积分变换复习提纲(总结)
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
积分变换总复习
δ (t) f (t)dt = (−1) f (0)
(n) n (n)
函数的傅氏变换为: ∗δ-函数的傅氏变换为:
F(ω) = F[δ (t)] = ∫ δ (t)e
−∞ +∞ − jωt +∞
dt = e
− jωt t =0 − jωt
=1
− jωt0
F[δ (t −t0 )] = ∫ δ (t −t0 )e
F−1[αF (ω) + β F2 (ω)] = α f1(t ) + β f2 (t ) 1
2)位移性质 2)位移性质
F[ f (t ± t0 )] = e± jωt0 F[ f (t )] F−1[F(ω m ω0 )] = e± jω0t f (t )
3)微分性质 3)微分性质
d F[ f ′(t )] = jωF[ f (t )], F(ω) = F[− jtf (t )] dω dn F[ f (n) (t )] = ( jω)n F[ f (t )], n F(ω) = (− j)n F[t n f (t )] dω
Dirichlet积分
Fourier积分定理 *Fourier积分定理 若f(t)在(-∞, +∞)上满足条件: 1、f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2、f(t)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有 1 +∞ ∞ − jωτ ejωt dω f (t) = ∫−∞ ∫−∞ f (τ )e dτ 2π 成立 而左端的f (t)在它的间断点处 应以 , t ,
f (t + 0) + f (t − 0) 来代替 . 2
Fourier变换 2、 Fourier变换
若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则 在f(t)的连续点处, 有 ∞ − jωt F(ω) = ∫ f (t)e dt = F[ f (t)] −∞ f (t ) 的Fourier变换式 变换式 1 +∞ f (t) = F(ω)ejωt dω = F−1[F(ω)] ∫−∞ 2π
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
复变函数与积分变换复习提纲知识
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
西南交大复变函数与积分变换复习提纲
西南交大复变函数与积分变换复习提纲一． 复变函数1. 复数（1）复数的运算例 ()()()()11031(1)1324,(2),(3)1,(4)11i i i i i i-+++++. （2）区域、单连通、多连通区域的判断2. 解析函数（1）解析函数的概念：函数在区域内解析、函数在某一点解析、奇点。
（2）函数解析的判断：Cauchy-Riemann 条件、导数公式。
例 判断函数2(z)f x y ixy =+ 在何处可导？何处解析？例 找出函数的奇点 2sin (1)(z 1)e zz + ，(2)sin z e z π. （3）初等函数例 计算下列表达式的值()99312(1)e ,(2)ln 1i)i i π+++ . 3.级数（1）级数敛、散性的判断例 判断下列级数是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。
()()3211111222(1),(2),(3),,!n nn n n n n n i i in i n n n n ∞∞∞∞====+++∑∑∑∑（2）幂级数的收敛：Abel 定理、收敛半径例 计算幂级数的收敛半径()()()110(1)(1)1,(2),(3)312121!nn n n n n n i z z n z n n +∞+∞+∞===-++++∑∑∑. （3）函数的幂级数展开：Taylor 级数、Laurent 级数例 将函数在指定点展开成幂级数12321,0,1,1(z 1)z z z z ==-=+. 例 将函数在指定的圆环域内展开成Laurent 级数21(z),(1)12,(2)013,(3)2 3.(z 1)(z 2)f z z z =<<<+<->+- 4.复变函数的积分（1）基本积分公式:[](),()()()z z t t C f z dz f z t z t dt αββα=≤≤'=⎰⎰.例 计算复积分的值,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.（2）Cauchy 积分定理（单连通、多连通）、积分与路径无关、Cauchy 积分公式、高阶导数公式例 复积分299cos 12sin(z 1)(z 1)e zz dz =++⎰的值等于？ 例 计算复积分的值2,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.例 计算复积分()24cos (z )z z dz z i π=++⎰的值.（3）留数：孤立奇点的类型、极点的级数、孤立奇点处留数的计算（重点：m 级极点处留数的计算）、留数定理、利用留数计算复积分和定积分.例 判断下列函数的孤立奇点的类型，如果是极点请指明极点的级数.12100sin 1(1),(2),(3)e (1)z z z z e z z z+-+ 例 计算下列复积分的值 223211(1),(2)tan ,(3)sin z (z 1)1z z z z e z dz zdz dz z z π===-+-⎰⎰⎰ 例 计算下列定积分的值2240011(1),(2)2sin 1x dx dx x x π+∞+++⎰⎰ 二． 积分变换1.Fourier 变换（1）Fourier 的定义、Fourier 变换的计算、函数的Fourier 积分表达式、δ函数的筛选性.例 (),kt f t e k -+=∈R 计算函数的Fourier 变换[]()f t F. 例 2(t 2)e ?t dt δ+∞--∞-=⎰（2）Fourier 变换的性质：线性性质、平移性质、伸缩性质、对称性质、微分性质、积分性质及Paeseval 等式.例 计算Fourier 变换：12[]t te+-F . 例 计算积分2212dt t +∞-∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰ 的值. （3）卷积（Fourier 变换意义下）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理例 设20,0,sin ,0,(t),(t),00, t t t t f g e t π-<≤≤⎧⎧==⎨⎨≥⎩⎩其它.计算卷积(t)g(t)f *.place 变换（1） Laplace 变换的定义、计算.例 设3,02,(t)1,24,0, 4.t f t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩计算Laplace 变换[()]f t L .（2） Laplace 变换的性质：线性性质、微分性质、积分性质及位移性质. 例 计算Laplace 变换202[]tx xcos x dx e ⎰L ,22002[t ],[2]t t t x cos x dx e xcos xdx e⎰⎰L L . （3） 利用Laplace 变换计算定积分.例 计算定积分的值20sin (1)cos ,(2)x xx x xe dx dx xe +∞-⎰⎰. （4） 卷积（Laplace 变换意义）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理. 例 计算如下卷积(1)t cos2t,(2)sint cost,(3)e cos t t ***.。
