几何证明Ⅰ：基本图形专题C(教师版)
高考数学一轮复习 第一章几何证明选讲第一节全等与相似课件 北师大版
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1.理解相似三角形的 平面几何中三角形 定义与性质，了解 相似，直角三角形
平行截割定理． 的射影定理等知识
2．会证明和应用直 解决平面几何中的 角三角形射影定理. . 线段之间的关系问 3
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• 1. 平 行 线 等 分平线行线段 一定条理 ： 如 果 一 组
• 相似 比；
• (2)相似三角形周长的比等于 相似 比；
• (3) 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 相似 ；
• (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等
于 平方 比，外接圆的面积比等于相似比
的 平方 ．
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• 6．直角三角形的射影定理
• 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边 上射影的比例 中项 ；两直角边分别是它们在斜边 上 射影 与 斜边 的比例中项．
• 例2 △ABC是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个项点分别在AB，AC上，求这个正方形的 边长．
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• [思路分析] 利用相似三角形的性质定理找 到所求正方形边长与已知条件的关系即可 解得．
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[听课记录] 设正方形 PQMN 为加工成的正方形零 件，边 QM 在 BC 上，顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，△ ABC 的高 AD 与边 PN 相交于点 E，设正方形的边长为 x cm，
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2．答案：12 解析：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 M，可知 M 为 DC 的中点，故EBMC＝12，EFMC＝34，∴FBCC＝23，FBCF＝12.
初中数学的几何证明方法
初中数学的几何证明方法几何证明是初中数学教学的重点和难点之一，对于大部分学生来说，几何证明是一个难以跨越的坎。
究其原因，主要是由于几何证明需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力，而这些能力是学生长期缺乏的。
因此，在初中数学教学中，如何帮助学生掌握几何证明方法，提高他们的几何证明能力，成为了一个值得探讨的问题。
一、熟悉基本图形和定理在初中数学几何证明中，基本图形和定理是证明的基础。
因此，熟悉基本图形和定理是掌握几何证明方法的前提。
基本图形包括三角形、四边形、圆等基本图形，以及由这些基本图形组合而成的各种变形图形。
定理则是几何证明的基础，包括一些基本的证明方法和技巧。
例如，平行线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等。
只有熟练掌握这些基本图形和定理，才能为后续的几何证明打下坚实的基础。
二、培养空间想象能力空间想象能力是几何证明的关键之一。
初中数学几何证明中，需要学生根据题目的描述在脑海中形成相应的图形，并观察图形的特点，从而找到证明的思路和方法。
因此，在平时的教学中，教师应该注重培养学生的空间想象能力，让他们能够根据题目的描述在脑海中形成相应的图形。
例如，可以通过实物模型、多媒体演示等形式，让学生了解各种基本图形的特征和变化形式，帮助他们建立正确的空间观念。
三、掌握证明方法和技巧初中数学几何证明中，需要掌握一些基本的证明方法和技巧。
例如，分析法、综合法、反证法、三角法、割补法等。
这些方法和技巧需要学生在平时的学习中不断练习和总结，逐渐形成自己的解题思路和方法。
同时，还需要注意一些证明的技巧，例如辅助线的添加、已知条件的挖掘等。
这些技巧需要学生根据题目特点灵活运用，以达到事半功倍的效果。
四、注重逻辑推理能力的培养逻辑推理能力是几何证明的核心能力之一。
在几何证明中，需要学生根据已知条件进行逻辑推理，逐步推导出结论。
因此，在平时的教学中，应该注重培养学生的逻辑推理能力，让他们能够根据题目特点进行合理的推理和论证。
(几何证明Ⅱ：倍长中线法及截长补短法专题C)(教师版)
学科教师辅导讲义 年 级： 科 目：数学 课时数：3课 题 几何证明教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题.教学内容【例题讲解】题型一：截长补短法【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明）ABDC【提示】截长补短，2种方法‘方法一：方法二：【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC ，∠B =60°.求证：∠ACB =90°.【提示】截长补短（两种方法）方法一：方法二：【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法.题型二：倍长中线法（一）求线段取值范围【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围.【提示】倍长中线（二）证明线段不等【例4】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．【提示】延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ．易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ．在△ACE 中，因为AC +EC ＞AE =2AD ，所以AB +AC ＞2AD ．（三）证明线段相等.求证：AC=BF. 【例5】已知：如图，AD为△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段.（如下题）【例6】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．【分析】可以把FE看作△FBC的一条中线．延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．由此得CH=CG．所以BF=CG．方法二：延长GE到H使得EH=EG（四）证明线段倍分【例7】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．