解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
总论：常用的八种方法
1、定义法
2、韦达定理法
3、设而不求点差法
4、弦长公式法
5、数形结合法
6、参数法（点参数、K 参数、角参数）
7、代入法中的顺序
8、充分利用曲线系方程法
七种常规题型
（1）中点弦问题
（2）焦点三角形问题
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题
常用的八种方法
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法
解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
（1）)0(122
22>>=+b a b
y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有
02
20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有
020
20=-k b
y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率)
4、弦长公式法
弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2
0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·|
|12a k △
·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法
解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来
考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2
+y 2
”,令
d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“
23+-x y ”，令2
3
+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……
6、参数法
（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y 1-1,y 1） （2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 7、代入法中的顺序
这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
八、充分利用曲线系方程法
一、定义法【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________
(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,为 。
分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，2）
连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时AF 的方程为
)1(13024---=
x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(2,2
1
-)，
它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（
1,4
1
） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=
41，∴Q(1,4
1) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例2、F 是椭圆13
42
2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。
（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：（1）4-5
设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '
542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 （2）作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2
1， ∴PH PF PH PF ==
2,2
1
即 ∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142
=-=-A x c
a 例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,轨迹方程。
分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：图中的A 、M 、C 共线，B 、D 、M 共线）径”（如图中的MD MC =）。
解：如图，MD MC =，
∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA （*）
∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2
=15轨迹方程为
15
162
2+y x 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2
2
2
2
=+-+++y x y x ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=
5
3
sinA,求点A 的轨迹方程。 分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=
53sinA 2RsinC-2RsinB=53
·2RsinA ∴BC AC AB 5
3
=-
即6=-AC AB （*）
∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为
116
92
2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x 12)，B(x 2，X 22)，又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M 到x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点M(x 0，y 0)
则?????=+=+=-+-0
2
2210
212
2221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9
即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9
∴2
2
00419
44x x y +=
-， 11
49)14(49442
02
0202
00-+++=+
=x x x x y ≥,5192=- 4
5
0≥
y 当4x 02+1=3 即 220±
=x 时，4
5
)(min 0=y 此时)45,22(±
M 法二：如图，222+=AA MM ① ② ③
∴232≥
MM ， 即2
3411≥+MM ， ∴4
5
1≥
MM ， 当AB 经过焦点F 时取得最小值。 ∴M 到x 轴的最短距离为
4
5 点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x 1，x 2，从而形成y 0关于x 0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A 、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点F ，而且点M 的坐标也不能直接得出。
二、韦达定理法【典型例题】
例6、已知椭圆
)52(11
2
2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A 、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样C 在椭圆上，D “投影”到x 轴上，立即可得防
()(22)(2)()(D A B C D A B x x x x x x x m f ---=---= )()(2D A C B x x x x +-+=
)(2C B X x +=
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
解：（1）椭圆
11
2
2=-+m y m x 中，a 2=m ，b 2=m-1，c 2=1，左焦点F 1(-1,0) 则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0 得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0
设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-
)52(1
22≤≤-m m m
1
2222)()(2)()(2)(2121-?
=+=+-+=---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B
（2）)1
21
1(2121122
)(-+=-+-=
m m m m f
∴当m=5时，92
10)(min =
m f 当m=2时，3
2
4)(max =
m f 点评：此题因最终需求C B x x +，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中
点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差，得
01
00=?-+k m y
m x ，将y 0=x 0+1，k=1代入得01100=-++m x m x ，∴1
20--=m m x ，可见122--=+m m x x C B 当然，解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现C B x x m f +=)(是解此题的要点。
三、点差法
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 1.以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆
14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642
222=+y x
两式相减得0)(4)(2
22
12
22
1=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x
∴
2
1
244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y
即21-
=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
1
1--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12
2
2
=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足
题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ，221=+y y
12212
1=-y x ，12
2
22
2=-y x
两式相减，得
0))((21
))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22
121
=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB
由?????=--=-12)
1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x
∴ 08324)4(2<-=??--=?