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。
2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
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积分变换复习提纲（20学时）——基本内容
第一章Fourier变换
（-）目的与要求
1.熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；
2.了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义—频谱，卷积与卷积定理，单位脉冲函数的性质；
3.掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法，Fourier变换与逆变换的性质。
（二）教学内容
第一节Fourier积分
1.主要内容：傅里叶积分。
2.基本概念和知识点：Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
3.问题与应用（能力要求）：熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
第二节Fourier变换
1.主要内容：傅里叶变换。
2.基本概念和知识点：傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，
Fourier变换的物理意义一频谱。
3.问题与应用（能力要求）：理解傅里叶变换及其逆变换的概念，了解单位脉冲
函数的性质，Fourier变换的物理意义一频谱:
第三节Fourier变换的性质
1.主要内容：傅里叶变换的性质。
2.基本概念和知识点：傅里叶变换的性质。
3.问题与应用（能力要求）：掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换
与逆变换的求法。
第四节卷积与相关函数
1.主要内容：卷积与相关函数。
2.基本概念和知识点：卷积与相关函数的概念，卷积定理。
3.问题与应用（能力要求）：了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。
第五节Fourier变换的应用
1.主要内容：Fourier变换的应用。
2.基本概念和知识点：微分方程的Fourier变换解法。
3.问题与应用（能力要求）：掌握一些微分方程的Fourier变换解法。
（三）课后练习
习题一2g； 3n.3）; 4：习题二1；3“； 7； 9： 12；习题三2； 3； 4； 7； 8；10； 112）.0 6）.8〉；习题四16）8）； 2； 5a）0 5） 6）o 习题五1: 2； 32）；
4：） o
第二章Laplace变换
（―）目的与要求
1.理解Laplace变换及其逆变换的概念，熟悉拉氏变换的存在定理；
2.了解Laplace变换与Fourier变换的区别，周期函数的Laplace变换公式，拉氏反演积分，卷积的概念与卷积定理；
3.掌握Laplace变换的性质及用Laplace变换的性质求一些函数的Laplace变换，用留数求像原函数的方法，一些微分方程的拉氏变换解法。
（二）教学内容
第一节Laplace变换的概念
1.主要内容：拉普拉斯变换的概念。
2.基本概念和知识点：Laplace变换及其逆变换的概念，拉氏变换的存在定理,
Laplace变换与Fourier变换的区别。
3.问题与应用（能力要求）：理解Laplace变换及其逆变换的概念，拉氏变换的
存在定理，了解Laplace变换与Fourier变换的区别。
第二节Laplace变换的性质
1.主要内容：拉氏变换的性质。
2.基本概念和知识点：拉氏变换的性质。
3.问题与应用（能力要求）：掌握Laplace变换的性质及用Laplace变换的性质
求一些函数的Laplace变换。
第三节Laplace逆变换
1.主要内容：Laplace逆变换。
2.基本概念和知识点：拉氏反演积分，用留数求像原函数。
3.问题与应用（能力要求）：了解拉氏反演积分，掌握用留数求像原函数: 第四节卷积
1.主要内容：卷积。
2.基本概念和知识点：卷积的概念与卷积定理。
3.问题与应用（能力要求）：理解卷积的概念与卷积定理，掌握用卷积求Laplace
逆变换。
第五节Laplace变换的应用
1.主要内容：拉氏变换的应用。
2.基本概念和知识点：微分方程的拉氏变换解法。
3.问题与应用（能力要求）：掌握一些微分、积分方程的拉氏变换解法。
（三）课后练习
习题—'11) .3). 5). 7) ? 42)..1):习题一1：). 4). 6). 8) .10)；
2).4)；52).4} .6) .8) .10)；
习题二21).3) .5) .7) .9) ； 32).4} .6) .8)；习题四lj) .4} .6) ； 2；习题五
6?).4} .6) .8)；
积分变换复习提纲(20学时)一一基本公式一、傅里叶变换的概念
F~] [ F(<y)] = — J F(co)e ia,dco = f(t)
二、儿个常用函数的傅里叶变换
F[f(/)]=—>其中(单边)指数衰减函数e(t) = < 0 +沟
F["(/)] = — + 加(劲j3
F[J(z)] = l
F[l] = 2 丹(e)
三、傅里叶变换的性质
位移性(时域)：= F[f(t)]
位移性(频域)：凡严丁⑴]=F(K-)|_._M.=F(w-%)
位移性推论：F[sin vv()r/(Z)]=丄[F(w_ %)- 尸3+ %)] 2丿
位移性推论：F[cosw o r/(r)] = l[F(w-iv0) + F(w+%)]
厶
微分性(时域)：F[f(t)] = (jw)F(w) (pp-foo,/⑴ TO),
F[f ”>(/)] =(用)"F(叨，W TP,f i(/) TO 微分性(频域)：FK-jt)f (/)] = FXw),F[(-j7)V(/)J = F(H,(vv)
i w
相似性：F[f(at)] = -F(-)(g0)(略)
四、拉普拉斯变换的概念
五、儿个常用函数的拉普拉斯变换。