北京林业大学复变函数与积分变换结课论文
北京林业大学复变函数与积分变换结课论文
复变函数与积分变换结课论文题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：学号：姓名：班级：学院：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用摘要拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。
它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。
本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。
关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程一、拉普拉斯变换的概念及其性质1.1问题的提出我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。
但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。
虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。
[1]对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数tβ-e（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。
1.2拉普拉斯变换的定义当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。
复变函数结课论文
学院：工学院班级：电气10-1姓名：乔林翰学号：101054118 指导老师：王学顺2011年11月19日北京林业大学工学院电气10-1 乔林翰学号：101054118关键词：傅里叶级数，傅里叶变换，三角级数，周期函数。
摘要：为了研究周期函数，我们可以将其展开为傅里叶级数的形式。
将变为傅里叶级数有利于研究函数在实际中的分析。
此处，我们将以阶跃信号为例，讨论信号的傅里叶级数与傅里叶变换。
正文：1.傅里叶级数在客观世界中，许多运动是周期性的，我们通常用周期函数的形式来描述这些函数，其中最简单的一类就是正弦函数（以简谐运动为例，我们用y=Asin（t+ɸ）对其进行描述，在上式中T（周期）=2/。
y为动点的位置，A为振幅，为角频率，ɸ为初相。
）因此我们就想，是否可以利用n多个正弦函数的叠加来表达相对复杂的周期函数。
非常自然的，我们想到了级数，具体说来就是我们有,很多以T为周期的正弦函数sin（n t+），将这n个正弦函数相加，就构成了可以描述较复杂周期函数f（x）的级数（）利用数学手段，我们可以对它进行变化，使之成为我们容易利用的形式:（）=sin cosn t+cos sinn t令=，=sin=cos，则有此为函数展开的三角级数形式。
在区间]正交，即三角函数系(1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,···cosnx, sinnx···)中任意不同两函数的乘积在区间]上的积分等于0：1.(n=1,2,3,···)2(n=1,2,3,···)3.(k,n=1,2,3,···)–4.(k,n=1,2,3···，k) –5.(k,n=1,2,3,···，k)证明此处省略。
在三角函数系中，两相同函数的乘积在区间的积分不为零。
“复变函数与积分变换”教学改革的几点思考
程应 用 ， 培养 学 生 的数学 素质 ， 高其 数学 认 知能 提
力 和应用 数 学知 识 解 决 实 际 问题 的能 力 ， 养 学 培 生 的创新 意 识 ， 高 学 生 的综 合 素 质 。该 课 程 的 提
程相 结合 的新 路 子 。这 样 ， 定 一个 较 为 详 细 的 制
教学 大纲 就显 得尤 为必 要 了 。该 大 纲需 明确 规定
每节课 的 内容 及要 求 ， 出重点 与难 点 ， 有 教师 指 并
每节课 授课 大 体 时间表 ， 后安排 班 级试用 ， 过 之 通 试 用 效果 和学 生 的反 映来对 每次 课 的教学 计划 进
许 多理论 与 方法 在其 他 自然科 学 和各 种工 程领 域 特别 是信 号 处理 以及 物理 学等 研究 方 面有 着广 泛
本 课程 的数 学 基 础 知识 ， 且 通 过 对 实 际 问题 的 而
具 体分 析 ， 引导 学 生 从 纯 数 学 的 学 习 转 变 到数 学 与 实 际 问题 的紧 密结 合 ： 方 面使 学 生 掌握 复变 一
函数 与积分 变 换 的基 础 理 论 和方 法 ， 为学 习有 关
程需 要 用时 又要 从 头 学起 （ 乎每 一 年 都 可 以 听 几 到这 样 的反馈 信 息 ）重 复 性 较 大 ， 加 了很 多课 ， 增 时 。教材 没有 真 正使 专业 课 和专业 基础课 中所涉
分变 换 ” 课程 本 身 的理 论 性 又 是极 强 的 了 。所 以
要使 学 生喜 爱这 门课 程 ， 师 必 须 从 第 一 节课 开 教
［ 者简介 ］王淑艳 （９ ８一） 山东人 ， 作 １７ ， 东北农业大学理学 院副教授 ， 在读博士 ； 研究方 向： 生态数学 、 农业经济管理
复变函数与积分变换论文 电子信息
(3)求方程的全解
Y(0)=A+B+1/3=1
解得A=5/2,B=-11/6
拉氏变换方法
由本例题可以看出经典方法和拉氏变换方法都能解决连续信号系统的零输入响应、零状态响应、完全响应方面的问题。经典方法做题，思路比较简单，容易想出办法，但是计算比较繁琐，容易出错。用拉氏变换方法思路上稍显麻烦，但是计算要简单得多，减少了错误发生的概率。如果微分方程右边激励项较复杂，用经典方法就难以处理，用拉氏变换方法将数学模型转化为代数式，做起来就显得容易很多，既明了又简洁。如果激励信号发生变化，用经典方法做，就需要全部重新求解，相对与拉氏变换就麻烦得多。如果初始信号发生变化，用经典方法做题要全部重新求解，相当复杂。经典方法是一种纯数学的方法，无法突出系统响应的物理概念。拉氏变换相对的能够突出系统响应的物理概念。具体用哪种方法做题还得依题而论，如果题目比较简单，激励信号不发生变化，初始条件不发生变化，就用经典方法做题，因为经典方法思路比较简单，方法比较好想，减少了做题的时间，如果题目比较复杂，或者激励信号，初始条件发生变化，就用拉氏变换方法，做题步骤简单，节省时间，又减少了错误发生的概率。
