试题精选_山东省德州市平原县第一中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)调研试卷(扫描版)_精校完美版
山东省德州市高三数学上学期第一次模拟试卷 理(含解析)
2015年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（50分）1．设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3﹣i，则的值为（）A．1 B．2 C．D．42．设全集U={x∈N|x＜6}，集合A={l，3}，B={3，5}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{2，4} B．{2，4，6} C．{0，2，4} D．{0，2，4，6}3．“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，则输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．45．若函数f（x）=a2x﹣4，g（x）=log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2）•g（2）＜0，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知抛物线y2=8x与双曲线﹣y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x±3y=0 B．3x±5y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=07．棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4 D．38．已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2=4与D围成的区域面积为（）A．B．C．πD．9．设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）A．﹣13 B．6 C．79 D．3710．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A．2015＜2014＜f（1）B．2015＜f（1）＜2014C．f（1）＜2015＜2014D．f（1）＜2014＜2015二、填空题（25分）11．某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是人．12．= ．13．若不等式|x+1|+|2x﹣1|＞a恒成立，则a的取值范围是．14．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为．15．设函数f（x）、g（x）的定义域分别为D J，D E，且D J⊆D E．若对于任意x⊆D J，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D E上的一个延拓函数．设f（x）=e x（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题：①当x＞0时，g（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数g（x）有5个零点；③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1；⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2其中正确的命题是（填上所有正确的命题序号）三、解答题（75分）16．在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足．（1）求角A的大小；（2）求sinA•sinB•sinC的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．17．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值．18．某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为．（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B 并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖）．且每次实验相互独立，用X 表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望．19．单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=x﹣alnx+（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e=2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2015年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（50分）1．设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3﹣i，则的值为（）A．1 B．2 C．D．4考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由得答案．解答：解：由（2+i）z=3﹣i，得，∴=．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．设全集U={x∈N|x＜6}，集合A={l，3}，B={3，5}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{2，4} B．{2，4，6} C．{0，2，4} D．{0，2，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：列举出全集U中的元素，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可．解答：解：∵全集U={x∈N|x＜6}={0，1，2，3，4，5}，集合A={l，3}，B={3，5}，∴∁U A={0，2，4，5}，∁U B={0，1，2，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={0，2，4}．故选C点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系进行判断．解答：解：若￢p为假命题，则p为真命题．若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，故“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键．4．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=5，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，则输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为3，从而得解．解答：解：模拟执行程序，可得输入数据n=5，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，S=0，k=1S=1，k=2不满足条件k＞5，S=，k=3不满足条件k＞5，S=2，k=4不满足条件k＞5，S=，k=5不满足条件k＞5，S=3，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为3．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．5．若函数f（x）=a2x﹣4，g（x）=log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2）•g（2）＜0，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先由条件f（2）•g（2）＜0确定a的取值范围，然后利用指数函数和对数函数的性质去判断f（x），g（x）的图象．解答：解：由题意f（x）=a2x﹣4是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（2）•g（2）＜0，可得出g（2）＜0，故log a2＜0，故0＜a＜1，由此特征可以确定C、D两选项不正确，且f（x）=a2x﹣4是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选：B．点评：本题主要考查了函数图象的识别和应用．判断函数图象要充分利用函数本身的性质，由f（2）•g（2）＜0确定a的取值范围，是解决本题的关键．6．已知抛物线y2=8x与双曲线﹣y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x±3y=0 B．3x±5y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），则由抛物线的定义可得m=3，进而得到M的坐标，代入双曲线的方程，可得a，再由渐近线方程即可得到所求．解答：解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5，解得m=3，由n2=24，可得n=±2．将M（3，）代入双曲线﹣y2=1，可得﹣24=1，解得a=，即有双曲线的渐近线方程为y=±x．即为5x±3y=0．故选A．点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．7．棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4 D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体沿体对角线截成．解答：解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是=4，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．8．已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2=4与D围成的区域面积为（）A．B．C．πD．考点：两直线的夹角与到角问题；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：直线与圆．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据区域的图形进行求面积即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则公共区域如图：则直线x﹣2y=0的斜率k=，直线x+3y=0的斜率k=，则两直线的夹角θ满足tanθ=||=1，则θ=，则阴影部分对应的面积之和S==，故选：A．点评：本题主要考查二元一次不等式组的应用以及圆的扇形面积的求解，根据直线所成的角求出两条直线的夹角是解决本题的关键．9．设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）A．﹣13 B．6 C．79 D．37考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．解答：解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为•（﹣2）+•（﹣5）=﹣16，可得2m+5n=16 ①．再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，故含x2项的系数是•（﹣2）2+•（﹣5）2=37，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A．2015＜2014＜f（1）B．2015＜f（1）＜2014C．f（1）＜2015＜2014D．f（1）＜2014＜2015考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：首先利用换元法设g（x）=x2f（x），进一步利用函数的导数求出函数g（x）的单调性，再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性，最后求出函数大小关系．解答：解：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），则：设函数g（x）=x2f（x）则：g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则：函数g′（x）＞0所以函数在x＜0时，函数g（x）为单调递增函数．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则：函数g（x）=x2f（x）为奇函数．所以：在x＞0时，函数g（x）为单调递增函数．所以：g（）即：故选：D点评：本题考查的知识要点：利用函数的导数求函数的单调性，函数的奇偶性和函数单调性的关系．二、填空题（25分）11．某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是760 人．考点：分层抽样方法；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：先计算出样本中女学生人数，再根据分层抽样的性质计算出该校女生的人数．解答：解：根据题意，设样本中女生人数为x，则（x+10）+x=200，解得x=95，所以该校的女生人数是人，故答案为：760．点评：本题考查分层抽样，先计算中样本中男女学生的人数是解决本题的关键，属基础题．12．= e2．考点：定积分．专题：计算题．分析：欲求定积分，先求原函数，由于（lnx）′=，（ x2）′=2x，故2x+的原函数是x2+lnx，从而问题解决．解答：解：∵（lnx）′=，（ x2）′=2x，∴=x2|1e+lnx|1e=e2﹣1+lne﹣ln1=e2故答案为：e2点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、原函数的概念解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．13．若不等式|x+1|+|2x﹣1|＞a恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：化简f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的解析式，利用f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值为f（）=，由此求得a的范围．解答：解：设f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，由于函数f（x）在（﹣∞，﹣1]、（﹣1，）上都是减函数，在[，+∞）上是增函数，故当x=时，函数f（x）取得最小值为f（）=．