圆锥曲线题型归纳经典含答案

椭圆题型总结

一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:

1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦

点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）

A.椭圆

B.圆

C.直线

D.线段

3. 已知1F 、2F

是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动

点Q

的轨迹是( B )

A.椭圆

B.圆

C.直线

D.点

4. 椭圆

19

252

2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。

5. 选做：F 1是椭圆15

92

2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。

解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA

(二) 标准方程求参数范围

1. 试讨论k 的取值范围，使方程1352

2=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。

（略） 2.

轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102

2=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2

2

=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 方程2

31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22

2

=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1

(三) 待定系数法求椭圆的标准方程

1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质

1． 求下列椭圆的标准方程（1）

32,8=

=e c ； （2）过（3，0）点，离心率为

36

=

e 。 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。

（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为 （5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为

354和3

52，过P 作长轴的

垂线恰好过椭圆的一个焦点。

3．过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若?=∠6021PF F ，

则椭圆的离心率为_____3

3

________________ （四）椭圆系————共焦点，相同离心率

1．

椭圆

19

252

2=+y x 与

)90(19252

2<<=-+-k k

y k x 的关系为（ A ）

A ．相同的焦点

B 。有相同的准线

C 。有相等的长、短轴

D 。有相等的焦距

2、求与椭圆14

92

2=+y x 有相同焦点，且经过点()23-，的椭圆标准方程。 （五）焦点三角形4a

1. 已知1F 、2F 为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，

过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。若1222=+B F A F ，则=AB 8 。

2. 已知1F 、2F 为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则

1ABF ?的周长是 20 。

3. 已知C AB ?的顶点B 、C 在椭圆13

22

=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点

在BC 边上，则C AB ?

（六）焦点三角形的面积：

1. 已知点P 是椭圆14

22

=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=?PF PF ，求点P 到x 轴的距离。 解：设),(y x P 则?????=+=+1

4

32

222y x y x 解得33||=y ，所以求点P 到x 轴的距离为33||=y 2. 设M 是椭圆116

252

2=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ?的面积。

解：

|

|||2|

|||24|

|||24||||2|)||(|||||2||||||cos 21212

212

21221212212221PF PF PF PF b PF PF c PF PF PF PF PF PF F F PF PF ??-=

?-?-+=

?-+=θ

当621π

=

∠MF F ，S=)32(166

sin ||||2121-=?πPF PF

3. 已知点P 是椭圆1

9

2522=+y x 上的一点，1F 、2F 21=

，则21F PF ?的面积为

4. 已知AB 为经过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最

大值为 cb 。

（七）焦点三角形

1. 设椭圆14

92

2=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF ?的最大值，

并求此时P 点的坐标。

2. 椭圆12

92

2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF

2 ；=∠21PF F 120O 。

3. 椭圆14

92

2=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范

围为 )5

5

,553(- 。

（八）与椭圆相关的轨迹方程

定义法：

1. 点M(x,y)满足

10)3()3(2222=-++++y x y x ，求点M 的轨迹方程。

（116

252

2=+x y ） 2. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的

轨迹方程.

3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P

的轨迹方程.

解：由题12102||||21=-++=+r r PC PC

所以点P 的轨迹是：以1C ，2C 为焦点的距离之和为12的椭圆。6,3==a c ，方程为127

362

2=+y x

4. 已知)0,21(-A ，B

是圆4)2

1(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为 1342

2

=+y x

5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是 1432

2=+y x 。

直接法

6. 若ABC ?的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是9

4

-

，顶点A 的轨迹方程为

136

812

2=+y x 。 相关点法

7. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M 在'PP 上，并且

'2MP =，求点M 的轨迹。

8. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向X 轴引垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程是

1422=+y x 。

二、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系

1． 当m 为何值时,直线m x y l +=:和椭圆14416922=+y x (1)相交；(2)相切；(3)相离。

解：由???=++=144

1692

2y x m x y 消去y 得01441632252

2=-++m mx x ，判别式：)25(5762m -=? 所以，当55<<-m 时直线与椭圆相交；当5±=m 时直线与椭圆相切；当5m m >-<或5时直线与椭圆相离。

