，所以．……………………………………………6分②解法一：将直线PA方程代入，解得，记，则，于是，故直线的方程为，代入椭圆方程得，由，因此，………………………………………………9分∴，，∴，∴，故．…………12分解法二：由题意设，，，则，∵三点共线，∴，……………………………………8分又因为点在椭圆上，∴，两式相减得：， (10)分∴，∴．……………………………………………………12分 22.解：（I）曲线方程为，可得，可得∴的直角坐标方程：，的参数方程为，消去参数可得：的普通方程：．………………………………5分（II）由（I）知，为以（0，1）为圆心，为半径的圆，的圆心（0，1）到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．…………………10分kj.co。
湖北省2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)(B卷)Word版含解析
湖北省2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）（B 卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．数列的前4项为1，﹣，，﹣，则此数列的通项公式可以是（ ）A ．（﹣1）nB ．（﹣1）n+1C ．（﹣1）nD ．（﹣1）n+12．“x 2+2x ﹣8＞0”是“x＞2”成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知﹣9，a 1，a 2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b 1，b 2，b 3，﹣1五个实数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）=（ ）A ．8B ．﹣8C ．±8D ．4．若＜＜0，则下列结论不正确的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．ab ＞b 2 C ．a+b ＜0 D ．|a|+|b|＞a+b5．已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y 2=﹣8x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ． +=1 B ．+=1C ．+y 2=1 D ． +y 2=16．已知两函数y=x 2﹣1与y=1﹣x 3在x=x 0处有相同的导数，则x 0的值为（ ）A ．0B ．﹣C ．0或﹣D ．0或17．我国古代数典籍《九章算术》》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6、8．已知F 1、F 2分别为椭圆+y 2=1的左右两个焦点，过F 1作倾斜角为的弦AB ，则△F 2AB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣19．已知直线y=kx 是y=lnx 的切线，则k 的值是（ ）A ．eB ．﹣eC ．D ．﹣10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M 到焦点F 的距离等于3p ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．±B ．±1C ．+D ．±11．已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 与x 轴有3个交点（0，0），（x 1，0），（x 2，0），且f （x ）在x=，x=时取极值，则x 1•x 2的值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．不确定12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2，b 2，c 2成等差数列，则sinB 最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13．命题“∀x ∈R ，4x 2﹣3x+2＜0”的否定是 ．14．△ABC 的周长等于3（sinA+sinB+sinC ），则其外接圆直径等于 ．15．已知x ，y 满足约束条件，则3x ﹣y 的最小值为 ．16．在△ABC 中，已知当A=， •=tanA 时，△ABC 的面积为 ．17．如果方程﹣=1表示双曲线，那么实数m 的取值范围是 ．18．若f （x ）=x 3﹣3x+m 有三个零点，则实数m 的取值范围是 ．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且=，则S n 为非负值的最大n 值为 ．20．已知函数f （x ）=x+，g （x ）=2x +a ，若∃x 1∈[，3]，∀x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围 ．三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）21．（10分）已知命题p：x2+2mx+（4m﹣3）＞0的解集为R，命题q：m+的最小值为4，如果p与q只有一个真命题，求m的取值范围．22．（10分）设等差数列{an }的公差为d，前n项和为Sn，已知a5=9，S7=49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =an•2n，求数列{bn}的前n项和．23．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， =．（1）求角A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求的范围．24．（10分）已知椭圆E： +=1，（a＞b＞0）的e=，焦距为2．（1）求E的方程；（2）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．25．（10分）设函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在[1，3]上不存在单调增区间，求a的取值范围．湖北省2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．数列的前4项为1，﹣，，﹣，则此数列的通项公式可以是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n+1 C．（﹣1）n D．（﹣1）n+1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据数列项与项数之间的关系进行求解即可．【解答】解：数列为分式形式，奇数项为正数，偶数项为负数，则符合可以用（﹣1）n+1表示，每一项的分母和项数n对应，用表示，则数列的通项公式可以为（﹣1）n+1，故选：B【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决本题的关键．2．“x2+2x﹣8＞0”是“x＞2”成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0，解得：x＞2或x＜﹣4，故“x2+2x﹣8＞0”是“x＞2”成立的必要不充分条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．3．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选 B．【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握．4．若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＞b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞a+b【考点】不等关系与不等式．【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．【解答】解：∵＜＜0，可得：a＜b＜0，|a|＞|b|，a2＞b2，显然A不对，故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5．已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A． +=1 B． +=1C． +y2=1 D． +y2=1【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，利用离心率求出a，然后求出b，即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点（﹣2，0）重合，可得c=2，则a=4，b=2，则此椭圆方程为： +=1．故选：A ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．6．已知两函数y=x 2﹣1与y=1﹣x 3在x=x 0处有相同的导数，则x 0的值为（ ）A ．0B ．﹣C ．0或﹣D ．0或1【考点】导数的运算．【分析】由y=x 2﹣1，得=2x 0，由y=1﹣x 3，得，由此根据两函数y=x 2﹣1与y=1﹣x 3在x=x 0处有相同的导数，能求出x 0的值．【解答】解：∵y=x 2﹣1，∴y′=2x， =2x 0，∵y=1﹣x 3，∴y′=﹣3x 2，，∵两函数y=x 2﹣1与y=1﹣x 3在x=x 0处有相同的导数，∴，解得x 0=0或x 0=﹣．