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆
1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2
1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
1
0=
x 12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752121=+x
y ，125
752
222=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴
212123
y x x y y -=--
32121=--=
x x y y k ∴ 3230=-y ，即2
1
0-=y
∴点M 的坐标为)2
1
,21(-。
例4、已知椭圆
125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则
x x x 221=+， y y y 221=+
又 125752121=+x
y ，125
752
222=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即
y
x
x x y y 32121-=--
32121=--=
x x y y k ∴33=-y
x
，即0=+y x
由???
??=+=+1257502
2x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
3
5235(0<<-
=+x y x 例1 已知椭圆2
212
x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .
则22
1112x y +=，（1）222212
x y +=，（2） ()()12-得：()2222
121202
x x y y -+-=，()1212121202x x y y y y x x +-∴++=-. 又12
121212
2,2,
2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.
弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）.
例2
直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2
:1f y x =+的相交弦
是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .
解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=
.
()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5
1
AB MN y k k x +∴==
-. 又()2
111y x =+，（1）()2
221y x =+，（2）
()()12-得：()
()()()2
2
12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，
12
1212
2AB y y k x x x x -∴=
=++-.
于是
5
221
y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为2
27y x =-（在已知抛物
线内）.
3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的
横坐标为
2
1
，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为12222=+b
x a y ，则502
2=-b a ┅┅①
设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则
210=
x ，2
1
2300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又122
122
1=+b x
a y ，122
222
2=+b
x a y 两式相减得0))(())((21212
21212
=-++-+x x x x a y y y y b 即0)()(212
212
=-+--x x a y y b
∴ 2
22121b a x x y y =
-- ∴ 322=b a ┅┅② 联立①②解得752
=a ，252
=b
∴所求椭圆的方程是
125
752
2=+x y 例3 已知ABC ?的三个顶点都在抛物线2
32y x =上，其中()2,8A ，且ABC ?的重心
G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.
解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共
线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是0
022812
82012
x y +?=??+?+?=??+，
解得0011
4
x y =??
=-?，()11,4M ∴-.
设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-.
又21132y x =，（1）2
2232y x =，（2）
()()12-得：()22121232y y x x -=-，1212123232
48
BC y y k x x y y -∴=
===--+-.
BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=.
例4 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的一条准线方程是1x =，有一条倾斜角为4
π
的
直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ??
-
??
?，求椭圆方程. 解 设()()1122,,A x y B x y 、，则12121
1,2x x y y +=-+=，且2211221x y a b +=，（1）
22
22221x y a b
+=，（2） ()()12-得：2222121222x x y y a b --=-，()()2212122212121
1
2
b x x y y b x x a y y a +--∴
=-=-?-+， 2
1221221AB
y y b k x x a
-∴===-，222a b ∴=，
（3） 又21a c
=，2a c ∴=，（4）而222
a b c =+，（5） 由（3），（4），（5）可得2
211
,24
a b ==， 所求椭圆方程为2211124
x y +=.
4.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦2
1P P 的中点，则12432
12
1=+y x ，12432
22
2=+y x 两式相减得，0)(4)(32
22
12
22
1=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x
x x x 221=+，y y y 221=+，
4
1
2121-=--x x y y
∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立??
?+==m x y x y 43，得???-=-=m
y m x 3 则必须满足22
433x y -<，
即2
2
4
33)3(m m -<，解得1313213132<<-m 5. 求直线的斜率
例5 已知椭圆
221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ??
???
与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .
（1）证 略. （2）解
128x x +=，∴设线段AC 的中点为()04,D y .
又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22
221259x y +=，（2） ()()12-得：
22221212259
x x y y --=-，
()()1212121200
99836
2525225x x y y x x y y y y +-∴
=-=-?=-
-+. ∴直线DT 的斜率02536DT y k =
，∴直线DT 的方程为()0
025436
y y y x -=-. 令0y =，得6425x =，即64,025T ??
???，∴直线BT 的斜率9
55644425
k -==-. 6. 确定参数的范围
例 6 若抛物线2
:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数
m 的取值范围.
解 当0m =时，显然满足.
当0m ≠时，设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为
()()1122,,P x y Q x y 、，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211y x =，
（1）2
22y x =，（2） ()()12-得：221212y y x x -=-，1212120
11
2PQ y y k x x y y y -∴=
==-+，
又1PQ k m =-
，02
m
y ∴=-. 中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上，()003y m x ∴=-，于是05
2
x =. 中点在抛物线2
y x =区域内
M 2
0y x ∴<，即2
522m ??