2． 若直线2+=kx y 与椭圆63222=+y x 有两个公共点，则实数k 的取值范围为 。

3

6

36>

-

1. 设椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左右两个焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直

线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为)1,2(M 。

（1） 求椭圆的方程；12

42

2=+y x

（2） 设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求BN F 1?的面积。

解：由（1）点B （0，2-

）

，)0,2(2F ，直线BF 2的方程为：2=-y x ?????=+

=-124

2

2

2y x y x 消去y 得：02432=-x x ，解得32

4x x ==或0 所以点N 的坐标为（324，3

2

） 所以3

8

)232(222121211

=+?=+=???N F F B F F BN

F S S S

(三)点差法

定理 在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦

MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN -=?.

1. 已知一直线与椭圆 36942

2

=+y x 相交于A 、B 两点,弦AB 的中点坐标为)1,1(，求直线AB 的方程.

解：设交点),(),(2211y x B y x A ，则有???????=+=+12

12212

1y y x x ，?????=+=+)2(3694)

1(36942

2222

121ΛΛΛΛy x y x （2）-（1）得0))((9))((412121212=+-++-y y y y x x x x

即

k x x y y =-=--9

4

)()(1212，又直线AB 过点（1，1） 所以直线AB 的方程为：)1(9

4

1--=-x y

2. 直线l 经过点A (1，2)，交椭圆22

13616

x y +=于两点P 1、P 2，

（1）若A 是线段P 1P 2的中点，求l 的方程；（2）求P 1P 2的中点的轨迹． 解：（1）设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，

则?????

??=+=+116

36116362

222

2

121y x y x ?

016

)

)((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*

∵A (1，2)是线段P 1P 2的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴

016)(436)(22121=-+-y y x x ，即9

22121-=--x x y y 。 ∴l 的方程为2)1(9

2+--=x y ，即2x +9y -20=0． （2）设P 1P 2的中点M (x ，y )，则x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，

代入*式，得y x x x y y k 942121-=--=，又直线l 经过点A (1，2)，∴21

y k x -=-，

整理，得4x (x -1)+9y (y -2)=0，∴P 1P 2的中点的轨迹：2

21()(1)2151029

x y --+=。

(四) 定值、定点问题

1、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:

1553

x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7

(,0)3M -， 求证：MA MB ?u u u r u u u r

为定值.

证明：设交点),(),,(2211y x B y x A 由???=++=5

3)1(2

2y x x k y 消去y 得0536)31(2

222=-+++k x k x k 则有2

2212221315

3,316k

k x x k k x x +-=+-=+

9

4

949))(37()1()37)(37(22122122121=

++++++=+++=?k x x k x x k y y x x MB MA 所以

MA MB ?u u u r u u u r

为定值

19. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2

，短轴长为

(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．

解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则

22222,

2,

c b a b c =??=??=+?

解得

2,

a b =???

=??∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=．……… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m

??

+=??=+? 消去y ，得 ()2223484120k x kmx m +++-=………… 6分

由题意△()(

)()2

2

2

84344120km k

m

=-+->，整理得：22340k m +-> ① …………7分

设()()1122,,M x y N x y 、，则122

834km

x x k +=-+， 212241234m x x k -=+……… 8分

由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)，∴ ()()1212220x x y y --+=………… 10分

即

()()()2

2

12

1

2

1240

k x x km x x m

++-+++=，

也

即

()()22

222412812403434m km

k km m k k

--+?+-?++=++， 整理得2271640m mk k ++=．解得2m k =- 或 27

k

m =-

，均满足①…………… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；

当27k m =-

时，直线l 的方程为 27y k x ?

?=- ??