CAD B E【分析】延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD（五）证明两直线垂直【例8】如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．FEB CDAMHG【分析】设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN．则由△FMN≌△HMA可得FN=AH=AC，FN//AH，所以∠AFN+∠F AH=180°．因为∠BAC+∠F AH=180°，所以∠AFN=∠BAC．又因为AF=AB，所以△AFN ≌△BAC，得∠1=∠2．因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．【借题发挥】1．已知：如图，DA⊥AC，FC⊥AC，ADB BDF∠=∠，CFB DFB∠=∠.求证：DF AD CF=+.【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：2．已知：如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，点P在DC边上，且AP AB CP=+.求证：2BAP BAM∠=∠.AD CBMP【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：3．已知：如图，C是AB的中点，点E在CD上，且AE BD=.求证：AEC BDC∠=∠.【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：+=. 4．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，作DH⊥BC于点H.求证：DC CH BH【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：【课堂总结】【课后作业】1．已知D为EC的中点，EF∥AB，且EF=AC，求证：AD平分∠BAC【提示】倍长中线法：延长FD至G，使FD=DG，联结CG2．已知如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB BD DC+=.求证:∠2B=∠C.【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：二、综合提高训练1．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。
如何做几何证明题(教师版)
几何证明专题讲座——如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图1所示，∆ABC中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF90，，，。
求证：DE＝DFC F BA ED图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒D CF 45。
从而不难发现∆∆D CF D AE ≅ 证明：连结CDAC BC A BACB AD D BCD BD AD D CB B A AE CF A D CB AD CD=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆A D E C D FDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
期末复习--几何证明--教师版
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课程主题：易错题--几何证明授课时间：学习目标掌握各种辅助线的做法，灵活解题。
教学内容知识精讲【知识梳理】1、定义、命题、公理和定理的含义．(1)定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子．(2)命题：可以判断是正确或错误的句子叫做命题．其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．(3)命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题可写成“如果……那么……”的形式．其中用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．(4)公理：如果—个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理．(5)定理：如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理．如“三角形的内角和等于180°”等．注意：定理是正确的命题，但正确的命题不一定是定理．7、直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半推论2：在直角三角形中，如果一条之骄傲便等于斜边的一般，那么这条直角边所对的角等于8、勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形9、两点间距离公式如果直角坐标平面内有两点、，那么、两点的距离常见勾股数：如果、是正整数且，则是一组勾股数。
常用：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；9，40，41；10，24，26；20，21，29等。
【添加辅助线的具体作法】1.作线段：连接；2.作平行线：过点作//;3.作垂线(作高)：过点作 ，垂足为；4.作中线：取中点，连接；5.延长并截取线段：延长使等于；6.截取等长线段：在上截取，使等于；7.作角平分线：作平分；或者作角等于已知角；8.作一个角等于已知角：作角等于；【例题精讲】题型一：基本概念【例1】下列四个命题中，属于真命题的序号是．（1）互补的两角必有一条公共边（2）同旁内角互补（3）同位角不相等，两直线不平行（4）一个角的补角大于这个角答案：（3）易错点：（1）、（2）容易被错选，（1）中有公共边的互补的角是邻补角；（2）只有在平行线下才成立【例2】判断下列命题的真假性，是真命题的请打“√”，是假命题的请打“×”.1、两直线被第三条直线所截，内错角相等. （）2、腰长大于底边的等腰三角形，其顶角大于60°. （）3、对应角相等的三角形是全等三角形. （）答案：1、×. 2、×. 3、×.易错点：1、平行线下成立；2、审题要注意，结合画图解题；3、注意审题【例3】把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式.答案：如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等.易错点：这种题很不好把握，学生在书写的时候很容易写错，所以老师在讲解时一定要注意细节【变式】1、判断下列命题的真假性，是假命题的试举出反例：1、不相交的两条直线一定平行。