再根据题意可得＞a，故答案为：（﹣∞，）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为 2 ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．解答：解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．点评：本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖．15．设函数f（x）、g（x）的定义域分别为D J，D E，且D J⊆D E．若对于任意x⊆D J，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D E上的一个延拓函数．设f（x）=e x（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题：①当x＞0时，g（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数g（x）有5个零点；③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1；⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2其中正确的命题是①③⑤（填上所有正确的命题序号）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用题目提供的信息，可得g（x）在D J上的解析式，然后通过函数的奇偶性可求得其在对称区间上解析式，综合结论即可得答案．解答：解：①由题意得，若x＞0时，则﹣x＜0，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）=f（x）=e x（x+1）（x＜0），∴g（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣g（x），∴g（x）=e﹣x（x﹣1），（x＞0），故①正确；②∵g（x）=e x（x+1）（x＜0），此时g′（x）=e x（x+2），令其等于0，解得x=﹣2，且当x∈（﹣∞，﹣2）上导数小于0，函数单调递减；当x∈（﹣2，0）上导数大于0，函数单调递增，x=﹣2处为极小值点，且g（﹣2）＞﹣1，且在x=﹣1处函数值为0，且当x＜﹣1是函数值为负．又∵奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：由图象可知：函数g（x）有3个零点，故②错误；③由②知函数g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故③正确，；④由②知函数在x=﹣2处取得极小值，极小值为g（﹣2）=e﹣2（﹣2+1）=﹣e﹣2，根据奇函数的对称性可知在x=2处取得极大值，极大值为g（2）=e﹣2，故④错误；⑤当x＜0时，g（x）=e x（x+1），则当x→0时，g（x）→1，当x＞0时，g（x）=e﹣x（x﹣1），则当x→0时，g（x）→﹣1，即当x＜0时，﹣1＜﹣e﹣2＜g（x）＜1，即当x＞0时，﹣1＜g（x）＜e﹣2＜1，故有对∀x1，x2∈R，|g（x2）﹣g（x1）|＜2恒成立，即⑤正确．故正确的命题是①③⑤，故答案为：①③⑤点评：本题主要考查新定义的应用，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解，有一定的难度．三、解答题（75分）16．在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足．（1）求角A的大小；（2）求sinA•sinB•sinC的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）由．利用数量积运算可得：2bccosA=a2﹣（b+c）2，展开再利用余弦定理可得2bccosA=﹣2bccosA﹣2bc，化为cosA=﹣．（2）由，可得，．利用两角和差的正弦公式、倍角公式可得sinA•sinB•sinC==﹣，由．可得，当=时，sinA•sinB•sinC取得最大值，即可得出．解答：解：（1）∵=cbcosA，．∴2bccosA=a2﹣（b+c）2，展开为：2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，∴2bccosA=﹣2bccosA﹣2bc，化为cosA=﹣，∵A∈（0，π）．∴．（2）∵，∴，．∴sinA•sinB•sinC===﹣==﹣=﹣，∵．∴，当=时，即时，sinA•sinB•sinC取得最大值，此时B=C=．点评：本题考查了数量积运算、余弦定理、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积⇔，即可证明AB1⊥平面A1BD；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．解答：（1）证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则．∴，，．∵，．∴，，∴AB1⊥面A1BD．（2）设平面A1AD的法向量为，．，∴，∴，⇒，令z=1，得为平面A1AD的一个法向量，由（1）知AB1⊥面A1BD，∴为平面A1AD的法向量，，由图可以看出：二面角A﹣A1D﹣B是锐角．∴二面角A﹣A1D﹣B的余弦值为．点评：熟练掌握：通过建立如图所示的空间直角坐标系的方法，利用数量积与垂直的关系证明线面垂直；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角．18．某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为．（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B 并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖）．且每次实验相互独立，用X 表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立．记事件至少有一次实验成功为D，则P（D）=1﹣=1﹣，即可得出．（II）X的取值分别为，0，10000，30000，60000．则P（X=0）包括实验A第一次不成功或第一次成功而第二次不成功，P（X=10000）包括实验A两次成功，而B第一次不成功或第一次成功而第二次不成功，（X=30000）包括实验A，B的各两次实验都成功，而实验C的三次都不成功或三次实验中只有一次成功，P（X=60000）包括实验A，B的各两次实验都成功，而实验C的三次中都成功或三次中有两次成功，进而得出X分布列与数学期望．解答：解：（1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立．记事件至少有一次实验成功为D，则P（D）=1﹣=1﹣=1﹣=．（II）X的取值分别为，0，10000，30000，60000．则P（X=0）=+=，P（X=10000）=×=，P（X=30000）==，P（X=60000）=×=，X分布列为：X 0 10000 30000 60000P（X）X的数学期望E（X）=+++=21600元．点评：本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、相互独立事件的概率、相互对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由4S n=a n2+4n，利用递推关系可得：，变为（a n﹣2+a n﹣1）（a n﹣2﹣a n﹣1）=0，利用数列{a n}是单调递增数列，可得a n﹣a n﹣1=2．利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由数列{b n}满足，可得=．再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵4S n=a n2+4n．∴当n=1时，4a1=+4，解得a1=2；当n≥2时，+4（n﹣1），∴4a n=4S n﹣4S n﹣1=a n2+4n﹣，化为，变为（a n﹣2+a n﹣1）（a n﹣2﹣a n﹣1）=0，∴a n+a n﹣1=2或a n﹣a n﹣1=2．∵数列{a n}是单调递增数列，a n+a n﹣1=2应该舍去，∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）∵数列{b n}满足，∴=，∴=．∴数列{b n}的前n项和T n=+…+，=+…+，∴=++…+=﹣=，∴．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和公式、对数的运算性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（13分）（2015•德州一模）已知函数f（x）=x﹣alnx+（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e=2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间；（2）由题意，只要求出函数f（x）min≤0即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到a的范围．解答：解：（1）∵f（x）=x﹣alnx+（a∈R），∴f′（x）=1﹣﹣==，①当1+a≤0时，即a≤﹣1时，在x∈（0，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上f′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增，（2）在[1，e]（e=2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，∴函数f（x）=x﹣alnx+在[1，e]的最小值小于或等于0，由（1）知，当a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min=f（1）=1+1+a≤0，解得a≤﹣2，当a＞﹣1时①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=e+﹣a≤0，解得a≥，∵＞e﹣1，∴a≥；②当1+a≤1，即a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=1+1+a≤0，解得a≤﹣2，与a＞﹣1矛盾；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min=f（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴f（1+a）=a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）≤0不成立，综上所述若在[1，e]（e=2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立a的范围为a≥，或a≤﹣2点评：本题主要考查函数的单调性及最值，以及分类讨论的思想，转化思想，属于中档题．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，可得﹣b=﹣2，解得b．又，a2=b2+c2，联立解得即可．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=，与椭圆方程联立化为﹣12=0，由△＞0，解得，利用根与系数的关系可得：x1﹣x2|=．四边形APBQ面积S=，利用二次函数的单调性即可得出．（ii）由∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：=k（x﹣2），与椭圆的方程联立化为+4﹣16=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．解答：解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，∴﹣b=﹣2，解得b=2．又，a2=b2+c2，∴a=4，，可得椭圆C的标准方程为．（2））（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=，联立，化为﹣12=0，由△＞0，解得，∴，x1x2=3t2﹣12，∴|x1﹣x2|==．四边形APBQ面积S==，当t=0时，S max=12．（ii）∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：=k（x﹣2），联立，化为+4﹣16=0，∴x1+2=，同理可得：x2+2==，∴x1+x2=，x1﹣x2=，k AB===．∴直线AB的斜率为定值．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、斜率计算公式、四边形面积最大值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省德州市第一中学2015届高三数学10月月考试卷 理(含解析)
