圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳
一、基础题
涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：
（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；
（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中
222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；
例题：
（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）
A ．421=+PF PF
B ．6
21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122
2
2
1
=+PF PF （答：C ）；
（2）
方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）
（3）已知点)0,22(Q 及抛物线4
2
x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）
（4）已知方程1232
2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11
(3,)
(,2)22
---）； （5）双曲线的离心率等于25
，且与椭圆14
922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2
214x y -=）；
（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为
_______（答：226x y -=）
二、定义题
对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；
圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：
①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；
③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为
2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2
a x c
=±；
⑤离心率：c
e a
=，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
p e c b a ,,,,
例：（1）若椭圆1522=+m
y x 的离心率510
=
e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：
22）
（2）双曲线（以22
221x y a b
-=（0,0a b >>）为例）：
①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；
③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；
④准线：两条准线2a x c =±； ⑤两条渐近线：b
y x a
=±。
⑥离心率：c
e a
=，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；
例：（3）双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,则双曲线的离心率为______
（4）双曲线22
1ax by -=:a b = （答：4或1
4）；
（5）设双曲线122
22=-b
y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是
________（答：[,]32
ππ
）；
（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：
①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2
p
，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；
③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
④准线：一条准线2
p
x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。
（4）点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200221x y a b +>；
2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b
y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200
221x y a b +<
例：（6）116252
2=+y x 设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a
）；
（7）已知椭圆上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：
35
3
）； （8）已知抛物线方程为x y 82
=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（9）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；
（10）点P 在椭圆19
252
2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为
_______（答：
25
12
）；
三、直线与圆锥曲线的关系题
（1）写直线方程时，先考虑斜率k 存在，把直线方程设为b kx y +=的形式，但随后应对斜率k 不存在的情况作出相应说明，因为k 不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立； （2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x 或消去y ，得到方程02=++c bx ax ①或02=++c by ay ②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。
（3）当方程①或②的二次项系数0=a 时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行； （过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，
过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；） （4）当方程①或②的二次项系数0≠a 时，判别式△0<、△0=、△0>，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△0≥来求斜率k 的范围； 例题：
（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；
（2）过点(0,2)与双曲线116
92
2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：
4,33??±±?????
）； （3）直线y ―kx ―1=0与椭圆22
15x y m
+
=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
（4）过双曲线12
12
2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；
（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提0≠a ，△0>），记为AB ，其中),(11y x A ，),(22y x B ，AB 的坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出21,x x ，再代入直线方程求21,y y ，或由方程②求出
21,y y ，再代入直线方程求21,x x 。
（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程02=++c bx ax ①求出2121,x x x x +，
),(11y x A ，),(22y x B 在直线b kx y +=上，∴b kx y +=11，b kx y +=22，
)(2121x x k y y -=-,∴2212221221))(1()()(x x k y y x x AB -+=-+-=
]4))[(1(212212x x x x k -++=a
k ?+=)1(2。
请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去x ，得到02=++c by ay ②，继而用韦达定理，求出
2121,y y y y +， )(1
212
1y y k
x x -=
-,∴2212
221221))(1
1()()(y y k y y x x AB -+
=
-+-=
]4))[(1
1(212212y y y y k
-++
=
a k
?+
=)11(2
；
（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②
2
21212,4
p x x y y p ==-
（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p
（7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程02=++c bx ax ①求出21x x +，设弦),(11y x A ),(22y x B 的中点为),(00y x M ，则2
2
10x x x +=
， M 点也在直线b kx y +=上，∴b kx y +=00。 如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k 有关，而不涉及弦长，则可把弦AB 的坐标),(11y x ，),(22y x 直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有)(21x x -、)(21x x +、)(21y y -、)(21y y +，这些都与弦中点坐标和弦的斜率k 有关。（点差法）
（8）弦AB 满足有关的向量的条件，如0=?（O 为原点），则02121=+y y x x ， b kx y +=11，
b kx y +=22，∴0)()1())((2212122121=++++=+++b x x kb x x k b kx b kx x x .