故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．7．我国古代数典籍《九章算术》》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6、【考点】等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式． 【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前n 天打洞之和为=2n ﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴2n ﹣1+2﹣=10，解得n ∈（3，4），取n=4． 即两鼠在第4天相逢． 故选：B ．【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知F 1、F 2分别为椭圆+y 2=1的左右两个焦点，过F 1作倾斜角为的弦AB ，则△F 2AB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣1【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】求出直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得交点A ，B 的坐标，利用S=•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|，即可得出S ．【解答】解：椭圆+y 2=1的左右两个焦点（﹣1，0），过F 1作倾斜角为的弦AB ，可得直线AB 的方程为：y=x+1，把 y=x+1 代入 x 2+2y 2=2 得3x 2+4x=0，解得x 1=0 x 2=﹣，y 1=1，y 2=﹣，∴S=•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|==．故选：B ．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于中档题．9．已知直线y=kx 是y=lnx 的切线，则k 的值是（ ）A ．eB ．﹣eC ．D ．﹣【考点】导数的几何意义．【分析】欲求k 的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=lnx ，∴y'=，设切点为（m ，lnm ），得切线的斜率为，所以曲线在点（m ，lnm ）处的切线方程为：y ﹣lnm=×（x ﹣m ）． 它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e ，∴k=． 故选C ．【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M 到焦点F 的距离等于3p ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．±B ．±1C ．+D ．±【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设P （x 0，y 0）根据定义点M 与焦点F 的距离等于P 到准线的距离，求出x 0，然后代入抛物线方程求出y 0即可求出坐标．然后求解直线的斜率． 【解答】解：根据定义，点P 与准线的距离也是3P ，设M （x 0，y 0），则P 与准线的距离为：x 0+，∴x 0+=3p ，x 0=p ， ∴y 0=±p ，∴点M 的坐标（p ，± p ）．直线MF 的斜率为： =．故选：D ．【点评】本题考查了抛物线的定义和性质，解题的关键是根据定义得出点M 与焦点F 的距离等于M 到准线的距离，属于中档题．11．已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 与x 轴有3个交点（0，0），（x 1，0），（x 2，0），且f （x ）在x=，x=时取极值，则x 1•x 2的值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．不确定【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由f （0）=0，可得d=0．f′（x ）=3ax 2+2bx+c ．根据f （x ）在x=，x=时取极值，可得f′（）=0，f′（）=0，又f （x ）=x （ax 2+bx+c ），可得f （x 1）=f （x 2）=0，x 1，x 2≠0．可得x 1x 2=． 【解答】解：∵f （0）=0，∴d=0． f′（x ）=3ax 2+2bx+c ，∵f （x ）在x=，x=时取极值，∴f′（）=0，f′（）=0，a ≠0，可得2×++3=0，4×++12=0，解得： =6， 又f （x ）=x （ax 2+bx+c ）， f （x 1）=f （x 2）=0，x 1，x 2≠0．∴x 1x 2==6． 故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2，b 2，c 2成等差数列，则sinB 最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由等差数列的定义和性质可得2b 2=a 2 +c 2 ，再由余弦定理可得cosB=，利用基本不等式可得cosB ≥，从而求得角B 的取值范围，进而利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：由题意可得2b2=a2 +c2 ，由余弦定理可得cosB==≥，当且仅当a=c时，等号成立．又 0＜B＜π，∴0＜B≤，∵sinB在（0，]单调递增，∴可得sinB的最大值是sin=．故选：D．【点评】本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB≥，是解题的关键，属于基础题．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．命题“∀x∈R，4x2﹣3x+2＜0”的否定是∃x∈R，4x2﹣3x+2≥0 ．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定【解答】解：原命题为“∀x∈R，4x2﹣3x+2＜0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，4x2﹣3x+2≥0故答案为：∃x∈R，4x2﹣3x+2≥0【点评】本题考查命题的否定，本题解题的关键是熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，熟练两者之间的变化．14．△ABC的周长等于3（sinA+sinB+sinC），则其外接圆直径等于 3 ．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理和△ABC的外接圆半径表示出sinA、sinB、sinC，代入已知的式子化简后求出答案．【解答】解：由正弦定理得，，且R是△ABC的外接圆半径，则sinA=，sinB=，sinC=，因为△ABC的周长等于3（sinA+sinB+sinC），所以a+b+c=3（sinA+sinB+sinC）=3（++），化简得，2R=3，即其外接圆直径等于3，故答案为：3．【点评】本题考查了正弦定理的应用：边角互化，属于基础题．15．已知x，y满足约束条件，则3x﹣y的最小值为﹣3 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（0，3），此时z=3×0﹣3=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16．在△ABC中，已知当A=，•=tanA时，△ABC的面积为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，然后代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由A=，•=tanA，得•=tanA=tan=．∴，则，∴==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理求面积，是中档题．17．如果方程﹣=1表示双曲线，那么实数m的取值范围是（﹣1，1）∪（2，+∞）．【考点】双曲线的标准方程．【分析】方程表示双曲线的充要条件是mn＜0．【解答】解：∵方程﹣=1表示双曲线，∴（|m|﹣1）（m ﹣2）＞0， 解得﹣1＜m ＜1或m ＞2，∴实数m 的取值范围是（﹣1，1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣1，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查双曲线的定义，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．18．若f （x ）=x 3﹣3x+m 有三个零点，则实数m 的取值范围是 ﹣2＜m ＜2 ． 【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可． 【解答】解：由函数f （x ）=x 3﹣3x+m 有三个不同的零点， 则函数f （x ）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0． 