著名机构初中数学培优讲义图形初步.第06讲(C级).教师版
内容基本要求略高要求较高要求立体图形的展开图 会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）；了解直棱柱、圆锥的侧面展开图；了解基本几何体的展开图（球除外）；观察与现实生活有关的图片，并能对形状、大小和相互位置作做简单的描述．能根据直棱柱、圆锥的展开图判断立体模型．直线、射线、线段会表示点、线段、射线、直线，知道它们之间的联系和区别；结合图形理解两点之间的距离的概念；会比较两条线段的大小，并能进行与线段有关的简单计算 会用尺规作图：做一条线段等于已知线段，做已知线段的垂直平分线；会用线段中点的知识解决简单问题；结合图形认识线段间的数量关系会运用两点间的距离解决有关问题角、角平分线会识别角并会表示；认识角、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示会尺规作图：作一个角等于已知角，做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系一、立体图形的展开图正方形展开图的知识要点：第一类：有6种。
特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”第二类：有3种。
特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”例题精讲中考要求图形初步第三类：仅有一种。
特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”正方形展开图的识别方法：1.排除法：（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图（2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图2.对比法：对照上面的四种规则进行对照；从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。
二、直线、射线、线段的概念：①在直线的基础上定义射线、线段：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．②在线段的基础上定义直线、射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．点与直线的关系：点在直线上；点在直线外．两个重要公理：①经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．②两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．两点之间的距离：两点确定的线段的长度．⑴点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：A，B，C，D，……⑵直线的表示方法：①用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB，如下图⑴也可以写作直线BA．(1) (2)lA B② 用一个小写字母来表示，如直线l，如上图⑵．注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序．⑶射线的表示方法：① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA ，如图⑶，但不能写作射线AO ． ② 用一个小写字母来表示，如射线l ，如图⑷．(3) (4)lAO注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．⑷ 线段的表示方法：① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB ，如图⑸，也可以写作线段BA ．② 也可以用一个小写字母来表示：如线段l ，如图⑹．(5) (6)lAB注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．三、角与角平分线 1、定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点；（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
立体几何共线、共点、共面问题(教师版)
立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例1. 若ΔABC 所在的平面和ΔA 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证：(1)AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内；(2)如果AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2. 点P 、Q 、R 分别在三棱锥A-BCD 的三条侧棱上，且PQ ∩BC ＝X,QR ∩CD ＝Z,PR ∩BD ＝Y.求证：X 、Y 、Z 三点共线.例3. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线。
1．如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，AC BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线． 证明：连结11AC ，1C ∈平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ，1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．又M AC M ∈∴∈，平面11A ACC ． M BD M ∈∴∈，平面1DBC ．M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1AC 与截面1DBC 的交点，O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点． 1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线．2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB∥CD，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明 ∵ AB//CD， AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β， 即 E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F ，G ，H 四点必定共线．点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．