山东省德州市第一中学2015届高三数学10月月考试卷 理（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合A {}3,2,1,0=，集合 {|||2}B x N x =∈≤ ，则AB =（ ）A ．{}3B ．{}2,1,0C ．{}2,1 D ．{}3,2,1,0 【答案】B【解析】试题分析：因为{|||2}B x N x =∈≤{}2,1,0,1,2--= ，A {}3,2,1,0=， 所以AB {}2,1,0=.考点：集合的交集.2．若0()3f x '=-，则000()()lim h f x h f x h h→+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12-【答案】B 【解析】 试题分析：由题意可得：000()()limh f x h f x h h→+--=()()()()()622lim 2lim 0'000000-==+-+=+-+→→x f h h x f h x f h h x f h x f h h . 考点：导数的定义及应用.3．函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B.]1,0[C.),1()0,(+∞-∞D.),1[]0,(+∞-∞ 【答案】C 【解析】试题分析：因为)ln()(2x x x f -=，所以0102<>⇒>-x x x x 或，所以函数)ln()(2x x x f -=的定义域为),1()0,(+∞-∞ .考点：函数的定义域.4．已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A.1 B.2 C.3 D.-1 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得：()[]()10115111=⇒=-⇒==-=-a a a f g f a .考点：幂函数方程求解.5．已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f （ ）A.3-B.1-C.1D.3 【答案】C 【解析】试题分析：因为1)()(23++=-x x x g x f ，所以()()111=---g f ，又因为)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， 所以()()111=+g f . 考点：函数奇偶性的应用.6．已知集合A {}4,1,0,2=，B ={k |k R ∈，22k A -∈，2k A -∉}，则集合B 中所有元素之和为（ ）A ．2B ．-2C ．0D 【答案】B 【解析】试题分析：当2222-=⇒=-k k 或2=k ，又因为A k ∉-2，所以2-=k 符合题意；当2,2022-==⇒=-k k k ，A k ∉-2，所以2,2-==k k 符合题意；当3,3122-==⇒=-k k k ，A k ∉-2，所以3,3-==k k 符合题意；当6,6422-==⇒=-k k k ，A k ∉-2，所以6,6-==k k 符合题意；所以{}6,6,3,3,2,2,2----=B ，所以集合B 中所有元素之和为-2. 考点：元素与集合的关系. 7．曲线1x y xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1【答案】C 【解析】试题分析：由1x y xe-=可得：11'--+=x x xe ey ，所以2|001'=+==e e y x ，所以曲线1x y xe-=在点()1,1处切线的斜率2=k . 考点：导数的几何意义. 8．.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13D.1 【答案】B【解析】 试题分析：令()dx x f m ⎰=1，则()()m x dx x f xx f 22212+=+=⎰，所以()()()()m m dx x dx m x dx dx x f x dx x f m 2312221021021010210+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰⎰， 所以()313110-=⇒-=⎰dx x f m考点：定积分的应用. 9．下列四个图中，函数=y 10111n x x ++的图象可能是（ ）A B C D【答案】C 【解析】试题分析：因为xx y ln 10=是奇函数，所以向左平移一个单位可得：11ln 10++=x x y ，所以11ln 10++=x x y 的图像关于()0,1-中心对称，故排除A,D当2-<x 时，0<y 恒成立，所以应选C 考点：函数的图像.10．如图所示的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（ ）A ．32 B ．34 C ．38D ．916【答案】D【解析】试题分析：由图像可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++==+-+-0210248001d c b d c b d d c b ， 所以()2232'--=x x x f ，由题意可得：21,x x 是函数d cx bx x x f +++=23)(的两个极值点，故21,x x 是方程()0'=x f 的根，所以32,322121-==+x x x x ，则()9162212212221=-+=+x x x x x x . 考点：利用导数研究函数极值.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题（题型注释）11．物体运动方程为23t S =-，则2t =时瞬时速度为 【答案】4ln 2 【解析】试题分析：由题意可得：2ln 2't s =，所以当2t =时瞬时速度为2ln 42ln 2|22'===t s考点：导数的几何意义. 12．已知()f x =2lg()1a x+-是奇函数，则实数a 的值是 【答案】1- 【解析】试题分析：因为()⎪⎭⎫⎝⎛+-=a x x f 12lg ，所以对于定义域内的所有x 的有()()x f x f -=-，即：⇒-+-=+++⇒⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++ax a x x ax a ax a x x ax a a x a x 211221lg 12lg 12lg 12lg()()111221222222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒-+=-a a a x a a x考点：奇函数性质的应用.13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为a ，拱高为b ，其面积为____________.【答案】23ab 【解析】试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为224x a b y -=所以函数与x 轴围成的部分的面积为3|34)4(22322222ab x a b dx x a b s aa a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--⎰，所以阴影部分的面积为323abab ab =-.考点：定积分的应用.14．不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集为____________． 【答案】{}|12x x x <->或 【解析】试题分析：原不等式等价于623(2)(2).x x x x +>+++设3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)212f x f x x x x x >+⇔>+⇔<->或 所以原不等式的解集为：{}|12x x x <->或. 考点：解不等式.15．已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则(2)f =____________．【答案】10【解析】试题分析：令()3xt f x =-，则()4f t =且()3xf x t =+，所以()341tf t t t =+=⇒=，所以()13xf x =+，所以()221310f =+=.考点：函数单调性的应用. 评卷人 得分三、解答题（题型注释）16．已知函数()f x 的定义域为(2,2)-，函数()(1)(32)g x f x f x =-+-（1）求函数()g x 的定义域；（2）若()f x 是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式()0g x ≤的解集.【答案】（1）15(,)22；（2）1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1）由题意可得：1321215232222x x x x -⎧--⎧⎪⇒⎨⎨--⎩⎪⎩＜＜＜＜＜＜＜＜，解此不等式组即可得出函数()g x 的定义域15(,)22；（2）由不等式()0g x ≤可得(1)(32)f x f x -+-根据单调性得2121223222123x x x x x --⎧⎪--⇒⎨⎪--⎩＜＜＜＜＜≤≥进而可得不等式()0g x ≤的解集. 试题解析：（1）由题意可知：1321215232222x x x x -⎧--⎧⎪⇒⎨⎨--⎩⎪⎩＜＜＜＜＜＜＜＜，解得1522x << 3分∴函数()g x 的定义域为15(,)224分（2）由()0g x ≤得(1)(32)f x f x -+-≤0， ∴(1)(32)f x f x -≤-- 又∵()f x 是奇函数， ∴(1)(23)f x f x -≤- 8分又∵()f x 在(2,2)-上单调递减，∴2121223222123x x x x x --⎧⎪--⇒⎨⎪--⎩＜＜＜＜＜≤≥ 11分∴()0g x ≤的解集为1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：函数的定义域、奇偶性、单调性的应用.17．已知曲线 32y x x =+- 在点 0P 处的切线 1l 平行直线410x y --=，且点 0P 在第三象限.（1）求0P 的坐标；（2）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点0P ,求直线 l的方程.【答案】（1）(1,4)－－;（2）4170x y ++=. 【解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导数，因为已知直线410x y --=的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率都为4，所以令导数等于4得到关于x 的方程，求出方程的解，即为0p 的横坐标，又因为切点在第三象限，所以即可写出满足条件的切点坐标；（2）直线1l 的斜率为4，根据垂直两直线的斜率之积等于1-，可得直线l 的斜率为14-，又由（1）可知切点的坐标，即可写出直线l 的方程.试题解析：由32y x x =+－，得231y x '=+， 2分 由1l 平行直线410x y --=得2314x +=，解之得1x =±.当1x =时，0y =; 当1x =－时，4y =－. 4分 又∵点0P 在第三象限,∴切点0P 的坐标为(1,4)－－ 6分 （2）∵直线1l l ⊥, 1l 的斜率为4, ∴直线l 的斜率为14-, 8分 ∵l 过切点0P ,点0P 的坐标为 （－1,－4） ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+11分 即4170x y ++= 12分 考点：利用导数研究曲线方程.18．若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点．已知函数3()3f x x bx =++， 其中b 为常数．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若存在一个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值点．求实数b 的值；【答案】（1）当0b ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，当0b <时，()f x 的单调递增区间为(,-∞，)+∞；（2）3b =-. 【解析】试题分析：（1）首先求出函数的导函数2()3f x x b '=+，然后根据b 的取值范围讨论导数的正负进而得出函数的单调区间；（2）由题意可得：203000303x b x bx x ⎧+=⎨++=⎩，解方程组可得3b =-.试题解析：（1）因3()3f x x bx =++，故2()3f x x b '=+. 1分 当0b ≥时，显然()f x 在R 上单增； 3分当0b <时，由知x >x <分 所以，当0b ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0b <时，()f x的单调递增区间为(,-∞，)+∞ 6分（2）由条件知203000303x b x bx x ⎧+=⎨++=⎩，于是300230x x +-=， 8分即2000(1)(223)0x x x -++=，解得01x = 11分从而3b =-. 12分 考点：函数性质的综合应用.19．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤，已知甲、乙两地相距100千米（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】（1）17.5；（2）以80千米／小时的速度匀速行驶时耗油最少,最少为11.25升. 【解析】试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时， 2分 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯= 4分答当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升 5分（2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设油耗为()h x 升， 依题意得313100()(8)12800080h x x x x =-+⋅218001512804x x =+- （0120x <≤） 7分方法一则332280080()640640x x h x x x-'=-= （0120x <≤） 8分 令()0h x '=，解得80x =，列表得所以当80x =时，()h x 有最小值(80)11.25h =． 11分 方法二 2180015()12804h x x x =+-214004001512804x x x =++- 8分154≥-＝11.25 10分 当且仅当214004001280x x x==时成立，此时可解得80x = 11分 答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升． 12分考点：基本不等式及函数模型的应用. 20．已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠' （1）当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;（2）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;（3）在（2）的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 【答案】（1）()a y g x x x ==+；（2）1a =；（3）2ln 23ln 247-+.【解析】试题分析：（1）对x 的取值分类讨论，化简绝对值求出()'fx 得到0x >和0x <导函数相等，代入到()g x 即可；（2）根据基本不等式得到()g x 的最小值即可求出a ；（3）根据（2）知()1g x x x=+，首先联立直线与函数解析式求出交点，利用定积分求出直线与函数图像围成的区域的面积即可.试题解析：（1）∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =，1()f x x'=当0x <时,()ln()f x x =-,11()(1)f x x x'=⋅-=-. ∴当0x ≠时,函数()a y g x x x==+. 4分 （2）∵由（1）知当0x >时,()a g x x x =+, ∴当0,0a x >>时, ()≥g xx =时取等号.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是∴依题意得2=∴1a =. 8分 （3）由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=2ln 23ln 247-+ 13分 考点：导数及函数单调性、定积分的应用.21．设关于x 的方程210x mx --=有两个实根,,αβαβ<，函数()221x m f x x -=+. （1）求()()f f ααββ+的值；（2）判断()f x 在区间(),αβ的单调性，并加以证明；（3）若,λμ均为正实数，证明：f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】（1）()f αα＋()2f ββ=；（2）单调递增；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）因为,αβ是方程的210x mx --=的两个实根，利用韦达定理即可得到()f x的解析式，求出()(),f f αβ进而即可求出()()f f ααββ+的值；（2）利用导数及二次函数的图像来讨论导数的正负，即可判断函数的单调性；（3）首先求出,λαμβμαλβλμλμ++++的取值范围，然后根据函数的单调性判断出函数值的取值范围，把两个函数值相减即可得到要证的结论.试题解析：（1）∵,αβ是方程210x mx --=的两个根， ∴m αβ+=，1αβ=-， 1分∴()221mf ααα-=+，又m αβ=+，∴()222()1f ααβαβααααβ-+-==+-1α=，3分 即()1f αα=，同理可得()1f ββ=∴()f αα＋()2f ββ= 4分（2）∵()2222(1)(1)x mx f x x --'=-+， 6分将m αβ=+代入整理的()222()()(1)x x f x x αβ--'=-+ 7分又()(),,0x f x αβ'∈>，∴()f x 在区间(),αβ的单调递增; 8分（3）∵λαμβαλμ+-+()0μβαλμ-=>+，λαμββλμ+-+()0μαβλμ-=<+ ∴λαμβαβλμ+<<+ 10分由（2）可知()()()f f f λαμβαβλμ+<<+，同理()()()f f f μαλβαβλμ+<<+()()f f f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 12分由（1）可知1()f αα=，1()f ββ=，1αβ=-， ∴11()()||||||f f αβαβαβαβαβ--=-==-∴f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭14分考点：函数与方程、函数的单调性、不等式的证明.。