由f′（x ）=3x 2﹣3=3（x+1）（x ﹣1）=0，解得x 1=1，x 2=﹣1， 所以函数f （x ）的两个极值点为 x 1=1，x 2=﹣1．由于x ∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x ）＞0； x ∈（﹣1，1）时，f′（x ）＜0； x ∈（1，+∞）时，f′（x ）＞0，∴函数的极小值f （1）=m ﹣2和极大值f （﹣1）=m+2． 因为函数f （x ）=x 3﹣3x+m 有三个不同的零点，所以，解之得﹣2＜m ＜2．故答案为：﹣2＜m ＜2．【点评】本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想和计算能力．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且=，则S n 为非负值的最大n 值为 20 ．【考点】等差数列的性质．【分析】设出等差数列的公差d ，由=得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式，由S n ≥0求出n 的范围，再根据n 为正整数求得n 的值．【解答】解：设等差数列的公差为d ，由=，得=，即2a 1+19d=0，解得d=﹣，所以S n =na 1+×（﹣）≥0，整理，得：S n =na 1•≥0．因为a 1＞0，所以20﹣n ≥0即n ≤20， 故S n 为非负值的最大n 值为20． 故答案是：20．【点评】本题考查等差数列的前n 项和，考查了不等式的解法，是基础题．20．已知函数f （x ）=x+，g （x ）=2x +a ，若∃x 1∈[，3]，∀x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g（x 2），则实数a 的取值范围 a ≤ ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】由∀x 1∈[，3]，都∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），可得f （x ）在x 1∈[，3]的最大值不小于g （x ）在x 2∈[2，3]的最大值，构造关于a 的不等式，可得结论．【解答】解：当x 1∈[，3]时，由f （x ）=x+得，f′（x ）=，令f′（x ）＞0，解得：x ＞2，令f′（x ）＜0，解得：x ＜2，∴f （x ）在[，2]单调递减，在（2，3]递增，∴f （）=8.5是函数的最大值，当x 2∈[2，3]时，g （x ）=2x +a 为增函数， ∴g （3）=a+8是函数的最大值，又∵∀x 1∈[，3]，都∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），可得f （x ）在x 1∈[，3]的最大值不小于g （x ）在x 2∈[2，3]的最大值，即8.5≥a+8，解得：a≤，故答案为：a≤．【点评】本题考查的知识是指数函数以及对勾函数函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，本题是一道中档题．三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）21．（10分）（2016秋•珠海期末）已知命题p：x2+2mx+（4m﹣3）＞0的解集为R，命题q：m+的最小值为4，如果p与q只有一个真命题，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对命题p，使不等式解集为R，△＜0，求出m的范围；命题q利用对对勾函数的性质可求出此处的m的范围，然后利用复合命题的真值表即可求出【解答】解：命题p真：△=4m2﹣4（4m﹣3）＜0⇒1＜m＜3命题q真：m+=m﹣2++2的最小值为4，则m＞2，当p真，q假时，1＜m＜3且m≤2，⇒1＜m≤2；当p假，q真时，m≤1或m≥3且m＞2，⇒m＞3；综上：m的取值范围（1，2]∪（3，+∞）【点评】考查了复合命题的真假判断表，另外还考查了对勾函数的性质，属于基础题．22．（10分）（2016秋•珠海期末）设等差数列{an }的公差为d，前n项和为Sn，已知a5=9，S7=49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =an•2n，求数列{bn}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由S7=49结合等差数列的性质求得a4=7，再求等差数列的公差和通项式；（2）bn =an•2n=（2n﹣1）•2n，用错位相减法求数列{bn}的前n项和为Tn【解答】解：（1）在等差数列{an }中，由S7=7（a1+a7）=49，得：a4=7，又∵a5=9，∴公差d=2，a1=1，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣1 （n∈N+），（2）bn =an•2n=（2n﹣1）•2n，令数列{bn }的前n项和为Tn，Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）•2n…①2 Tn=1×22+3×23++…+（2n﹣5）×2n﹣1+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1…②﹣Tn=2+2（22+23++…+2n﹣1+•2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=2+2n+2﹣8﹣+（2n﹣1）•2n+1；∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6．【点评】本题考查了等差数列的通项，及错位相减法求和，属于基础题．23．（10分）（2016秋•珠海期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=．（1）求角A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求的范围．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子后，由余弦定理求出cosA的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；（2）由（1）和内角和定理表示出B，由锐角三角形的条件列出不等式组，求出C的范围，由正弦定理、两角差的正弦公式、商的关系化简后，由正切函数的图象与性质求出答案．【解答】解：（1）由题意知，，由正弦定理得，，化简得，，即，由余弦定理得，cosA==，又0＜A＜π，则A=；（2）由（1）得A=，又A+B+C=π，则B=﹣C，因为△ABC是锐角三角形，所以，解得，由正弦定理得， ====，由得，tanC＞1，即，所以，即的范围是．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理，两角差的正弦公式，内角和定理，商的关系等，以及正切函数的图象与性质，考查转化思想，化简、变形能力．24．（10分）（2016秋•珠海期末）已知椭圆E： +=1，（a＞b＞0）的e=，焦距为2．（1）求E的方程；（2）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆中，e=，焦距为2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E 的方程．=2．当（2）当AB为长轴（或短轴）时，依题意C是椭圆的上下顶点（或左右顶点）时，S△ABC直线AB的斜率不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，联立方程组，得|OA|2=，直线直线OC 的方程为y=﹣，由，得|OC|2=．从而求出，由此能求出△ABC 面积的最小值为，此时直线直线AB 的方程为y=x 或y=﹣x ．【解答】解：（1）∵椭圆E ： +=1，（a ＞b ＞0）的e=，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E 的方程为．（2）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意C 是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时S △ABC =|OC|×|AB|=2．当直线AB 的斜率不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y=kx ，联立方程组，得=，，∴|OA|2==，由|AC|=|CB|知，△ABC 为等股三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，∴直线直线OC 的方程为y=﹣，由，解得=， =，|OC|2=．S △ABC =2S △OAC =|OA|×|OC|==．∵≤=，∴，当且仅当1+4k 2=k 2+4，即k=±1时，等号成立，此时△ABC面积的最小值是，∵2＞，∴△ABC面积的最小值为，此时直线直线AB的方程为y=x或y=﹣x．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、三角形面积等知识点的合理运用．25．（10分）（2016秋•珠海期末）设函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在[1，3]上不存在单调增区间，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）将a=2代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=2时，f（x）=lnx+x2﹣4x+4，（x＞0），f′（x）=+2x﹣4=，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，故f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（2）f′（x）=+2x﹣2a=，x∈[1，3]，设g（x）=2x2﹣2ax+1，假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，于是，解得：a≥．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题．。
