圆锥曲线基本题型总结

锥曲线基本题型总结:

提纲:

一、定义的应用：

1、定义法求标准方程：

2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：

3、焦点三角形问题：

二、圆锥曲线的标准方程：

1、对方程的理解

2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）

3、各种圆锥曲线系的应用：

三、圆锥曲线的性质：

1、已知方程求性质：

2、求离心率的取值或取值范围

3、涉及性质的问题：

四、直线与圆锥曲线的关系：

1、位置关系的判定：

2、弦长公式的应用：

3、弦的中点问题：

4、韦达定理的应用：

一、定义的应用：

1.定义法求标准方程：

（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）

1?设F-F2为泄点,∣F1F2∣=6 ,动点M满足IMF I I+∣M F2I= 6 ,则动点M的轨迹是（）

1/1

C.圆

D.线段【注:2a>|Fi F2I是椭圆，2a=∣Fι F2 I是线段】

2.设％4, O), C(4,0) ,KZLlSC的周长等于18侧动点/1的轨迹方程为()

A.5J+= 1 (yH0) -

B.+ ? f ( X2,9)=1 (yH 0 )

C错误!-错误!=1 G?≠ 0) °D?错误! + = 1 (y≠0)【注:检验去点】

3.已知力(0, — 5)、B(0,5),昭I 一砂∣=2α,当α=3或5时，P点的轨迹为()

A.双曲线或一条直线

B.双曲线或两条直线

C.双曲线一支或一条直线

D.双曲线一支或一条射线【注:2a<|F I F2∣是双曲线，2a=∣ F1F2∣?射线，注意一支与两支的判断】

4?已知两左点巧(一 3,0),尸2(3.0),在满足下列条件的平而内动点P的轨迹中,是双曲线的是()

A↑?PF i?-?PF2 I |=5

B.∣ I PFll-I PF2? I =6

C.∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=7

D.∣ I PF1?-?PF2? I =0 【注ι2a<∣Fι F2∣是双曲线】

5?平而内有两个泄点Fι(-5,0)和F2( 5 ,0),动点P满足IPF I l-I PF沪6 ,则动点P的轨迹方程是()

A.? f(x2, 1 6)- 错误! = l(xW-4) "

B.错误!?=l(xW?3)

C- = I(XM 4) 。 D.-错误! = 1(x23 ) 【注：双曲线的一支】

6.如图f为圆B：(Λ^+2)2+>?2=36上一动点,点力坐标为(2, 0 ),线段JP的垂直平分线交直线BP于点Q求点O的轨

1/1

迹方程?

7. 已知点A ((λ√5)和圆Oi ：x'+(y+)2=16 ,点M 在圆Oi 上运动，点P 在半径OIM 上，且PM I=IPA|,求动 点P 的轨迹方程?

(2)涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：

8. 已知圆A-.(x+ 3 )2+jP=100,圆/内一泄点B(3, 0),圆PB 且与圆Zl 内切,求圆心P 的轨迹方程.

已知动圆M 过左点〃(一4.0),且和泄圆(x4)2tv 2=l 6相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为()

A.错误! 一错误！ = 1 (x>0) 。B -错误! = 1 (XVo)

C-^=I D 错误!-=1 【注:由题目判断是双曲线的一支还是两支】

9. 若动圆P 过点M-2, 0 ),且与另一圆M ： (x-2)2+jM=8相外切,求动圆P 的圆心的轨迹方程.

【注:双曲线的一支，注意与上题区分】

10. 如图,已知左圆Flh 2+b+l 0x+2 4 =0,泄圆尺：x 2÷><-10x+9=0,动圆M 与泄圆尺、R 都外切，求动圆圆

心M 的轨迹方程.

1 1.若动圆与圆(X 2+>?2= 1相外切,又与直线x+l = 0相切,则动圆圆心的轨迹是(

1 2.已知动圆M 经过点J(3,0),且与直线/： X=. 3相切,求动圆圆心M 的轨迹方程

.A.椭圆 B.双曲线 C 双曲线的一支 D.抛物线

【注：同上题做比较，说法不一样,本质相同】

1 3.已知点J （3, 2）,点M 到F 错误!的距离比它到y 轴的距离大错误!?（M 的横坐标非负）

（1） 求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】

（2） 是否存在胚使丨AL4?+ I MFl 取得最小值?若存在,求此时点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

【注:抛物线上义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距禽转化成到准线的距离】

（3）其他问题中的圆锥曲线：

14.

