直线与圆锥曲线题型总结
直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
直线和圆锥曲线基本题型
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范
围
解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆
22
:14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22
:14x y C m
+=始
终有交点，则
14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2
(1)
y k x y x
=+??
=?消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ①
由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21
04
k << ②
由韦达定理，得：212221
,k x x k -+=-121x x =。则线段
AB 的中点为
22
211(,)22k k k
--。 线段的垂直平分线方程为：2
2
1112()22k y x k k k --=--
令y=0,得021122
x k =
-，则211(
,0)22
E k -
ABE ?为正三角形，∴211(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d=
3
2
AB 。
2
2
1212()()AB x x y y =-+-2
2141k k -=?+
212k d k +=2
2
2
23141122k k k k k
-+∴
+=
解得3913
k =±
满足②式 此时053
x =。
题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆
C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为
32，且在x 轴上的顶点
分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3c e a =
=，2a =,则得3,1c b ==。从而椭圆的方程为2
214
x y +=
（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为
1(2)y k x =+，由122
(2)
44y k x x y =+??+=?
消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是
方程的两个根，2112
1
164
214k x k -∴-=+ 则2
112
12814k x k -=+，11
21414k y k =+， 即点M 的坐标为
211
2211
284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N
的坐标为222
22
22
824(,)1414k k k k --++
12(2),(2)p p y k t y k t =+=- 12122
k k k k t
-∴
=-+， 直线MN 的方程为：
121
121
y y y y x x x x --=
--，
∴令
y=0，得211212
x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t
=又
2t >，
∴402t
<
<椭圆的焦点为(
3,0)4
3t
∴=，即433t =
故当43
3
t =
时，MN 过椭
圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22
221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点
A (2
3,0)是椭圆的右顶点，直线
BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ?=，
2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；
(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与 直线QC 关于直线3x =对称，求直线
PQ 的斜率。
解：(I)
2BC AC
=，且BC 过椭圆的中心O
OC AC
∴=0AC BC ?=2
ACO π
∴∠=
又 A (23,0) ∴点C 的坐标为(3,3)。
A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：22
2112x y b
+= 将点
C (3,3)代入方程，得24b =，
∴椭圆E
的方程为22
1124
x y +=
(II) 直线PC与直线QC
关于直线x=
∴设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k-，从而直线PC的方程为：
( y k x -=
，即)
y kx k
=+-
，由
22
)
3120
y kx k
x y
?=+-
?
?
+-=
??
消y，整理得：
222
(13)(1)91830
k x k x k k
++-+--=3
x=是方程的一个根，
2
2
9183
13
P
k k
x
k
--
∴=
+
即2
P
x=
2
Q
x=
))
P Q P Q
y y kx k kx k
-=-++
＝()
P Q
k x x
+-
22
P Q
x x
-=
1
3
P Q
PQ
P Q
y y
k
x x
-
∴==
-
则直线PQ的斜率
为定值1
3
。
题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：221
94
x y
+=于P、Q 两点，且
DP DQ,求实数的取值范围。
解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),DP DQ(x 1,y1-3)=(x2,y2-3)即12
12
3(3)
x x
y y
方法一：方程组消元法
又P、Q是椭圆2
9
x+2
4
y=1上的点
22
22
22
22
1
94
()(33)
1
94
x y
x y
消去x 2，可得
222
2
22
(33)
1
4
y y
即y2=135
6
又－2y22，－2135
6
2解之得：15
5
λ
≤≤则实数的取
值范围是1,5
5
??
??
??
。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由22
3
4936
y kx x y =+??
+=?消y 整理后，得
22(49)54450k x kx +++=
P 、Q 是曲线M 上的两点22(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2144800k -≥即295k ≥ ①
由韦达定理得：
1212
225445
,4949k x x x x k k +=-=++21212
1221
()2x x x x x x x x +=++222254(1)45(49)k k λλ+∴
=+
即
2222
3694415(1)99k k k λλ+==++ ② 由①得2
11
095
k <
≤，代入②，整理得236915(1)5λλ<
≤+，解之得1
55
λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15
λ=。总之实数的取值范围是1,55??
????
。
题型六：面积问题 例题6、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36
短轴一个端点
到右焦点的距离为
3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求△AOB 面积的最大值。