2017-2018学年湖北省荆州中学高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．2．（5分）已知命题p：∃x∈R使得，命题q：∀x∈R，x2+1＞x，下列为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．p∧（￢q）C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）3．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，则直线AB的方程是（）A．x﹣3y=0B．x+3y=0C．3x﹣y=0D．3x+y=0 4．（5分）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．5．（5分）“1＜k＜5”是“方程表示椭圆”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s=，那么判断框内应填（）A．k≥2017？B．k≥2018？C．k≤2017？D．k≤2018？7．（5分）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）若P（2，﹣2）为圆（x﹣1）2+y2=100的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣6=0B．x+2y+2=0C．2x+y﹣2=0D．2x﹣y﹣6=0 9．（5分）已知圆F1：（x+2）2+y2=36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=110．（5分）甲、乙两名同学打算在下午自习16：00﹣17：00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟．若甲乙两人在16：00﹣17：00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=3，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．512．（5分）将一颗六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体形状的骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a、b，设直线l1：ax+by=2与l2：x+2y=2平行的概率为，相交的概率为P2，则圆C：x2+y2=16上到直线6P1x+2（P2﹣1）y=1的距离为2的点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某班学生A、B在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A平均成绩与学生B的成绩的众数相等，则m=．14．（5分）在△ABC中，三顶点A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x﹣y最大值为．15．（5分）在球面上有A，B，C，D四个点，如果AD⊥AB，AB⊥BC，BC⊥AD，AD=1，AB=2，BC=3，则该球的表面积为．16．（5分）已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，若直线PA、PB的斜率乘积k PA•k PB=3，则该双曲线的离心率e．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（Ⅰ）求角C的值．的值．（Ⅱ）若=4，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（Ⅰ）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=3，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．19．（12分）为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在[600，700）的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；（Ⅲ）我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[650，700）这段的人数？20．（12分）已知直线ax﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0交于A，B两点，过点P（5，﹣1）的直线l与圆C交于M，N两点，（Ⅰ）若直线l垂直平分弦AB，求实数a的值；（Ⅱ）若|MN|=4，求直线l的方程．21．（12分）已知三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等腰直角三角形，且BC⊥CD，BC=4，AD⊥平面BCD，AD=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC（Ⅱ）若E为AB的中点，求点A到平面CDE的距离．22．（12分）已知椭圆，过右焦点F2的直线l交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）若，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率存在，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（a，0），求实数a的取值范围．2017-2018学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【分析】先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为1的抛物线，写出其准线方程y=﹣即可【解答】解：抛物线的标准方程为x2=2y，焦准距p=1，=∴抛物线的准线方程为y=﹣故选：A．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何意义，特别注意方程是否标准形式，属基础题2．（5分）已知命题p：∃x∈R使得，命题q：∀x∈R，x2+1＞x，下列为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．p∧（￢q）C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）【分析】举例说明p为真命题，利用作差法判断大小说明q为真命题，再由复合命题的真假判断逐一核对四个选项得答案．【解答】解：当x＜0时，，∴命题p：∃x∈R使得为真命题；∵x2+1﹣x=，∴∀x∈R，x2+1＞x，即命题q为真命题．∴（￢p）∧q为假命题；p∧（￢q）为假命题；p∧q为真命题；（￢p）∧（￢q）为假命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．3．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，则直线AB的方程是（）A．x﹣3y=0B．x+3y=0C．3x﹣y=0D．3x+y=0【分析】两圆相减，能求出直线AB的方程．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，∴两圆相减，得：﹣4x+12y=0，∴直线AB的方程是x﹣3y=0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，看看左视图是怎样画出的，即可得出正确的选项．【解答】解：根据题意，得；点A在平面BCC1B1上的投影是B，点D在平面BCC1B1上的投影是C，棱AB1在平面BCC1B1上的投影是BB1，AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1，B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1，B1C是被挡住的棱，应画成虚线，如图所示．故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，属于基础题，5．（5分）“1＜k＜5”是“方程表示椭圆”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】方程表示椭圆⇔，解出k即可判断出结论．【解答】解：方程表示椭圆⇔，解得1＜k＜5，且k≠3．