已知丄〃两地相距2 OOO 在』地听到炮弹爆炸声比在〃地晚4 s,且声速为340 m∕s,求炮弹爆炸点的

轨迹方程. 【注:双曲线的一支】

2.

15. 如图所示,在正方体ABCD-A 、∕?IC l Dl 中,P 是侧而肋C C 内一动点，若P 到直线BC 与到宜线ClD 的距 离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是（）

B. 圆 D. 抛物线

2?涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：

1 6 ?设椭圆+?f （尸,胪_I ）=I （加＞1）上一点P 到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则椭圆的离心率 为（）

A.错误！ B 错误！ C.错误！ D.

17.椭圆错误!+=1的左右焦点为F ι, F 2, 一直线过Fl 交椭圆于A 、B 两点.则AABF?的周长为（）

A.直线

C.双曲线 ［注:体现抛物线龙义的灵活应用】

A. 32

B. 16 D. 4

X

18 .已知双曲线的方程为〒-错误!=1,点力，"在双曲线的右支上，线段ZIB经过双曲线的右焦点F2, ?AB?=nιJ^ι G

为另一焦点JlJΔJ BF I的周长为（）

A.2α+2加

B. 4α+2m

C. a+ m

D.2α+4 加

1 9.若双曲线x2Ay2=4的左、右焦点分别是已、F-过尺的直线交右支于丄〃两点,若IZ1冈=5,则HAFB 的周长为?20?设厂、F?是椭圆错误!+错误！ = 1的两个焦点，P是椭圆上一点,且P到两个焦点的距离之差为2,则APD

F2?（）

力?钝角三角形从锐角三角形C?斜三角形IZ直角三角形

21.椭圆错误! + = 1的焦点为F∣.F2.点P在椭圆上?若I PF I l=4,则∣ PF?F _________________ , ZFiPF2的大小为 __________ ____ ■

【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a-c.最大是a+c]

22.____________________________________________________________________________________ 已知P是双曲线错误!二1上一点Fi,尺是双曲线的两个焦点，若IPF l I= 1 7,则?PF2?^值为 ____________________________ .

【注:注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为C-a ]

23?已知双曲线的方程是错误!一 = 1,点P在双曲线上，且到其中一个焦点Fl的距离为10,点N是PFl的中点, 求IoNl的大小（O为坐标原点）. 【注：O是两焦点的中点,注意中位线的体现】 24 ?设鬥、鬥分别是双曲线一 =1的左、右焦点?若点P在双曲线上,且丽屎=0,则I丽+屎I等于（）

A3 B.6 Cl D. 2

25.已知点P是抛物线y2=2 X上的一个动点,则点P到点（0. 2 ）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是（） A.错谋！“B.3 C错谋！Q错谋！

【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】

2 6 .已知抛物线3^=4X±的点P到抛物线的准线的距离为di,到直线3A-4V÷9=0的距离为必,则C+d?的最小值是（） A. y B4 C. 2 D.

【注:抛物线左义的应用,将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距禽】

27?设点A为抛物线y2=4x上一点，点B(1,O),且∣AB∣=b则A的横坐标的值为()

A. -2 B O C.-2 或 0 D. -2 或 2

【注：抛物线的焦半径，即左义的应用】

3 ?焦点三角形问题：

椭圆的焦点三角形周长C^PI=IPFll+∣PF2∣+2c=2a + 2c

椭圆的焦点三角形面积：

推导过程.l〕PFf+|PF2『-2|PF」|PF」cose = 4c‘ ⑴

I. ∣PE∣÷∣PF,∣ = 2a(2)

(2尸-⑴得2|PF」IPF* ι+c

S^=IIPF l IIPFJSin^ = ^I^-= K tan什

双曲线的焦点三角形而积：h2

S W =-?

tan —

2

28-设F为椭圆?f(√,l 0 0)+ = 1上一点，用、兄是其焦点，若ZF1PF2=,求ΔF∣PF2的而积.

