圆锥曲线三种弦长问题
圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用
圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用
圆锥曲线弦长公式是指一种求解圆锥曲线弦长长度的数学公式。
圆锥曲线是常见的椭圆锥这类参数方程曲线，表示一条从圆柱面出发在四个方向上均呈轻微弯曲，伸展出不同长度的弦曲线，它具有如下表达形式：
X^2 + Y^2 + z^2 / a^2 + 2z / c = 1
其中a为曲线的椭圆截面半径，c为曲线的焦点到原点的距离。
此外，圆锥曲线的弦长公式又有两种表达形式：积分形式和解析形式。
即：
积分形式：l= ∫ a,b √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2+ (dz/dt)^2] dz
解析形式：l= 2a ∫ 0,π/2 [1+ (z/c)^2] ^1/2 d θ
这两种形式分别由圆锥曲线弦长公式参数方程求得，分别通过积分、解析解轴，分别求得弦长长度。
应用上，圆锥曲线弦长公式有各种广泛的应用。
它被冶金、机械、建筑等工程学科广泛使用，主要处理伸缩性有限的形状问题，满足测量要求及计算曲线的长度的需要。
同时，它还被广泛应用于地球物理学领域，一种可以变成圆锥曲线的小球轨迹，可以用来研究宇宙物质的运动规律。
总而言之，圆锥曲线弦长公式具有可探索性广泛的应用，对于求解圆锥曲线弦长长度具有重要意义。
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
高中数学圆锥曲线弦长公式
高中数学圆锥曲线弦长公式摘要：1.圆锥曲线概述2.圆锥曲线弦长公式的推导3.圆锥曲线弦长公式的应用4.提高解题效率的方法正文：在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等曲线。
弦长公式是圆锥曲线中的一个关键概念，掌握它对于解决相关问题具有很大的实用价值。
一、圆锥曲线概述圆锥曲线是由一个圆锥与一个平面相交而成的曲线。
根据圆锥的顶点、开口方向和截面形状，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
它们各自具有不同的性质和公式，但在求解弦长问题时，都可以利用相同的弦长公式。
二、圆锥曲线弦长公式的推导设直线与圆锥曲线相交于两点A、B，圆锥曲线的方程为y=f(x)。
根据两点间距离公式，弦长AB可以表示为：AB = √[(x1-x2) + (y1-y2)]为了求解弦长，我们需要先求出交点A、B的坐标。
将直线的方程y=kx+b代入圆锥曲线的方程，得到一个关于x的一元二次方程。
解这个方程，可以得到交点A、B的坐标。
三、圆锥曲线弦长公式的应用1.求解直线与圆锥曲线的交点坐标将直线的方程代入圆锥曲线的方程，解出交点坐标。
2.求解弦长利用求得的交点坐标，代入弦长公式，计算得到弦长。
3.求解其他相关问题利用求得的弦长，可以进一步求解其他问题，如弦的中点、弦的垂直平分线等。
四、提高解题效率的方法1.熟练掌握圆锥曲线的性质和公式熟练掌握圆锥曲线的性质和公式，有助于快速解决相关问题。
2.善于运用整体代换、设而不求的思想在解决圆锥曲线问题时，善于运用整体代换、设而不求的思想，可以简化运算过程。
3.多练习、多总结通过多练习，熟练掌握解题方法；通过多总结，不断提高解题效率。
总之，掌握圆锥曲线弦长公式，能够帮助我们解决圆锥曲线相关问题。
直线与圆锥曲线的弦长公式
直线与圆锥曲线的弦长公式
直线与圆锥曲线的弦长公式指的是通过直线和圆锥曲线两点间的弦长计算公式。
对于圆锥曲线来说，其弦长的公式是根据椭圆、双曲线和抛物线的不同方程来确定的。
具体公式如下：
1. 椭圆的弦长公式：
设椭圆的两点分别为P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则它们之间的弦长为：
L = 2a * sin[(Δθ)/2]
其中a为椭圆的半长轴，Δθ为两点在椭圆上的夹角。
2. 双曲线的弦长公式：
设双曲线的两点分别为P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则它们之间的弦长为：
L = 2a * sinh[1/2 * arcosh（(x2-x1)/2a）]
其中a为双曲线的半参数。
3. 抛物线的弦长公式：
设抛物线的两点分别为P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则它们之间的弦长为：
L = [(x2-x1)^2 + (y2+y1)^2]^(1/2)
以上是直线与圆锥曲线的弦长公式。
求解圆锥曲线的弦长公式的推导过程
圆锥曲线的弦长公式是：L=2π√(R^2+r^2)/2-Rr 。
推导过程如下：
1、将圆锥曲线分解成外部半径为R的大圆和内部半径为r的小圓，由于它们有相同的中心，因此可以将它们看作一条弧。
2、根据余弦定理可得出大圆和小圓之间的夹角θ=cos-1((R-r)/d) （d表示大小圓之间的距离）。
3、根据三角形周长公式可得出该三角形周长L=a+b+c （a,b,c分别表示大小圓之间夹边所对应的三条弦）。
4、由于该三角形是一个平行四边形中心旁切剖而成，因此有a=b=c=(R+r)sinθ/2
（sinθ/2表示斜对边所对应的半径所成外劈边所对应的斜对辰～也就是说斜对辰也是一条直径~ 就能通过上述方法将原始问题化整个思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~~). 5、将上述步骤代入L = a + b + c , 即 L = 2 ( R + r ) sin θ / 2 . 6、根据正弦定理sin θ = 2 sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) , 就可以将L = 4 R r cos ( θ / 2 ) . 7、再根据余弦定理cos ( θ / 2 ) = √ [ 1 - sin ^ { 2 } ( θ / 2 )] , 最后便可得出L = 4 R r √ [ 1 - ( R - r d ) ^