二、共面问题1.如图3，设P Q R S M N ，，，，，分别为正方体1111ABCD A BC D - 的棱111111AB BC CC C D A D A A ，，，，，的中点， 求证：P Q R S M N ，，，，，共面．证明：如图3，连结1A B MQ NR ，，．P N ，分别为1AB A A ，的中点，1A B PN ∴∥．111A D BC A M BQ ∴，∥∥．M Q ，分别为11A D BC ，的中点，1AM BQ ∴=． ∴四边形1A BQM 为平行四边形． 1A B MQ ∴∥．PN MQ ∴∥． 因此，直线PN MQ ，可确定一个平面α．同理，由PQ NR ∥可知，直线PQ NR ，确定一个平面β．过两条相交直线PN PQ ，有且只有一个平面，α∴与β重合，即R α∈．同理可证S α∈． 因此，P Q R S M N ，，，，，共面．例4. 直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面.例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l 1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点. 求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内例6. 已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面.例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QDAQ＝PD CP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)三、共点问题例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.1.如图2，已知空间四边形ABCD E F ，，分别是 AB AD ，的中点，G H ，分别是BC CD ，上的点， 且2BG DHGC HC==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ． 错解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点, EF ∴∥BD,EF=21BD,又2==HC DHGC BG ,∴ GH∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T,2=HCDH ,F 分别是AD.∴AC 与FH 交于一点.∴直线EG,FH,AC 相交于一点正解：证明：E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥，且12EF BD =．又2BG DH GC HC ==， GH BD ∴∥，且13GH BD =． EF GH ∴∥，且EF GH >．∴四边形EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰EG FH ，相交于一点P ，EG ⊂∵平面ABC FH ⊂，平面ACD ，P ∴∈平面ABC P ∈，平面ACD ，又平面ABC 平面ACD AC P AC =∴∈，． 故EG FH AC ，，相交于同一点P ．2. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD∥BC，且AB α，CD β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）．分析：AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰，必定相交于一点M ，只要证明M 在l 上，而l 是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可． 证明： ∵ 梯形ABCD 中，AD∥BC， ∴AB，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB，CD 必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M ．又∵ AB α，CD β，∴ M∈α，且M∈β． ∴ M∈α∩β．又∵ α∩β＝l ，∴ M∈l ， 即 AB ，CD ，l 共点．点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的． 1、(1)证明：∵AA 1∩BB 1＝O, ∴AA 1、BB 1确定平面BAO ，∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内， ∴AB ⊂平面ABO ；A 1B 1⊂平面ABO.同理可证，BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明：如图，设AB ∩A 1B 1＝P ； AC ∩A 1C 1＝R ；∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1＝PR.∵ BC ⊂面ABC ；B 1C 1⊂面A 1B 1C 1， 且 BC ∩B 1C 1＝Q ∴ Q ∈PR, 即 P 、R 、Q 在同一直线上.3解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点 ∴过A 、B 、C 有一个平面β 又βα⊂=⋂AB P AB 且,.,,l p l P ∈=⋂∴则设内内又在既在点βααβ.,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈4解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明∵a ∥b,∴过a 、b 可以确定一个平面α.∵A ∈a,a ⊂α，∴A ∈α,同理B ∈a.又∵A ∈m ，B ∈m,∴m ⊂α.同理可证n ⊂α.∵b ∥c,∴过b,c 可以确定平面β，同理可证m ⊂β. ∵平面α、β都经过相交直线b 、m,∴平面α和平面β重合，即直线a 、b 、c 、m 、n 共面.5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内. 证明：图①中，l 1∩l 2＝P ， ∴ l 1,l 2确定平面α.又 l 1∩l 3＝A,l 2∩l 3＝C,∴ C,A ∈α. 故 l 3⊂α. 同理 l 4⊂α.∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面.图②中，l 1,l 2,l 3,l 4的位置关系，同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面. 所以结论成立.6、证明 如图，连结MN 、NR ，则MN ∥l 1,NR ∥l 2，且M 、N 、R 不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l 1∥l 2与条件矛盾).