又如过椭圆2222=+y x 的右焦点1F 的直线l 与该椭圆交于,M N 两点，3262=+，求直线l 的方程。
特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 例：（1）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；
（2）如果椭圆22
1369
x y +
=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；
（3）已知直线y=－x+1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：
x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：2
）；
（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222=-b
y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222
=-b
y a x 为参数，λ≠0）。
如（4）与双曲线116
92
2=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（答：
22
4194
x y -=） （5）．经过双曲线13
22
=-y x 的右焦点F 2作倾斜角为30°的弦AB ， （1）求|AB|
（2）求三角形AB F 1的周长，（F 1是左焦点）
（6）．已知抛物线x y -=2与直线y=k(x+1)相交于A 、B 两点
（1）求证：OB OA ⊥
（2）当10=?OAB S ，求k 的值。
（7）已知动直线(1)y k x =+与椭圆22
:155
3
x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7
(,0)3
M -
， 求证：MA MB ?为定值. 解: 将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∴?=-+-=+>，
2122631k x x k +=-+，2122
35
31
k x x k -=+ 所以112212127777
(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ?=+
+=+++ 2121277
()()(1)(1)33
x x k x x =+++++
2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2
22
2357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++ 422
2316549319k k k k ---=+++49
=
。
（8）过椭圆
14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
四、关于圆锥曲线的最值
（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标),(00y x M ，用两点间的距离公式表示距离d ，利用点M 的坐标),(00y x 满足圆锥曲线方程，消去0y （或消去0x ），把2d 表示成0x （或0y ）的二次函数，因为0x （或0y ）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。
（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。
例：（1）椭圆x^2/3+y^2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离；
五、求动点的轨迹方程
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
注意：不重合的两条直线0:1111=++C y B x A 与0:2222=++C y B x A ，1 的法向量为：),(111B A =，
方向向量为),1(),(1111k A B e =-=，0212121=+?⊥B B A A
1 ∥21212A B B A =? 且2121A C C A ≠；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；
(1)已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
（2）线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：22y x =）；
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为 （答：224x y +=）；
（4）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；
(5) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(6)动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分?→
?PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3
162-=x y ）；
（7）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使
||||OP MN =，求点P 的轨迹。（答：22||x y a y +=）；
（8）若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：
21
21(||)2y x x =+≤）；
（9）过抛物线y x 42
=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：222x y =-）；
（14全国卷）
20.（本小题满分12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，
直线AF 的斜率为
3
，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程. 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设(,0)F c ，由条件知，
2c =，得c =
又
c a =，所以222
2,1a b a c ==-= 故E 的方程为2
214
x y +=………………………………………………5分
（Ⅱ）当l x ⊥轴时不合题意，故设:2l y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，将2y kx =-代入2
214
x y +=得 22(14)16120k x kx +-+=
当2
16(43)0k ?=->，即2
34k >时，1,22841
k x k ±=+
从而122
|||41
PQ x x k =-=+ 又点O 到直线PQ 的距离
d =
OPQ ?的面积
2
1||241
OPQ
S d PQ k ?=?=+……………………9分
t =，则0t >，2
44
44OPQ t S t t t
?=
=++
因为4
4t t
+
≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0?>
所以当OPQ ?的面积最大时，l 的方程为
22y x =
-或22
y x =--……………………………12分
答案
一：1.C 2.双曲线的左支
3∵y=x^2/4 即x^2=4y ∴焦点F 为（0,1）准线：y=-1 过点P 作PM ⊥y=-1于M ∴│PM │=│PF │ ∴y+|PQ|=│PM │+|PQ|-1=│PF │+|PQ|-1 ∵当F,P,Q 三点共线时│PF │+|PQ|最小 （│PF │+|PQ|）min=√[（2√2）^2+1]=3
∴（y+|PQ|）min=（│PF │+|PQ|-1）min=3-1=2
4.11(3,)(,2)22
---）； 5.2
214x y -=； 6.226x y -=
二：1. 3或
3
25
2.设焦点在x 轴上,则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形,底边长为2c,面积最大时,底边上的高最大,即该动点必须位于椭圆与y 轴的交点上,即此时高为b,即 2c*b/2=1,bc=1,c=1/b 而c^2= a^2-b^2 =(1/b)^2 即a^2= b^2 +(1/b)^2 ≥2 a ≥√2 长轴2a ≥2√2
3.（1）焦点在x 轴上,渐近线y=±(b/a)x ∴ b/a=3/4 ∴ b=3t, a=4t ∴ c=5t ∴ e=c/a=5/4
（2）焦点在y 轴上,渐近线y=±(a/b)x ∴ a/b=3/4 ∴ a=3t, b=4t ∴ c=5t ∴ e=c/a=5/3
4. 4或1
4
5. e=c/a ∈[√2,2],
∴cos[(π-θ)/2]=a/c ∈[1/2,1/√2], ∴(π-θ)/2∈[π/4,π/3], ∴π-θ∈[π/2,2π/3], ∴θ的取值范围是[π/3,π/2].