由于篇幅有限，本文介绍的复变函数与积分变换中与解决本专业的问题只是冰山一角。在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅要作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中，对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用，因此，复变函数与积分变换课程的学习，有助于我们创新思维能力的训练和培养，培养我们运用基本理论和方法，解决实际问题的意识，兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变化换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定势，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。
复变函数与积分变换结业论文
基于matlab对复变函数与积分变量的研究姓名：徐庆学号：101044113单位：北京林业大学工学院自动化10-1内容摘要：《复变函数与积分变量》这门课程作为自动化专业的专业基础课程，对于后继课程有着极其重要的意义，但在学习过程中，很多量的求解需要繁琐的计算步骤与复杂的计算过程。
同时，作为一种抽象的函数，复变函数一般来说很难用具体图像来描绘其信息。
Matlab作为一款功能强大的科学计算软件，利用一些编程语句可以很轻松的解决上述问题。
例如，利用matlab可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。
更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。
在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。
在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。
在编程化的语句中，可以对同一类的问题进行统一的解决。
关键字：复变函数积分变量matlab语句运算结果目录1 matlab在复常数中的应用 (4)1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算 (4)1.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算 (5)1.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算 (7)2.利用matlab对函数进行泰勒级数展开 (8)3 matlab在留数和积分中的应用 (9)3.1利用matlab计算复变函数的留数 (9)3.2在matlab中，利用留数定理求解复变函数的积分 (10)4 利用matlab对信号做傅氏、拉氏变换 (11)4.1 利用matlab对信号做傅里叶变换 (11)4.2 利用matlab对信号做拉普拉斯变换 (13)5 利用matlab绘制复变函数 (14)1 matlab在复常数中的应用1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算在matlab中，生成复数的形式分为两种：代数形式（如z=x+y*i）与指数形式（如z=r*exp(theta i)，其中r为模长，theta为幅角的弧度值）。
复变函数论文
复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。
由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。
文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。
关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。
1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。
复变函数与积分变换总结_1
复变函数与积分变换总结_1复变函数与积分变换总结_11.复变函数复变函数是定义在复数域上的函数。
和实变函数类似，复变函数也具有实部和虚部。
复变函数有很多重要的性质和定理，以下是其中的一些重要内容：（1）柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实变函数，它们分别表示f的实部和虚部。
如果f在局部有定义且可导，则f满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
这个方程是复变函数可导的充分必要条件。
（2）柯西积分定理：柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理，它表示若f是一个在区域D上解析的函数，则对于D内任意闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。
这个定理说明，对于解析函数来说，沿着闭合曲线的积分值为0。
（3）柯西积分公式：柯西积分公式是复变函数理论中的另一个重要定理，它给出了在解析函数上对闭合曲线上的导数的表达式。
设f是D内的解析函数，z0是D内任意一点，且C是以z0为中心的一条简单闭曲线，且完全在D内，则有f(n)(z0)=n!/2πi∮C(f(z)/(z-z0)^(n+1))dz，其中n为正整数，f(n)(z0)表示f的n次导数在z0处的值。
2.积分变换积分变换是将一个函数通过其中一种数学变换转换为另一个函数的过程，常用的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。
（1）傅里叶变换：傅里叶变换是将一个时间域上的函数转换为频域上的函数。
对于一个函数f(t)，它的傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω是频域上的变量。
傅里叶变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
（2）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个时间域上的函数转换为复平面上的函数。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复平面上的变量。