?，过定点2(,0)7，

故直线l 过定点，且定点的坐标为2

(,0)7

． ……………………… 13分

20. 在直角坐标系xOy 中，点M 到F

1(0)、F

20)的距离之和是4，点M 的轨迹C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l ：y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．

(1) 求轨迹C 的方程；(2) 当0AP AQ ?=u u u r u u u r

时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

解：（1）∵点M 到(0)，0)的距离之和是4，

∴M 的轨迹C 是长轴长为4，焦点在x 轴上焦距为 2

214

x y +=…………………3分

（2）将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得2

2

2

(14)8440k x kbx b +++-=…………………5分 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，

所以22

2

2

2

2

644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+>． ①

设1122()()P x y Q x y ，，，，则122

814kb

x x k

+=-+， 21224414b x x k -=+． ②………7分 且 22

12121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ?=++=+++． ③

显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点(2,0)A -，

所以11(2,)AP x y =+u u u r ，22(2,)AQ x y =+u u u r ，由0AP AQ ?=u u u r u u u r

，得1212(2)(2)0x x y y +++=．

将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=，………………………10分 所以(2)(65)0k b k b --=，即2b k =或6

5

b k =．经检验，都符合条件①． 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．

显然，此时直线l 经过定点(2,0)-点．即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =

时，直线l 的方程为65()56y kx k k x =+=+．显然，此时直线l 经过定点6

(,0)5

-点，且不过点A ．

综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6

(,0)5

-点．…………13分 三、最值问题

5. 已知P 为椭圆2

214

x y +=上任意一点，M （m ，0）

（m ∈R ），求PM 的最小值。 目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。

提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM ，利用二次函数思想求最小值。

解：设P(x,y)，

，x ∈[-2,2]，结合相应的二次函数图像可得

（1）

43m <-2，即m<3

2

-时，(PM)min =|m+2|； （2）-2≤43m ≤2,即32

-≤m≤32时，(PM)min =293m -；

（3）

43

m >2，即m>3

2时，(PM)min =|m-2|.

说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b ，最远的点是长轴端点，最大值为a ；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c ，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c ；

6. 在椭圆2

214

x y +=求一点P ，是它到直线l ：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。

目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般

处理方法。

提示：（1）可等价转化为与直线l 平行的椭圆的切线与直线l 之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。

解法一：设直线m ：x+2y+m=0与椭圆2

21

4x y +=相切，

则22

2014

x y m x y ++=???+=??，消去x ，得8y 2+4my+m 2-4=0, Δ=0,解得m=22±.

当m=22时，直线与椭圆的切点P 与直线l 的距离最近，最近为

|1022|5

-=210

25-，此时点P 的

坐标是(2-,2

2

-

)； 当m=-22时，直线与椭圆的切点P 与直线l 的距离最远，最远为

|1022|5

+=210

25+，此时点P 的

坐标是(2,

2

2

)。 解法二：设椭圆上任意一点P(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)

则P 到直线l 的距离为5=22sin()10

45

π

θ++

∴当θ=

4

π时，P 到直线l 的距离最大，最大为210

25+此时点P 的坐标是(2,22)；

当θ=

54

π时，P 到直线l 的距离最小，最小为P 的坐标是(,)。

说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。

7. 设AB 是过椭圆22

1925

x y +=中心的弦，F 1是椭圆的上焦点，

（1）若△ABF 1面积为，求直线AB 的方程；（2）求△ABF 1面积的最大值。 解：（1）设AB ：y =kx ，代入椭圆

，得x 2=

=

，∴x 1=-x 2=

，

又，S △ABF 1=|OF 1|·|x 1-x 2|=2|x 1-x 2|=4，∴|x 1-x 2|=2，

∴=5，∴k =，∴直线AB 的方程为y =x 。

（2）S △ABF 1=|OF 1|·|x 1-x 2|=4·，∴当k =0时，(S △ABF 1)Max =12。▋

9. 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（1）若6ED DF =u u u r u u u r

，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值．

（1）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=， 直线

AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设

001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故

21x x =-=

·····················································································

