(完整版)(整理)第七章空间解析几何

第七章空间解析几何与向量代数内容概要习题7-1★★1．填空：（1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥（2） 要使b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向★2．设c b a v c b a u-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-知识点：向量的线性运算解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点R 在线段PQ 上，且nmRQPR =，证明点R 的向径为 n m m n+=+r r r 12知识点：向量的线性运算证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=nm mn m m ，∴nm m n n m mPR OP OR++=-++=+=22r r r r r 111)(★★4．已知菱形ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。

知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形，∴=（自由向量），∴222AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=⇒=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b aa b ∴2b a +==，2DA +=-u u u r a b★★5．把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点A 连接，试以a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。

知识点：向量的线性运算 解：见图7-1-5，根据三角形法则，)51(51 ,11111a c +-=-=⇒==+AD A D BC BD AD BD AB 同理：)54( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=D D D习题7-2★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(2 , 2 , 3)A -； 5) , 3 , 3(-B ； )4 , 2 , 3(--C ； 2) , 3 , 4(--D答：(2 , 2 , 3)A -在第四卦限，5) , 3 , 3(-B 在第五卦限，)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限，2) , 3 , 4(--D 在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点A 在xoy 坐标面上；B 在yoz 坐标面上；C 在x 轴上；D 在y 轴上。

★3．求点a b c (,,)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。

答：（1）a b c (,,)关于xoy 面的对称点的坐标为),,(c b a -；关于xoz 面的对称点的坐标为),,(c b a -；关于yoz 面的对称点的坐标为),,(c b a -。

（2）a b c (,,)关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --（3）a b c (,,)关于原点的对称点的坐标为),,(c b a ---★★4．过点P x y z 0000(,,)分别作平行于z 轴的直线和平行于xoy 坐标面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？答：过点P x y z 0000(,,)平行于z 轴的直线上的点x 、y 坐标一定为00,y x ，因此坐标为x y z 00(,,)；过点P x y z 0000(,,)平行于xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为0z ，因此坐标为x y z 0(,,) ★5．求点M -(5,3,4)到各坐标轴的距离。

解：∵),,(z y x M 到x 轴的距离为22y z +∴M -(5,3,4)到x 轴的距离为516922=+=+y z ；同理M -(5,3,4)到y 轴的距离为41162522=+=+z x ；M -(5,3,4)到z 轴的距离为3492522=+=+y x★★6．在yoz 面上，求与三点A B C --(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)等距离的点。

知识点：空间两点的距离解：∵所求点在yoz 面上，∴设所求点的坐标为),,0(z y ，由条件可知：222222)1()5()2()2(16)2()1(9-+-=++++=-+-+z y z y z y⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=--=+⇒2164543z y z y z y ，∴所求点为)2,1,0(- ★7．已知两点M M -12(0,1,2),(1,1,0)，试用坐标表示式表示向量M M M M -u u u u u u r u u u u u u r 1212,2。

知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算解：}2 , 2,1{21--=M M ；}4 ,4 ,2{}2 , 2,1{2221-=---=-M M★8．求平行于向量=-a{6,7,6}的单位向量知识点：向量的坐标表示及代数运算解：平行于向量=-a {6,7,6}的单位向量有和a 同向和反向两个，∴}116 ,117 ,116{}6,7,6{3649361-±=-++±=±=a a a★★9．已知两点M M 12(3,0,2)，计算向量M M u u u u u u r12的模、方向余弦、方向角。

知识点：向量的坐标表示及代数运算解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：22cos ,21cos , 2121}1 , 2 , 1{21-=-==++=⇒--=βαM M 21cos =γ3, 43 , 32πγπβπα===⇒★★10．已知向量a 的模为3，且其方向角αγβ===o o 60,45，求向量a 。

知识点：向量的坐标表示及相关概念解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：}23,223,23{}3cos ,4cos,3{cos3}cos ,cos ,{cos ===πππγβαa a ★★11．设向量a 的方向余弦分别满足αβαβ====(1)cos 0,(2)cos 1,(3)cos cos 0问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？知识点：向量的方向余弦解：（1）0cos =α表示向量和x 轴正向夹角为2π，因此该向量和x 轴垂直，或平行于yoz 面 （2）1cos =β表示向量和y 轴正向夹角为零，因此该向量和y 轴平行且方向相同 （3）0cos cos ==βα表示向量和x 、y 轴正向夹角都为2π，说明该向量和x 、y 轴都垂直，因此平行于z 轴★12．已知=r r 4,与轴μ的夹角是o 60，求j μr Pr 。