∴1＜k＜5”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义、不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s=，那么判断框内应填（）A．k≥2017？B．k≥2018？C．k≤2017？D．k≤2018？【分析】模拟执行程序框图，根据程序的功能进行求解即可．【解答】解：本程序的功能是计算S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由1﹣=，得k+1=2018，即k=2017，即k=2018不成立，k=2017成立，故断框内可填入的条件k≤2017，故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，属于基础题．7．（5分）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知，本题需作辅助线，可以根据三角形的特征，进行求解．【解答】解：已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，设底面边长为1，侧棱长为3，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角∠PAO的余弦值等于=，故选：D．【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对三角形的利用，是基础题．8．（5分）若P（2，﹣2）为圆（x﹣1）2+y2=100的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣6=0B．x+2y+2=0C．2x+y﹣2=0D．2x﹣y﹣6=0【分析】求出圆心C的坐标，计算PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB 的斜率，由点斜式写出AB的方程，并化为一般式，即可的答案．【解答】解：根据题意，设圆（x﹣1）2+y2=100的圆心为C，则C的坐标为（1，0），点P（2，﹣2）为弦AB的中点，则PC的斜率为K PC==﹣2，则直线AB的斜率k=，所以直线AB的方程为y+2=（x﹣2），即x﹣2y﹣6=0．故选：A．【点评】本题考查了直线和圆相交的性质，线段中垂线的性质以及点斜式求直线的方程应用问题，是基础题目．9．（5分）已知圆F1：（x+2）2+y2=36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=1【分析】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6，又|F1F2|=4，4＜6根据椭圆的定义，点P的轨迹是M，N为焦点，以3为实轴长的椭圆，即可得出结论【解答】解：由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6又|F1F2|=4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a=6，2c=4，所以b=，所以，点P的轨迹方程为：+=1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题10．（5分）甲、乙两名同学打算在下午自习16：00﹣17：00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟．若甲乙两人在16：00﹣17：00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据几何概型的概率知，试验包含的所有事件Ω={（x ，y ）|16＜x ＜17，16＜y ＜17}，求出事件对应的区域面积，再计算满足条件的事件A={（x ，y ）|16＜x ＜17，16＜y ＜17，且|x ﹣y |≥}表示的区域面积，计算面积比即可．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x ，y ）|16＜x ＜17，16＜y ＜17}，事件对应的集合表示的面积是S=1×1=1，满足条件的事件是A={（x ，y ）|16＜x ＜17，16＜y ＜17，且|x ﹣y |≥}，事件对应的集合表示的面积是S′=2××=， 根据几何概型概率公式得到两人独自去时不需要等待的概率： P==．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．（5分）已知a ＞0，b ＞0，且a +b=3，则的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据题意，分析可得=（a +b ）（+）=×（5++），由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，a ＞0，b ＞0，且a +b=3，则=（a +b ）（+）=×（5++）≥×（5+2）=3，当且仅当b=2a时等号成立，即的最小值为3；故选：B．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式，属于基础题．12．（5分）将一颗六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体形状的骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a、b，设直线l1：ax+by=2与l2：x+2y=2平行的概率为，相交的概率为P2，则圆C：x2+y2=16上到直线6P1x+2（P2﹣1）y=1的距离为2的点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】验发生包含的事件是一颗骰子投掷两次，共有36种结果，使得两条直线平行的a，b的值可以通过列举做出，还有一种就是使得两条直线重合，除此之外剩下的是相交的情况，求出概率，从而得到直线方程，再判断直线和圆的位置关系，即可求出答案．【解答】解：由题意知本题是两个古典概型的问题，试验发生包含的事件是一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，共有36种结果，要使的两条直线l1：ax+by=2与l2：x+2y=2平行，则a=2，b=4；a=3；b=6，共有2种结果，当A=1，B=2时，两条直线平行，其他33种结果，都使的两条直线相交，∴两条直线平行的概率p1==，两条直线相交的概率p2==，∵6P1x+2（P2﹣1）y=1，∴2x+y﹣6=0，则圆心到直线的距离d==＜4，∴直线和圆相交，故则圆C：x2+y2=16上到直线2x+y﹣6=0的距离为2的点的个数是2个，故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意概率、两点间距离公式的合理运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某班学生A、B在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A平均成绩与学生B的成绩的众数相等，则m=5．【分析】根据茎叶图写出学生A的平均成绩和B成绩的众数，列方程求出m的值．【解答】解：根据茎叶图知，学生A的平均成绩为=×（73+79+82+85+80+m+83+92+93）=，学生B成绩的众数84，∴=84，解得m=5．故答案为：5．【点评】本题考查了茎叶图与平均数、众数的计算问题，是基础题．14．（5分）在△ABC中，三顶点A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x﹣y最大值为1．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由平移可知当直线y=x﹣z，经过点C（1，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，代入z=x﹣y=1﹣0=1即z=x﹣y的最大值是1，故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．（5分）在球面上有A，B，C，D四个点，如果AD⊥AB，AB⊥BC，BC⊥AD，AD=1，AB=2，BC=3，则该球的表面积为14π．【分析】根据题意，AD⊥AB，AB⊥BC，BC⊥AD，AD=1，AB=2，BC=3，看成是在长方体中的四点，根据长方体的外接球的性质可得该球的表面积．【解答】解：根据题意，AD⊥AB，AB⊥BC，BC⊥AD，AD=1，AB=2，BC=3，看成是在长方体中的四点，如图：AC=，那么：CD=根据长方体的外接球的性质可得该球的半径R=．该球的表面积S=4πR2=14π．故答案为：14π【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（5分）已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，若直线PA、PB的斜率乘积k PA•k PB=3，则该双曲线的离心率e2．【分析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=3，即可求得结论【解答】解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴k PA•k PB=×=∵，，∴两式相减可得=∵k PA•k PB=3，∴=3，∴=e2﹣1=3，∴e=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查斜率公式，属基础题三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（Ⅰ）求角C的值．