由6ED DF =u u u r u u u r 知

01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；

由D 在AB 上知

0022x kx +=，得02

12x k

=

+．所以212k =+，

化简得2

242560k k -+=，解得23k =

或3

8

k =． （2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为

1

h==

，

2

h==．

又AB==，所以四边形AEBF的面积为

12

1

()

2

S AB h h

=

+

1

2

=

=

=

≤

当21

k=，即当

1

2

k=时，上式取等号．所以S

的最大值为

解法二：由题设，1

BO=，2

AO=．

设

11

y kx

=，

22

y kx

=，由①得

2

x>，

21

y y

=->，故四边形AEBF的面积为

BEF AEF

S S S

=+

△△22

2

x y

=+

=

=

=

当

22

2

x y

=时，上式取等号．所以S

的最大值为

四、垂直关系

10.（上海春季）已知椭圆C的两个焦点分别为

1

(10)

F-，、

2

(10)

F，，短轴的两个端点分别为

1

B、

2

B。

(1) 若

112

F B B

△为等边三角形，求椭圆C的方程；

(2) 若椭圆C的短轴长为2，过点

2

F的直线l与椭圆C相交于P Q

、两点，且

11

F P FQ

⊥

u u u r u u u r

，求直线l的方程。

解：（1）设椭圆C的方程为

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）。

根据题意知

22

2

1

a b

a b

=

?

?

-=

?

，解得2

4

3

a=，2

1

3

b=，故椭圆C的方程为

22

1

41

33

x y

+=。

（2）容易求得椭圆C的方程为

2

21

2

x

y

+=。

当直线l的斜率不存在时，其方程为1

x=，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)

y k x

=-。

由2

2

(1)

1

2

y k x

x

y

=-

?

?

?

+=

??

，得2222

(21)42(1)0

k x k x k

+-+-=。

设

11

()

P x y

，，

22

()

Q x y

，，则

2

122

4

21

k

x x

k

+=

+

，

2

122

2(1)

21

k

x x

k

-

=

+

，

111

(1)

F P x y

=+

u u u r

，，122

(1)

FQ x y

=+

u u u r

，，

因为

11

F P FQ

⊥

u u u r u u u r

，所以

11

F P FQ

?=

u u u r u u u r

，即

2

2

2

1212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271

021

k k -==+，

解得21

7

k =

，即7k =±。

故直线l 的方程为710x y +-=或710x y --=。

11. 如图，设椭圆12

22

=+y x 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线

l 使得F 为BMN △的垂心。若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

解：由已知可得，B (0，1)，F (1，0)，∴k BF =-1。 ∵BF ⊥l ，∴可设直线l 的方程为y =x +m ， 代入椭圆方程整理，得2234220x mx m ++-=。

设11()M x y ，，22()N x y ，，

则1243

m

x x +=-，212223m x x -=。

∵BN ⊥MF ，∴1212

1

11y y x x -?=--，即1212120y y x x y x +--=。

∵11y x m =+，22y x m =+，∴121212()()()0x m x m x x x m x +++-+-=。 即212122(1)()0x x m x x m m +-++-=，

∵222242(1)()033m m m m m -?+-?-+-=，∴2

340m m +-=，∴43

m =-或1m =。

由222(4)12(22)2480m m m ?=--=->，得23m <

又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴4

3m =-，

故存在直线l ：4

3

y x =-满足题设条件。

双曲线题型总结

一. 定义的应用

1．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为______________ 2．已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为（ ）

A ．

17922=-y x B ．)0(17922>=-y x y C ．17922=-y x 或1792

2=-x y D ．)0(17

92

2>=-x y x F

B

N

M

l

O x

y

3.已知平面上两定点12,F F 及动点M ，命题甲：122MF MF a -=（a 为常数），命题乙：“点M 轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的 （ ）

:A 充分不必要条件 :B 必要不充分条件 :C 充要条件 :D 既不充分也不必要条件

4双曲线2

2

4640x y -+=上一点P 到它的一个焦点的距离等于5.16，则点P 到另一个焦点的距离等于 .