知识点：向量在轴上的投影解：根据投影公式2),cos(Pr ==∧μr r r μj★★13．一向量的终点为B-(2,1,7)，它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为-4,4,7，求该向量的起点A 的坐标。

知识点：向量在坐标轴上的投影解：∵向量的坐标分量即为它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影，设起点A 为),,(z y x A ，则：)0 3, ,2(),,(}7 ,4 ,4{}7 ,1 ,2{-=⇒-=----=z y x z y x★★14．求与向量=-a{16,15,12}平行，方向相反，且长度为75的向量b 。

知识点：向量的坐标表示及代数运算解：由条件可得：b a λ=，b 长度为75，∴ 375121516222±=⇒=++±λλ∵b 和a 反向，∴3-=λ⇒b {48,45,36}λ=--a =，习题7-3★★1．设5 , 3==b a ，且两向量的夹角3/πθ=，试求)23()2(b a b a +⋅-。

知识点：向量的数量积及其运算规律解：根据数量积的运算规律：224623)23()2(b a b b a a b a b a -⋅-⋅+=+⋅-22443bb a a -⋅-=，∵103)23()2(215)cos(-=+⋅-⇒=⋅=⋅∧b a b a b a b a b a ★★2．已知(3,1,3)3,3,1),( ),2 ,1,1(321M M M -，求同时与3221 , M M M M 垂直的单位向量知识点：向量的向量积解：∵由向量积性质：b b a a b a ⊥⨯⊥⨯ ,，}2 ,2,0{ , }1{2,4,3221-=-=M M M M∴k j i kj i4462201423221--=--=⨯M M M M 为同时与3221 , M M M M 垂直的向量 ∴所求单位向量为}172 , 172,173{}2 ,2,3{2231222--±=--++±★3．设力k j i f 532+-=作用在一质点上，质点由1,1,2)(1M 沿直线移动到3,4,5)(2M ，求此力所做的功（设力的单位为N ，位移的单位为m ）知识点：数量积的物理意义解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。

位移为}3,3,2{21=M M ，∴)(10)332()532(21m N M M ⋅=++⋅+-=⋅=k j i k j i f W★4．求向量3,4)4,{-=a在向量2,2,1}{=b 上的投影。

知识点：向量在轴上的投影解：根据公式2),cos(Pr =⋅=⨯⋅==∧bba b a b a ab a a a b j 。

★★5．设2,1,4}{ , }23,5,{=-=b a，问λ与μ有怎样的关系能使b a μλ+与z 轴垂直？知识点：两向量垂直的充要条件解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取z 轴的单位向量)1,0,0{，则(){0,0,1}2402λμλμλμ+⋅=-+=⇒=a b★★★6．在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为1x 的点1P 处，有一与1成角1θ的力1F 作用着，在O 的另一侧与点O 的距离为2x 的点2P 处，有一与2OP 成角2θ的力2F 作用着，如图，问1θ，2θ，1x ，2x ，1F ，2F 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？知识点：向量积的物理应用解：1P 处1F 作用产生的力矩11F M ⨯=1，2P 处2F 作用产生的力矩22F M ⨯=2OP ，要使杠杆平衡，只要21M M =2211sin sin θθ21F F x x =⇒★★7．设j i c k j i b k j i a 2 , 3 , 32-=+-=+-=，求（1）b c a c b a )((⋅-⋅)； （2）)()(c b b a +⨯+； （3）c b a ⋅⨯)(知识点：向量运算的坐标表示解（1）}24 ,8 , 0{88)((--=-=⋅-⋅b c b c a c b a )（2）k j kj ic b b a--=--=-⨯-=+⨯+332443}3 ,3,2{}4 ,4,3{)()(（3）2}0 ,2,1{1} ,5 ,8{)311132()(=-⋅--=⋅--=⋅⨯c kjic b a★★★8．直线L 通过点2,1,3)(-A 和,2)1,0(-B 求点10,5,10)(C 到直线L 的距离。