圆锥曲线题型总结归纳
圆锥曲线基本题型总结
锥曲线基本题型总结:提纲:一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1•设F-F2为泄点,∣F1F2∣=6 ,动点M满足IMF I I+∣M F2I= 6 ,则动点M的轨迹是（）1/1C.圆D.线段【注:2a>|Fi F2I是椭圆，2a=∣Fι F2 I是线段】2.设％4, O), C(4,0) ,KZLlSC的周长等于18侧动点/1的轨迹方程为()A.5J+= 1 (yH0) -B.+ ∖ f ( X2,9)=1 (yH 0 )C错误!-错误!=1 G∙≠ 0) °D∙错误! + = 1 (y≠0)【注:检验去点】3.已知力(0, — 5)、B(0,5),昭I 一砂∣=2α,当α=3或5时，P点的轨迹为()A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线【注:2a<|F I F2∣是双曲线，2a=∣ F1F2∣⅛射线，注意一支与两支的判断】4•已知两左点巧(一 3,0),尸2(3.0),在满足下列条件的平而内动点P的轨迹中,是双曲线的是()A↑∖PF i∖-∖PF2 I |=5B.∣ I PFll-I PF2∖ I =6C.∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=7D.∣ I PF1∖-∖PF2∖ I =0 【注ι2a<∣Fι F2∣是双曲线】5•平而内有两个泄点Fι(-5,0)和F2( 5 ,0),动点P满足IPF I l-I PF沪6 ,则动点P的轨迹方程是()A.∖ f(x2, 1 6)- 错误! = l(xW-4) "B.错误!∙=l(xW∙3)C- = I(XM 4) 。
圆锥曲线题型总结
圆锥曲线题型总结圆锥曲线题型总结圆锥曲线是二维平面上的一类曲线，由圆锥与平面相交而得。
圆锥曲线的重要性在于它们广泛应用于数学、物理、工程等领域，在解决实际问题时具有重要的作用。
在学习圆锥曲线时，我们通常会遇到一些不同类型的题目，下面我将对常见的圆锥曲线题型进行总结并提供解题方法。
一、椭圆的题型1. 求椭圆的焦点和准线：椭圆的焦点可以通过求解直角三角形或利用椭圆方程的性质来得出，准线可以通过将椭圆的方程化为标准方程来得到。
2. 椭圆的离心率问题：椭圆的离心率是一个重要的特征，可以通过利用椭圆的定义和性质来求解。
3. 椭圆的对称性问题：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，通过利用这一性质可以得到一些关于椭圆对称性的结论。
4. 椭圆与直线的交点问题：通过直线方程与椭圆方程联立解方程组，可以求得椭圆与直线的交点。
二、双曲线的题型1. 求双曲线的焦点和准线：双曲线的焦点和准线可以通过双曲线方程的性质来求解，特别是焦点的坐标可以通过解方程组得出。
2. 双曲线的渐近线问题：双曲线具有两条渐近线，可以通过设定x或y趋于无穷大时双曲线方程的极限来求解渐近线的方程。
3. 双曲线与直线的交点问题：通过直线方程与双曲线方程联立解方程组，可以求得双曲线与直线的交点。
三、抛物线的题型1. 求抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点和准线可以通过抛物线方程的性质来求解，特别是焦点的坐标可以通过解方程组得出。
2. 抛物线的对称性问题：抛物线具有关于其焦点或顶点的对称性，可以通过利用这一性质来求解抛物线的一些问题。
3. 抛物线与直线的交点问题：通过直线方程与抛物线方程联立解方程组，可以求得抛物线与直线的交点。
四、圆的题型1. 求圆的方程：圆的方程可以通过给定圆的半径和圆心坐标来得到，也可以通过给定圆上一点的坐标或两点的坐标来得到。
2. 圆与直线的位置关系问题：可以通过将直线方程代入圆的方程，求解方程组来判断圆与直线的位置关系。
3. 圆与圆的位置关系问题：可以通过将两个圆方程联合解方程组来判断圆与圆的位置关系。
圆锥曲线十大题型全归纳
目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。
题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
圆锥曲线：弦长公式与面积的12类题型考法总结 高考数学
PQ = 3.
【答案】(1)求椭圆C的方程；(2)求△ 面积的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】(1)依题意， = ，当直线的斜率不存在时，由 = ，
得直线过点
为
+
,
，于是
+
= ，解得 = ，所以椭圆的方程
= .
(2)依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为
【解析】 = .
试卷讲评课件
(3)是否存在常数，使得 + = ⋅ 恒成立？若存在，
求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由于PF 的方程为 = �� + ，将其代入椭圆方程得
+ − + − = ，由违达定理得
+
+
−
− − +
− +
+
=
试卷讲评课件
3.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，
不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两
个三角形的底边长.
= + = ∣ ∣∣ − ∣
＋
＋
由 ＞，得0＜ ＜ ，所以 ＜＜.综上可得：
＋
＜
≤ ，即 ∈
( ,
].