5．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、

右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．

6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，

和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为__________________

7.已知双曲线的两个焦点为12(5,0),(5,0)F F -，P 是双曲线上的一点，且12PF PF ⊥，122PF PF ?=，则该双曲线的方程是 （ ）

8. 已知21,F F 为双曲线

142

2

2=-b y x )0(>b 的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且02130=∠F PF ；则______=b

9．双曲线

22

1916

x y -=的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 10.双曲线16x 2

-9y 2

=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= .

11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线22

1(0)x y a b a b -=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两条曲线的

一个交点，则12PF PF ·的值为 ．

12．动圆与两圆12

2

=+y x 和01282

2

=+-+x y x 都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）

A ．抛物线

B ．圆

C ．双曲线的一支

D ．椭圆

13．P 是双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12

PF F △的内切圆圆心的横坐标为

二. 双曲线的几何性质

1．“ab<0”是“方程c by ax =+2

2

表示双曲线”的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 2．双曲线m y x =-2

2

2的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_________。

3．如果双曲线的渐近线方程为3

4

y x =±，则离心率为____________

4．双曲线22

1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （ ）

5．双曲线122

22=-b y a y 的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ）

6．双曲线22

221x y a b

-=的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 ( )

7．P 是双曲线2

2

1x y -=上一点，则P 到两条渐近线的距离的积为_______

8．双曲线22

221x y a b

-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．

9．已知双曲线22212x y a -

=的两条渐近线的夹角为3

π

，则双曲线的离心率为 10．已知双曲线22

14x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为____________________

11．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα?

?<< ??

?，其离心率为 ．

12.方程

22

122x y m m -=+-表示双曲线，则m 的取值范围 （ ） 13.椭圆

222134x y n +=和双曲线22

2116

x y n -=有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） :A 5± :B 3± :C 25 :D 9

14．曲线

221(6)106x y m m m +=<--与曲线22

1(59)59x y m m m

+=<<--的 （ ） :A 焦距相等 :B 离心率相等 :C 焦点相同 :D 准线相同

15．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线22

22123x y m n -=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_____

16.已知方程2

2

(0)ax by b ab +=<，则此曲线是 （ ）

:A 焦点在x 轴上的双曲线 :B 焦点在y 轴上的双曲线 :C 焦点在x 轴上的椭圆 :D 焦点在y 轴上

的椭圆

三. 求双曲线方程

1.已知圆49)5(:2

2

1=++y x C 与圆1)5(:2

2

2=+-y x C ，圆C 与圆1C ，圆2C 均外切；则圆C 的圆心

C 的轨迹方程是

2．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准方程为 ．

3．与曲线

1492422=+y x 共焦点，而与164

362

2=-y x 共渐近线的双曲线方程为( ) 4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是___________.

5.已知双曲线通过(1,1),(2,5)M N -两点，求双曲线的标准方程.

6.（1）设P 是双曲线2

214

x y -=上的动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，求点M 的轨迹方程. 四. 直线与双曲线

1．直线2+=kx y 与632

2

=-y x 的右支交于两点；求实数k 的取值范围。

2．过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为____________ _

一.定义的应用

1. 221(3)169x y y -+=-≤ 2．D 3. B 4．5.32 5.7 6. 2

214x y -= 7．C 8．22 9．

5

16 10. 21

5

-

11.m a - 12．C 13.a - 二双曲线的几何性质

1．A 2．-23. 53或54

4．B 5．C 6．C 7．

21

8. 9．3

10

10. 120k -<< 11.

1

cos α

12． A 13．B 14．A

15. x y = 16.B 三.求双曲线方程

1．

)3(116922≥=-x y x 2. 22

13y x -+= 3．A 4．116

922=-y x 5．设双曲线C 方程为)0(12

2

<=+mn ny mx

由题意得 ??