∴ MN 、NR 可确定平面β，连结B 1C 2，取其中点S.连RS 、ST ，则RS ∥l 2，又RN ∥l 2，∴ N 、R 、S 三点共线.即有S ∈β，又ST ∥l 1，MN ∥l 1，∴MN ∥ST ，又S ∈β，∴ ST ⊂β. ∴ M 、N 、R 、T 四点共面. 7解析：(1)∵MB AM ＝QD AQ＝k ∴ MQ ∥BD ，且MB AM AM +＝1+k k∴BD MQ ＝AB AM ＝1+k k∴ MQ ＝1+k kBD又NB CN ＝PDCP＝k ∴ PN ∥BD ，且NB CN CN +＝1+k k∴BD NP ＝CB CN ＝1+k k 从而NP ＝1+k kBD∴ MQ ∥NP ，MQ ，NP 共面，从而M 、N 、P 、Q 四点共面. (2)∵MA BM ＝k 1，NC BN ＝k1∴MA BM ＝NC BN ＝k 1,MABM BM +＝11+k∴ MN ∥AC ，又NP ∥BD.∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角. ∵ MNPQ 是正方形，∴∠MNP ＝90° ∴ AC 与BD 所成的角为90°， 又AC ＝a ，BD ＝b ，AC MN ＝BA BM ＝11+k ∴ MN ＝11+k a 又 MQ ＝11+k b,且MQ ＝MN ， 1+k k b ＝11+k a ，即k ＝ba.说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b∴a、b⊂β∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b而a、b⊂β，a⊂α∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点又∵α∩γ＝c由公理2知P∈c∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时∵α∩γ＝c且a⊂α，a⊄γ∴a∥c且a∥b∴a∥b∥c故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.A 1题2．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN题3．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°题4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。
几何证明Ⅰ：基本图形专题B(教师版)
学科教师辅导讲义年级：科目：数学课时数：课题几何证明教学目的能够结合基本图形及常见图形解决问题教学内容【例题讲解】题型一：基本图形【例1】证明：三角形的内角和180°.【证明】略基本图形一：（在初三学习三角形一边平行线定理时用于构造“X”型，此处让学生知道有“过顶点作对边的平行线”这一添加辅助线的方法即可.）题型二：基本图形【说明】此处设计的题目主要是让学生熟悉基本图形及其变形.在之后学完四边形和中位线后，经常会运用此基本图形进行证明.【例2】已知：如图，AC、BD相交于点O，AC BD=∠DBC=∠ACB.求证：OA OD=.【答案】略【提示】证明△ABC≌△DCB题型三：ABC EDABCDE FG【例3】已知：等边△ABC和等边△CDE，联接AE、BD.求证AE=BDABC ED【答案】略ABC DD题型四：“角平分线+平行”图中通常会出现等腰三角形【例6】已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，GE∥AD.求证：△AFG是等腰三角形.【提示】图中标出的四个角相等.【借题发挥】.求证：△AEF是1．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，F是CB延长线上的一点，DE BF 等腰直角三角形.【提示】证明全等即可.2．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC.【提示】AD 是等腰△AEC 的“三线”，通过全等证得△DEC 是等腰三角形，根据平行证得∠DEC =∠DCE =∠FEC3.已知：如图，AB AD =，CB CD =.求证：∠ABC =∠ADC .【答案】略【提示】联接AC 证全等.4．已知：如图，在△ABC 中，,AB AC BD =⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ,BD 、CE 相交于点O .求证：OA 平分∠BAC【证明】略【提示】证明△ABO ≌△ACO5．已知：如图，在△ABC 中，AB AC =,BD 平分∠ABC ,∠36A =°.DE ∥AB ,EF ∥BD ,那么图中哪些三角形是等腰三角形？【答案】△CEF,△EDC,△CBD,△DFE,△DEB ,△ABC ,△ADB【课堂总结】【课后作业】一、基础巩固训练1．已知：如图，AB DC =，AC 、BD 相交于点O ，且AC =BD .求证：AD ∥BC .【答案】略【提示】由全等推出∠1=∠2.同理，∠3=∠4.215246,56∠+∠=∠+∠∠=∠推出14∠=∠2． 已知：如图，,AB AC BE CE ==,AE 的延长线交BC 于D .求证：AD ⊥BC .【提示】由全等推出∠1=∠2AD 是等腰三角形的三线.3．已知：如图，在正方形中ABCD ，M 、N 分别是BC 、CD 边的中点，AM 、BN 相交于点P .（1）AM 、BN 的长短与位置各有什么关系？证明你得出的结论.（2）如果M 、N 不是BC 、CD 边的中点，调换怎样的条件能使第（1）题得出的结论仍旧成立？为什么？【提示】证明全等4．已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，过E 作AD 的垂线交BC 的延长线于F .求证：∠CAF =∠B .【提示】通过证明全等得到∠90BAF =°.5． 已知：如图，在△ABC 中，AB AC =,BD 、CE 分别是AC 边和AB 边上的高.求证：DE ∥BC .【提示】通过全等及等量减等量差相等AE AD =.22180A AED A ABC ∠+∠=∠+∠=°二、综合提高训练：1．已知△ABC 、△DBE 、△CEF 是等边三角形，求证：四边形ADEF 是平行四边形.（求证：EF AD =,AF DE =）DBC AE F【答案】略 DB CAE F2．如图，已知在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∠B 的平分线与AC 交于点D ，过点C 作CH ⊥BD ，H 为垂足。
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学科教师辅导讲义
年级：科目：数学课时数：
课题几何证明
教学目的能够结合基本图形及常见图形解决问题
教学内容
【例题讲解】
题型一：基本图形
【例1】证明：三角形的内角和180°.