拉普拉斯变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
拉普拉斯变换在控制系统、信号处理等领域具有重要应用。
关于《复变函数与积分变换》课程的几点教学思考
47关于《复变函数与积分变换》课程的几点教学思考崔晓梅（吉林化工学院 吉林吉林 132022）摘要：针对复变函数与积分课程的重要性，提出几点教学思考。
通过培养学生兴趣、优化教学内容、增加实验提高动手能力和让学生参与教学等方面提高课程的教学效果。
ꢀ关键词：复变函数与积分变换；实验教学；兴趣ꢀ复变函数与积分变换是高校工科某些专业的一门基础必修课，很多课程如工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统与自动控制等等都以复变函数与积分变换为先修课，电工信号等课程更要大量用到积分变换的知识。
而传统的以教师讲课为主的教学中，学生普遍反应难度较高，每节课的授课量较大，教学效果受到极大的制约。
因此教师迫切的需要以现代教研理论为指导，积极尝试新型教学方法、模式，不断优化教学内容，才能激发学生的学习兴趣，建立学生学习的信心，提高学生分析问题、解决问题的能力。
一、培养学生对课程的兴趣无论是什么课程，无论多好的教学模式和老师，首先都应该让学生产生兴趣，因为兴趣是最好的老师。
首先我们应该在第一次课的时候，让学生对复变函数与积分变换有一个正确的认识，让他们觉得这门课有意思、有用，学不好会影响后面专业课程的学习，而不是对一门数学课程的畏惧。
应该给学生讲讲它的背景，发展史等，尤其书上涉及到的重要定理的历史及数学家的故事，如柯西、黎曼等，通过历史故事使学生对定理内容产生好奇心，同时激发了学生的学习兴趣，为后继内容的讲解奠定基础。
在教学过程中渗入课程的应用激发学生兴趣。
复变函数的魅力还在于它广泛的应用。
不仅在数学领域的许多分支用到复变函数的理论，在许多工程领域也大量用到复变函数知识。
在讲共形映射时，可以向学生介绍俄国的茹科夫斯基在设计飞机时，如何通过共形映射研究机翼外部的绕流问题，计算出飞机机翼剖面压力，从而解决了机翼的造型的例子。
如此知识的讲解更加生动有趣，同时培养了学生综合应用的能力。
二、针对不同专业需求优化教学内容以往复变函数与积分变换，我们采用统一教材，相同的授课计划，对不同专业对课程需求差异性没有做深入的思考。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复变函数与积分变换结课论文题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：学号：姓名：班级：学院：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用摘要拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。
它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。
本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。
关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程一、拉普拉斯变换的概念及其性质1.1问题的提出我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。
但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。
虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。
[1]对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数tβ-e（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。
1.2拉普拉斯变换的定义当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。
（s=β+jω）[2] 我们称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换（或称为像函数），记为F(s)= )]([t f L 。
相反的，从F(s)到f(t)的对应关系称为拉普拉斯逆变换（或称为像原函数）。
即)]([)(1s F L t f -=.1.3拉普拉斯变换的性质1、线性性质[3]设α、β为常数，且)()]([),()]([s G t g L s F t f L ==，则有 0()()st F s f te dt +∞-=⎰()12(1)[()]()(0)(0)(0).n n n n n L f t s F s s f s f f ---'=----).()()]()([),()()]()([1-t g t f s G s F L s G s F t g t f L βαβαβαβα±=±±=±2、相似性质[4]设),()]([s F t f L =则对任一常数a>0有),(1)]([asF a at f L =3、微分性质①导数的像函数设),()]([s F t f L =则有 ),0()()]([‘f s sF t f L -= 一般地，有 其中，)0()(k f应理解为)()(0lim t f k t +→.特殊地，有).0(')0()()](''[2f sf s F s t f L --= ②像函数的导数设),()]([s F t f L =则有 )],([-)('t tf L s F = 一般地，有)].([-1)()((n))（t f t L s F n n =4、积分性质[5]①积分的像函数设),()]([s F t f L =则有 ),(1])([0s F st f L t=⎰一般地，有 ).(1])([次s F sdt t f dt dt L nn tt t =⎰⎰⎰1212()()()().f t f t f f t d τττ+∞-∞*=-⎰②像函数的积分设),()]([s F t f L =则有 ],)([)(tt f L ds s F s=⎰∞一般地，有].)([)(次n n s s s t t f L ds s F ds ds =⎰⎰⎰∞∞∞5、延迟性质设),()]([s F t f L =当t<0时,0)(=t f 则对任一非负实数τ有).