试卷讲评课件
例2.已知 P 为椭圆
x2
8
+
y2
2
= 1 上的一个
(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习
圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题2.交点与中点弦问题3.弦长及面积问题4.对称问题5.范围问题6.存在性问题7.最值问题8.定值，定点，定直线问题第二部分 知识储备一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）1. 判别式：24b ac ∆=-2.韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 3.求根公式：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则1,22b x a-=二．与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2.与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；②点到直线的距离公式：d =或d =（斜截式）3.弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：1212)AB x AB y =-==-或 4.两直线1111122222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则1112,22x x y y x y ++== 三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。
(完整版)解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
1 ， 2
1 PH , 即2 PF PH 2
∴ PA 2 PF PA PH
4 / 35
当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为
a2 xA 4 1 3 c
y M D C 5 x
A
0B
例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方 程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中 的 A、M、C 共线，B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中 的 MC MD ） 。 解：如图， MC MD ， ∴ AC MA MB DB 即6 MA MB 2 ∴ MA MB 8 （*）
∴ 4 y 0 4 x0
2
9 ， 2 1 4 x0
2 4 y 0 4 x0
9 9 2 (4 x0 1) 2 1 2 4 x0 4 x0 1
6 / 35
≥ 2 9 1 5,
y0
5 4
当 4x02+1=3 即 x 0
2 2 5 5 , ) 时， ( y 0 ) min 此时 M ( 2 2 4 4
方程推导了一遍，较繁琐！ 例 4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=
3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5
分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半 径） ，可转化为边长的关系。
3 sinA 5 3 ∴ AB AC BC 5
x0 y 0 k 0 (其中 K 是直线 AB 的斜率) a2 b2
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
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直线和圆锥曲线常考题型运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，=342，则x 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m +=过动点0±（，，则1例题2一点 设直线由2y y =⎧⎨=⎩即20k <由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d AB 。
AB=221kk=+d=21k+=k=±满足②式此时053x=。
题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>且在x（I（II）异于点解：（I224xy+（II2)x+，由2yx=⎧⎨⎩根，12x∴-=的坐标为2128(k-同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为222222(,1414k k++12(2),(2)p py k t y k t=+=-12122k kk k t-∴=-+，直线MN的方程为：121121y y y yx x x x--=--，∴令y=0，得211212x y x yxy y-=-，将点M、N的坐标代入，化简后得：4xt=又2t>，∴402t<<椭圆的焦点为0)4t∴=3t=故当t =时，MN 过椭圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC解：(I) 2BC AC =，且OC AC∴=0ACBC =∴∠又 A (23,0)A (23,0)是椭圆的右顶点，(II)∴y -2(13)0k +3x =是方程的一个根，229183313Pk k x k --∴=+即2P x =同理可得：2Q x = ))P Q P Q y y kx k kx k -=-++＝()P Q k x x +- 22P Q x x -=13P Q PQP Q y y k x x -==- 则直线PQ 的斜率为定值13。
题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22194x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l的取值范围。
解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)即12123(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由223y kx =+⎧⎨消y 整理后，得 P 1212()x x x x + ② 的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB 。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，得223(1)4m k =+。
= （p>0）（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB的方程为y=kx+p,与x 2=2py 联立得⎨⎧=22py x 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2＝∴径的圆则O 'O '＝∴令2py =， 即抛物线的通径所在的直线. 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ＝.21222+⋅+k k p又由点到直线的距离公式得212kp d +=.从而，,2212212212122222+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=∆k p k p k k p AB d S ABN（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有 2py =. 满足：PM +P 的坐标.解：((Ⅱ)1cos PN =-cos 2.PM PN MPN PM PN =- ① 因为不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形PMN中，4,MN =由余弦定理有2222cos .MN PM PN PM PN MPN =+- ② 将①代入②，得 22242(2).PM PN PM PN =+--故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2213x y -=上.由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即P点坐标为. 问题九：四点共线问题例题9、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ（ⅡQ ，满足AP QB AQ PB =，证明：点解 (1)由题意：,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PBQB=,则λB ，Q 四点共线，从而AQ QB λ=11λ=- 121λ+121λ+从而22212241x x x λλ-=-，（1）2221221y y y λλ-=-，（2）又点A 、B 在椭圆C 上，即（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零。
且PA PB AQQB=又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x yx y λλλλ--==-- （1） 41x yλλ++ （2）24,=整理得设1F 、中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则 因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则((22222211232x y x y x y ⎡⎤=+++-+-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一） （Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴121243,11k x x x x +=-⋅=∴OA OB x x ⋅=()4x x ++284k -=++=设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2） ，,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2） ，,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y +=（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y k x m =+解方程组221x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪得2x1x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,1y y 使O 以2k 因为为r =y 与椭圆22184x y +=的两个交点为或(满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.因为12221224122812kmx xkmx xk⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,所以222 22212121222224288(84) ()()4()41212(12)km m k mx x x x x xk k k--+ -=+-=--⨯=+++, ==,①当k因为4k.②当k③当此时||AB综上,。