-< ???
，解得m <<综上可知，所求实数m
的取值范围是(. 7. 证明定值问题
例7 已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的
中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，
则2211221x y a b +=，（1）2222221x y a b +=，（2） ()()12-得：2222
121222x x y y a b
--=-，
()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()
21212
2
1212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP
y y k x x +=+，221AB OP
b k k a ∴=-?，22AB OP b k k a ∴?=-（定值）. 8. 其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。
例9，过抛物线)0(22
>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物
线于A （x y 11,），B （22,y x ）． （1）求该抛物线上纵坐标为
p
2
的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求0
21y y y +的值，并证明直线AB 的斜
率是非零常数.
解(1)略(2)：设A （y 12
,y 1）,B(y 22
,y 2)，则 k AB =
1
22
1
2
2121
y y y y y y +=
--
∵k PA =
022
2202012012011
,1y y y y y y k y y y y y y PB +=--=+=-- 由题意，k AB =-k AC , ∴
0210
2012,11y y y y y y y -=++-=+则
则：k AB =0
21
y -为定值。
例10、抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
（1）证明：抛物线的准线为114：x p
=--
由直线x+y=t 与x 轴的交点（t ，0）在准线右边，得 t p
t p >--
++>14
440，而
由消去得x y t
y p x y +==+???2
1()
x t p x t p 2220-++-=()() ?=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440 故直线与抛物线总有两个交点。
（2）解：设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2) ∴+=+=-x x t p x x t p 121222，
1-=?∴⊥OB OA k k OB OA
Q 则x x y y 12120+= 又y y t x t x 1212=--()() ∴+=-+=x x y y t t p 1212220() ∴==+p f t t t ()2
2
又，得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-?+∞200，，
【同步练习】
1、已知：F 1，F 2是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，过F 1作直线交双曲线左支于点
A 、
B ，若m AB =，△ABF 2的周长为（ ）
A 、4a
B 、4a+m
C 、4a+2m
D 、4a-m
2、若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是 （ ）
A 、y 2=-16x
B 、y 2=-32x
C 、y 2=16x
D 、y 2=32x
3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列，且AC AB >，点B 、C 的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A 、
1342
2=+y x B 、)0(13422>=+x y x C 、)0(13422<=+x y x D 、)00(13
42
2≠>=+y x y x 且
4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ）
A 、)1(49)2
1(2
2
-≠=
+-x y x B 、)1(49
)21(22-≠=++x y x C 、)1(49)21(22-≠=-+x y x D 、)1(4
9)21(22
-≠=++x y x
5、已知双曲线
116
92
2=-y x 上一点M 的横坐标为4，则点M 到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x 2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是
8、过双曲线x 2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个，则k=
10、设点P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求sin ∠F 1PF 2的最大值。
11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。
12、已知直线l 和双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 及其渐近线的交点从左到右依次为
A 、
B 、
C 、
D 。求证：CD AB =。
参考答案
1、C
a BF BF a AF AF 2,21212=-=-，
∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C 2、C
点P 到F 与到x+4=0等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为
y 2=16x ，选C
3、D
∵22?=+AC AB ，且AC AB >
∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线，即y ≠0，故选D 。 4、A
设中心为(x ，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4
得4)2()12(12
2
=+-+y x ，∴4
9)2
1
(2
2=+-y x ①又c )1(2 2<+-y x ∴(x-1)2+y 2<4 ②，由①，②得x ≠-1，选A 5、 329 左准线为x=-59，M 到左准线距离为529)59(4=--=d 则M 到左焦点的距离为329 52935=?=ed 6、)2 1 (21>=y x 设弦为AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点为(x ，y)，则y 1=2x 12， y 2=2x 22，y 1-y 2=2(x 12-x 22) ∴ )(2212121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ，2 1 =x 将21= x 代入y=2x 2得2 1 =y ，轨迹方程是21= x (y>2 1 ) 7、y 2=x+2(x>2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点M(x ，y)，则 2)(), (2,2,2212 12 1212 221222121=+?---=-==y y x x y y x x y y x y x y ∵20+-= =x y k k MP AB ，∴222 =?+y x y ，即y 2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P ，即y 2<2x ，即x+2<2x ，∴x>2 8、4 22,8,4222====c c b a ，令22=x 代入方程得8-y 2=4 ∴y 2=4，y= ±2，弦长为4 9、12±± 或 ①???=?≠-0 12k 得10、解：a 2=25，设F 1、F 2设=11,PF r PF 则?? ?-+=+2122 2 1 2122r r r r r r θ ①2-②得2r 1r 2 ∴1+cos θ=2 121224r r b ∴1+cos θ的最小值为222a b ，即1+cos θ2518 ≥ cos θ257- ≥， 257arccos 0-≤≤πθ则当2 π θ=时，sin θ取值得最大值1， 即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。 11、设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 由题意：C 、2C 、c c a +2 成等差数列， 圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,) (,2)22 ---）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 p e c b a ,,,, 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口 向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 1 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 专题0８解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点．