()]-([s F e t f L s ττ-=6、位移性质设),()]([s F t f L =则有 )()]([a s F t f e L at-= (a 为一复常数). 7、周期函数的像函数[6]设)(t f 是),0[+∞内以T 为周期的函数，且)(t f 在一个周期内逐段光滑，则.)(11)]([0⎰---=TstsTdt e t f e t f L 8、卷积与卷积定理[7]①卷积我们已知两个函数的卷积是指如果，则有0)()(时，0满足当)(与)(2121==<t f t f t t f t f .)()()()()()(212012-1τττττττττd tf f d t f f d t f f t-=-=-⎰⎰⎰+∞+∞∞即，.）0（,)()()(*)(02121≥-=⎰t d tf f t f t f tτττ②卷积定理设则有),()]([),()]([2211s F t f L s F t f L == ).(*)()](*)([2121s F s F t f t f L = 二、利用拉普拉斯变换求解微分方程（组）利用拉普拉斯变换求解微分方程大致分为三个步骤：（1）对关于y 的微分方程（连同初始条件在一起）进行拉氏变换，得到一个关于像函数Y(s)上午代数方程，称为代数方程； （2）解像函数方程，得像函数Y(s)；（3）对像函数Y(s)作拉普拉斯逆变换，得微分方程的解。
2.1解常系数线性微分方程[8]（1）初值问题例：求解初值问题.1)0()0(,34''''===++-y y e y y y t。
解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,11)(3)]0()([4)]0()0()(['2+=+-+--s s Y y s sY y sy s Y s 结合初始条件，有,11)(3]1)([4]1)([2+=+-+--s s Y s sY s s Y s 整理展开成部分分式，有,3143)1(1211147)3()1(66)(222+⋅-+⋅++⋅=++++=s s s s s s s s Y 由拉普拉斯变换函数表,]1[1t e s L λλ=--可知,]11[1t e s L -=+-.]31[31t e s L -=+- 由拉普拉斯变换函数表,]1(1[21t te s L -=+- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为].3)27[(41432147)]([)(331t t t t t e e t e te e s Y L t y -------+=-+== （2）边值问题例：求解边值问题.1)2(,0)0(,0'''===-πy y y y 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,0)()]0()0()(['2=---s Y y sy s Y s结合初始条件，有,0)()]0()(['2=--s Y y s Y s整理展开成部分分式，有),1111(21)0(1)0()('2'+--=-=s s y s y s Y由拉普拉斯变换函数表,]1[1t e s L λλ=--可知,]11[1te s L =--.]11[1t e s L -=+-对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为.sinh )0())(0(21)]([)(''1t y e e y s Y L t y t t =-==-- 为了确定)0('y ，将条件1)2(=πy 代入上式可得,2sinh 1)0('π=y所以，方程的解为.2sinh sinh )(πtt y =2.2解常系数线性微分方程组例：求解常微分方程组.1)0()0(,223,''==⎩⎨⎧=-+=-+y x e y x y e y x x tt 解：设)],([)(t y L s Y =对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+--=-+-.12)(2)(3)0()(,11)()()0()(s s Y s X y s sY s s Y s X x s sX 结合初始条件，整理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+-=-+.11)()2()(3,1)()()1(s s s Y s s X s s s Y s X s 解该方程组，可得,11)(-=s s X 取其逆变换，可得原方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧==.)(,)(tte t y e t x 2.3解某些变系数微分方程[9]例：求解变系数微分方程.(,)0(,1)0(,0200''''为常数）c c y y ty y ty ===++解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,0][][2]['''=++ty L y L ty L即,0][4][]['''=++ty L y L ty L亦即,0)()]0()([2)]0()0()(['2=--+---s Y dsdy s sY y sy s Y s ds d 两边积分可得,0)()]0()([2)]0()()(2[2=--++--s Y dsdy s sY y s Y ds d s s sY 结合初始条件，有,0)(]1)([2]1)()(2[2=--++--s Y ds ds sY s Y ds d s s sY 整理可得,11)s (2+-=s Y ds d两边积分可得,arctan )(c s s Y +-=欲求待定系数c,可利用0)(lim =∞→s Y s ，所以从2π=c ，即ss s Y 1arctan arctan 2)(=-=π， 由拉普拉斯变换函数表,sin 1][arctan 1at t s a L =-可知.sin 1][arctan 1t t s L =-对方程两边同时求反演，可得方程的解为.sin 1)]([)(1t ts Y L t y ==-2.4解某些微分积分方程[10]例：解方程.)cos()(2-sin )(⎰-=td t y t t y τττ解：将方程两边取拉氏变换，并根据卷积定理得像函数方程为1)(211)(22+-+=s ss Y s s Y 11)()121（22+=++s s Y s s 解像函数，可得2)1(1)(+=s s Y 取拉氏逆变换，可知t te t y -=)(.三、总结：由于阅读文献和研究能力有限，这里只简单总结出了常微分方程（组）的一般解题规律。