山东省德州一中2015届高三上学期10月月考数学(理)试题
山东省德州一中2015届高三上学期10月月考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：每小题5分，共10题，50分．【题文】1．已知集合A ＝{0,1, 2,3}，集合 {|||2}B x N x =∈≤ ，则A B =（ ）A ．{ 3 }B ．{0，1，2}C ．{ 1，2}D ．{0，1，2，3}【知识点】交集的运算.A1【答案解析】B 解析：因为{|||2}B x N x =∈≤{}|22x x =-≤≤，所以A B ={0，1，2}，故选B.【思路点拨】先解出集合B ，再求A B 即可.【题文】2．若0()3f x '=-，则 ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 【知识点】导数的概念.B11【答案解析】B B.【思路点拨】利用导数的概念解之即可.【题文】3．函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞ 【知识点】函数的定义域.B1【答案解析】C 解析：若使原函数有意义，则20x x ->，解得1x >或0x <，即函数的定义域为),1()0,(+∞-∞ ，故选C.【思路点拨】若使原函数有意义，解一元二次不等式即可.【题文】4．已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. -1【知识点】函数的值.B1【答案解析】A 解析：由题意得：()11g a =-，所以()|1|151a f a --==，解得1a =，故选A.【思路点拨】先由题意得()1g ，然后解方程|1|51a -=即可.【题文】5．已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f （ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 3 【知识点】奇函数、偶函数的性质.B4【答案解析】C 解析：因为)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()f x f x -=，g()()x g x -=-，又因为1)()(23++=-x x x g x f ，故32()g()1f x x x x ---=-++，即32()()1f x g x x x +=-++，则=+)1()1(g f 1，故选C.【思路点拨】先由题意的()()f x f x -=，g()()x g x -=-，再结合1)()(23++=-x x x g x f 可求出32()()1f x g x x x +=-++，进而得到结果.【题文】6．已知集合A ={2，0，1，4}，B ={k |k R ∈，22k A -∈，2k A -∉}，则集合B 中所有元素之和为（ ）A ．2B ．-2C ．0D 【知识点】集合中元素的特性.A1【答案解析】B 解析：因为22k A -∈，所以有下列情况成立：（1）22k -=2，解得2k =±,当2k =时，20k A -=∈不满足题意，舍去，故2k =-；（2）22k -=0（3）22k -=1（4）22k -=4 所以集合B 中所有元素之和为2-，故选B.【思路点拨】由22k A -∈分情况讨论即可得到结果. 【题文】7．曲线1x y xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【知识点】导数的几何意义.B11【答案解析】C 解析：因为1()x f x xe-=，所以()1()1x f x x e-'=+，则()11(1)112k f e -'==+=，故选C.【思路点拨】先对原函数求导，再利用导数的几何意义求出斜率即可. 【题文】8则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.【答案解析】B 解析：设()1m f x dx =⎰，则2()2f x x m =+，故选B.【思路点拨】本题考查了定积分以及微积分基本定理的应用. 【题文】9．下列四个图中，函数 ）ABCD【知识点】函数的图像；函数的性质.B8【答案解析】C 解析：令1t x =+，则原函数转化为于坐标原点对称，可排除A,D;又因为当0x >时，函数值为正值，故排除B,则答案为C. 【思路点拨】借助于函数的性质结合排除法即可.【题文】10．如图所示的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（ ）A B C D【答案解析】C 解析：由图象知()0f x =的根为0,1,2，\d=0，\()322()0f x x bx cx x x bx c =++=++=，\20x bx c ++=的两根为1和2，\3,2b c =-=，\32()32f x x x x =-+，\2()362f x x x ¢=-+，Q 12,x x 为23620x x -+=的两根，\122x x +=，选C.【思路点拨】由图象知()0f x =的根为0,1,2，求出函数解析式，12,x x 为23620x x -+=的两根，结合根与系数的关系求解.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：每小题5分，共5题，25分．11．物体运动方程为23t S =-，则2t =时瞬时速度为 【知识点】导数的几何意义.B11【答案解析】4ln 2 解析：由题意得：2ln 2t S '=，当2t =时瞬时速度为22|2ln 24ln 2t S ='==，故答案为：4ln 2。
山东省德州市高三数学上学期1月月考试题 理1
高三数学（理）月考试题（2016/1/11）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共计50分） 1．设i 是虚数单位，复数7412ii+=+（ ） A ． 32i -B ．32i +C ． 23i +D ． 23i -2．集合{}{}20,2A x x a B x x =-≥=<，若R C A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ． []0,4B ．(],4-∞C ． (),4-∞D ． ()0,43.设0.50322,log 2,log 0.1a b c ===，则 A.a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b c a <<4．下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．4个D ．3个5．直线10x my ++=与不等式组30,20,20x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 41,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ． 3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 33,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．487．设01a <<，则函数11x y a =-的图象大致为（ ）8．已知向量()()0,sin ,1,2cos a x b x ==，函数()()2237,22f x a bg x a b =⋅=+-，则()f x 的图象可由()g x 的图象经过怎样的变换得到（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ． 向左平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度D ． 向右平移2π个单位长度9. 已知函数()()()sin 0f x A x ωϕϕπ=+<<的图象如图所示，若()00053,,sin 36f x x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则的值为10.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(]0,3上有三个零点，则实数a 的取值范围是 A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.ln 30,3⎛⎤⎥⎝⎦D.ln 3,3e ⎛⎫⎪⎝⎭二、解答题（每小题5分共计25分）11.已知()sin cos 0,,tan αααπα-=∈=则 .12.已知平面向量()()1,22,.23a b m a b a b ==-⊥+=，，且则 . 13.函数1lg 1y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域是 . 14. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S 、，体积分别为12υυ，，若它们的侧面积相等，且1122169S S υυ=，则的值为.15.给出下列四个命题：①命题“,cos 0x R x ∀∈>”的否定是“,cos 0x R x ∃∈≤”； ②a 、b 、c 是空间中的三条直线，a//b 的充要条件是a c b c ⊥⊥且； ③命题“在△ABC 中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题；④对任意实数()()()(),000x f x f x x x x ''-=>><<有，且当时，f ，则当x 0时，f . 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题：16.已知函数()()21cos cos 0,2f x x x x x R ωωωω=-->∈的图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）若ABC ∆三个内角A 、B 、C的对边分别为()0,sin a b c c f C B ===、、，且3sin A ，求a ，b 的值.17. 已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：21n n S a += （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()()11211n n n n a b a a ++=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18. 在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ∆∆与是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. （I ）求证：DE//平面ABC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值. 19. （本小题满分12分）如图正方形ABCD 的边长为ABCD的边长为BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交于点G ，O 为GC的中点，FO FO =⊥平面ABCD.（I ）求证:AE//平面BCF ；（II）若FO =，求证CF ⊥平面AEF..20. （本小题满分13分）已知函数()ln ,f x x mx m R =-∈.（I ）求()f x 的单调区间； （II ）若()[)1211m f x m x-≤-++∞在，上恒成立，求实数m 的取值范围. 21（本小题满分14分）.如图，在△ABC 中，已知∠ABC=45°，O 在AB 上，且OB=OC=AB ，又PO ⊥平面ABC ，DA ∥PO ，DA=AO=PO ． （Ⅰ）求证：PD ⊥平面COD ；（Ⅱ）求二面角B ﹣DC ﹣O 的余弦值．高三数学（理）月考试题答案一、 选择题1.A2.B3.C 4、D 5、D 6、A 7、B 8、C 9、D 10、D 二．填空题11. -1 12.(-4,7) 13.32[log ,)+∞ 14. 4315.①④ 三、解答题18.解析：（Ⅰ）证明：由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥，又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴60EBF ∠=︒，易求得∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ，∴//DE 平面 ABC …………6分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知平面ABC 的一 个法向量为1(0,0,1)n =,,(1,0,0)C -,设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =, 则，2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可求得(3,n =-分1213,13||||n n n n n n ⋅>==⋅又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 所以二面角E BC A --的余弦值为分21.【解析】：（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO．从而，在△PDO中，∵PO=2，∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，∴CO⊥平面PAB．故CO⊥PD．∵CO∩DO=O，∴PD⊥平面COD．-------------7分（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），∴，由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，设平面BDC的法向量为，∴，∴，令y=1，则x=1，z=3，∴，∴，由图可知：二面角B﹣DC﹣O为锐角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值为．--14分。