【注：小题中可以直接套用公式。S=FtanI5°】

29.已知双曲线?f (x2, 9)-=1的左、右焦点分别是F】、尸2,若双曲线上一点P使得ZFlPF2=60。，求“睞的而积. 【注：小题中可以直接套用公式。】

30.已知双曲线的焦点在X轴上,离心率为2,F∣, F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且ZFlPF2=6 0 o,SΔPFιF

2= 1 2√3,求双曲线的标准方程一

3L已知点P(3,4)是椭圆+=1 (a>b> 0 )±的一点，月、用为椭圆的两焦点，若PFdPFx试求：

(1)椭圆的方程；

(2)ΔP F i F2的而积.

二、圆锥曲线的标准方程:

1.对方程的理解

3 2 .方程+错误!=1表示焦点在X轴上的椭圆,则实数a的取值范幅是( )

A.(-3,- 1 ) B(-3, -2) C.(l,+ 8) D. (-3,1)

33.若1 ,则关于XJ的方程(1—上)X2+厂=F —1所表示的曲线是()

A.焦点在X轴上的椭圆

B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在_)，轴上的双曲线D焦点在X轴上的双曲线【注：先化为标准方程形式】

34.对于曲线C: + =l,给出下而四个命题：

①曲线C不可能表示椭圆；

②当14< 4时,曲线C表示椭圆；

③若曲线C表示双曲线，则XU或Q4；

④若曲线C表示焦点在X轴上的脚圆,则Kk<.

35.已知椭圆A2sin ct~y^cos a=1 ( 0 ≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()

A. B.错误！C错误！ D.

3 6.双曲线-? f(v2,加一5)=1的一个焦点到中心的距离为3,求加的值. 【注:要根据焦点位置分情况讨论】

2?求曲线方程(已经性质求方程)

37.以一菩=一1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()

A.?f(x?16)+错误!=1

B.错误!-错误UI

C.+=l

D.错误!+=1

3&根据下列条件，求椭圆的标准方程.

(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0), (4,0).椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于1 0 :

(2)两个焦点的坐标分别是(0.-2),(0.2),并且椭圆经过点错课!. 【注：迫义的应用】

39 .已知椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率为，且过点P (?5,4),则椭圆的方程为 _____________________________

40.中心在原点，焦点在X轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()

A.訐+=1

B.和=1

C.错误!+=1

D.错误!+=1

41.设椭圆+错误！ = 1 (w>0, π>0)的右焦点与抛物线尸=8 X的焦点相同,离心率为错误!,则此椭圆的方程为()

A. +错误!=1

B.错误!-错误! = 1 c.错误！+错误!=1 D. +错误!=1

4 2 一已知在平而直角坐标系XOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为Fl (-√3, 0),且右顶点为D(2, 0).设点A 的坐标是错误!.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2 )若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.【注:相关点法求曲线方程】

4 3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0, 2),则双曲线的标准方程为()

、V2

A. - = 1

B.-?f(χ2,4)=ιU 〒一 =1 D 错误！一 = 1

44?已知双曲线错误！一错误! = l(α>0b> 0)的一条渐近线方程是I y=X,它的一个焦点在抛物线护=24 X的准线上, 则双曲线的方程为()

A.-?f (y2,10 8)=l B寻错谋!=1 C.错谋!一错误!=1 D.-= 1

45?求与双曲线错误!一= 1有公共焦点,且过点(3错误!，2)的双曲线方程.

46.双曲线C与椭圆错误!亠错误!=1有相同的焦点，直线V=X为C的一条渐近线?求双曲线C的方程.

47?根据下列条件写出抛物线的标准方程：

⑴经过点(一3, -1)：

(2)焦点为直线3A-4V-12= 0与坐标轴的交点.

48 ?抛物线=2 PX (p>0)上一点M的纵坐标为-4错误!,这点到准线的距离为6 ,则抛物线方程为________________ .

【注淀义的应用,焦半径】

三、圆锥曲线的性质：

1.已知方程求性质：

49 .椭圆2χ2+3y2= 1的焦点坐标是（）

错误！ B.（0, ±1） C. （±1, 0）D错误！【注：焦点位巻】

50.椭圆25 X 2+9 y 2= 2 25的长轴长、短轴长、离心率依次是（）

Λ. 5, 3,错误！ B. 10,6,错误！ C. 5, 3.错误！ D. 10.6,错误！

51.设α≠=0, Λ∈R.则抛物线y =ax2的焦点坐标为（）

A错误！ B. C错误！D错误！

【注:先化为抛物线的标准方程，此处最容易出错】

2.求离心率的取值或取值范围

5 2 .直线x+2y- 2 = 0经过椭圆+ = 1 （a>b>O）的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于 ________ .