{ 2 } ] . 8. 最后化整即L = 4 π √(R^2+r^2)/4-Rr。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB .解：连结B F A F 22,，设y B F x A F ==11,，由椭圆定义得y a B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=⋅⋅-+α，整理可得αcos 2⋅-=c a b x ，同理可求得αcos 2⋅+=c a b y ，则ααα222222cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=⋅++⋅-=+=；同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α2222sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）.结论：椭圆过焦点弦长公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=).(sin2),(cos222222222轴上焦点在轴上焦点在ycaabxcaabABαα二、双曲线的焦点弦长设双曲线(),0,012222>>=-babyax其中两焦点坐标为)0,(),0,(21cFcF-，过F1的直线l的倾斜角为α，交双曲线于两点()(),,,,2211yxByxA求弦长|AB|.解：（1）当ababarctanarctan-<<πα时，（如图2）直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连BFAF22,，设,,11yBFxAF==，由双曲线定义可得ayBFaxAF2,222+=+=，由余弦定理可得222222)2()cos(22)2(,)2(cos22)2(aycycyaxcxcx+=-⋅⋅-++=⋅⋅-+απα整理可得αcos2⋅+=cabx，αcos2⋅-=caby，则可求得弦长;cos2coscos222222αααcaabcabcabyxAB-=⋅-+⋅+=+=（2）时或当παπα<<-<≤ababarctanarctan0，如图3，直线l 与双曲线交点()()2211,,,y x B y x A 在两支上，连F 2A,F 2B,设,,11y B F x A F ==则a y B F a x A F 2,222-=+=，由余弦定理可得222)2(cos 22)2(a x c x c x +=⋅⋅-+α,222)2(cos 22)2(a y c y c y -=⋅⋅-+α,整理可得，则,cos ,cos 22a c b y a c b x -⋅=+⋅=αα .cos 2cos cos 222222a c ab a c b a c b x y AB -⋅=+⋅--⋅=-=ααα因此焦点在x 轴的焦点弦长为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≤--<<-=).arctan arctan 0(cos 2),arctan (arctan cos 222222222παπααπααa b a b ac ab a ba b c a ab AB 或 同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-<<-<≤-=).arctan (arctan sin 2),arctan arctan 0(sin 222222222a b a b a c ab a ba b c a ab AB πααπαπαα或 其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角. 三、 抛物线的焦点弦长若抛物线)0(22>=p px y 与过焦点)0,2(pF 的直线l 相交于两点()()2211,,,y x B y x A ，若l 的倾斜角为α，求弦长|AB|.（图4）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线三种弦长问题的探究
一、一般弦长计算问题：
例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y
l a b
-=被椭圆C 截得的弦长为
且3
e =
，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.
思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.
解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为22
8a b +=，………①
又e =，即2223
c a =，所以22
3a b =………………………….②
联立①②得2
2
6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22
162
x y +=.
⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2
51860x x -+= 由韦达定理知，1212186
,55
x x x x +==
从而125
x x -=
=
，
由弦长公式，得12AB x =-==，
即弦AB 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数2
2
,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题：
例2、过点()4,1P 作抛物线2
8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦
AB 的长度。
思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦
的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，
则有22
11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-
又12128,2x x y y +=+= 则21
21
4y y k x x -=
=-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=.
解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+
由()2418y k x y x
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，整理得2
83280ky y k --+=.
设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128
y y k
+=， 又∵P 是AB 的中点，∴
1212y y +=，∴8
24k k
=⇒= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=.
由241508x y y x
--=⎧⎨=⎩ 整理得，2
2300y y --=，则12122,30y y y y +==-
有弦长公式得，
122
AB y =-=. 点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是
利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l
的方程为： )2y x =-，
代入椭圆
C 的方程)
22216
2y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简得，2
51860x x -+=
由韦达定理知，1212186,55
x x x x +=
= 由2l 过右焦点，有焦半径公式的弦长为(
)122AB a e x x =-+=
即弦
AB 点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点
弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.。