6.)161,0(a
7. 353
8. 7
9. （ 7,(2,4)±） 10. 25
12
三： 1、2 2.445,33????
±±??????
显然该抛物线焦点是（2,0）这个点在x=5上.解方程组x=5,y 2=8x ,
则x=5,y=2√10.∴该点坐标为（5,2√10）. 用公式算得该点至抛物线距离为7.
2.设直线为y=kx+a,∵过（0,2）点,∴可得a=2 y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点 也就是方程组x2/9-y2/16=1；y=kx+2}只有一组解 将y=kx+2代入x2/9-y2/16=1得到： (16-9k2)x2-18kx-180=0 就此讨论：
当16-9k2=0时,方程只有一组解,也就是k=±(4/3)时,方程 只有一组解
当16-9k2不等于0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件 也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k 的值 3：∵椭圆
，∴
且
，直线
恒过定点
，欲使其与椭圆
恒
有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即：，∴，选C.
4. X^2 - Y^2/2 =1 c 2=1+2=3 F(√3,0)
过F 且垂直x 轴的直线是x=√3 代入则y 2=4 y=±2 所以此时AB=2-(-2)=4 所以这里有一条
且AB 都在右支时其他的直线则AB 都大于4 所以AB 都在右支只有1条 直线L 交双曲线于A,B 两点,A 、B 分别在两支时, 顶点是(-1,0),(1,0) 顶点距离是2<4 所以也有两条,关于x 轴对称 所以共有3条
1. 2
2. 280x y +-=
3. 22
4.
22
4194
x y -= 5
6、（1）将y=k(x+1)代入y^2=-x, 设A （X1,y1）,B(X2,y2)
易得X1+X2=-(2k^2+1)/k^2,X1*X2=1
y1*y2=k^2(X1+1)(X2+1)=-1
0A 斜率K1为y1/X1,0B 斜率K2为y2/X2, 所以K1*K2=-1得证
（2）1/2(根x1^2+y1^2*根下x2^2+yx^2)=根10 （x1^2+y1^2）*（x2^2+yx^2）=40 x1^2x2^2+(x1^2+y2^2+x2^2y1^2)=40 2-(x1^2x2+x2^2x1)=40 x1x2(x1+x2)=-38 (2k^2+1)/-k^2=-38 k^2=1/36 k=-1/6
7、7、解: 将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-=
4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∴?=-+-=+>，
2122631k x x k +=-+，212235
31
k x x k -=+
所以112212127777
(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ?=+
+=+++ 2121277
()()(1)(1)33
x x k x x =+++++
2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2
22
2357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++ 422
2316549319k k k k ---=+++49
=。
8.设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642
12
1=+y x ，1642
22
2=+y x
两式相减得0)(4)(2
2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x
∴
2
1
244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
1
1--=-x y ，即042=-+y x 。
四、 1.解：将直线L 向椭圆方向平移至直线L ’:x-y+c=0，使直线L ’与椭圆恰好相切，切点为P ， 把x=y-c 代入椭圆方程x^2/3+y^2=1……（1）, 得 （y-c)^2/3+y^2=1
整理得：4y^2-2cy+c^2-3=0 由△=0得4c^2-4×4×(c^2-3)=0
c=±2
即直线L ’方程为:x-y ±2=0
方程为:x-y+2=0……（2） 符合题意
解（1）、（2）得P 点坐标为（-3/2,1/2）。
∴点P 到直线L:x-y+4=0的距离的最小值为：d=|-3/2-1/2+4|/√2=√2/2。
五、1. 212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；
2. 22y x =
3.224x y +=
4.216y x =
5.双曲线的一支
6. 3
162-=x y 7. 222x y =-
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设(,0)F c ，由条件知，
2c =，得c =
又
c a =，所以222
2,1a b a c ==-= 故E 的方程为2
214
x y +=………………………………………………5分 （Ⅱ）当l x ⊥轴时不合题意，故设:2l y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，将2y kx =-代入2
214
x y +=得 22(14)16120k x kx +-+=
当2
16(43)0k ?=->，即2
34k >时，1,2x =
从而122|||41
PQ x x k =-=+
又点O 到直线PQ 的距离
d =
OPQ ?的面积
1||2OPQ
S d PQ ?=?=……………………9分
t =，则0t >，244
4
4OPQ t S t t t
?=
=
++
因为4
4t t
+
≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0?>
所以当OPQ ?的面积最大时，l 的方程为
22y x =
-或22
y x =--……………………………12分