2015年山东省德州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（50分）1．（5分）设复数z的共轭复数为，若（2+i）z＝3﹣i，则的值为（）A．1B．2C．D．42．（5分）设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{l，3}，B＝{3，5}，则（∁U A）∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4}D．{0，2，4，6} 3．（5分）“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入数据n＝5，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，则输出的结果为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）若函数f（x）＝a2x﹣4，g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2）•g （2）＜0，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知抛物线y2＝8x与双曲线﹣y2＝1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x±3y＝0B．3x±5y＝0C．4x±5y＝0D．5x±4y＝0 7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4D．38．（5分）已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2＝4与D 围成的区域面积为（）A．B．C．πD．9．（5分）设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）A．﹣13B．6C．79D．3710．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x ＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A．2015＜2014＜f（1）B．2015＜f（1）＜2014C．f（1）＜2015＜2014D．f（1）＜2014＜2015二、填空题（25分）11．（5分）某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是人．12．（5分）（2x+）dx＝．13．（5分）若不等式|x+1|+|2x﹣1|＞a恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）将函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为．15．（5分）设函数f（x）、g（x）的定义域分别为D J，D E，且D J⊆D E．若对于任意x⊆D J，都有g（x）＝f（x），则称函数g（x）为f（x）在D E上的一个延拓函数．设f（x）＝e x（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题：①当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1）；②函数g（x）有5个零点；③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1；⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2其中正确的命题是（填上所有正确的命题序号）三、解答题（75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足．（1）求角A的大小；（2）求sin A•sin B•sin C的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．17．（12分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值．18．（12分）某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为．（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖）．且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望．19．（12分）单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n＝a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足a n+1+log2b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2015年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（50分）1．（5分）设复数z的共轭复数为，若（2+i）z＝3﹣i，则的值为（）A．1B．2C．D．4【解答】解：由（2+i）z＝3﹣i，得，∴＝．故选：B．2．（5分）设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{l，3}，B＝{3，5}，则（∁U A）∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4}D．{0，2，4，6}【解答】解：∵全集U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{l，3}，B ＝{3，5}，∴∁U A＝{0，2，4，5}，∁U B＝{0，1，2，4}，则（∁U A）∩（∁U B）＝{0，2，4}．故选：C．3．（5分）“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假命题，则p为真命题．若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，故“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入数据n＝5，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，则输出的结果为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：模拟执行程序，可得输入数据n＝5，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，S＝0，k＝1S＝1，k＝2不满足条件k＞5，S＝，k＝3不满足条件k＞5，S＝2，k＝4不满足条件k＞5，S＝，k＝5不满足条件k＞5，S＝3，k＝6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为3．故选：C．5．（5分）若函数f（x）＝a2x﹣4，g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2）•g （2）＜0，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f（x）＝a2x﹣4是指数型的，g（x）＝log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（2）•g（2）＜0，可得出g（2）＜0，故log a2＜0，故0＜a＜1，由此特征可以确定C、D两选项不正确，且f（x）＝a2x﹣4是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选：B．6．（5分）已知抛物线y2＝8x与双曲线﹣y2＝1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x±3y＝0B．3x±5y＝0C．4x±5y＝0D．5x±4y＝0【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|＝m+2＝5，解得m＝3，由n2＝24，可得n＝±2．将M（3，）代入双曲线﹣y2＝1，可得﹣24＝1，解得a＝，即有双曲线的渐近线方程为y＝±x．即为5x±3y＝0．故选：A．7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4D．3【解答】解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V＝23＝8，故被截去的几何体的体积是＝4，故选：C．8．（5分）已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2＝4与D 围成的区域面积为（）A．B．C．πD．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则公共区域如图：则直线x﹣2y＝0的斜率k＝，直线x+3y＝0的斜率k＝，则两直线的夹角θ满足tanθ＝||＝1，则θ＝，则阴影部分对应的面积之和S＝＝，故选：A．9．（5分）设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）A．﹣13B．6C．79D．37【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为•（﹣2）+•（﹣5）＝﹣16，可得2m+5n＝16 ①．再根据m、n为正整数，可得m＝3、n＝2，故含x2项的系数是•（﹣2）2+•（﹣5）2＝37，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x ＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A．2015＜2014＜f（1）B．2015＜f（1）＜2014C．f（1）＜2015＜2014D．f（1）＜2014＜2015【解答】解：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），则：设函数g（x）＝x2f（x）则：g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝g′（x）＝x（2f（x）+xf′（x））当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则：函数g′（x）＞0所以函数在x＜0时，函数g（x）为单调递增函数．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则：函数g（x）＝x2f（x）为奇函数．所以：在x＞0时，函数g（x）为单调递增函数．所以：g（）即：故选：D．二、填空题（25分）11．（5分）某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是760人．【解答】解：根据题意，设样本中女生人数为x，则（x+10）+x＝200，解得x＝95，所以该校的女生人数是人，故答案为：760．12．（5分）（2x+）dx＝e2．【解答】解：∵（lnx）′＝，（x2）′＝2x，∴＝x2|1e+lnx|1e＝e2﹣1+lne﹣ln1＝e2故答案为：e213．（5分）若不等式|x+1|+|2x﹣1|＞a恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：设f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|＝，由于函数f（x）在（﹣∞，﹣1]、（﹣1，）上都是减函数，在[，+∞）上是增函数，故当x＝时，函数f（x）取得最小值为f（）＝．再根据题意可得＞a，故答案为：（﹣∞，）．14．（5分）将函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为2．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sinωx，y＝g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．15．（5分）设函数f（x）、g（x）的定义域分别为D J，D E，且D J⊆D E．若对于任意x⊆D J，都有g（x）＝f（x），则称函数g（x）为f（x）在D E上的一个延拓函数．设f（x）＝e x（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题：①当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1）；②函数g（x）有5个零点；③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1；⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2其中正确的命题是①③⑤（填上所有正确的命题序号）【解答】解：①由题意得，若x＞0时，则﹣x＜0，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）＝f（x）＝e x（x+1）（x＜0），∴g（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1）＝﹣g（x），∴g（x）＝e﹣x（x﹣1），（x＞0），故①正确；②∵g（x）＝e x（x+1）（x＜0），此时g′（x）＝e x（x+2），令其等于0，解得x＝﹣2，且当x∈（﹣∞，﹣2）上导数小于0，函数单调递减；当x∈（﹣2，0）上导数大于0，函数单调递增，x＝﹣2处为极小值点，且g（﹣2）＞﹣1，且在x＝﹣1处函数值为0，且当x＜﹣1是函数值为负．又∵奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：由图象可知：函数g（x）有3个零点，故②错误；③由②知函数g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故③正确，；④由②知函数在x＝﹣2处取得极小值，极小值为g（﹣2）＝e﹣2（﹣2+1）＝﹣e﹣2，根据奇函数的对称性可知在x＝2处取得极大值，极大值为g（2）＝e﹣2，故④错误；⑤当x＜0时，g（x）＝e x（x+1），则当x→0时，g（x）→1，当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1），则当x→0时，g（x）→﹣1，即当x＜0时，﹣1＜﹣e﹣2＜g（x）＜1，即当x＞0时，﹣1＜g（x）＜e﹣2＜1，故有对∀x1，x2∈R，|g（x2）﹣g（x1）|＜2恒成立，即⑤正确．