5 3.以等腰直角MBC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 _____________________________ .

54?若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是（）

丘错误！B错误！ C.错误！ D.

【注：寻找a, b, c的等量关系,遇b换成a、c,整理成关于a、C的方程】

5 5 .椭圆的两个焦点为戸、凡,短轴的一个端点为/1但三角形F x AF2是顶角为120。的等腰三角形，则此椭圆的离心率为.

56.设椭圆+ = l（8>bX））的左、右焦点分别是只、円,线段F02被点错误!分成3 ： 1的两段，则此椭圆的离心率为_____________________ .

57?中心在原点,焦点在X轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4-2）,则它的离心率为（）

1/1

A.√6

B.√5

C.错误!

D.

58 ?双曲线错误!-=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是()

A. 2

B.

C.

D. ?f(3,2)

59?已知双曲线?f(χ2,日2)一\f(y2,，)= I (α>o∕>O)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()

A. (1,2]

B. ( 1 ,2)

C. [2,+ 8)

D. (2, +8)

四、直线与圆锥曲线的关系：

1、位置关系的判定：

60 一已知抛物线的方程为y2=4x,直线/过定点P(- 2 ,1),斜率为匕斤为何值时，直线/与抛物线y2=4 x：只有一个公共点;有两个公共点：没有公共点？

【注：双曲线和抛物线中,都有相交只有一个交点的情况,这是二次项系数为0的时候,因此相离、相切、相交有两

个交点，需要用Zl判断时，必须要加上二次项系数不为0的条件】

61?已知抛物线>=4/上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点坐标为()

A. (1,2) °

B.(0, 0)

C.

D.(1,4)

2 ?弦长公式的应用：

62?已知斜率为1的直线/过椭圆tv2=l的右焦点F交椭圆于/、〃两点，求弦的长.

63.宜线尸总一2交抛物线0=8X于/1、E两点，若线段.松中点的横坐标等于2,求弦SE的长.

64?已知顶点在原点，焦点在X轴上的抛物线被直线y =2x+1截得的弦长为?√"∏^,求抛物线的方程.

v2

65.已知椭圆C：戸+=1 (a>b>O)的离心率为错误!,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设直线/与椭圆C交于力、B两点,坐标原点O到直线/的距离为错误!,求ZUoE面积的最大值.

66.已知过抛物线j?2= 2PA- (p>0)的焦点的直线交抛物线于/、B两点,且I =?f(5, 2”,求ZIB所在的直线方程.

2、弦的中点问题：

67 ?椭圆E：错误!-错误! = 1内有一点P(2,l),则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 ________________________ .

68?点P(8,l)平分双曲线X2-4^=4的一条弦,则这条眩所在直线的方程是 _______________________ .

【注：双曲线中，可能求出来的弦并不存在，因此需要注意检验/1>0】

69.若直线JUfcr-2与抛物线y2=8 X交于J, E两个不同的点，且的中点的横坐标为2,则A等于()

A .2 或-1 B.-1

C. 2

D. 1 ±

【注：涉及弦的中点问题，可以使用点差法，但仍需要注意带回检验J>0 ]

70.已知抛物线√=6 X,过点P(4, 1 )引一条弦PiP2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及?PιP2?.

4、韦达定理的应用：(综合题型)

71.已知直线尸αx+ 1与双曲线3A?2=1交于力，〃两点.

(1)求α的取值范围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.

7 2 ?如图所示,O为坐标原点，过点P(2.0)且斜率为k的直线/交抛物线y2=2x于M(Xi, y 1), N(X邛勺)两点.

⑴求xιx2与yiyz的值:(2)求证：OM丄O N .

73.已知Fi、F?为椭圆Q+错误!= 1的上、下两个焦点,AB是过焦点D的一条动弦,求△ ABF2M积的最大值.

【注：这是个焦点落在y轴的椭圆,以F∣F?为底边,将三角形分成上下两部分,而高就是AB点横向的距离，

即丨XΛ-X B∣]

74?已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=√的焦点，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的右焦点F作直线7交椭圆C于A￡两点,交F轴于点M,若MA =W FA JiB=n~FB,求"加的值.