直线和圆锥曲线题型总结
圆锥曲线基本题型总结
锥曲线基本题型总结:提纲:一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1•设F-F2为泄点,∣F1F2∣=6 ,动点M满足IMF I I+∣M F2I= 6 ,则动点M的轨迹是（）1/1C.圆D.线段【注:2a>|Fi F2I是椭圆，2a=∣Fι F2 I是线段】2.设％4, O), C(4,0) ,KZLlSC的周长等于18侧动点/1的轨迹方程为()A.5J+= 1 (yH0) -B.+ ∖ f ( X2,9)=1 (yH 0 )C错误!-错误!=1 G∙≠ 0) °D∙错误! + = 1 (y≠0)【注:检验去点】3.已知力(0, — 5)、B(0,5),昭I 一砂∣=2α,当α=3或5时，P点的轨迹为()A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线【注:2a<|F I F2∣是双曲线，2a=∣ F1F2∣⅛射线，注意一支与两支的判断】4•已知两左点巧(一 3,0),尸2(3.0),在满足下列条件的平而内动点P的轨迹中,是双曲线的是()A↑∖PF i∖-∖PF2 I |=5B.∣ I PFll-I PF2∖ I =6C.∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=7D.∣ I PF1∖-∖PF2∖ I =0 【注ι2a<∣Fι F2∣是双曲线】5•平而内有两个泄点Fι(-5,0)和F2( 5 ,0),动点P满足IPF I l-I PF沪6 ,则动点P的轨迹方程是()A.∖ f(x2, 1 6)- 错误! = l(xW-4) "B.错误!∙=l(xW∙3)C- = I(XM 4) 。
圆锥曲线计算方法总结
考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特14分. 高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三 种类型，其中第一种类型的变式比较多。
而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思 想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数 ，。
使用韦达定理时需注意成立的条件。
题型一：条件和结论可以直接或经过转化后可用两根之和与两根之积来处理 1. 福建 直线l ：x 1，P 为平面上的动点，F(1,0)过P 作直线uuu uuu uuu umr l 的垂线，垂足为点 Q ，且QPgQF FPgFQ .(I)求动点P 的轨迹C 的方程；uur uuu(n)过点 F 的直线交轨迹 C 于A, B 两点，交直线I 于点M ，已知 MA ,AF ,uur muMB 2BF ，求i 2的值；本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识, 征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力•满分解法一：(I)(x i,o )g2. (n)设直线 x my 1(m 设 A(X 1, yj ,2 联立方程组4x, my ，消去x 得: 1,y 2 4my 4 0, ( 4m)2 12 0，故 y V 2 4m, uuur uuu uur uuu由MA 1 AF , MB 2BF 得: yy 4.2 2 2 y 1 1y 1 ,y 22y 2，整理得：11 -m mmy 12 4m2 g - 0.m 4uu uur uuu uur ujur uuu uju 解法二: (I)由 QPgQF FPgFQ 得： FQg[PQ PF) 0,uur uuu uur uuuuO 2 uur 2 (PQ PF)g(PQ PF) 0, PQ PF 0,21丄, my 22 UJ U PQUULTPF •所以点 P 的轨迹C 是抛物线,UUTuuur UULT UUT(n) 由已知MA 1AF ,MB2BF ，得由题意，轨迹 C 的方程为：y 2 4x .1g 2 0 .(全国卷I))已知椭圆的中心为坐标原点 O , OA OB 与 a 2. 点F 的直线交椭圆于A 、B 两点, (I)求椭圆的离心率；(n)设M 为椭圆上任意一点，且 2y_ uiuu OM uu u OA 焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦 (3, 1)共线。
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题在解决与圆锥曲线相关的问题时，直线与圆锥曲线的交点是一个关键因素。
本文将介绍一些圆锥曲线解题的技巧，重点探讨如何通过直线与圆锥曲线的交点来解决问题。
一、直线与圆锥曲线的交点在解决圆锥曲线问题时，我们经常需要求解直线与圆锥曲线的交点。
求解这些交点能够帮助我们确定曲线的形状、性质以及其他重要参数。
接下来，我们将介绍两种常见的直线与圆锥曲线交点求解方法。
1. 利用代数方法求解交点一种常见的方法是通过代数方程求解直线与圆锥曲线的交点。
假设我们有一个圆锥曲线方程和一个直线方程，求解这两个方程的交点即可得到交点的坐标。
具体步骤如下：（1）将直线方程代入圆锥曲线方程，列出方程组。
（2）解方程组，求解交点坐标。
这种方法适用于各种类型的圆锥曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线等。
2. 利用几何方法求解交点除了代数方法，我们还可以利用几何方法快速求解直线与圆锥曲线的交点。
以下是一些常见的几何方法：（1）切线法：对于一条切线，它与圆锥曲线相切于一个交点。
通过构造一条切线，我们可以找到直线与圆锥曲线的一个交点。
这种方法适用于某些特定的圆锥曲线，例如抛物线。
（2）平行线法：对于一条平行于坐标轴的直线，它与圆锥曲线相交于两个交点。
通过确定直线与圆锥曲线的一个交点，并利用平行线性质，我们可以求解另外一个交点。
这些几何方法能够有效地求解直线与圆锥曲线的交点，帮助我们更好地理解曲线的特点和性质。
二、应用案例分析接下来，我们将通过一些应用案例来展示如何利用直线与圆锥曲线的交点解决问题。
案例一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1，要求椭圆的焦点坐标。
解析：椭圆的焦点是直线与椭圆的交点。
我们可以选择一条经过椭圆顶点的切线，找到切点作为一个焦点。
具体步骤如下：（1）求解椭圆的顶点坐标：将x=0代入椭圆方程，得到y=±3。
所以椭圆的顶点坐标为(0,3)和(0,-3)。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。
对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。
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姓 名
年级 性 别 学 校 学 科
教师 上课日期 上课时间 课题 直线和圆锥曲线总结
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范围
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任
一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭
圆的焦点？并证明你的结论
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。
题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数的取值范围。
题型六：面积问题
例题6、已知椭圆C ：122
22=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3
6短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3，求△AOB 面积的最大值。
题型七：弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。
（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线
l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
题型八：角度问题
例题8、（如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满
足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2·
1cos PM PN MPN
-∠＝,求点P 的坐标.。