故正确的命题是①③⑤，故答案为：①③⑤三、解答题（75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足．（1）求角A的大小；（2）求sin A•sin B•sin C的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．【解答】解：（1）∵＝cb cos A，．∴2bc cos A＝a2﹣（b+c）2，展开为：2bc cos A＝a2﹣b2﹣c2﹣2bc，∴2bc cos A＝﹣2bc cos A﹣2bc，化为cos A＝﹣，∵A∈（0，π）．∴．（2）∵，∴，．∴sin A•sin B•sin C＝＝＝﹣＝＝﹣＝﹣，∵．∴，当＝时，即时，sin A•sin B•sin C取得最大值，此时B＝C＝．17．（12分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则．∴，，．∵，．∴，，∴AB1⊥面A1BD．AD的法向量为，（2）设平面A．，∴，∴，⇒，令z＝1，得为平面A 1AD的一个法向量，由（1）知AB1⊥面A1BD，∴为平面A1AD的法向量，，由图可以看出：二面角A﹣A1D﹣B是锐角．∴二面角A﹣A1D﹣B的余弦值为．18．（12分）某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为．（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖）．且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立．记事件至少有一次实验成功为D，则P（D）＝1﹣＝1﹣＝1﹣＝．（II）X的取值分别为，0，10000，30000，60000．则P（X＝0）＝+＝，P（X＝10000）＝×＝，P（X＝30000）＝＝，P（X＝60000）＝×＝，X分布列为：X的数学期望E（X）＝+++＝21600元．19．（12分）单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n＝a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足a n+1+log2b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵4S n＝a n2+4n．∴当n＝1时，4a1＝+4，解得a1＝2；当n≥2时，+4（n﹣1），∴4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝a n2+4n﹣，化为，变为（a n﹣2+a n﹣1）（a n﹣2﹣a n﹣1）＝0，∴a n+a n﹣1＝2或a n﹣a n﹣1＝2．∵数列{a n}是单调递增数列，a n+a n﹣1＝2应该舍去，∴a n﹣a n﹣1＝2．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为2，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）∵数列{b n}满足，∴＝，∴＝．∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+，＝+…+，∴＝++…+＝﹣＝，∴．20．（13分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝x﹣alnx+（a∈R），∴f′（x）＝1﹣﹣＝＝，①当1+a≤0时，即a≤﹣1时，在x∈（0，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上f′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增，（2）在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，∴函数f（x）＝x﹣alnx+在[1，e]的最小值小于或等于0，由（1）知，当a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min＝f（1）＝1+1+a≤0，解得a≤﹣2，当a＞﹣1时①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min＝f（e）＝e+﹣a≤0，解得a≥，∵＞e﹣1，∴a≥；②当1+a≤1，即a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝1+1+a≤0，解得a≤﹣2，与a＞﹣1矛盾；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min＝f（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴f（1+a）＝a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）≤0不成立，综上所述若在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立a的范围为a≥，或a≤﹣221．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝﹣2上，∴﹣b＝﹣2，解得b＝2．又，a2＝b2+c2，∴a＝4，，可得椭圆C的标准方程为．（2））（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝，联立，化为﹣12＝0，由△＞0，解得，∴，x 1x2＝3t2﹣12，∴|x1﹣x2|＝＝．四边形APBQ面积S＝＝，当t＝0时，S max＝12．（ii）∵∠APQ＝∠BPQ，则P A，PB的斜率互为相反数，可设直线P A的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线P A的方程为：＝k（x﹣2），联立，化为+4﹣16＝0，∴x1+2＝，同理可得：x2+2＝＝，∴x1+x2＝，x1﹣x2＝，k AB＝＝＝．∴直线AB的斜率为定值．。
山东省德州市某中学2015届高三数学上学期10月月考试题 理 新人教A版
高三月考数学试题〔理〕须知事项：1．本试题分为第1卷和第2卷两局部，总分为150分，考试时间为120分钟．2．禁止使用计算器． 3．答卷之前将姓名、班级等信息填写在答题卡与答题纸的相应位置.4．答卷必须使用黑色0.5毫米中性笔，使用其它类笔不给分．画图题可先用铅笔轻轻画出，确定答案后，用中性笔重描． 禁止使用透明胶带，涂改液，修正带．5．选择题填涂在答题卡上，填空题的答案抄写在答题纸纸上．解答题必须写出详细的解题步骤，必须写在答题纸相应位置，否如此不予计分．第1卷〔选择题 共50分〕一、选择题：每一小题5分，共10题，50分．1．集合A ＝{0,1, 2,3} ，集合{|||2}B x N x =∈≤，如此A B =〔 〕A ．{ 3 }B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}2．假设0()3f x '=-，如此000()()limh f x h f x h h →+--=〔 〕A ．3-B ．6-C ．9-D ．12-3．函数)ln()(2x x x f -=的定义域为〔 〕 A.)1,0( B. ]1,0[ C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞4．函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，假设1)]1([=g f ，如此=a 〔 〕 A.1 B. 2 C. 3 D. -15．)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，如此=+)1()1(g f 〔 〕A. 3-B. 1-C. 1D. 36．集合A ={2，0，1，4}，B ={k |k R ∈，22k A -∈，2k A -∉}，如此集合B 中所有元素之和为〔 〕A ．2B ．-2C ．0D ．27．曲线1x y xe -=在点〔1,1〕处切线的斜率等于 〔 〕A ．2eB ．eC ．2D ．18．假设120()2(),f x x f x dx =+⎰如此1()f x dx =⎰〔 〕A.1-B.13-C.13 D.19．如下四个图中，函数y=10111n x x ++的图象可能是〔 〕ABCD10．如下列图的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，如此2221x x +等于〔 〕A ．32B ．34C ．38D ．316第2卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：每一小题5分，共5题，25分．11．物体运动方程为23tS =-，如此2t =时瞬时速度为12．()f x =是奇函数，如此实数a 的值是13．如下列图，抛物线拱形的底边弦长为a ，拱高为b ，其面积为____________．14．不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集为____________．15．()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，如此(2)f =____________．三、解答题：共6小题，75分．写出必要文字说明、证明过程与演算步骤.16．(本小题总分为12分)函数()f x 的定义域为(2,2)-，函数()(1)(32)g x f x f x =-+- 〔Ⅰ〕求函数()g x 的定义域；〔Ⅱ〕假设()f x 是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式()0g x ≤的解集.17．(本小题总分为12分)曲线32y x x =+- 在点 0P 处的切线 1l 平行直线410x y --=，且点 0P 在第三象限. 〔Ⅰ〕求P 的坐标；〔Ⅱ〕假设直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P ,求直线 l 的方程.18．〔本小题总分为12分〕 假设实数x 满足00()f x x =，如此称x x =为()f x 的不动点．函数3()3f x x bx =++， 其中b 为常数．〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调递增区间； 〔Ⅱ〕假设存在一个实数0x ，使得x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值点．求实数b 的值；19．〔本小题总分为12分〕统计明确，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 〔升〕关于行驶速度x 〔千米/小时〕的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤甲、乙两地相距100千米〔Ⅰ〕当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ 〔Ⅱ〕当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 20．(本小题总分为13分)函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠'〔Ⅰ〕当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;〔Ⅱ〕假设0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积.21．〔本小题总分为14分〕设关于x 的方程012=--mx x 有两个实根βαβα<,,，函数()122+-=x m x x f 。
【山东版】2015届高三上学期月考(1)数学(理)含答案
2015 届上学期高三一轮复习第一次月考数学（理）试题【山东版】注意事项：1. 本试题共分 22 大题，全卷共 150 分。
考试时间为 120 分钟。
2．第 I 卷一定使用 2B 铅笔填涂答题纸相应题目的答案标号，改正时，要用橡皮擦洁净。
3. 第 II 卷一定使用 0.5 毫米的黑色墨水署名笔书写在答题纸的指定地点，在底稿纸和本卷上答题无效。
作图时，可用 2B 铅笔，要求字体工整、字迹清楚。
第 I 卷（共 60分） 一、选择题 (本大题共 12 个小题；每题5 分，共 60 分．在每题给出的4 个选项中，只有一项切合题目要求 .) 1．已知会合 A1,1 , Bx 1 2x4 ,则 AB 等于（）A ． 1,0,1B ． 1C ．1,1D ． 0,12＋ x ，则 fx ＋ f 2的定义域为 ()2．设 f(x)＝ lg 2－ x2 xA ． (－ 4,0)∪ (0,4)B ． (－4，－ 1)∪ (1,4)C ． (－ 2，－ 1)∪ (1,2)D ． (－ 4，－ 2)∪(2,4)3．命题 “全部能被 2 整除的整数都是偶数”的否认是 ()A ．全部不可以被 2 整除的整数都是偶数B ．全部能被 2 整除的整数都不是偶数C ．存在一个不可以被 2 整除的整数是偶数D ．存在一个能被 2 整除的整数不是偶数21 x , x 1的取值范围是 ()4．设函数 f ( x)log 2 ，则知足 f ( x) 2 的 x1 x, x 1A ． [ 1，2]B ．[0， 2]C ． [1，+ )D ．[0，+ )5．若函数 f ( x) x 2a(a R ) ，则以下结论正确的选项是（）xA ． a R ， f ( x) 在 (0, ) 上是增函数B ．C ． aR ， f ( x) 是偶函数D ．a R ， f ( x) 在 (0, ) 上是减函数a R ， f ( x) 是奇函数6．一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为 a ，得 2 分的概率为 b ，不得分的概率为c ，[a, b, c(0,1)] ，已知他投篮一次得分的希望是2 1）2，则的最小值为（a3b32 28 C ．14 16A ．B ．3D ．3337．已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 2a, a 1),且 f (x 1) 为偶函数 ,则实数 a 的值能够是（）2B ．2C．4D．6A ．38 ．已知函数 f ( x)x 49( x1) ,当x=a时 , f (x)获得最小值,则在直角坐标系中,函数x11 x 1g( x) ( )的大概图象为9．对于会合 M 、N，定义 M－ N＝ { x|x∈ M 且 x? N} ，M⊕ N＝ (M－ N)∪ (N－ M)，设 A＝ { y|y＝ 3x， x∈ R} ，B＝{ y|y＝－ (x－ 1)2＋ 2， x∈ R} ，则 A⊕ B 等于 ()A ． [0,2)B． (0,2]C．(－∞，0]∪(2，＋∞ )D． (－∞， 0)∪ [2，＋∞)10．已知函数f ( x) x22x 3在区间 [0, t] 上有最大值32t的取值范围是()，最小值，则A．[1,)B．[0, 2]C．( ,2]D．[1,2]11．对于随意两个正整数m,n,定义某种运算“※”以下 :当m, n都为正偶数或正奇数时 , m※n = m n ;当m, n中一个为正偶数 ,另一个为正奇数时,m※n=mn．则在此定义下 ,会合M {( a, b) a ※ b12,a N , b N}中的元素个数是 ()A．