???-==???

?=+=+717812541n m n m n m 双曲线的标准方程为177822=-y x 6．解：设),(00y x P 及),(y x M 则14

2

02

0=-y x （1） M 为线段OP 中点y y x x 2,200==? 代入（1）得 142

2=-y x ， 点M 的轨迹方程为

1422=-y x

四.直线与双曲线 1．解01812)13(6

322

2

2=++-???

?=-+=kx x k y x kx y 两不同根为21,x x 2. (1)(1)--+U ，，∞∞

3．B 利用数形结合，结合渐近线可求得. 4．解:（1）由已知得

22

32a a +=,所以2

1a =,所以双曲线方程为2

2

13

x y -=,

所以双曲线的渐近线方程分别 33x y =

,33

x y =- （2）由（1）知1(0,2)F ,2(0,2)F -,因为122||5||AB F F =,所以10=AB , 设113(,)A x x ,223

(,)B x x -,AB 中点),(y x M

则122x x x +=,

12332x x y -=,?=10AB 22

212133()()1033

x x x x -++=, 消去12,x x 并整理得:点M 的轨迹方程为

22

125753

x y +=,所以点M 轨迹是焦点在x 轴上的椭圆. 抛物线

一.抛物线的定义 1．若

是定直线 外的一定点，则过

与 相切圆的圆心轨迹是（ ）

A ．圆??????

B ．椭圆????

C ．双曲线一支??????

D ．抛物线 1．若点 到点

的距离比它到直线 的距离小1，则 点的轨迹方程是（ ）

A ．

?????? B ．

C ．

??????? D ．

3若点P 到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程为 （ ）

A.x 2=12y

B.y 2=12x

C.x 2=4y

D. x 2=6y 4．已知点 ，

是抛物线

的焦点，点

在抛物线上移动时，

取

得最小值时

点的坐标为（ ）．

A ．（0，0）

B ．

C ．

D ．（2，2）

5．已知点（－2，3）与抛物线

（

）的焦点的距离是5，则

=_________．

F

A

P H

B

Q 6．在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则

点的坐标是_________．

7．已知抛物线 （

）上一点 到焦点

的距离等于

，则

=_______，

=________． 8．抛物线

的焦点弦的端点为 ， ，且 ，则 =_______．

9．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那

么|AB|= （ ） A ．8 B ．10 C ．6 D ．4 10.在抛物线

上有一点

，它到焦点的距离是20，则

点的坐标是_________．

11. (1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。

分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，因而易发现，当

A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，2）

连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时AF 的方程为)1(0

24--=x y

即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(2,2

1

-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（

1,4

1

） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=

41，∴Q(1,4

1) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

9.

二.抛物线的几何性质 2．焦点在直线

的抛物线的标准方程是________________．

3．抛物线 的焦点坐标是（ ）

A ． ??????

B ．

C ． ????

D ．

4．抛物线

的焦点到准线的距离是（ ）

A ．2.5?????

B ．5???????

C ．7.5?????

D ．10 5．抛物线

的焦点位于（ ）

A ． 轴的负半轴上??????

B ． 轴的正半轴上

C ． 轴的负半轴上??????

D ． 轴的正半轴上 6．抛物线

（

）的焦点坐标为（ ）

A ． ??????

B ．

C ． ?????

D ． 时为 ， 时为

7．抛物线

的焦点坐标是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

三.求抛物线方程

1．已知原点为顶点， 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线

的方程是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线

的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x 3．与椭圆 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值． 5．求顶点在原点，以 轴为对称轴，其上各点与直线

的最短距离为1的抛物

线方程．

6．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）

A ． y 2=－2x

B ． y 2=－4x

C ．y 2=－8x

D ．y 2=－16x

7．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆心M 的轨迹

方程．

8．动直线y =a ，与抛物线x y 2

1

2=

相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求线段AB 中点M 的轨迹的方程． 9．已知点 和抛物线

上的动点 ，点 分线段 为 ，求

点

的轨迹方程．

四.直线与抛物线的关系

1．过（0，1）作直线，使它与抛物线

仅有一个公共点，这样的直线有（ ）条

A ．1???????