的值．（Ⅱ）若=4，求△ABC的面积S△ABC【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合sinC≠0，可得，结合范围0＜C＜π，可得C的值．（Ⅱ）由已知利用平面向量数量积的运算可求ab的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得：，∴，∴，∵sinC≠0，∴，又0＜C＜π，∴．…（5分）（Ⅱ）∵=abcosC=ab=4，∴解得：ab=4，∴，…（10分）【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，平面向量数量积的运算，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（Ⅰ）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=3，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．【分析】（Ⅰ）记命题p的解集为A=[﹣2，4]，命题q的解集为B=[2﹣m，2+m]，由p是q的充分不必要条件，得A⊊B，再由两集合端点值间的关系列式求解；（Ⅱ）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得命题p与q一真一假，然后利用交、并、补集的混合运算求解．【解答】解：（Ⅰ）记命题p的解集为A=[﹣2，4]，命题q的解集为B=[2﹣m，2+m]，∵p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4；（Ⅱ）p：﹣2≤x≤4，m=3时，q：﹣1≤x≤5，∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，解得：x∈[﹣2，﹣1）；②若p假q真，则，解得：x∈（4，5]．综上得：x∈[﹣2，﹣1）∪（4，5]．【点评】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查交、并、补集的混合运算，是中档题．19．（12分）为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在[600，700）的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；（Ⅲ）我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[650，700）这段的人数？【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求得成绩在[600，700）的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图求出平均数和中位数；（Ⅲ）计算成绩在[650，700）的频率和频数即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得，成绩在[600，700）的频率为0.003×50+0.001×50=0.2；…（2分）（Ⅱ）设样本数据的平均数为a，中位数为b，则a=0.002×50×425+0.004×50×475+0.005×50×525+0.005×50×575+0.003×50×625+0.001×50×675=540；…（5分）根据直方图估计中位数b在[500，550）段，∵0.002×50+0.004×50+0.005×（b﹣500）=0.5，解得b=540，…（8分）∴数据的平均数和中位数都是540；（Ⅲ）成绩在[650，700）的频率为：0.001×50=0.05，∴我校880名学生生中成绩在[650，700）的人数为：0.05×880=44（人）．…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．20．（12分）已知直线ax﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0交于A，B两点，过点P（5，﹣1）的直线l与圆C交于M，N两点，（Ⅰ）若直线l垂直平分弦AB，求实数a的值；（Ⅱ）若|MN|=4，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标与半径，由于l垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在直线l上，求出直线l的斜率，由两直线垂直与斜率的关系求解a；（Ⅱ）设直线l的方程是y=k（x﹣5）﹣1，利用垂径定理结合弦长求得k，则直线l的方程可求．【解答】解：（Ⅰ）化圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0为C：（x﹣3）2+（y+2）2=9，可得圆心C（3，﹣2），半径为3，直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．由于l垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在直线l上，∴直线l过点P（5，﹣1）和C（3，﹣2），则斜率，∴k AB=a=﹣2；（Ⅱ）设直线l的方程是y=k（x﹣5）﹣1，∵C到l的距离，，∴，解得k=﹣2，∴l的方程是：y=﹣2（x﹣5）﹣1，即：2x+y﹣9=0．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．21．（12分）已知三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等腰直角三角形，且BC⊥CD，BC=4，AD⊥平面BCD，AD=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC（Ⅱ）若E为AB的中点，求点A到平面CDE的距离．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥BC，结合BC⊥CD，推出BC⊥平面ACD，然后证明平面ABC⊥平面ACD．=4，设A到平面（Ⅱ）由已知可得，取CD中点为F，连结EF，求出S△ACD CED的距离为d，利用等体积法求解A到平面CDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC，又∵BC⊥CD，CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．…（5分）（Ⅱ）解：由已知可得，取CD中点为F，连结EF，∵，∴△ECD为等腰三角形，∴，，…（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面ACD，∴E到平面ACD 的距离为：，=4，…（10分）∴S△ACD设A到平面CED的距离为d，有，解得，∴A到平面CDE 的距离是．…（12分）第21页（共23页）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）已知椭圆，过右焦点F2的直线l交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）若，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率存在，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（a，0），求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，求得斜率k，即可得到所求直线方程；（Ⅱ）运用中点坐标公式可得MN的中点Q的坐标，k PQ•k MN=﹣1，求得PQ的方程，可令y=0，可得a关于k的关系式，讨论k是否为0，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，可得M（1，），N（1，﹣），，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y=k（x﹣1），①椭圆，②由①②可得（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，∴x1+x2=，x1x2=，第22页（共23页）∴y1y2=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=k2[﹣+1]=﹣，∴，解得k2=4，∴k=±2，即直线l的方程为y=2（x﹣1）或y=﹣2（x﹣1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣2k=﹣，设MN的中点为Q，即Q （，﹣），∵k PQ•k MN=﹣1，直线PQ的方程是y+=﹣（x﹣），令y=0解得，当k=0时，M，N为椭圆长轴的两个端点，则点P与原点重合，当k≠0时，a∈（0，），综上所述，存在点P且a∈[0，）．【点评】本题考查直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，考查两直线垂直的条件，以及分类讨论思想方法，属于中档题．第23页（共23页）。
