圆锥曲线的切点弦方程培训资料

2011年江西高考一道试题解法的推广一圆锥曲线的切点弦方程

圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。

背景知识

I I 2 2 2

已知圆C:x y r r 0 ,点A x o,y o是圆C上一点，求以点A为切点的切线方程.

分析：易知以A x o, y o为切点的直线方程为：xx o yy o r2r 0

（2oii年江西高考理科第14题）

2 2 i

问题1：若椭圆笃爲1的焦点在x轴上，过点1,丄作圆x2 y21的切线，切

a b 2

点分别为A B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________ .

解：设A x1,y1 ,B x2, y2

•••点A B在圆x2 y21上,则

过点A为，屮的切线方程为L「X1X y1y 1.

过点B x2,y2的切线方程为L2: x2x y2y 1.

1 1 1

由于L1, L2经过点1, 则捲y1 1x y 1.

2 2 2

1

故刘，如,x2,y2均为方程x y 1的解。

1

经过A、B两点的直线方程AB : x — y 1 .

2

2 2

设椭圆务与1的右焦点为c,o，上顶点为o,b .

a b

由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。

K

c 1,- 1 即b 2

2

2,22

a b c 5

2 2

故椭圆方程为—1.

5 4

由此题的解题方法，可得到如下推广: 结论一：（圆的切点弦方程）

线MN 的方程为：ax by r 2.

x 2

问题2 :过椭圆一

4

2

y

1外一点P 1,2作椭圆的两切线，切点为M 、N 求直线MN

3

的方程.

1 a b 0外一点P X o ,y 0作椭圆的两切线，切点为

M 、N 则直线MN 的方程为：X

o 2X

耳 1

a b

2

问题3：过抛物线y 4x 外一点P 1, 2作抛物线两切线，切点分别为 M 、N , 求直线MN 的方程。

解：设 M 为，％ , N x 2, y 2

贝U 过

M 、N 的

切线方 程为

%y 2 x X 1 ,y 2y 2 x x ?

由于过M 、N 的切线都经过P 1, 2则 2y 1 2 X 1 1 ,2y 2

2 X 2 1

•••直线MN 的方程为 2y 2

X 1即X y 1

结论三：（抛物线的切点弦方程）

过抛物线y 2px p 0外一点P x 0, y 0作两切线，切点为 M 、N ，则直 线MN 的方程为yy 0 p x x 0

x_j

X %y 1,X 2X

1

4

3

4

3

由于两切线都过P 1,2， 则小

%y 1 ① X 2X y 2y

1 ②

2y . 4

3 4 3

x

N ，

所以直线MN 的方程为:

这两式表示直线 —

1经过M 、

4 3

N 的切线方程分别为;

结论二：（椭圆的切点弦方

程）

过圆x

y 2 r 2 r 0，外一点P a,b 作圆的两切线，切点为

M 、N ，则直

解：设 M ^,y 1 ,N x 2,y 2 则过 M 、

2 2

过椭圆冷厶

a 2

b 2

2 2

问题4 :过双曲线—

y

5 4

1外一点P 3,3作双曲线两切线，切点分别为求直线MN的方程。

解：设两切点的坐标为M x-\,y-\ , N x2, y2则两切线方程为

y i y1榔河

1，

54，54

由于两切线均过P3,3则

3X j3y i3x2

1, 2

3y2

5454

故X i, y i,X2,y2均为方

程

呈弐3y1的解，

54

则过M、N的直

线方程

为：

3x3y1

54

结论四：（双曲线的切点弦方程）

2 2

过双曲线务每1外一点P X o,y o作双曲线两切线，切点分别为

a b

N则直线MN的方程为：等罟「