【证明】略
基本图形一：
（在初三学习三角形一边平行线定理时用于构造“X”型，此处让学生知道有“过顶点作对边的平行线”这一添加辅助线的方法即可.）
题型二：基本图形
【说明】此处设计的题目主要是让学生熟悉基本图形及其变形.在之后学完四边形和中位线后，经常会运用此基本图形进行证明.
【例2】已知：如图，AC、BD相交于点O，AC BD
=∠DBC=∠ACB.求证：OA OD
=.
【答案】略
【提示】证明△ABC≌△DCB
题型三：
A
B
C E
D
A
B
C
D
E F
G
【例3】已知：等边△ABC和等边△CDE，联接AE、BD.求证AE=BD
A
B
C E
D
【答案】略
A
B
C D
D
题型四：
“角平分线+平行”图中通常会出现等腰三角形
【例6】已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，GE∥AD.求证：△AFG是等腰三角形.
【提示】图中标出的四个角相等.
【借题发挥】
.求证：△AEF是1．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，F是CB延长线上的一点，DE BF 等腰直角三角形.
【提示】证明全等即可.
2．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC.
【提示】AD 是等腰△AEC 的“三线”，通过全等证得△DEC 是等腰三角形，根据平行证得∠DEC =∠DCE =∠FEC
3.已知：如图，AB AD =，CB CD =.求证：∠ABC =∠ADC .
【答案】略
【提示】联接AC 证全等.
4．已知：如图，在△ABC 中，,AB AC BD =⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ,BD 、CE 相交于点O .
求证：OA 平分∠BAC
【证明】略
【提示】证明△ABO ≌△ACO
5．已知：如图，在△ABC 中，AB AC =,BD 平分∠ABC ,∠36A =°.DE ∥AB ,EF ∥BD ,那么图中哪些三角形是等腰三角形？
【答案】△CEF,△EDC,△CBD,△DFE,△DEB ,△ABC ,△ADB
6．已知△ABC 、△DBE 、△CEF 是等边三角形，求证：四边形ADEF 是平行四边形.（求证：EF AD =,AF DE =）
D
B C
A
E
F
【答案】略
D
B C
A
E
F
【课堂总结】
【课后作业】
一、基础巩固训练
1．已知：如图，AB DC
=，AC、BD相交于点O，且AC=BD.求证：AD∥BC.
【答案】略
【提示】由全等推出∠1=∠2.同理，∠3=∠4.215246,56
∠+∠=∠+∠∠=∠推出14
∠=∠2．已知：如图，,
AB AC BE CE
==,AE的延长线交BC于D.求证：AD⊥BC.
【提示】由全等推出∠1=∠2AD是等腰三角形的三线.
3．已知：如图，在正方形中ABCD，M、N分别是BC、CD边的中点，AM、BN相交于点P.
（1）AM、BN的长短与位置各有什么关系？证明你得出的结论.
（2）如果M、N不是BC、CD边的中点，调换怎样的条件能使第（1）题得出的结论仍旧成立？为什么？
【提示】证明全等
4．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，过E作AD的垂线交BC的延长线于F.求证：∠CAF=∠B.
BAF=°.
【提示】通过证明全等得到∠90
=,BD、CE分别是AC边和AB边上的高.求证：DE∥BC.
5．已知：如图，在△ABC中，AB AC
【提示】通过全等及等量减等量差相等AE AD
=.22180
A AED A ABC
∠+∠=∠+∠=°
二、综合提高训练
1．已知四边形ABCD、AEFG是正方形，以AE、AD为边做平行四边形，连接IA并延长，交BG于H. 求证：IH BG
⊥
A
B C
D
E
F
G
H
I
【答案】略
A
B C
D
E
F
G
H
I。