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2016-2017学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆的焦点坐标是（）A．B．C．D．2．已知变量x与y负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=2x﹣1.5 B．y=0.8x+3.3 C．y=﹣2x+14.5 D．y=﹣0.6x+9.13．下列有关命题的说法中错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“∃实数x使x2≥0”，则命题¬p为“对于∀x∈R都有x2＜0”4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．5．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是（）A．B．C．D．6．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．127．已知f （x ）=f'（1）+xlnx ，则f （e ）=（ ） A ．1+e B ．eC ．2+eD ．38．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．2+B ．4+C ．2+2D ．59．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B两点．若线段AB的中点的横坐标为3，则AB 的长度为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．曲线y=x 3﹣2x +1在点（1，0）处的切线方程为（ ） A ．y=x ﹣1 B ．y=﹣x +1 C ．y=2x ﹣2 D ．y=﹣2x +211．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角12．F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（）A．B．2 C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=．14．下列各数85（9）、1000（4）、111111（2）中最小的数是．15．已知函数f（x）=x3﹣3x+1，则=．16．已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[﹣2，1]．对∀x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设a是实数，对函数f（x）=x2﹣2x+a2+3a﹣3和抛物线C：y2=4x，有如下两个命题：p：函数f（x）的最小值小于0；q：抛物线y2=4x上的动点到焦点F的距离大于2．已知“¬p”和“p∧q”都为假命题，求实数a的取值范围．18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线x+y﹣3=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）是圆C上的动点，z=x+y，求z的最大值．19．某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四个小组的频率以及频率分布直方图中第四个小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分．20．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BMD；（2）求证：A1O⊥平面ABCD；（3）求三棱锥B﹣AMD的体积．21．设椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆M于A、B两点，求△PAB面积的最大值．22．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．2016-2017学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆的焦点坐标是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆的焦点在y轴上，且a=2，b=1，求出c，即可得到椭圆的焦点坐标．【解答】解：椭圆的焦点在y轴上，且a=2，b=1，∴=，∴椭圆的焦点坐标是（0，±）．故选C．2．已知变量x与y负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=2x﹣1.5 B．y=0.8x+3.3 C．y=﹣2x+14.5 D．y=﹣0.6x+9.1【考点】线性回归方程．【分析】利用变量x与y负相关，排除选项A、B，再利用回归直线方程过样本中心验证即可得出结论．【解答】解：根据变量x与y负相关，排除选项A，B；再根据回归直线方程经过样本中心（，），把=4，=6.5，代入C、D中，满足6.5=﹣2×4+14.5，C方程成立，D方程不成立．故选：C．3．下列有关命题的说法中错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“∃实数x使x2≥0”，则命题¬p为“对于∀x∈R都有x2＜0”【考点】全称命题；复合命题的真假．【分析】A：结合条件“p或q”为假命题判断p、q的情况，由此即可做出判断．B：分别判断“x=1”⇒“x≥1”与“x≥1”⇒“x=1”的真假，进而根据充要条件的定义可得答案．C：分别判断“”⇒“”与“”⇒“”的真假，再根据充分必要条件进行判断；D：由“∃实数x，使x2≥0”，根据特称命题的否定为一个全称命题，结合特称命题“∃x∈A，P（A）”的否定为“x∈A，非P（A）”，可得答案．【解答】解：对于A：由题意可知：“p或q”为假命题，∴p、q中全为假，正确；B：当“x=1”时“x≥1”成立，即“x=1”是“x≥1”充分条件当“x≥1”成立时，x＞1或x=1，即“x=1”不一定成立，即“x=1”是“x≥1”不必要条件“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件，正确；C：∵“”不能⇒“”，如x=．反之一定能推出，∴“”的充分不必要条件是“”，故C错；D：命题：“∃实数x使x2≥0”为特称命题，其否定是一个全称命题，即命题：“∃实数x使x2≥0”的否定为“∀x∈R，x2＜0”正确．故选C．4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．5．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】首先由组合数公式计算从5台中任选2台的情况数目，进而分析可得所选2台中恰有1甲1乙的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案；【解答】解：从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，有==10种选法，所选两种品牌的彩电都齐全，即1甲2乙的选法有=6种，则从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是为=．故答案为：C6．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．12 【考点】分层抽样方法．【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．故选C ．7．已知f （x ）=f'（1）+xlnx ，则f （e ）=（ ） A ．1+e B ．eC ．2+eD ．3【考点】导数的运算．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代值计算即可．【解答】解：由f （x ）=f'（1）+xlnx ， 得：f′（x ）=1+lnx ， 取x=1得：f′（1）=1+ln1=1故f（e）=f'（1）+elne=1+e故选：A．8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE==2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．∴S△ABC=2×=．S△BCO故该三棱锥的表面积是2，故选：C．9．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点的横坐标为3，则AB的长度为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选：A．10．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，=1，得切线的斜率为1，所以k=1；y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选A．11．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出；B．利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出；C．通过平移即可得出异面直线所成的角；D．利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出．【解答】解：A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵SD∩DB=D．∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥DB．B．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，又AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD．C．∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角；而∠SCD≠∠SAB．∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确；D．由A可知：AC⊥平面SDB，∴∠ASO、∠SCO分别是SA与平面SBD所成的角、SC与平面SBD所成的角．由SA=SC，OA=OC，可得∠ASO=∠SCO，因此正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．12．F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m，m），B（n，﹣），由2=，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==进行运算．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即•=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据条件可得a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12，由焦距为4，即c=2．即可得到m的值．【解答】解：由椭圆+=1的长轴在y轴上，则a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12．由焦距为4，即2c=4，即有c=2．即有2m﹣12=4，解得m=8．故答案为：814．下列各数85（9）、1000（4）、111111（2）中最小的数是111111（2）．【考点】进位制．【分析】将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小．=8×9+5=77，【解答】解：85（9）1000（4）=1×43=64，111111（2）=1×26﹣1=63，故最小的数是111111（2）故答案为：111111（2）15．已知函数f（x）=x3﹣3x+1，则=﹣．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+1，∴f′（x）=3x2﹣3∴f′（）=3×﹣3=﹣，故答案为：16．已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[﹣2，1]．对∀x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤1，其区间长度是3又∵对∀x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调∴∴﹣1≤k≤1，其区间长度为2∴P=故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演17．设a是实数，对函数f（x）=x2﹣2x+a2+3a﹣3和抛物线C：y2=4x，有如下两个命题：p：函数f（x）的最小值小于0；q：抛物线y2=4x上的动点到焦点F的距离大于2．已知“¬p”和“p∧q”都为假命题，求实数a的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】“¬p”和“p∧q”都为假命题，可得p为真命题，q为假命题，分别求出相应a的范围，即可求实数a的取值范围．【解答】解：∵¬p和p∧q都是假命题，∴p为真命题，q为假命题．…∵f（x）=x2﹣2x+a2+3a﹣3=（x﹣1）2+a2+3a﹣4，∴，所以，﹣4＜a＜1；…又∵抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，q为假命题，∴，∴﹣2≤a≤2．…故所求a的取值范围为[﹣2，1）．…18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线x+y﹣3=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）是圆C上的动点，z=x+y，求z的最大值．【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【分析】（1）设圆心坐标为（a，b），则，即可求圆C的方程；（2）令z=x+y，即y=﹣x+z，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小．【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，b），则解得：a=1，b=2，r=2，故圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4…（2）令z=x+y，即y=﹣x+z，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或圆心到直线的距离d==2，z=3±2，∴最大值为：…19．某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四个小组的频率以及频率分布直方图中第四个小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为，即可求出第四个小矩形的高，（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分【解答】解：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10=0.30 则第四个小矩形的高为=0.03，（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，故这次考试的及格率约为75%，由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，得本次考试中的平均分约为71：20．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BMD；（2）求证：A1O⊥平面ABCD；（3）求三棱锥B﹣AMD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面平行的性质即可证明A1C∥平面BMD；（2）根据线面垂直的判定定理即可证明A1O⊥平面ABCD；（3）利用体积转化法即可求三棱锥B﹣AMD的体积．【解答】证明：（1）连结MO，则⇒MO∥AC，∵MO⊂平面BMD，A1C⊄平面BMD，∴A1C∥平面BMD．（2）∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥平面A1AC，于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，∵底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，∴AO=，AA1=，cos∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD；（3）体积转换法：∵A1O⊥平面ABCD，M为A1O的中点，∴M到平面ABCD的距离为，三角形ABD的面积为，．21．设椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆M于A、B两点，求△PAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，将代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆M的方程；（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，则P到AB的距离为d=，则利用三角形的面积公式及韦达定理即可求得△PAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，由椭圆经过点，得，解得：，∴椭圆M的方程为．…（Ⅱ）由，得，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）＞0，得，，设A（x1，y1），B （x2，y2），∴，．∴=．又P到AB的距离为d=．则…∴当且仅当取等号．∴．…22．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）直接利用极坐标与直角坐标互化求出C1的直角坐标方程，C2的普通方程．（II）求出C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，利用圆心距推出距离的最值得到范围即可．【解答】（本小题满分10分）解：（I）曲线C1方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，∴C1的直角坐标方程：x2+（y﹣1）2=1，C2的参数方程为，消去参数t可得：C2的普通方程：．…（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距离为，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值为，则点P到曲线C2距离的取值范围为．…2017年2月18日。