10 个B．15 个C．16 个D．18 个12．已知函数 y＝ f( x)的周期为 2，当 x∈ [ － 1,1]时 f(x)＝ x2，那么函数 y＝ f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有 ()A．10个 B．9 个C．8 个D．1 个第 II 卷（非选择题，共90分）二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分 ,请将答案填在答题纸上)x≥1，13．已知会合 A＝ {( x， y)| x≤y，} ，会合 B＝ {( x， y)|3x＋ 2y－ m＝ 0} ，若 A∩B≠? ，则实数 m 的2x－ y≤1最小值等于 __________ ．1114．若 (a＋ 1)2＜ (3－ 2a) 2，则 a 的取值范围是 __________ ．15．用二分法求方程2的正实根的近似解(精准度 0.001)时，假如我们选用初始区间是[1.4,1.5] ，x ＝ 2则要达到精准度要求起码需要计算的次数是__________ 次．16．以下结论中是真命题的是__________( 填序号 )．2b① f(x)＝ ax ＋ bx ＋c 在 [0，＋ ∞)上是增函数的一个充足条件是－ 2a ＜0； ②已知甲： x ＋ y ≠3，乙： x ≠1或 y ≠2，则甲是乙的充足不用要条件； ③数列 { a n }( n ∈ N *)是等差数列的充要条件是P n n ，S n是共线的．n三、解答题 :本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分）已知会合 A ＝ { x ∈ R| 3≥ 1}，会合 B ＝ { x ∈R|y ＝－ x 2＋ x － m ＋ m 2} ，若 A ∪ B ＝ A ，务实数 m 的取x ＋ 1值范围．18．（本小题满分 12 分）已知函数 f( x)＝ x 2＋ 4ax ＋ 2a ＋ 6.(1) 若函数 f(x)的值域为 [0，＋ ∞)，求 a 的值；(2) 若函数f(x)的函数值均为非负数，求f(a)＝ 2－ a|a ＋ 3|的值域．19．（本小题满分12 分）已知函数f (x)log 4(4x1) kx(kR) 为偶函数.(Ⅰ )求 k 的值 ;(Ⅱ )若方程f ( x)log 4 (a 2xa)有且只有一个根, 务实数a 的取值范围 .20．（本小题满分 12 分）提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况．在一般状况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米 /小时 )是车流密度 x(单位：辆 /千米 )的函数，当桥上的车流密度达到200 辆 / 千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超出 20 辆 /千米时，车流速度为 60 千米 /小时．研究表示：当20≤x ≤ 200时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．(1) 当 0≤x ≤ 200时，求函数 v(x)的表达式； (2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内经过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/小时 )f(x)＝ x ·v(x)能够达到最大，并求出最大值．(精准到 1 辆/小时 )21．（本小题满分 12 分）22已知 p ： ? x ∈R,2x ＞m(x ＋ 1)， q ： ? x 0∈ R ，x 0＋ 2x 0－ m －1＝ 0，且p ∧ q为真，务实数m 的取值范围．22．（本小题满分 14 分）设函数 f ( θ)＝ 3sin θ＋ cos θ，此中， 角 θ的极点与坐标原点重合， 始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x ， y)，且 0≤θ≤π.1 ， 3(1) 若点 P 的坐标为 (2)，求 f( θ)的值；2x ＋y ≥1(2) 若点 P(x ， y)为平面地区 Ω： x ≤1，上的一个动点，试确立角θ的取值范围，并求函数 f( θ)y ≤1的最小值和最大值．参照答案一、选择题1. B Bx 1 2x 4 { x 0 x 2} ,所以 A B {1} ,选 B ．2. B由2 x0 ，得 f(x) 的定义域为 {x| － 2＜x ＜ 2}.2 xx22＜ ＜ 2，－＜ 2.解得 x ∈ (－ 4，－ 1)∪ (1, 4) ．故－ 2 2＜ x3 .D 否认原题结论的同时要把量词做相应改变，应选D.4.Dx 2 是一个偶函数 .5.C 对于 a 0 时有 fx6.D1) ,即函数 f ( x) 对于 x 1对称 ,7.B 因为函数 f (x1) 为偶函数 ,所以 f ( x 1) f ( x所以区间 (3 2a, a 1) 对于 x1 对称 ,所以32a a 11,即 a 2 ,所以选 B ．28 By x4 9x 1+9 5 ,因为 x 1 ,所以 x 1 0, 90 ,所以由均值不等式x 1x 1x 1 得 yx 1+ x 9 5 2 ( x 1) 9 5 1,当且仅当 x19,1 x 1x 1即2时取等号 ,所以 a2 ,所以1 x 11 x1(x 1) 9 , x 1 3, x 2 g (x) ( )( ),又所以a21g( x)( 1) x1( ) x 1 , x 12 ,所以选 B.22x 1 , x19. C由题可知，会合 A ＝ {y|y ＞ 0} ， B ＝ {y|y ≤ 2}，所以 A － B ＝ {y|y ＞ 2} ， B － A ＝ {y|y ≤ 0}，所以 A ⊕ B ＝ (－ ∞， 0]∪ (2，＋ ∞)，应选 C.12 .A画出两个函数图象可看出交点有10 个．二、填空题13. 5A ∩B ≠? 说明直线与平面地区有公共点， 所以问题转变成： 求当 x ，y 知足拘束条件 x ≥1，x ≤y，2x － y ≤1时，目标函数 m ＝ 3x ＋ 2y 的最小值． 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域．能够求得在点 (1,1) 处，目标函数 m ＝ 3x ＋ 2y 获得最小值 5.231∵函数 yx 2 在定义域 (0，＋ ∞)上递减，∴ a ＋ 1＞ 0， 3－ 2a ＞ 0， a ＋ 1＞3－ 2a ，14. (, )3 2即 2＜ a ＜3.320.115. 7设起码需要计算n 次，则 n 知足 0.001 ，即 2n 100 ，因为 27128 ，故要达到精准7 次．2n度要求起码需要计算16. ②③① f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋ c 在 [0，＋ ∞)上是增函数，则必有 a ＞ 0，b 0 ，故①不正确．② x2a＝ 1 且 y ＝ 2，则 x ＋ y ＝ 3. 进而逆否命题是充足不用要条件，故②正确．③若 {a n } 是等差数列，则 S n ＝ An2＋ Bn ，即 S n n＝ An ＋ B ，故③正确．三、解答题x-20} ＝ (－ 1,2]，17 解：由题意得： A ＝ {x ∈ R| x+1 B ＝ {x ∈ R|x 2－x ＋ m － m 2≤ 0}＝ {x ∈ R|(x － m)(x －1＋ m)≤ 0}由 A ∪B ＝A 知 B? A ，得－ 1＜ m ≤2，－ 1＜ 1－ m ≤2，解得：－ 1＜ m ＜ 2.18 解： (1) ∵函数的值域为 [0，＋ ∞)，∴ ＝ 16a 2－ 4(2a ＋6) ＝0, ∴ 2a 2－ a － 3＝ 0, ∴ a ＝－ 1 或 a ＝3 .2(2) ∵对全部 x ∈ R 函数值均为非负，∴＝ 8 (2a 23－ a－ 3) ≤0,∴－ 1≤a ≤ ，∴ a ＋ 3＞ 0，2∴ f(a)＝ 2－ a|a ＋3|＝－ a 2－ 3a ＋ 2＝－ (a+ 3)217 (a [-1, 3]) .24 2∵二次函数 f(a)在 [-1,3] 上单一递减，2∴ f ( 3) ≤ f(a) －≤ 1)f(，即－19≤ f(a) ，≤4∴ f(a)的值域为 [ －19， 4].24419 解：（ 1）因为 f (x) 为偶函数，所以f ( x)f ( x)即 log 4 ( 4 x1) kxlog 4 (4x 1) kx ，∴ log 4 4 x 1log 4 (4 x1) 2kx14x∴(2k1) x0 ， ∴k21 xlog 4 ( 4x1log 4 (4x1)1) log 4 2x(2）依题意知：f (x)1)x log 4 42log 4 (4x2∴由 f ( x) log 4 (a 2x a) 得 log 4 (4x 1) log 4 (a2 x a) log 4 2x∴4x 1 (a2x a) 2 x ﹡(a 2xa) 0令 t 2 x ，则 *变成 (1 a)t 2at1 0只要其有一正根 .(1） a1,t1 不合题意a 2 4(1 a) 0经考证知足 a 2xa 0a1(2） * 式有一正一负根，t 1t 2 1 0 1 a(3）两相等正根，0 a 2 2 2 经考证 a 2x a 0 a 2 2 2 20 解： (1) 由题意：当 0≤ x ≤ 20时， v(x) ＝60；当 20≤ x ≤ 200时，设 v(x) ＝ax ＋ b ，再由已知得200a ＋ b ＝ 0， 20a ＋b ＝ 60，解得 a ＝－ 1 ， b ＝200.3360, 0 x<20故函数 v(x) 的表达式为 v(x)=1 x),20x 200(2003(2) 依题意并由 (1) 可得60x,0 x<20f(x)= 1x), 20.x(200x 2003当 0≤x ≤20时， f(x) 为增函数，故当 x ＝ 20 时，其最大值为 60×20＝ 1200；当 20≤x ≤200时， f(x)= 1x(200x) ≤f(x)= 1 (x+200x )210000 ，3323当且仅当 x ＝ 200－ x ，即 x ＝100 时，等号建立．所以，当 x ＝ 100 时， f(x) 在区间 [20,200] 上获得最大值10000.3综上，当 x ＝ 100 时， f(x) 在区间 [0,200] 上获得最大值 10000 ≈ 3333，3即当车流密度为 100 辆 / 千米时 ，车流量能够达到最大，最大值约为 3333 辆 /小时．21 解： 2x ＞ m(x 2＋ 1) 可化为 mx 2 －2x ＋ m ＜ 0.若 p ： ? x ∈ R, 2x ＞ m(x 2＋ 1)为真，则 mx 2－ 2x ＋ m ＜ 0 对随意的 x ∈R 恒建立．当 m ＝ 0 时，不等式可化为－ 2x ＜0，明显不恒建立；当 m ≠0时，有 m ＜ 0， = 4－4m 2＜0，∴ m ＜－ 1.若 q ： ? x 0∈ R ， x 20 ＋ 2x 0－ m － 1＝0 为真，则方程 x 2＋ 2x － m － 1＝ 0 有实根， ∴ =4＋ 4(m ＋ 1) ≥0，∴ m ≥－ 2.又 p ∧ q 为真，故 p 、 q 均为真命题． ∴ m ＜－ 1 且 m ≥－ 2，∴－ 2≤m＜－ 1.22 解： (1) 由点 P 的坐标和三角函数的定义可得sin θ＝3， cos θ＝1.22于是 f(θ)＝ 3 3 1 ＝ 2.sin θ＋ cos θ＝ 322(2)作出平面地区 Ω(即三角地区 ABC) 以下图，此中 A(1,0) ， B(1,1) ， C(0,1) ．于是 0≤θ≤.2又 f( θ)＝ 3 sin θ＋ cos θ＝ 2sin( θ＋ ) ，且≤θ＋ ≤ ，6663故当 θ＋＝ 2，即 θ＝ 时， f( θ)获得最大值，且最大值等于 2 ；6 3当 θ＋＝ ，即 θ＝ 0 时， f( θ)获得最小值，且最小值等于 1.6 6。
2015年山东省高考数学一模试卷(理科)含解析答案
2015年山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015•山东一模）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z的共轭复数可求．【解析】：解：由z=|（﹣i）i|+i5=，得：．故选：A．【点评】：本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015•山东一模）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】：令y=x2﹣tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围．【解析】：解：令y=x2﹣tx+t，①若t=0，则{x||x2≤1}=[﹣1，1]，成立，②若t＞0，则y max=（﹣1）2﹣t（﹣1）+t=2t+1≤1，即t≤0，不成立；③若t＜0，则y max=（1）2﹣t+t=1≤1，成立，y min=（）2﹣t•+t≥﹣1，即t2﹣4t﹣4≤0，解得，2﹣2≤t≤2+2，则2﹣2≤t＜0，综上所述，2﹣2≤t≤0．故选B．【点评】：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．3．（5分）（2015•山东一模）已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解析】：解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣，则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣（﹣）=2+，若p≥1，则PF=2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF=2+≥3，即p≥2，则p≥1，成立，即必要性成立，故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键．4．（5分）（2015•山东一模）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解析】：解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【点评】：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．5．（5分）（2015•山东一模）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B． 2 C．2D． 4【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解析】：解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°﹣A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6．（5分）（2015•山东一模）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A．3π B．4π C．2π D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】：解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，其表面积S=4πR2=3π．故选：A．