B ．2???????

C ．3???????

D ．4 2．设抛物线 （

）与直线

（

）有两个公共点，其横坐标分别是

、

，而

是直线与 轴交点的横坐标，则

、

、

关系是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ）

A ．（1，1）

B ．（41,21）

C ．)4

9

,23( D ．（2，4）

4．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条

5．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分

别是p 、q ，则q

p 1

1+等于 （ ）

A ．2a

B ．

a

21 C ．4a

D ．

a

4 6．在抛物线

内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．

7过抛物线y 2=x 的焦点F 的直线l 的倾斜角θ≥π

4,直线l 交抛物线于A,B 两点，且点A 在x 轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）

A （14,1+22] B. （14,1] C .[ 14,+∞) D.[1

2,+∞)

8.抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1>x 2,y 1>0,y 2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使→AF +λ→BF =→0，|→AB |=254．求直线AB 的方程；

解答题

1．如图，()1,2A 、1,14B ??

-

???

是抛物线()20y ax a =>上的两个点, 过点A 、B 引抛物线的两条弦,AE BF .（1）求实数a 的值；（2）若直线AE 与BF 的斜率是互为相反数, 且,A B 两点在直线EF 的

两侧.①直线EF 的斜率是否为定值若是求出该定值，若不是, 说明理由；②求四边形AEBF 面积的取值范围.

3．已知抛物线2

:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A B 、两点，且6OA OB =u u u r u u u r

g

，其中O 为坐标原点．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为(3,0)-，记直线CA CB 、的斜率分别为12k k ，，证明

2

2212

112m k k +-为定值． 6．如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（Ⅰ）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；

（Ⅱ）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

7．已知点F 为抛物线E ：2

2(0)y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且到原点的距离为23.

（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.

8．已知抛物线2

:4C y x =，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C

于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段12P P 、34P P 的中点分别为1M 、2M . （Ⅰ）求线段12P P 的中点1M 的轨迹方程；（Ⅱ）求12FM M ?面积的最小值； （Ⅲ）过1M 、2M 的直线l 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.

10．在直角坐标系xOy 中，曲线2:4

x C y =与直线():0l y kx a a =+>交于,M N 两点．（1）当0k =时，

分别求C 在点M N 和处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠说明理由．

一.抛物线的定义

1．D 2．C 3 .A 4．D 5．4； 6．（18，12）或（18，－12）；7． ，

；

8．4 9． A 10．（18，12）或（18，－12）； 二.抛物线的几何性质 1．D 2．

或

3．B 4．B 5．C 6．C 7．B

三.求抛物线方程

1．D 2． B 3．B

4． [解析]：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则焦点F （0,2

p

-

），由题意可得

?

?

???=-+=5)23(62

22

p m p

m ，解之得???==462p m 或???=-=462p m ， 故所求的抛物线方程为y x 82-=，62±的值为m

5．依题设可设抛物线方程为 （ ）

此抛物线上各点与直线

的最短距离为1，此抛物线在直线

下方

而且距离为1的直线

相切．

由 有 ， ?

所求抛物线方程为：

6． C

7.[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直

线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以

y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x 122-=．

8． [解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （2

2a ，a ），又B )3,0(a 得 ???==a

y a x 22

消去a ，得轨迹方程为4

2

y

x =

，即x y 42= 9．设

， ， ， ，

即 ， ，而点 在抛物线 上，

，即所求点

的轨迹方程为

四.直线与抛物线的关系

1．C 2．C 3． A 4． C 5． C 6．

；7. A

8解：抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1 ，∵→AF +λ→BF =→

0，∴A ，B ，F 三点共线． 由抛物线的定义，得|→

AB |= x 1+x 2+2． ·

O x y A A'

B