过点且斜率不为０的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)证明：在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标． 【答案】（1)(２） 【解析】试题分析：(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程；(Ⅱ）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明: 由题意设直线的方程为, 由消去ｙ整理得, 设,, 要使其为定值，需满足, 解得 ． 故定点的坐标为 ． 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (１)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学201７－２0１8学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =（0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时，弦MN 的长为15（1)求抛物线C 的标准方程; （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标;若不过定点,请说明理由． 【答案】(1）24y x =；(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1）; 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点． 【知识点梳理】 一、直线与圆锥曲线的位置关系 注意：直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程（二次项系数a 不为0），但直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程，因此需分类讨论。 即： 1． 一次方程，只有一个解，说明直线与双曲线相交，只有一个交点，此时直线与渐进性平行； 2． 二次方程，?? ???>?=??≠且a 此外，在设直线方程时，要注意直线斜率不存在的情况。 二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由???+==n kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac >0。 则弦长公式为： 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=。 三、用点差法处理弦中点问题 设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 【典型例题】 题型一 直线与圆锥曲线的交点问题 例 1 k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22 236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦 点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动 点Q 的轨迹是( B ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围，使方程1352 2=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。 （略） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2 =+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22 2 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程（1） 32,8= =e c ； （2）过（3，0）点，离心率为 36 = e 。 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。 （4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为 （5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 354和3 52，过P 作长轴的 圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴 上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0 90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由 2321=+x x ，得30=x ，由03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入，得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292 2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494 -=-?+ x y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线 过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 ）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线 的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而 【知识要点】 圆锥曲线常见的题型有求圆锥曲线的方程、几何性质、最值、范围、直线与圆锥曲线的关系、圆锥曲线与圆锥曲线的关系、轨迹方程、定点定值问题等. 【方法讲评】 题型一求圆锥曲线的方程 解题方法一般利用待定系数法解答. 【例1】已知椭圆 22 22 1 x y a b +=（0 a b >>）的左、右焦点为 12 , F F，点A2)在椭圆上，且 2 AF 与x轴垂直． （1）求椭圆的方程； （2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求AOB ?面积的最大值． 综上所求：当AB 斜率不存在或斜率存在时：AOB ?面积取最大值为2． 【点评】（1）求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.（2）本题用到了椭圆双曲 线的通径公式22b d a =，这个公式很重要，大家要记熟. 【反馈检测1】已知椭圆M ：22 221x y a b +=（0a b >>）的离心率为23，且椭圆上一点与椭圆的两 个焦点构成的三角形的周长为642+ （1）求椭圆M 的方程； （2）设直线l 与椭圆M 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值． 题型二 圆锥曲线的几何性质 解题方法 利用圆锥曲线的几何性质解答. 【例2】已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左顶点和上顶点分别为A B 、，左、右焦点分别是12,F F ， 在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ） A ． 3 B ．31- C ．5 D ．51 - 【点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于e 的方程. 学科.网 【反馈检测2】已知双曲线22 221x y a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F 以12F F 为直径的 圆被直线 1x y a b +=6a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2 C 3 D 2 圆锥曲线：概念、方法、题型、及技巧总结 1.圆锥曲线的定义： （1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ． 421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （2）方程8=表示的曲线是_____ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是 ___ （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？ 如（1）双曲线的离心率等于2 5，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______ （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______ （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且圆锥曲线常见题型及答案
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