【点评】：本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•山东一模）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10] B．[﹣7，10] C．[﹣6，8] D．[﹣7，8]【考点】：简单线性规划．【专题】：分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，结合新定义得到目标函数的分段函数，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}=，得z=max{4x+y，3x﹣y}=，当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．【点评】：本题是新定义题，考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．8．（5分）（2015•山东一模）函数y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B． 4 C．8 D．16【考点】：基本不等式；对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：现根据对数函数图象和性质求出点A的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到2m+n=1，再根据基本不等式，即可求出结果【解析】：解：∵y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，当x+3=1时，即x=﹣2时，y=﹣1，∴A点的坐标为（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m，n均大于0，∴=+=2+++2≥4+2=8，当且仅当m=，n=时取等号，故的最小值为8，故选：C【点评】：本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题9．（5分）（2015•山东一模）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acosC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角B为（）A．B．C．D．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosA的值，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c 的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解析】：解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，由sinC≠0，整理得：cosA=，即A=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣bc①，与c﹣2b=1联立，解得：c=，b=1，由正弦定理=，得：sinB===，∵b＜c，∴B＜C，则B=．故选：B．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．10．（5分）（2015•山东一模）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1 B．C．e D．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：当a=4时，函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g （x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）++x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．【解析】：解：当a=4时，函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，则m（x0）=0．m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）若x0＜，φ（x）在（x0，）上单调递减，∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；∴y=h（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=，（x﹣）2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．即此时点P是y=f（x）的“类对称点”综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．故选B．【点评】：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为a=1．【考点】：其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由已知不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，由此求得实数a的值．【解析】：解：由题意可得，不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，故a=1，故答案为a=1．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．12．（5分）（2015•山东一模）已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=1：．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解析】：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：．故答案为：1：．【点评】：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．13．（5分）（2015•山东一模）已知函数则=．【考点】：定积分．【专题】：导数的综合应用．【分析】：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出dx=．【解析】：解：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，∴=．又dx==e2﹣e．∴==好．故答案为：．【点评】：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．14．（5分）（2015•山东一模）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96．（用数字作答）【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：概率与统计．【分析】：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解析】：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．故答案为96．【点评】：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．15．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=xe x，记f0（x）=f′（x），f1（x）=f′（x0），…，f n（x）=f′n﹣1（x）且x2＞x1，对于下列命题：①函数f（x）存在平行于x轴的切线；②＞0；③f′2012（x）=xe x+2014e x；④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．其中正确的命题序号是①③（写出所有满足题目条件的序号）．【考点】：导数的运算．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错【解析】：解：对于①，因为f′（x）=（x+1）e x，易知f′（﹣1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；对于②，因为f′（x）=（x+1）e x，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，函数f（x）单调递减，x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故＞0的正负不能定，故②错；对于③，因为f1（x）=f′（x0）=xe x+2e x，f2（x）=f′（x1）=xe x+3e x，…，f n（x）=f′n﹣1（x）=xe x+（n+1）e x，所以f′2012（x）=f2013（x）=xe x+2014e x；故③正确；对于④，f（x1）+x2＜f（x2）+x1等价于f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，构建函数h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=（x+1）e x﹣1，易知函数h（x）在R上不单调，故④错；故答案为：①③【点评】：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f（A）=，a=b，证明：C=3B．【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（1）运用两角差的正弦公式，即可化简，再由正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由f（A）=，及0＜A＜π，即可得到A=，再由正弦定理，及边角关系，即可得证．【解析】：（1）解：函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）=2（sinx+sinx﹣cosx）=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2k，k∈Z，则2kπ﹣≤x≤2kπ，则f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ]，k∈Z．（2）证明：由f（A）=，则sin（A﹣）=，由0＜A＜π，则﹣＜A﹣＜，则A=，由=，a=b，则sinB=，由a＞b，A=，B=，C=，故C=3B．【点评】：本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调区间，考查正弦定理及边角关系，注意角的范围，属于中档题．17．（12分）（2015•山东一模）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量1 1 1 2 3从中随机地选取5只．（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据排列组合知识得出P=运算求解即可．（Ⅱ）确定ξ的取值为：10，8，6，4．分别求解P（ξ=10），P（ξ=8），P（ξ=6），P（ξ=4），列出分布列即可．【解析】：解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P===，（Ⅱ）ξ的取值为：10，8，6，4．P（ξ=10）==，P（ξ=8）=，P（ξ=6）==，P（ξ=4）==ξ的分布列为：ξ 10 8 6 4P﹣Eξ==7.5．【点评】：本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题．18．（12分）（2015•山东一模）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】：空间角．【分析】：（1）设正三角形ABC的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．由已知条件推导出△ADF是正三角形，从而得到EF⊥AD．在图2中，推导出∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角，且A1E⊥BE．由此能证明A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1E与平面A1BP所成的角的大小．（3）分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【解析】：（1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0），P （1，，0），则，．设平面ABP的法向量为，由平面ABP知，，即令，得，．，，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．（3），设平面A1FP的法向量为．由平面A1FP知，令y 2=1，得，．，所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2015•山东一模）数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2=a n （S n﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出．【解析】：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣）=．化为，∴数列是首项为==1，公差为2的等差数列．故=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）b n===，故T n=+…+=．又∵不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，∴≥（m2﹣5m），化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．∴正整数m的最大值为6．【点评】：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2015•山东一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）根据F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．【解析】：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以===．同理．…（7分）因为|AB|=|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）所以=．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．21．（14分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．【解析】：解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．【点评】：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．。